第22章 二次函数（易错题考点集训）
【29个高频易错考点 共58题】
易错考点01：根据二次函数的定义求参数..............................................................................................................2
易错考点02：y=ax²的图象和性质..............................................................................................................................2
易错考点03：y=ax²+k的图象和性质.........................................................................................................................3
易错考点04：y=a (x-h）²的图象和性质.................................................................................................................3
易错考点05：y=a (x-h) ²+k的图象和性质............................................................................................................4
易错考点06：y=ax²+bx+c的图象与性质..................................................................................................................4
易错考点07：二次函数图象与各项系数符号..........................................................................................................5
易错考点08：根据二次函数的图象判断式子符号................................................................................................6
易错考点09：y=ax²+bx+c的最值................................................................................................................................6
易错考点10：利用二次函数对称性求最短路径.....................................................................................................7
易错考点11：待定系数法求二次凼数解析式..........................................................................................................9
易错考点12：抛物线与x轴的交点问题.................................................................................................................10
易错考点13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况................................................................................10
易错考点14：图象法解一元二次不等式.................................................................................................................11
易错考点15：利用不等式求自变量或函数值的范围.........................................................................................12
易错考点16：根据交点确定不等式的解集............................................................................................................13
易错考点17：图形问题（实际问题与二次函数）..............................................................................................14
易错考点18：图形运动问题（实际问题与二次函数）.....................................................................................15
易错考点19：拱桥问题（实际问题与二次函数）..............................................................................................16
易错考点20：销售问题（实际问题与二次函数）..............................................................................................17
易错考点21：投球问题（实际问题与二次函数）..............................................................................................18
易错考点22：喷水问题（实际问题与二次函数）..............................................................................................19
易错考点23：增长率问题（实际问题与二次函数）.........................................................................................20
易错考点24：其他问题（实际问题与二次函数）..............................................................................................21
易错考点25：面积问题（二次函数综合)..............................................................................................................22
