文档内容
专题 21.10 一元二次方程（全章知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点1】一般形式：
ax2 +bx+c=0（其中
是未知数， 是已知数， ）.
【知识点2】一元二次方程的解法：
（1）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.
（2）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法.
【知识点3】一元二次方程的根的判别式：Δ=b2 −4ac
（1）当 时⇔方程有两个不相等的实数根；
（2） 当 时⇔方程有两个相等的实数根；
（3）当 时⇔方程没有实数根；
（4）当 时⇔方程有两个实数根
【知识点4】一元二次方程根与系数的关系
b c
x +x =− x ⋅x =
若 x 1 ,x 2是一元二次方程 ax2 +bx+c=0的两个根，则 1 2 a, 1 2 a.
【知识点5】实际问题与一元二次方程
（1）列一元二次方程解应用题步骤：
① 审：审的目的找等量关系，注意找关键词；
② 设：有直接设法与间接设法，注意要带单位；
③ 列：由等量关系列出方程，注意方程两边单位要一致；
④ 解：用适当的方法解一元二次方程；
⑤ 检：一是检验是否正确，二是结合实际是否有意义；
⑥ 答：写出实际问题的答案。
（2）常见实际问题的数量关系
① 传播问题：传染源+第一轮传染+第二轮传染=两轮传染总数；
② 增长（降低）率问题：平均增长率公式； （x是平均增长率，n增长次
数）③ 几何问题：涉及三角形全等，勾股定理，各种规则图形面积公式，动点问题等等；
④ 数字问题：主要与数字与位数的关系；比如：两位数=十位数字 10+个位数字；
⑤ 商品销售问题：利润=售价-进价；售价=进价 （1+利润率）；总利润=总售价-总成
本=单件利润 总销量等等
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】一元二次方程及相关概念
【例1】（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）若 ，求证： 必是该方程的一个根；
（2）当 之间的关系是___________时，方程必有一个根是 ？
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，理解解的含义是解本题的关键；
（1）由 ，可得 ，从而可得答案；
（2）由 时，可得 ，从而可得答案．
（1）解：∵ ，
∴ ，
∴当 时， ，
∴当 时，方程 成立，
∴ 是方程 的一个解，
（2）∵ 时，有 ，
∴当 时，方程 必有一个根是 ．
【举一反三】
【变式1】（2023·河南平顶山·一模）若关于 的一元二次方程 的一个根为 ，
则 的值为（ ）
A． B． C． D． 或【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，把 代入一元二次方程可得 ，
又根据 可得 ，进而求解，掌握一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义是解题的
关键．
解：∵关于 的一元二次方程 的一个根为 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
【变式2】（2024·重庆·一模）已知m为方程 的一个根，则代数式 的值为
．
【答案】9
【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值，解题关键是运用整体代入思想进行解题．先将m代
入方程得 ，再将 代入 变形后的式子进行化简求值即可．
解：根据题意得： ，
．
故答案为：9．
【题型2】选择合适（指定）的方法解一元二次方程
【例2】（23-24九年级上·湖北黄冈·阶段练习）用合适的方法解方程．(1) ； (2) ．
【答案】(1) ， ； (2) ，
【分析】（1）先整理成一般式，再用因式分解法求解即可；（2）直接用公式法求解即可
（1）解： ，
整理得： ，
，
或 ，
， ；
（2）解：
，
，
解得： ， ；
【点拨】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法和公式法是关键．
【举一反三】
【变式1】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）按照指定方法解下列方程：
(1) （用直接开平方法）； (2) （用配方法）
(3) （用求根公式法） (4) （用因式分解法）
【答案】(1) ； (2) ；(3) ；(4)
（1）解：
开平方得， ，∴ 或 ，
解得 ；
（2）
解：原方程整理得 ．
二次项系数化1，得： ，
配方，得： ，即 ，
两边开平方，得 ，
∴ ．
（3）
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（4）
移项得， ，
因式分解得， ，
∴ 或 ，
解得
【点拨】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键．【变式2】（22-23九年级上·全国·单元测试）用指定方法解下列方程：
(1)2x2-5x+1＝0（公式法）； (2)x2-8x+1＝0（配方法）．
【答案】(1)x＝ ，x＝ ；(2)x＝4+ ，x＝4-
1 2 1 2
【分析】（1）根据公式法，可得方程的解；
（2）根据配方法，可得方程的解．
（1）解：∵a＝2，b＝-5，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝(-5)2-4×2×1＝17，
∴x＝ ，
∴x＝ ，x＝ ．
1 2
（2）解：移项得 ，
并配方，得 ，
即(x-4)2＝15，
两边开平方，得x＝4± ，
∴x＝4+ ，x＝4- ．
1 2
【点拨】本题考查了解一元二次方程，配方法解一元二次方程的关键是配方，利用公式法解方程要利用
根的判别式．
【题型3】配方法的应用
【例3】（23-24九年级下·河北邯郸·期中）老师在黑板上给出一道题：“已知A为整式，且
”．
（1）求整式A；
（2）嘉淇说：“整式A的值不可能是正数．”请结合（1）的结果分析嘉淇的说法是否正确．
【答案】(1) ； (2)嘉淇的说法正确．【分析】本题考查整式的加减，配方法的应用．解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法．
