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第22章 二次函数（易错题考点集训）
【29个高频易错考点 共58题】
易错考点01：根据二次函数的定义求参数..............................................................................................................2
易错考点02：y=ax²的图象和性质..............................................................................................................................2
易错考点03：y=ax²+k的图象和性质.........................................................................................................................3
易错考点04：y=a (x-h）²的图象和性质.................................................................................................................3
易错考点05：y=a (x-h) ²+k的图象和性质............................................................................................................4
易错考点06：y=ax²+bx+c的图象与性质..................................................................................................................4
易错考点07：二次函数图象与各项系数符号..........................................................................................................5
易错考点08：根据二次函数的图象判断式子符号................................................................................................6
易错考点09：y=ax²+bx+c的最值................................................................................................................................6
易错考点10：利用二次函数对称性求最短路径.....................................................................................................7
易错考点11：待定系数法求二次凼数解析式..........................................................................................................9
易错考点12：抛物线与x轴的交点问题.................................................................................................................10
易错考点13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况................................................................................10
易错考点14：图象法解一元二次不等式.................................................................................................................11
易错考点15：利用不等式求自变量或函数值的范围.........................................................................................12
易错考点16：根据交点确定不等式的解集............................................................................................................13
易错考点17：图形问题（实际问题与二次函数）..............................................................................................14
易错考点18：图形运动问题（实际问题与二次函数）.....................................................................................15
易错考点19：拱桥问题（实际问题与二次函数）..............................................................................................16
易错考点20：销售问题（实际问题与二次函数）..............................................................................................17
易错考点21：投球问题（实际问题与二次函数）..............................................................................................18
易错考点22：喷水问题（实际问题与二次函数）..............................................................................................19
易错考点23：增长率问题（实际问题与二次函数）.........................................................................................20
易错考点24：其他问题（实际问题与二次函数）..............................................................................................21
易错考点25：面积问题（二次函数综合)..............................................................................................................22
易错考点26：线段周长问题（二次函数综合）...................................................................................................23