易错考点26：线段周长问题（二次函数综合）...................................................................................................23
易错考点27：角度问题（二次函数综合)..............................................................................................................25
易错考点28：特殊三角形问题（二次函数综合）..............................................................................................26易错考点29：特殊四边形（二次函数综合）.......................................................................................................28
易错考点01：根据二次函数的定义求参数
1．（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）已知 是关于 的二次函数．求 的值
y=−(m+1)xm2−m+5x x m
及函数表达式．
2．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）若函数 是关于 的二次函数．则常数
y=(m−2)xm2−m+x−1 x
m的值是（ ）
A．1 B．−1 C．2 D．2或−1
易错考点02：y=ax²的图象和性质
1
3．（24-25九年级上·全国·单元测试）在同一坐标系中画出y =2x2,y =−2x2,y = x2的图象，正确
1 2 3 2
的是（ ）
A． B．
C． D．
1 1 1
4．（25-26九年级上·北京·课后作业）在同一平面直角坐标系中作出y= x2、y=− x2和y= x2的
2 2 4图象．
易错考点03：y=ax²+k的图象和性质
1
5．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线y= x2+1（如图所示）．
4
(1)填空：抛物线的顶点坐标是（______，______），对称轴是______；
(2)已知y轴上一点A(0,2)，点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，
求点P的坐标．
m
6．（2025·广东江门·三模）已知 <0，m(n+1)>0，则y关于x的二次函数y=mx2+n的图象可能是
n
（ ）
A． B． C． D．
易错考点04：y=a (x-h）²的图象和性质
7．（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）若点 ， 在抛物线 上，则 ，
A(−1,y ) B(2,y ) y=−(x+2) 2 y
1 2 1
y 的大小关系是（ ）
2
A．y >y B．y ≥ y C．y <y D．y ≤ y
1 2 1 2 1 2 1 28．（24-25九年级下·全国·随堂练习）下列图像是二次函数 的图像的是（ ）
y=−2(x+1) 2
A． B．
C． D．
易错考点05：y=a (x-h) ²+k的图象和性质
9．（25-26九年级上·北京·阶段练习）已知函数 图象上的三个点
y=3(x−2) 2
，则 的大小关系是（从小到大排列） ．
A(3,y ),B(4,y ),C(−1,y ) y ,y ,y
1 2 3 1 2 3
10．（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）已知点A，B的坐标分别为(−2,−3)和(1,−3)，抛物线
的顶点在线段 上运动，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若点C的
y=a(x−ℎ) 2+k(a>0) AB
横坐标最小值为−6，则点D的横坐标最大值为（ ）
A．−3 B．−2 C．2 D．5
易错考点06：y=ax²+bx+c的图象与性质
11．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数y=2x2+bx+c经过点(3,0)，对称轴是直线
x=1．
(1)求二次函数的解析式；
(2)自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大．12．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，二次函数 的图象过点 ，
y=ax2+bx+c(a≠0) (−1,0)
抛物线的对称轴是直线x=1，顶点在第一象限，给出下列结论：①ab<0；②4a+2b+c>0；③3a+c>0；
④若 、 （其中 ）是抛物线上的两点，且 ，则 ．其中正确的结论
A(x ,y ) B(x ,y ) x <x x +x =2 y = y
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
易错考点07：二次函数图象与各项系数符号
13．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）二次函数 的图象过点 ， ，
y=ax2+bx+c(a≠0) (−1,2) (1,0)
如图所示，给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
14．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，
过A(−1,0)，B(m,0)两点，且1<m<3．下列四个结论：
① b>0
②若m=2时，则2a+c<0
若方程 有四个根，且四个根和为 ，则
③ |ax2+bx+c)=1 s 0<s<4已知点 ， ， 均在抛物线 上，其中 ，若 ，
④ P(−2,y ) Q(3,y ) M(n,y ) y=ax2+bx+c 2an+b=0 y >y >y
1 2 3 3 2 1
1
则n的取值范围是0<n<
2
其中结论正确的结论有（ ）
A．①③ B．①② C．③④ D．①③④
易错考点08：根据二次函数的图象判断式子符号
15．（24-25九年级上·山东青岛·期末）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1，部分图象如图所
示．下列判断中：① ；② ；③ ；④若点 均在抛物线
abc>0 b2−4ac>0 9a−3b+c=0 (−0.5,y ),(−2,y₂)
1
上，则y >y ；⑤5a−2b<0．其中正确的个数有（ ）
1 2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
16．（22-23九年级上·四川广安·期中）已知，二次函数y=ax2+bx+c图象如图所示，其中对称轴为直
线x=1，则下列结论正确的是（ ）
①abc>0；②2a+b=0；③4a+2b+c>0；④a+b≥m(am+b)（其中m为任意实数）
A．①② B．①③④ C．②③ D．②③④
易错考点09：y=ax²+bx+c的最值
17．（24-25九年级上·黑龙江七台河·期末）二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）部分图象
b
如图所示，对称轴为直线x=−1，则下列结论：① >0；②am2+bm≤a−b（m是任意实数）；③
