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专题 22.1 二次函数图象与系数的关系
【典例1】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，有下列5个结论：①abc<0；②
；③ ；④ ；⑤若方程 有四个根，则这四个
9a+3b+c<0 2c<3b a+b>m(am+b)(m≠1) |ax2+bx+c)=1
根的和为2．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【思路点拨】
b
①由二次函数图像性质知，开口向下，则a<0．再结合对称轴x=1，有− =1，即b=−2a，则b＞0．
2a
据二次函数图像与y轴正半轴相交得c>0；②由图像可知，抛物线与x轴正半轴交点的横坐标在2和3之间，
b
则当x=3时， y<0，即可判断；③− =1，得b=−2a，当x=−1时，y<0，即a−b+c<0，所以
2a
2a−2b+2c<0，把a替换成b计算；④x=1时函数有最大值，所以当x=1时的y值大于当x=m(m≠1)时
的 y值，即a+b+c>m(am+b)+c，所以a+b>m(am+b)(m≠1)成立；⑤当ax2+bx+c=1时，有
b
ax2+bx+c−1=0， 此 时 有 x +x =− ， 当 ax2+bx+c=−1时 ， 有 ax2+bx+c+1=0， 此 时 有
1 2 a
b 2b
x +x =− ，则有x +x +x +x =− ，即可判断．
3 4 a 1 2 3 4 a
【解题过程】
解：∵图像开口向下，
∴a<0，∵对称轴x=1，
b
∴− =1，
2a
∴b=−2a，
∴b>0，
∵抛物线交于y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc<0，
故①正确；
由图像可知，抛物线与x轴正半轴交点的横坐标在2和3之间，
∴当x=3时，y<0，
即9a+3b+c<0，
故②正确；
∵根据图像可知，当x=−1时，y<0，
即a−b+c<0，
∴2a−2b+2c＜0，
∴结合b=−2a，有−3b+2c＜0，
∴2c<3b，
故③正确；
∵x=1时，有y=a+b+c，且此时y值达到最大，
又∵x=m(m≠1)时，有y=am2+bm+c，
∴a+b+c＞am2+bm+c，
∴a+b>m(am+b)(m≠1)成立，
故④正确．
根据 有四个根，
|ax2+bx+c)=1
可得ax2+bx+c=1和ax2+bx+c=−1各有两个根，
b
当ax2+bx+c=1时，有ax2+bx+c−1=0，此时有x +x =− ，
1 2 a
b
当ax2+bx+c=−1时，有ax2+bx+c+1=0，此时有x +x =− ，
3 4 a
2b
则有x +x +x +x =− ，
1 2 3 4 ab
∵− =1，
2a
2b
∴− =4，
a
即： 的四个根和为4，
|ax2+bx+c)=1
故⑤错误．
综上：①②③④正确，
故选：C．
1
1．（2023·四川广元·统考二模）二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的部分图象如图．对称轴为x= ，且经过
2
( 1 ) (5 )
点(2,0)．下列说法：①abc<0；②−2b+c=0；③4a−2b+c>0；④若 − ,y ， ,y 是抛物线上
2 1 2 2
1 1
的两点，则y >y ；⑤ b+c>m(am+b)+c（其中m≠ ）．正确的结论有（ ）
1 2 4 2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2023·山东青岛·统考二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；
②若m为任意实数，则a+b≥am2+bm；③a﹣b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若ax2+bx＝ax2+bx，且x≠x，则
1 1 2 2 1 2
x+x＝2．其中正确的个数为（ ）
1 2A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2023春·广东广州·九年级专题练习）二次函数 的部分图象如图所示，图象过点
y=ax2+bx+c(a≠0)
(−1,0)，对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；9a+c>3b；③8a+7b+2c>0；④若点
( 1 ) (7 )
A(−3,y )、点B − ,y 、点C ,y 在该函数图象上，则y 1时，在x轴上方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N
4
（点M在点N左边），使得AN⊥BM．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023·黑龙江齐齐哈尔·校联考一模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．对称轴是直线x=−1
4a+2b+c
，有以下结论；①abc<0；② >b；③c−a>1；④若抛物线上三点坐标为(−1−❑√3,y )，
4 1
2
(−1+❑√3,y )，(❑√3,y )，则y >y >y ；⑤b<− c，其中正确的结论是（ ）
2 3 3 2 1 3
A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．②③⑤