易错考点27：角度问题（二次函数综合)..............................................................................................................25
易错考点28：特殊三角形问题（二次函数综合）..............................................................................................26易错考点29：特殊四边形（二次函数综合）.......................................................................................................28
易错考点01：根据二次函数的定义求参数
1．（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）已知 是关于 的二次函数．求 的值
y=−(m+1)xm2−m+5x x m
及函数表达式．
2．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）若函数 是关于 的二次函数．则常数
y=(m−2)xm2−m+x−1 x
m的值是（ ）
A．1 B．−1 C．2 D．2或−1
易错考点02：y=ax²的图象和性质
1
3．（24-25九年级上·全国·单元测试）在同一坐标系中画出y =2x2,y =−2x2,y = x2的图象，正确
1 2 3 2
的是（ ）
A． B．
C． D．
1 1 1
4．（25-26九年级上·北京·课后作业）在同一平面直角坐标系中作出y= x2、y=− x2和y= x2的
2 2 4图象．
易错考点03：y=ax²+k的图象和性质
1
5．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线y= x2+1（如图所示）．
4
(1)填空：抛物线的顶点坐标是（______，______），对称轴是______；
(2)已知y轴上一点A(0,2)，点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，
求点P的坐标．
m
6．（2025·广东江门·三模）已知 <0，m(n+1)>0，则y关于x的二次函数y=mx2+n的图象可能是
n
（ ）
A． B． C． D．
易错考点04：y=a (x-h）²的图象和性质
7．（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）若点 ， 在抛物线 上，则 ，
A(−1,y ) B(2,y ) y=−(x+2) 2 y
1 2 1
y 的大小关系是（ ）
2
A．y >y B．y ≥ y C．y 0) AB
横坐标最小值为−6，则点D的横坐标最大值为（ ）
A．−3 B．−2 C．2 D．5
易错考点06：y=ax²+bx+c的图象与性质
11．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数y=2x2+bx+c经过点(3,0)，对称轴是直线
x=1．
(1)求二次函数的解析式；
(2)自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大．12．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，二次函数 的图象过点 ，
y=ax2+bx+c(a≠0) (−1,0)
抛物线的对称轴是直线x=1，顶点在第一象限，给出下列结论：①ab<0；②4a+2b+c>0；③3a+c>0；
④若 、 （其中 ）是抛物线上的两点，且 ，则 ．其中正确的结论
A(x ,y ) B(x ,y ) x 0；③a+c=1；④a>1．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
14．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，
过A(−1,0)，B(m,0)两点，且10
②若m=2时，则2a+c<0
若方程 有四个根，且四个根和为 ，则
③ |ax2+bx+c)=1 s 0y >y
1 2 3 3 2 1
1
则n的取值范围是00 b2−4ac>0 9a−3b+c=0 (−0.5,y ),(−2,y₂)
1
上，则y >y ；⑤5a−2b<0．其中正确的个数有（ ）
1 2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
16．（22-23九年级上·四川广安·期中）已知，二次函数y=ax2+bx+c图象如图所示，其中对称轴为直
线x=1，则下列结论正确的是（ ）
①abc>0；②2a+b=0；③4a+2b+c>0；④a+b≥m(am+b)（其中m为任意实数）
A．①② B．①③④ C．②③ D．②③④
易错考点09：y=ax²+bx+c的最值
17．（24-25九年级上·黑龙江七台河·期末）二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）部分图象
b
如图所示，对称轴为直线x=−1，则下列结论：① >0；②am2+bm≤a−b（m是任意实数）；③
c；④ ；⑤若 是抛物线上不同的两个点，则 ；其中
3a+c<1 4a−2b+c>0 M(x ,y),N(x ,y) x +x ≤−3
1 2 1 2
正确结论是（ ）
A．②③④ B．②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
18．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）平面直角坐标系中，已知抛物线 ．
y=ax2−4a2x(a≠0)
(1)当a=2时，
①直接写出抛物线的解析式；
②求抛物线的顶点坐标；
(2)在（1）的条件下，将该抛物线关于y轴对称后，得到新的二次函数的图象．当5≤x≤0时，请分别求
出变换后新二次函数的最大值与最小值．
(3)已知 ， 为抛物线上的两点，若 ， ， ，试判断 与 的大小，
P(x ,y ) Q(x ,y ) x <2a x >2a x +x =5a y y
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
并说明理由．
易错考点10：利用二次函数对称性求最短路径
19．（2025九年级上·浙江·专题练习）已知抛物线y=ax2+bx−4与x轴相交于点A(−1,0),B(−4,0)，
与y轴相交于点C．(1)求抛物线的表达式；
PA
(2)如图，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求 的值；
PC
20．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线
与y轴相交于点 ，且抛物线的对称轴为直线 ．给出以下4个结论：①
y=ax2+bx+c(a≠0) A(0,2) x=−1
abc<0；②对于任意实数m，am2+bm+c+a的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则OP+AP的最
小值为 ；④若点 在抛物线上，满足 且 ，则一定有 ．其中，
2❑√2 (x ,y ),(x ,y ) x 0 y 0 a+b+c≥ax2+bx+c M(x2+1,y )
1
为函数图像上的两点，则 ，其中正确的是（ ）
N(x2+2,y ) y −b；③多项式ax2+bx+c可因
