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专题 04 二次函数的图象和性质的五类综合题型
目录
典例详解
类型一、二次函数的图象和性质
类型二、画二次函数y=ax²+bx+c的图象
类型三、已知二次函数上对称的两点求对称轴
类型四、利用二次函数的性质比较大小
类型五、根据二次函数的增减性求最值
压轴专练
类型一、二次函数的图象和性质
1. 二次函数的开口方向、对称轴、顶点
函数 y=ax2 +bx+c y=ax2 +bx+c
（ ） （ ）
图象的开口方向 向上 向下
对称轴
直线 直线
顶点坐标
2. 二次函数的增减性
函数 y=ax2 +bx+c y=ax2 +bx+c
（ ） （ ）
当 时， 随 的增大而增大；
增减性 当 时， 随 的增大而减小；
当 时， 随 的增大而增大； 当 时， 随 的增大而减小；
3. 二次函数的最值
函数 y=ax2 +bx+c y=ax2 +bx+c
（ ） （ ）
最值
当 时， 有最小值 当 时， 有最大值，
，
无最大值； 无最小值.
例1．关于函数 ，下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小值为0 B．图象与 的交点为
C．图象是轴对称图形，对称轴为直线 D．图象与 轴没有交点
【变式1-1】关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线
C．函数的最小值为 D．当 时，y随x增大而增大
【变式1-2】已知二次函数 ，下列说法： 其图象的开口向下； 其图象的对称轴为直
线 ； 其图象顶点坐标为 ； 当 时，y随x的增大而增大．其中说法正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式1-3】已知二次函数 的y与x的部分对应值如下表，则下列判断中错误的是（ ）
x … 0 2 3 4 …
y … 5 0 0 …
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴是直线
C．当 时，
D．若 ， 是图象上两点，则
类型二、画二次函数y=ax²+bx+c的图象
b
1. 列表取值：先确定二次函数y = ax2+bx + c（a≠0），选取关于对称轴x=- 对称的自变量x的
2a值，代入函数计算出对应的y值，形成坐标点列表。
2. 描点连线：将列表中的坐标点在平面直角坐标系中准确描出，再用平滑曲线按自变量从小到大顺序
依次连接各点，得到二次函数图象。图象是抛物线，a>0开口向上，a<0开口向下 。
例2．（24-25九年级上·北京·期中）已知：二次函数 中的x和y满足表：
x … 0 1 2 3 …
… 3 0 0 m …
(1)m的值为______；
(2)直接写出这个二次函数的顶点式，并画出它的图象；
(3)当 时，结合图象直接写出y的取值范围；
(4)对于正比例函数 ，当 时，总有 ，直接写出k的取值范围．
【变式2-1】已知二次函数 ．
(1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象；
x … 0 1 2 3 …
y … 0 3 …
(2)根据图象回答： 时，x的取值范围是_____________；
(3)根据图象回答：当 时，y的取值范围是_____________．
x … 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
【变式2-2】（24-25九年级上·甘肃平凉·期中）我们一般会通过列表、描点、连线的方式来画函数图像，
并结合图像研究函数的性质．请按要求完成对二次函数 的研究．(1)列表：
…
…
… …
其中， _______．
根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数 的图像．
(2)根据函数图像，下列关于该函数性质的说法正确的有：_______（填序号）
①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴是 轴；②该函数有最小值，没有最大值；
③当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；④当 时， 的值为1．
【变式2-3】（24-25九年级上·天津南开·期中）已知二次函数 （ ， 为常数， ），
其图象与 轴交于点 ， （ 在 的左侧），与 轴交于点 ，顶点为 ，且图象的对称轴为直线
．(1)求二次函数解析式及顶点 的坐标；
(2)请在给出的平面直角坐标系中，画出三次函数 的图象；
(3)连接 ， ，根据图象直接回答问题：
面积为______；
关于 的方程 的解为______；
若该二次函数图象上有两点 和 ，则 ______ （从符号 ， ， ， ， 中选择
一个填空）；
当 时，则 的取值范围是______．
类型三、已知二次函数上对称的两点求对称轴
二次函数的开口方向、对称轴、顶点
函数 y=ax2 +bx+c y=ax2 +bx+c
（ ） （ ）
图象的开口方向 向上 向下对称轴
直线 直线
顶点坐标
例3．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）某二次函数的图象过点 ， 利 ，则此二次函数的
图象的对称轴为 ．
【变式3-1】若二次函数 的图象经过 、 两点，则这个函数图象的对称轴为
．
【变式3-2】（23-24九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数 的 的部分对应值如下表：
… …
… …
则该二次函数图象的对称轴为直线 ．
【变式3-3】如图，抛物线 与 轴相交于点 、 与 轴相交于点 ，点 在该抛
物线上，点 的坐标为 ，则点 的横坐标是 ．
类型四、利用二次函数的性质比较大小
二次函数的增减性函数 y=ax2 +bx+c y=ax2 +bx+c
（ ） （ ）
当 时， 随 的增大而增大；
增减性 当 时， 随 的增大而减小；
当 时， 随 的增大而增大； 当 时， 随 的增大而减小；
例4．若点 为二次函数 图象上的三点，则 的大小关
系为 ．
【变式4-1】若点 ， ， 均在二次函数 的图象上，则 ， ， 的
大小关系是 ． （用“<”连接）
【变式4-2】（24-25八年级上·上海·期中）已知点 和 在二次函数
图象上，则 ．（填 或 ）
【变式4-3】（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，已知抛物线经过点 和 ，如果点
与 在此抛物线上，那么 （填“ ”“ ”或“ ”）．
类型五、根据二次函数的增减性求最值
二次函数的最值
函数 y=ax2 +bx+c y=ax2 +bx+c
（ ） （ ）当 时， 有最大值
最值 当 时， 有最小值
，
，
无最大值； 无最小值.