c；④ ；⑤若 是抛物线上不同的两个点，则 ；其中
3a+c<1 4a−2b+c>0 M(x ,y),N(x ,y) x +x ≤−3
1 2 1 2
正确结论是（ ）
A．②③④ B．②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
18．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）平面直角坐标系中，已知抛物线 ．
y=ax2−4a2x(a≠0)
(1)当a=2时，
①直接写出抛物线的解析式；
②求抛物线的顶点坐标；
(2)在（1）的条件下，将该抛物线关于y轴对称后，得到新的二次函数的图象．当5≤x≤0时，请分别求
出变换后新二次函数的最大值与最小值．
(3)已知 ， 为抛物线上的两点，若 ， ， ，试判断 与 的大小，
P(x ,y ) Q(x ,y ) x <2a x >2a x +x =5a y y
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
并说明理由．
易错考点10：利用二次函数对称性求最短路径
19．（2025九年级上·浙江·专题练习）已知抛物线y=ax2+bx−4与x轴相交于点A(−1,0),B(−4,0)，
与y轴相交于点C．(1)求抛物线的表达式；
PA
(2)如图，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求 的值；
PC
20．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线
与y轴相交于点 ，且抛物线的对称轴为直线 ．给出以下4个结论：①
y=ax2+bx+c(a≠0) A(0,2) x=−1
abc<0；②对于任意实数m，am2+bm+c+a的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则OP+AP的最
小值为 ；④若点 在抛物线上，满足 且 ，则一定有 ．其中，
2❑√2 (x ,y ),(x ,y ) x <x x +x +2>0 y <y
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
所有正确结论的序号为 ．易错考点11：待定系数法求二次凼数解析式
21．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）已知抛物线 为常数）经过点 ．
y=x2−ax+5(a (1,0)
(1)求a的值．
(2)过点A(0,t)与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值．
(3)设 ，抛物线的一段 最大值与最小值的差为 ，求 的最大值与最
m≤3≤n y=x2−ax+5(m≤x≤n) 16 n−m
小值．
22．（24-25九年级上·广东·期末）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左
侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y=−x−1与y轴交于点C，与抛物线y=−x2+bx+c的另一个交
点为D(5,−6)，已知P点为抛物线y=−x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点
F，求PE+PF的最大值；
(3)在直线l上是否存在点M，使得以NC为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形．若存在，请
直接写出所有符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．易错考点12：抛物线与x轴的交点问题
23．（2023·陕西·中考真题）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … −3 0 3 5 …
y … 16 −5 −8 0 …
则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（ ）
A．图象的顶点在第一象限 B．有最小值−8
C．图象与x轴的一个交点是(−1,0) D．图象开口向下
24．（21-22九年级上·四川德阳·阶段练习）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A(3,0)，对称
轴为直线 ，给出以下结论：① ；② ；③ ；④若 ，
x=1 abc<0 b2−4ac>0 a+b+c≥ax2+bx+c M(x2+1,y )
1
为函数图像上的两点，则 ，其中正确的是（ ）
N(x2+2,y ) y <y
2 1 2
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
易错考点13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况
25．（2025·湖北孝感·三模）已知二次函数 图象的一部分如图所示，该函数图象
y=ax2+bx+c(a≠0)
经过点(−1,0)，对称轴为直线x=2．对于下列结论：①abc<0；②a+c>−b；③多项式ax2+bx+c可因
式分解为(x+1)(x−5)；④当m>−9a时，关于x的方程ax2+bx+c=m无实数根．其中正确的个数有
（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
26．（2023九年级上·安徽合肥·竞赛）对于函数 ，下列说法正确的有（ ）个
y=x2−2|x)−3
①图象关于y轴对称；
②有最小值−4；
③当方程 有两个不相等的实数根时， ；
x2−2|x)−3=m m>−3
13
④直线y=x+b与y=x2−2|x)−3的图象有三个交点时，− <b≤−3
4
A．1 B．2 C．3 D．4
易错考点14：图象法解一元二次不等式
27．（2022九年级上·浙江台州·竞赛）已知二次函数y=−x2+mx−1，其图像与y轴的交点记为C．
(1)当m=3时，记二次函数与x轴的交点为M，N，求△MNC的面积
(2)已知A(0,3)，B(3,0)，线段AB与二次函数有两个不同的交点，求实数m的取值范围．
(3)当1≤x≤2时，|−x2+mx−1|≤1恒成立，求实数m的取值范围．
28．（21-22九年级上·广西柳州·期中）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，图象过点A(3,0)，
对称轴为直线x=1，给出下面五个结论：①b2>4ac；②2a+b=1；③a−b+c=0；④b+c<0；⑤若
y<0，则−1<x<3.其中正确的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
易错考点15：利用不等式求自变量或函数值的范围
29．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数 ，一次函数
y =x2−5x+4 y =−2x+2
1 2
(1)求函数y 与y 的交点坐标；
1 2
(2)自变量x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
1
30．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数y= 的图象如图所示，与y轴交于(0,m)，且
ax2+bx+c