（1）根据 ，去括号，合并同类项即可求解；
（2）利用完全平方公式把整式A配方成 ，据此求解即可．
（1）解：
；
（2）解：
，
，
，
即整式A的值总小于或等于0，不可能是正数，
嘉淇的说法正确．
【举一反三】
【变式1】（22-23八年级下·广西南宁·期末）如图，在直角坐标系中，点 和点 在
轴上，点 在 轴负半轴上， ，当线段 最长时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据A、B点的坐标，表示出 的长，再根据配方法确定出 的最小值；然后再根据三角形
的面积可得 的最大值，再根据点M在x轴负半轴解答．
解：∵点 和点 ，
∴ ，
∴ 的最小值为1，此时 最长，
∴ ，
解得 ．
又∵点M在x轴负半轴，
∴点M的坐标为 ．
故选：D．
【点拨】本题考查配方法的应用，解题的关键是根据三角形的面积判断出 最小时， 最长．
【变式2】（21-22九年级下·山东临沂·阶段练习）若实数 ， 满足等式 ，则
．
【答案】
【分析】利用因式分解法解 ，求出 ，进而求出 ，再代入代数式求值即可．
解：
，
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．【题型4】根的判别式
【例4】（2024·北京石景山·二模）已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为 ， ，且 ．若 ，求m的值．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，求出出 ，即可证明结论成立；
（2）首先求出 ， ，然后根据 得到 ，然后求解即可．
本题考查了根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当 时，方
程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根．
（1）证明：依题意，得 ，
此方程有两个不相等的实数根；
（2）解： ，
，
解得 ，
∵ ，
， ，
，
，
．
【举一反三】
【变式1】（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 有两个实数
根，则 的取值范围是（ ）
A． 且 B． 且 C． D．【答案】B
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解答此题的关键．
根据题意得出 且 ，求出 的取值范围即可．
解： 关于 的一元二次方程 有两个实数根，
且 ，
解得 且 ，
故选： ．
【变式2】（2024·广东广州·一模）已知： ．
（1）化简 ；
（2）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，求 的值．
【答案】(1) ； (2)
【分析】本题考查了分式的混合运算，一元二次方程根的判别式，掌握相关运算法则是解题关键
（1）先将除法化为乘法约分，再通分计算减法即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式，求得 或 ，再结合分母不为0，得到 ，代入计算求出
的值即可．
（1）解：
；
（2）解： 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，，
解得： 或 ，
，
，
，
【题型5】根与系数的关系与根的判别式综合
【例5】（2024·甘肃天水·三模）已知关于 的方程 有两个不相等的实数根 ， ．
（1）求 的取值范围；
（2）若 ，求 的值．
【答案】(1) ； (2)
【分析】（1）根据方程 有两个不相等的实数根，得出 ，列出不等式
求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出 ， ，然后代入 ，
列出方程求解即可．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当
时，方程没有实数根；以及一元二次方程 根与系数关系：
．
（1） 关于 的方程 有两个不相等实数根 ， ，
，
；（2） ， ， ，
，
，
，
解得： 或 或 ，
，
．
【举一反三】
【变式1】（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 有两个不
相等的实数根 ， ．
（1）求 的取值范围；
（2）若 ， 满足 ，求 的值．
【答案】(1) ； (2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，韦达定理，熟悉掌握此公式是解题的关键．
（1）利用根的判别式进行运算求解即可；
（2）利用韦达定理表示出 ， ，化简 后，代入运算即可．
（1）解：∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
，
解得 ，
即 的取值范围为 ；
（2）∵ ， 是方程 的两个根，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
【变式2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知关于 的一元二次方程 有两
个实数根 ， ．
（1）求实数 的取值范围；
（2）若方程的两实数根 ， 满足 ，求 的值．
【答案】(1) ； (2)
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．
（1）先把方程化为一般式得到 ，根据根的判别式的意义得到 ，
然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到 ， ，则 ，利用（1）的 的范围去
绝对值后解方程得到 的值，然后根据（1）中 的范围确定k的值．
解题的关键是掌握：若 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则 ，
．也考查了一元一次不等式及一元二次方程的解法．
（1）解： ，
整理得： ，∵该方程有两个实数根 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴实数 的取值范围是 ；
