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专题21.10 因式分解法（知识梳理与考点讲解）
【知识点1】用因式分解法求解一元二次方程
（1）定义：
若（x+a）（x+b）=0,则必有x+a=0或x+b=0，进而求出方程的解，这种解法叫做因式分解法。
（2）因式分解法求解一元二次方程的步骤：
（1）把方程的右边化为0；
（2）把方程左边分解因式成两个一次因式乘积的形式；
（3）令每个因式等于0，化为两个一元一次方程的形式；
（4）解这两个一元一次方程，其解就是一元二次方程的解。
【例1】解下列方程：
(1) ； (2) ．
【答案】(1) ， ； (2) ，
【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用十字相乘法求解即可．
（1）解： ， （2） ，
因式分解得： ， 因式分解得： ，
或 ， 或 ，
解得： ， ； 解得： ， ．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法和十字相乘法是解答本题的关键．
【变式】用因式分解法解下列方程．
(1) ； (2) ．
【答案】(1) ； (2)
【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；（2）利用因式分解法解答，即可求解．
（1）解： ， （2）解：∴ ， ∴ ，
∴ ， ∴ ，
∴ 或 ， ∴ ．
∴ ．
【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【知识点2】选择适合（指定）方法解一元二次方程
一元二次方程的解法选择
（1）在一元二次方程四种解法中，一般的选择顺序为：直接开平方法——因式分解法——公式法
——配方法；
（2）对于稍复杂的一元二次方程，要先观察，能否直接用开平方法或因式分解法，不用化为一元二
次方程的一般形式；
（3）对于可化为一元二次方程的分式方程，一定要验根。
【例2】用适当的方法解下列方程：
(1) (2)
(2) ． (4) ．
【答案】(1) ； (2) ；
（3） ； (4)
【分析】（1）原方程利用直接开平方法求解即可； （2）原方程移项后，利用分解因式法求解即可；
（3）原方程移项后，利用分解因式法求解即可；（4）原方程利用公式法求解即可.
（1）解：原方程即为 ， （2）解：移项，得 ，
两边开平方，得 ， 即为 ，
解得： ； ∴ 或 ，解得： ；
（3）解：移项得 ，
即为 ，
∴ 或 ，
解得： ；
（4）方程 中， ，
∴ ，
∴ .
【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，根据方程的特点、选取合适的解法是解题的关
键.
【变式】用指定的方法解方程：
(1) （用配方法）； (2) （用公式法）；
(3) （用因式分解法）； (4) （用适当的方法）
【答案】(1) ； (2)
(3) (4)
【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可；
（3）利用因式分解法解方程即可； （4）先将给出的方程进行变形，然后利用因式分解法解方程即可．
解：（1）移项，得： ，
系数化1，得： ，
配方，得： ，，
，
∴ ， ；
（2）原方程可变形为 ，
， ， ，
，原方程有两个不相等的实数根，
，
∴ ， ；
（3）原方程可变形为： ，
整理得： ，
解得 ， ；
（4）原方程可变形为： ，
整理得： ，
，
∴ ，
【点拨】本题主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有关知识，掌握配方法的基本
步骤，一元二次方程的求根公式是解题关键．
【考点一】解含字母参数的一元二次方程
【例1】解关于x的一元二次方程【答案】 ，
【分析】利用因式分解法求解即可．
解：因式分解得： ，
∴ 或 ，
解得： ， ．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
【变式】解关于x的方程： ；
【答案】 ；
解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程和一元一次方程的定义，解题的关键在于能够熟
练掌握相关知识进行求解．
【考点二】换元法解一元二次方程
【例2】解方程：
【答案】
【分析】将原方程整理，移项，令 ，然后解关于t的一元二次方程，获得t的值，
代回原方程即可求解．
解：移项，整理得：
令 ，原式变为
解得 ， （舍去）
∴ ，即
解得 ，
故答案为 ， ．
【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程，问题的关键是令 ，然后解关于t的一元
二次方程，一定要注意舍去不合理的根．
【变式】解方程：
【答案】原方程的解为 或
【分析】令 ，将方程转化为 ，解出 或 ，再代回 中，即可解答．
解：令 ，则原方程转化为： ，
整理得： ，
解得： 或 ，
经检验： 或 都是方程的根，
当 时，即 ，
去分母得： ，解得： 或
经检验， 或 是方程 的根，
当 时， ，
去分母得： ，整理得：
∵ ，
∴方程无解，
综上，原方程的解为 或 ．
【点拨】本题考查了利用换元法解分式方程，解题的关键是通过换元将方程转化为 ．
【考点三】解含绝对值的一元二次方程与纠错问题
【例3】阅读下面的例题，解方程 的过程如下：
①当 时，原方程化为 ，解得： （舍去）．
②当 时，原方程可化为 ，解得： （舍去）．
原方程的解： ．
请参照例题解方程： ．
【答案】
【分析】分 和 ，两种情况进行讨论求解即可．
解：当 时，原方程化为 ，解得： （舍去）．
当 时，原方程可化为 ，解得： （舍去）．
原方程的解： ．
【点拨】本题考查解一元二次方程．理解并掌握题干中给出的解方程的方法，是解题的关键．
【考点四】分式的化简与一元二次方程综合
【例4】先化简，再求值： ，其中m的值是方程 的根．
【答案】 ，
【分析】原式被除数括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以
这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．解：
．
∵方程 的两根是 ， ．
∴当 ，原代数式无意义，故舍去．
当 时，原式 ．
【点拨】本题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的
乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
【变式】先化简，再求值： ，其中x是方程 的根．
【答案】 ，
【分析】先运用分式的混合运算法则，进行化简，解一元二次方程求出 的值，再代入求值即可．
解：
．
解方程 ，得 或 ．
又∵ ，
∴ ．
∴原式 ．【点拨】本题考查分式的化简求值，解一元二次方程．熟练掌握分式的混合运算法则，因式分解法解一元
二次方程，是解题的关键．
【考点五】用一元二次方程解决几何问题
【例5】已知 、 、 是 的三边长，关于 的一元二次方程 有两个相等的
实数根．
(1) 请判断 的形状；
(2) 当 ， 时，求一元二次方程的解．
【答案】(1) △ABC为直角三角形； (2)
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式以及勾股定理的逆定理，即可求解；（2）由（1）可得 ，
再代入原方程，利用因式分解法解答，即可求解．
解：（1）∵关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
∴△ABC为直角三角形；
（2）∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴原方程为 ，
解得： ．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，熟练掌握一元
二次方程的解法，一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理是解题的关键．
【变式】已知等腰三角形 的一边长 ，另外两边的长 恰好是关于 的一元二次方程
的两个根，则 的周长为___________
【答案】15【分析】分情况讨论：若a作为腰，则方程的一个根为6，将6代入求出k的值，然后求出方程的解，得出
三角形的周长；将a作为底，则说明方程有两个相等的实数根，则根据 求出k的值，然后将k的值代
入方程求出解，得出周长．
解：若 为腰，则 中还有一腰，即6是方程 的一个根．
∴
解得：
将 代入 得：
解得：． ，
此时能构成三角形， 的周长为：
若 为底，则 ，即方程 有两个相等的实根．
∴
解得：
将 代入 得：
解得：． ，
∵
∴此时不能构成三角形，不能计算周长
综上可得： 的周长为15．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质、一元二次方程的根、一元二次方程的解法、根的判别式等知识，按
若是否为底边分类讨论和构成三角形的条件是解题的关键．特别注意验证是否能构成三角形．