1<m<2．下列结论：
①abc<0；
②若 ， 两点均在此函数图象上，则 ；
(t,y ) (2−t,y ) y = y
1 2 1 2
③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根；
1 1
④− <a<− ．
3 6
其中正确结论有 （只需填写正确结论的序号）易错考点16：根据交点确定不等式的解集
31．（25-26九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数y=x2+4x+4．
(1)将y=x2+4x+4配方得_____；
(2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象（不需要列表）；
(3)当x为 时，y>0；
(4)−3<x<0时，直接写出y的取值范围是 ；
(5)当−3<x<a时，函数y的取值范围为0≤ y<16，则a的值为 ．
32．（24-25九年级上·全国·期中）如图，已知抛物线与 交于A(−1,0)、E(3,0)两点，与 轴交于点
B(0,3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线顶点D的坐标，及对称轴．
(3)根据图像回答：当x为何值时，函数值大于0．易错考点17：图形问题（实际问题与二次函数）
33．（2023·陕西·中考真题）某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底
部宽度OM=12米，顶点P到底部OM的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点M在x轴上．
其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是“川”字形内部支架（由线段AB，PN，DC构成），
点B，N，C在OM上，且OB=BN=NC=CM，点A，D在抛物线上，AB，PN，DC均垂直于OM；方
案二是“H”形内部支架（由线段A′B′，D′C′，EF构成），点B′，C′在OM上，且OB′=B′C′=C′M，点
A′，D′在抛物线上，A′B′，D′C′均垂直于OM，E，F分别是A′B′，D′C′的中点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由．
34．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外
墙长30m）围成一个矩形羊圈ABCD(BC>AB)并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料），设AB=xm，BC= ym．
(1)求y与x的关系式，并写出x的取值范围；
(2)请你设计方案使得矩形羊圈的面积S最大，并求出S的最大值．
易错考点18：图形运动问题（实际问题与二次函数）
35．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）在矩形ABCD中，AB=5cm,BC=6cm，点P从点A开始
沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．
如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
(2)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请
说明理由．
(3)是否存在t的值，使△BPQ的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．
36．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，△ABC和△≝¿都是边长为2的等边三角形，它们的
边BC、EF在同一条直线上，点C、E重合．现将△ABC在直线上向右移动，直至点B与F重合时，停止
移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随着x变化的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
易错考点19：拱桥问题（实际问题与二次函数）
37．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图是一座廊桥正中间最高的桥拱的示意图，其形状可近似看作抛物
线型．工作人员利用无人机经过多次测量，测得桥拱的最高点A到水面NC的距离为10m，距离左、右侧
桥墩(MN,BC)的水平距离均为15m，已知桥墩露出水面的高度BC=MN=1m，以NC所在直线为x轴，
垂直于NC且过最高点A的直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)为让游客能有更好的体验，工作人员计划在桥拱上悬挂灯带EF,ED,FG（灯带利用卡扣固定），使得
灯带EF与水面平行，ED=FG，且DE,FG均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距
离为1.5m，当灯带总长度(DE+EF+FG)最大时，求EF的长．
38．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽AB=12m时，桥洞顶部离水面4m．若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐
标系．
(1)请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式；
1 3 16
(2)如图2，若拱桥上的路面E−D−F也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：y=− x2+ x+ ．
20 5 5
①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离CD的长度；
②已知桥上路面起点E的横坐标为−2，请问：当水面上涨到水面宽度为10米时，点E在水平面的上方还
是下方？并说明理由．
易错考点20：销售问题（实际问题与二次函数）
39．（24-25九年级上·四川泸州·期中）某公司投入80万元（80万元只计入第一年成本）研发费成功研
发出一种新产品．公司按订单生产（产量＝销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此
产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=−x+26．
(1)求这种产品第一年的利润w（万元）与售价x（元/件）之间的函数关系式；
(2)若该产品第一年的利润为20万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？
(3)第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成
本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销
售量无法超过13万件．请计算该公司第二年的利润至少为多少万元．
40．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）某超市销售一种文具，进价为6元/件．售价为8元/件时，