6．（2023·安徽六安·校考三模）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图像如图所示，图像过点(−1,0)，
对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c>3b；（3）8a+7b+2c>0；（4）若点
( 1 ) (7 )
A(−3,y )，点B − ,y 、点C ,y 在该函数图像上，则y 0；②b2−4ac>0；③0−1，x>0．其中正确结论的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．（2023秋·重庆南川·九年级统考期末）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点为(−2,0)
，其对称轴为直线x=1，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①abc<0；②b2−4ac<0；③
9a+3b+c>0；④8a+c=0；⑤若ax2+bx+c=−1有解x 、x ，满足x 4；其中正
1 2 1 2 1 2
确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2023春·江西宜春·九年级江西省宜丰中学校考阶段练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的一
部分如图所示，已知图像经过点(−1,0)，其对称轴为直线x=1．下列结论：①abc<0；②b2−4ac<0；③ ；④ ；⑤点 是抛物线上的两点，若 ，则 ；⑥
8a+c<0 9a+3b+2c<0 C(x ,y )D(x ,y ) x 1；②3a+c<0；③一元二次方程
( 1 ) (7 )
ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根；④若点A(−2,y )、B − ,y 、C ,y 在该函数图象
1 2 2 2 3
上，则y 0；
1 2 1 2
②2a+b<0；③当x=m (11．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．（2023·四川成都·统考一模）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交于点
A(−1，0)，与y轴的交点B在(0，−2)和(0，−1)之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1，下列结
论：①abc<0；②9a+3b+c=0；③4ac−b2<2a；④2b=3a．其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
14．（2023·全国·九年级假期作业）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象关于直线x=1对称，与x轴交于
， 两点，若 ，则下列四个结论：① ，② ，③
A(x ，0) B(x ，0) −20
1 2 1 2
b2>a+c+4ac，④a>b>c，⑤a(m+1)(m−1)0；②b2−4ac>0；③3a+c<0；④
ax2+bx+a≥0．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（2023·山东青岛·统考一模）如图，是抛物线 （ ）图象的一部分，抛物线的顶点
y =ax2+bx+c a≠0
1
坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y =mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下
2
列结论：①2a+b=0； ②抛物线与x轴的另一个交点是（−2，0）；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的
实数根；④当时 ，有 ；⑤若 ，且 ；则 ．则命题正确
10；③
a+b>am2+bm（m为任意实数）；④若点Q(m,n)是抛物线上第一象限上的动点，当△QBC的面积最大
时，m=1,n=a+b+c，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．（2023·湖北鄂州·统考二模）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(−1,2)，且与x轴交点
的横坐标分别为x ，x ，其中−20；②2a−b<0；③
1 2 1 2
；④ ；⑤ ．其中正确结论的个数是（ ）
4a−2b+c<0 (a+c) 2−8a
A．2 B．3 C．4 D．5
19．（2023秋·辽宁朝阳·九年级校联考期末）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量
x与函数值y的部分对应值如下表：
x … −2 −1 0 1 2 …
y=ax2+bx+c … t m −2 −2 n …
1
且当x=− 时，其对应的函数值y>0．有下列结论：
2
1 20
①abc>0；②−2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；③对称轴为x=− ；④00； ②当x≤0时y随x的增大而增大；
1
③关于x的方程ax2+bx+c=0有异号两实根的，而且负实数根在− 和0之间；
2
20
④3m−n<− ；其中正确的结论是（ ）
3