例5．已知二次函数 ，当 时，此时函数的最小值是 ．
【变式5-1】已知二次函数 ，当 时，函数的最大值为 ．
【变式5-2】已知二次函数 ，当 时，y的最大值为4，则k的值为 ．
【变式5-3】已知二次函数
（1）若 则函数 的最大值为 ．
（2）若当 时， 的最大值为5，则 的值为 ．
一、单选题
1．已知抛物线 ，下列结论中错误的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线
C．当 时，y取最大值3
D．当 时，y随x的增大而增大
2．关于二次函数 ，下列说法错误的是（ ）
A．图象开口向下 B．图象与y轴的交点为
C．当 时，y随x的增大而增大 D．函数值有最小值3．若二次函数 的图象经过点 ， ， ，则下列大小关系正确的是
（ ）
A． B． C． D．
4．已知二次函数 的自变量 与函数 的几组对应值如下表：
… 0 1 3 5 …
… 5 0 12 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A． B．函数图象开口向下
C．当 时， 随 的增大而减小 D． 的最小值是
5．已知抛物线 ，当 时， 的最大值与最小值之和为 ，则 的值为（ ）
A． B． 或 C． D．
二、填空题
6．将二次函数 化为顶点式 ，其顶点坐标是 ．
7．已知二次函数 、且有 、则 、 按从大到小的顺
序排列为 ．
8．已知函数 ，若函数在 上的最大值是 ，则 的值为 ．
9．抛物线 经过点 ．
（1）若 ，则该抛物线的对称轴是直线 ．
（2）若对于 ，都有 ，则 的取值范围是 ．
10．已知抛物线 的图象如图所示，有下列结论：
① ；
②二次函数图象的对称轴是直线 ；③当 时，y随x的增大而减小；
④方程 的解为 ， ．
其中正确的结论有 ．
三、解答题
11．已知二次函数 的图象经过点 ， ．
(1)试确定此二次函数的解析式；
(2)请判断点 是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 和点 ，顶点为 ．
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式；
(2)当 时，求自变量 的取值范围．
13．如下图，已知抛物线 ．(1)在平面直角坐标系中画出该抛物线．
(2)该抛物线开口向_________，对称轴是直线_________，顶点坐标是_________，有最_________值，最值
为_________，当x_________时，函数y随x的增大而增大．
(3)画出该抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位后的图象，并写出平移后对应的函数表达式．
14．在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ．
(1)若 ，求a的值；
(2)已知点 和 是抛物线上的两个点，其中 ．若 且 时，比较 ，
的大小，并说明理由．
15．已知某抛物线的解析式为 ， 为实数．
(1)若该抛物线经过点 ，求此抛物线的顶点坐标．
(2)如果当 时， 的最大值为4，求 的值．
16．已知二次函数
(1)若该二次函数图象过点 ，求a的值．
(2)请直接写出此抛物线的对称轴．
(3)当 时，y的最大值是6，求a的值．
17．在平面直角坐标系中，已知抛物线 ．
(1)若抛物线对称轴为直线 ，求顶点坐标；(2)已知 ， 是抛物线上两点，当 且 时．都有 ，求m的取值范围；
(3)当 时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求m的值．
18．在平面直角坐标系中，点 ，点 ，抛物线 （ ， 为常数， ）的顶点
为 ．
(1)当抛物线经过点A， 时，求点 的坐标；
(2)若 ，抛物线上的点 的横坐标为 ，且 ．
（i）求 的长；
（ii）当 时，平移抛物线 ，使其顶点仍在直线 上，求平移后所得抛物线与 轴交
点纵坐标的最大值．
19．已知二次函数 的对称轴为直线 ．
(1)若抛物线 经过点 ．
①求 的值．
②若抛物线与 轴交于点 ，将抛物线沿直线 翻折，得到的新抛物线的顶点到 轴的距离为1，求 的
值．
(2)对于抛物线上的任意两点 ， ，对于 ， 都有 ，求 的取值范围．
20．已知抛物线 的对称轴为直线 ．
(1)若点 在抛物线上，求 的值；
(2)若点 ， 在抛物线上，
①当 时，求 的取值范围；
②若 ，且 ，求 的取值范围．