当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥8，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)要使当天销售利润不低于200元，求当天销售单价所在的范围；
(3)若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元?并求出最大利润．
易错考点21：投球问题（实际问题与二次函数）
41．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣
杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示．
［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的
剖面图如图（3）所示，从A点击球，击球点是拋物线的最高点，点A到地面的距离AO=2.4m，球网上端
点B到地面的距离BC=1.55m，人与球网之间的距离OC=1.6m，假设两种击球路线都经过点B正上方
0.05m处的点D，网前吊球和扣杀球的落点分别为点E、F．
（1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式．
［模型应用］
（2）网前吊球的落点到球网的距离CE的长是_________m．
（3）甲在A处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36m/s．网前吊球时，羽毛球下降的高度ℎ(m)与
时间t(s)之间的关系式为ℎ=5t2．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至
少需要0.5s．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球．
42．（24-25九年级下·湖北武汉·期中）发石车（图1）是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹
操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车发射点P离地面高3米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙
的竖直截面为矩形ABCD，墙宽BC为2米，高CD为6米，点P与点B的水平距离为23米，以发射点P的正下方O点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，
其飞行路线可以近似看作抛物线 ．
y=a(x−15) 2+k
(1)若发射石块在空中飞行的最大高度为12米．
①求抛物线的函数解析式；
②石块能否飞越防御墙？
(2) 若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（包括点B,C），求出a的取值范围．
易错考点22：喷水问题（实际问题与二次函数）
43．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物
线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C
为该水流的落地点，且BD⊥OC，垂足为点D，OA=2m．若BD=6m，OD=2m，则OC的长为 ．
44．（2024·陕西·中考真题）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱
形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉
装置OB上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以OC所在直线为x轴，OB所在直
线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计）
已知：OA=1m，OB=2m，OC=3m，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y(m)与水平距离x(m)之间
1 1
的关系式分别是y=− x2+bx+c和y=− x2+bx+c′．
3 3
(1)求A喷头喷出的水流的最大高度；
(2)一名游人站在点D处，OD=4m．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的
点D处？
易错考点23：增长率问题（实际问题与二次函数）
45．（25-26九年级上·全国·课后作业）最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了
28.5亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（
）
A． B． C． D．
y=(1+x) 2 y=28.5x(1+x) y=28.5(1+x) 2 y=28.5+(1+x) 2
46．（24-25九年级上·海南海口·期末）某超市1月份的营业额为100万元，第一季度的营业额为y万元，
如果每月平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是（ ）
A． B．
y=100(1+x) 2 y=100+100×2x
C． D．
y=100+100×3x y=100[1+(1+x)+(1+x) 2)易错考点24：其他问题（实际问题与二次函数）
47．（2025·河北邯郸·模拟预测）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．琪琪家计划在自家
菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中AB,CD为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之
间的水平距离为8米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，建立如图1所示的平面直角坐标系，已
知骨架的一端固定在离地面4米的墙体A处，另一端固定在墙体D处，骨架最高点P到墙体AB的水平距离
为2米，且点P离地面的高度为4.25米．
(1)求该抛物线的解析式，并写出点D坐标；
(2)写出直线AD的解析式；
(3)为了大棚顶部更加稳固，琪琪爸爸计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段
AD,EF,GH三部分组成，其中点E，G在顶棚抛物线形骨架上，EF∥AB,GH∥AB，分别交AD于点
F、H，且EF=GH（EF在左侧）．当F、H间的水平距离为3米时，求EF的长；
(4)为了节约成本，支架调整为线段AD,EF两部分组成，如图3所示，直接写出求做这一个支架所需铝合
金材料的最大长度．
48．（2025·江苏徐州·中考真题）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走
的距离，记作ym；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作d m；刹车距离是指
1骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作d m．已知y=d +d ，d 与骑行速度成正比，d 与骑行速
2 1 2 1 2