（2）∵ ， 是方程 的两实数根，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 可化简为： ，
∴ ，
解得： （不合题意，舍去）， ，
∴ 的值为 ．
【题型6】实际问题与一元二次方程
【例6】（2024八年级下·浙江·专题练习）2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆
红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20
件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使
销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？
【答案】(1)月平均增长率是 ； (2)售价应降低20元【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设月平均增长率是 ，利用3月份的销售量 月份的销售量 月平均增长率） ，即可得出关于
的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设售价应降低 元，则每件的销售利润为 元，每天的销售量为 件，利用每天销
售该公仔获得的利润 每件的销售利润 日销售量，即可得出关于 的一元二次方程，解之即可求出 的
值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低20元．
（1）设月平均增长率是 ，
依题意得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
答：月平均增长率是 ．
（2）设售价应降低 元，则每件的销售利润为 元，每天的销售量为 件，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ．
又 要尽量减少库存，
．
答：售价应降低20元．
【举一反三】
【变式1】（2024·陕西渭南·二模）现有可建60米长围墙的建筑材料，如图，利用该材料在某工地的直
角墙角处围成一个矩形堆物场地 （靠墙面不需要建筑材料），中间用同样的材料分隔为两间，要
使所围成的矩形 和矩形 的面积分别是 和 ，求BF的长（假设已有建筑材料恰好
用完）【答案】 的长是
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设 的长为 ，则 的长为 ，根据矩形的面
积公式及矩形 的面积为 ，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再利用矩
形的面积公式结合矩形 的面积为 ，即可求出 的长．
解：设 的长为 ，则 的长为 ，依题意，得：
，
整理，得： ，
解得：
，
答： 的长是
【变式2】（2024八年级下·浙江·专题练习）某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工参加该旅行社旅游，共支付该旅行社旅游费用 元，请问：
（1）该单位这次去旅游，员工有没有超过 人？
（2）该单位这次共有多少员工去旅游？
【答案】(1)超过 人；(2)该单位这次共有 名员工去旅游
【分析】本题考查了有理数的乘法和一元二次方程的应用，解题关键根据题目给出的条件，找出合适的
等量关系．
（1）先根据共支付给旅行社旅游费用 元，确定旅游的人数的范围；（2）根据每人的旅游费用 人数 总费用，设该单位这次共有 名员工去旅游列出方程求解即可．
（1）解：∵人数不超过 人，人均费用为 元，
∴ ，
∴员工人数一定超过 人，
∴该单位这次去旅游，员工超过了20人；
（2）解：设该单位这次共有 名员工去旅游，根据题意列方程得：
，
整理得 ，
即 ，
解得 ， ，
当 时， ，故舍去 ；
当 时， ，符合题意．
答：该单位这次共有35名员工去旅游．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若方程的两个根为 ， ，且 ，求 的值．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出 ，把字母和数代入求出 的取
值范围；
（2）根据两根之积为： ，把字母和数代入求出 的值．
（1）解： ，∵有两个不相等的实数，
∴ ，
解得： ；
（2）∵方程的两个根为 ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， （舍去）．
即： ．
【点拨】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握 ， 是方程 的
两根时， ， ．
【例2】（2023·湖南娄底·中考真题）若m是方程 的根，则 ．
【答案】6
【分析】由m是方程 的根，可得 ，把 化为 ，再通分变形即
可．
解：∵m是方程 的根，
∴ ，即 ，
∴
；【点拨】本题考查的是一元二次方程的解的含义，分式的化简求值，准确的把原分式变形，再求值是解
本题的关键．
2、拓展延伸
【例1】（2023·浙江·模拟预测）已知关于 的方程 的方程恰好有一个实数解，求
的值及方程的解．
【答案】 , 或 ， ； 或 或 ， 或 ，
【分析】去分母，转化为整式方程，根据整式方程为一元一次方程，即 ，为一元二次方程，即 ，
分别求解．而当方程为一元二次方程时，又分为 方程有等根，满足方程恰好有一个实数解 ，若
，则方程有两不等实根，且其中一个为增根，而增根只可能为 或 ．
解：两边同乘 ,得 ，
若 ，
若 ，由题意，知 ，
解得 ，
当 时， ，当 时， ，
若方程有两不等实根，则其中一个为增根，
当 时， ， ，
当 时， ， ．
【点拨】本题考查了分式方程的解，解一元二次方程．关键是将分式方程转化为整式方程，根据整式方
程的特点及题目的条件分类讨论．
【例2】（2024·四川绵阳·二模）若关于x的分式方程 有解，且关于y的方程 有实
数根，则 的范围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查了分式方程的解有意义的概念，一元二次方程实数根的判断，掌握求解的方法是解题
的关键．根据分式有意义的情况得到 ，化简分式后代入即可得到 的取值，再根据一元二次方程根的判别式
求解即可．
解： ，化简得： ，
∵ ，即 ，
∴ ，解得： ，
∵ 有实数根，
∴ ，
解得： ，
∴综上 且 ，
故答案为： 且 ．