式分解为(x+1)(x−5)；④当m>−9a时，关于x的方程ax2+bx+c=m无实数根．其中正确的个数有
（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
26．（2023九年级上·安徽合肥·竞赛）对于函数 ，下列说法正确的有（ ）个
y=x2−2|x)−3
①图象关于y轴对称；
②有最小值−4；
③当方程 有两个不相等的实数根时， ；
x2−2|x)−3=m m>−3
13
④直线y=x+b与y=x2−2|x)−3的图象有三个交点时，− 4ac；②2a+b=1；③a−b+c=0；④b+c<0；⑤若
y<0，则−10；
(4)−3AB)并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料），设AB=xm，BC= ym．
(1)求y与x的关系式，并写出x的取值范围；
(2)请你设计方案使得矩形羊圈的面积S最大，并求出S的最大值．
易错考点18：图形运动问题（实际问题与二次函数）
35．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）在矩形ABCD中，AB=5cm,BC=6cm，点P从点A开始
沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．
如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
(2)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请
说明理由．
(3)是否存在t的值，使△BPQ的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．
36．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，△ABC和△≝¿都是边长为2的等边三角形，它们的
边BC、EF在同一条直线上，点C、E重合．现将△ABC在直线上向右移动，直至点B与F重合时，停止
移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随着x变化的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
易错考点19：拱桥问题（实际问题与二次函数）
37．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图是一座廊桥正中间最高的桥拱的示意图，其形状可近似看作抛物
线型．工作人员利用无人机经过多次测量，测得桥拱的最高点A到水面NC的距离为10m，距离左、右侧
桥墩(MN,BC)的水平距离均为15m，已知桥墩露出水面的高度BC=MN=1m，以NC所在直线为x轴，
垂直于NC且过最高点A的直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)为让游客能有更好的体验，工作人员计划在桥拱上悬挂灯带EF,ED,FG（灯带利用卡扣固定），使得
灯带EF与水面平行，ED=FG，且DE,FG均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距
离为1.5m，当灯带总长度(DE+EF+FG)最大时，求EF的长．
38．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽AB=12m时，桥洞顶部离水面4m．若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐
标系．
(1)请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式；
1 3 16
(2)如图2，若拱桥上的路面E−D−F也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：y=− x2+ x+ ．
20 5 5
①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离CD的长度；
②已知桥上路面起点E的横坐标为−2，请问：当水面上涨到水面宽度为10米时，点E在水平面的上方还
是下方？并说明理由．
易错考点20：销售问题（实际问题与二次函数）
39．（24-25九年级上·四川泸州·期中）某公司投入80万元（80万元只计入第一年成本）研发费成功研
发出一种新产品．公司按订单生产（产量＝销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此
产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=−x+26．
(1)求这种产品第一年的利润w（万元）与售价x（元/件）之间的函数关系式；
(2)若该产品第一年的利润为20万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？
(3)第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成
本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销
售量无法超过13万件．请计算该公司第二年的利润至少为多少万元．
40．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）某超市销售一种文具，进价为6元/件．售价为8元/件时，
当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥8，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)要使当天销售利润不低于200元，求当天销售单价所在的范围；
(3)若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元?并求出最大利润．
易错考点21：投球问题（实际问题与二次函数）
41．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣
杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示．
［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的
剖面图如图（3）所示，从A点击球，击球点是拋物线的最高点，点A到地面的距离AO=2.4m，球网上端
点B到地面的距离BC=1.55m，人与球网之间的距离OC=1.6m，假设两种击球路线都经过点B正上方
0.05m处的点D，网前吊球和扣杀球的落点分别为点E、F．
（1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式．
［模型应用］
（2）网前吊球的落点到球网的距离CE的长是_________m．
（3）甲在A处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36m/s．网前吊球时，羽毛球下降的高度ℎ(m)与
时间t(s)之间的关系式为ℎ=5t2．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至
少需要0.5s．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球．
42．（24-25九年级下·湖北武汉·期中）发石车（图1）是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹
操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车发射点P离地面高3米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙
的竖直截面为矩形ABCD，墙宽BC为2米，高CD为6米，点P与点B的水平距离为23米，以发射点P的正下方O点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，
其飞行路线可以近似看作抛物线 ．
y=a(x−15) 2+k
(1)若发射石块在空中飞行的最大高度为12米．
①求抛物线的函数解析式；
②石块能否飞越防御墙？
(2) 若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（包括点B,C），求出a的取值范围．
易错考点22：喷水问题（实际问题与二次函数）
43．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物
线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C
为该水流的落地点，且BD⊥OC，垂足为点D，OA=2m．若BD=6m，OD=2m，则OC的长为 ．
44．（2024·陕西·中考真题）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱
形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉
装置OB上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以OC所在直线为x轴，OB所在直
线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计）
已知：OA=1m，OB=2m，OC=3m，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y(m)与水平距离x(m)之间
1 1
的关系式分别是y=− x2+bx+c和y=− x2+bx+c′．
3 3
(1)求A喷头喷出的水流的最大高度；
(2)一名游人站在点D处，OD=4m．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的
点D处？
易错考点23：增长率问题（实际问题与二次函数）
45．（25-26九年级上·全国·课后作业）最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了
28.5亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（
）
A． B． C． D．
y=(1+x) 2 y=28.5x(1+x) y=28.5(1+x) 2 y=28.5+(1+x) 2
46．（24-25九年级上·海南海口·期末）某超市1月份的营业额为100万元，第一季度的营业额为y万元，
如果每月平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是（ ）
A． B．
y=100(1+x) 2 y=100+100×2x
C． D．
y=100+100×3x y=100[1+(1+x)+(1+x) 2)易错考点24：其他问题（实际问题与二次函数）
47．（2025·河北邯郸·模拟预测）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．琪琪家计划在自家
菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中AB,CD为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之
间的水平距离为8米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，建立如图1所示的平面直角坐标系，已
知骨架的一端固定在离地面4米的墙体A处，另一端固定在墙体D处，骨架最高点P到墙体AB的水平距离
为2米，且点P离地面的高度为4.25米．
(1)求该抛物线的解析式，并写出点D坐标；
(2)写出直线AD的解析式；
(3)为了大棚顶部更加稳固，琪琪爸爸计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段
AD,EF,GH三部分组成，其中点E，G在顶棚抛物线形骨架上，EF∥AB,GH∥AB，分别交AD于点
F、H，且EF=GH（EF在左侧）．当F、H间的水平距离为3米时，求EF的长；
(4)为了节约成本，支架调整为线段AD,EF两部分组成，如图3所示，直接写出求做这一个支架所需铝合
金材料的最大长度．
48．（2025·江苏徐州·中考真题）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走
的距离，记作ym；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作d m；刹车距离是指
1骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作d m．已知y=d +d ，d 与骑行速度成正比，d 与骑行速
2 1 2 1 2
度的平方成正比．当骑行速度为13km/h时，反应距离为2.6m，刹车距离为1m．
(1)若骑行速度为26km/h，则d =_______m，d =_______m；
1 2
(2)设骑行速度为xkm/h，求y关于x的函数表达式；
(3)当刹车距离为2m时，停车距离为多少（精确到0.1m）？（参考数据：❑√2≈1.41，❑√3≈1.73，
❑√5≈2.24）
易错考点25：面积问题（二次函数综合)
49．（24-25九年级上·天津和平·阶段练习）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(−2, 0)，点B的坐
标为 ，已知抛物线 经过三点 、 、 （ 为原点）
(1,−❑√3) y=ax2+bx+c(a≠0) A B O O
(1)求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标；
(2)在抛物线的对称轴上，是否存在点C，使△BOC的周长最小，若存在，求出点C的坐标，若不存在，
请说明理由；
(3)如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么△PAB是否有最大面积，若有，求出此时P点的坐标
及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果保留根号）
1
50．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）已知直线y= x+2分别交x轴、y轴于A、B两点，抛
21
物线y= x2+mx−2经过点A，和x轴的另一个交点为C．
2
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD面积的最大值；
(3)如图2，经过点M(−4,1)的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y轴于点E、F，求
OE·OF的值．
易错考点26：线段周长问题（二次函数综合）
51．（2024·湖北·模拟预测）如图，抛物线y=−x2+mx+n的图象与x轴交于A，B两点，且点B的坐标
是(3,0)，与y轴交于点D，且点D的坐标是(0,−3)．(1)求抛物线的解析式；
(2)BD与抛物线的对称轴交于点E，点P在抛物线上，且坐标为(m,n)(0