度的平方成正比．当骑行速度为13km/h时，反应距离为2.6m，刹车距离为1m．
(1)若骑行速度为26km/h，则d =_______m，d =_______m；
1 2
(2)设骑行速度为xkm/h，求y关于x的函数表达式；
(3)当刹车距离为2m时，停车距离为多少（精确到0.1m）？（参考数据：❑√2≈1.41，❑√3≈1.73，
❑√5≈2.24）
易错考点25：面积问题（二次函数综合)
49．（24-25九年级上·天津和平·阶段练习）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(−2, 0)，点B的坐
标为 ，已知抛物线 经过三点 、 、 （ 为原点）
(1,−❑√3) y=ax2+bx+c(a≠0) A B O O
(1)求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标；
(2)在抛物线的对称轴上，是否存在点C，使△BOC的周长最小，若存在，求出点C的坐标，若不存在，
请说明理由；
(3)如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么△PAB是否有最大面积，若有，求出此时P点的坐标
及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果保留根号）
1
50．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）已知直线y= x+2分别交x轴、y轴于A、B两点，抛
21
物线y= x2+mx−2经过点A，和x轴的另一个交点为C．
2
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD面积的最大值；
(3)如图2，经过点M(−4,1)的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y轴于点E、F，求
OE·OF的值．
易错考点26：线段周长问题（二次函数综合）
51．（2024·湖北·模拟预测）如图，抛物线y=−x2+mx+n的图象与x轴交于A，B两点，且点B的坐标
是(3,0)，与y轴交于点D，且点D的坐标是(0,−3)．(1)求抛物线的解析式；
(2)BD与抛物线的对称轴交于点E，点P在抛物线上，且坐标为(m,n)(0<m<3)，求△PDE面积的最大
值；
(3)在（2）的条件下，点F是PD的中点，直接写出BF的值．
52．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数
y=ax2+bx(a<0)
与正比例函数y=kx的图象都经过点A(3,3)，点P为二次函数图象上点O与点A之间的一点，过点P作x轴
的垂线，交OA于点C，交x轴于点D．若点A为该二次函数的顶点，
(1)求二次函数的表达式；
(2)求线段PC长度的最大值．易错考点27：角度问题（二次函数综合)
53．（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交x
y=ax2+bx+4(a≠0)
轴于A、B(4,0)两点，与y轴交于点C，连接AC，若OC=2OA．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PM∥x轴交直线BC于点M，过点P作PN⊥BC于点
❑√2
N，若E为y轴上的一动点，F为该抛物线对称轴上的一动点．当PM+ PN取得最大值时，求
2
AF+EF+EP的最小值；
(3)将该抛物线沿AC方向平移❑√5个单位长度得到新抛物线y'，Q为新抛物线y'上的一个动点．当
∠QBC−∠ACO=45°时，请求出所有符合条件点Q的坐标，并写出其中一种情况的解答过程．1
54．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，直线y= x+c与x轴交于点B(4,0)，与y轴交于点C，抛
2
1
物线y= x2+bx+c经过点B，C，与x轴的另一个交点为A．
2
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点，求四边形ACPB面积最大时点P的坐标；
(3)若M是抛物线上一点，且∠MCB=∠ABC，请直接写出点M的坐标．
易错考点28：特殊三角形问题（二次函数综合）
55．（24-25九年级上·陕西商洛·期末）如图，已知抛物线y=ax²+bx−3（a、b为常数，且a≠0），
与x轴交于A(1，0)、B(−3，0)两点，与y轴交于点C．点P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），
过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接CD、DB，当△BDC的面积最大时，求△BDC面积的最大值以及此时点P的坐标；
(3)是否存在点P，使得△PCD是以PC为腰的等腰三角形，若存在，求出P点的坐标．若不存在，说明理
由．56．（2025·宁夏银川·三模）小明为了参加学校举办的“趣味数学”作品展，用铁丝摆成如图①中抛物
线的形状，并提出以下三个问题，请你解答：
(1)建立合适的平面直角坐标系，如图②，可知抛物线与x轴交于A(−3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点
C(0,3)，求抛物线的解析式；
(2)如图②，钢珠P可沿着铁丝在点A到点C的位置任意滑动，点A，C，P构成△ACP，试求△ACP面积
的最大值；
(3)若沿抛物线的对称轴再摆另一条铁丝MN（MN足够长），钢珠Q可以沿着铁丝MN在x轴上方上下滑
动，点Q,A,C构成△QAC，是否存在某一时刻，使△QAC为等腰三角形．若存在，请直接写出符合条件
的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．易错考点29：特殊四边形（二次函数综合）
57．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线 的图象经过 ， 两
y=ax2+bx+c(a≠0) A(1,0) B(3,0)
点，与y轴交于点C(0,6)，M是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式和顶点M的坐标；
(2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为Q，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使以A，
P，Q，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点Q的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请
说明理由．2
58．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）如图，抛物线y=− x2+bx+c与x轴交于 A(−1,0)， B 两点
3
（点 A 在点 B 的左侧）， 与y轴交于点C(0,2)，直线 CD:y=−x+2与x轴交于点 D，动点M在抛物
线上运动，过点 M 作MP⊥x轴，垂足为P，交直线CD于点 N．
(1)求抛物线的解析式；
(2)E是抛物线对称轴与x轴交点，点F是x轴上一动点，在M 运动过程中，若C、E、F、M为顶点的四边
形是平行四边形时，请求出满足条件的点F的坐标．
