文档内容
专题 21.16 一元二次方程（挑战常考综合（压轴）题分类专题）
（专项练习）
【题型目录】
第一部分【综合类】
【题型1】一元二次方程与分式方程综合（3个题）
【题型2】根的判别式与一元二次方程解综合（3个题）
【题型3】根的判别式与几何图形综合（3个题）
【题型4】根的判别式与一次函数综合（3个题）
【题型5】根的判别式与韦达定理综合（3个题）
【题型6】韦达定理与几何图形综合（3个题）
【题型7】韦达定理与一次函数综合（3个题）
【题型8】增长率问题与营销问题综合（3个题）
【题型9】图形问题与营销问题综合（3个题）
第二部分【压轴类】
【题型1】可化为一元二次方程的分式方程与无理方程（2个题）
【题型2】根的判别式与韦达定理（2个题）
【题型3】根的判别式、韦达定理解决几何问题（2个题）
【题型4】韦达定理解决函数问题（分类讨论思想）（2个题）
【题型5】一元二次方程与一次函数问题（数形结合思想）（3个题）
第一部分【综合类】
【题型1】一元二次方程与分式方程综合（3个题）
1．（2024·西藏日喀则·二模）解分式方程：
2．（2024·广西梧州·二模）解分式方程： ．
3．（21-22八年级下·广西梧州·期中）已知关于x的一元二次方程： 的一个解与分式方程的解相同．
（1）求 的值；
（2）求这个一元二次方程的另一个解．
【题型2】根的判别式与一元二次方程解综合（3个题）
4．（2024·浙江杭州·二模）已知关于 的方程 ．
（1）若方程的一个实根是3，求实数 的值．
（2）求证：无论 取什么实数，方程总有实数根．
5．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）已知关于x 的方程 ．
（1）若原方程有两个不相等的实数根，求n 的取值范围．
（2）若n 为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的5倍，求m的值．
6．（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）已知关于x的两个一元二次方程：
方程①： ；方程②：
（1）证明方程①总有实数根，
（2）若方程②有两个相等的实数根，求k的值．
（3）若方程①和②有一个公共根a，求代数式 的值．
【题型3】根的判别式与几何图形综合（3个题）
7．（23-24九年级上·湖南·阶段练习）已知 的两对角线 ， 的长是关于 的方程
的两个实数根．
（1）若 的长为1，求 的值；
（2）当 为何值时， 是矩形．
8．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知 、 是关于 的方程 的两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；（2）已知等腰 的一边长为1，若 、 恰好是 另外两边长，求这个三角形的周长．
9．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）已知关于 的方程 有两个实数根．
（1）求证：无论 取何值，方程总有两个实数根．
（2）若 的两边 的长是已知方程的两个实数根，当 为何值时， 是菱形？求此
菱形的边长．
【题型4】根的判别式与一次函数综合（3个题）
10．（20-21九年级上·广西河池·期末）已知 是关于 的一元二次方程 的一
个根，求直线 经过哪些象限．
11．（2020·上海宝山·三模）已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0 ．
（1）如果方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）如果 是直线 上两点，比较 与 的大小．
12．（20-21九年级上·福建厦门·期中）已知关于 的一元二次方程 ．其中 、 是常数．
（1）若 ，试判断该一元二次方程根的情况；
（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，且在平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点在直
线 上，求 的值．
【题型5】根的判别式与韦达定理综合（3个题）
13．（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根为 ，且 ，求m的值．
14．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于 的方程 ．（1）已知 ， 异号，试说明此方程根的情况；
（2）若该方程的根是 ， ，试求方程 的根．
15．（2024·山东潍坊·二模）小亮和小刚对关于 的一元二次方程 进行了如下分析：
小亮：“对于任意实数 ， ，该方程总有两个不相等的实数根．”
小刚：“该方程的两个实数根的符号不相同．”
请判断小亮和小刚的说法是否正确并说明理由．
【题型6】韦达定理与几何图形综合（3个题）
16．（22-23九年级上·广东珠海·期中）已知平行四边形 的两边 ， 的长是关于x的方程
的两个实数根．
（1）m为何值时，平行四边形 是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若 的长为5，求平行四边形 的周长．
17．（23-24九年级上·广东茂名·阶段练习）如果一个三角形两边的长分别a，b且为一元二次方程
的两个实数根，若
（1）求K值是多少？
（2）那第三边的长可能是20？为什么？
18．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）当 取何值时，方程有两个实数根？
（2）若上述一元二次方程两根为矩形两相邻边的边长，且此矩形对角线的长为 ．求 的值．
【题型7】韦达定理与一次函数综合（3个题）
19．（22-23九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在
直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴相交于点E，矩形OABC的边OC，OA的长是关于x的一元二次
方程 的两个根，且 ．（1）求线段OA，OC的长；
（2）求证： ，并求出线段OE的长．
20．（21-22九年级上·广东广州·期末）已知关于x的方程ax2﹣（2a+1）x+a﹣2＝0．
（1）若方程有两个实数根，求a的取值范围．
（2）若x＝2是方程的一个根，求另一个根．
（3）在（1）的条件下，试判断直线y＝（2a﹣3）x﹣a+5能否过点A（﹣1，3），并说明理由．
21．（19-20九年级上·山东·课后作业）x 、x 是方程2x2—3x—6=0的二根，求过A（x +x ，0）B（0，
1 2 1 2
x·x ）两点的直线解析式．
l 2
【题型8】增长率问题与营销问题综合（3个题）
22．（23-24八年级下·广西贺州·期中）“三月三”是广西壮族人民传统的节日，又称“歌圩节”．近年
来，在政府的宣传和倡导下，“三月三”逐渐得到大家的重视，购买壮族服饰的人越来越多．某壮族服
饰专卖店统计了近三年某款壮族服饰的销售量，2021年销售量为1500套，2023年销售量为2160套，且
从2021年到2023年销售量的年平均增长率相同．
（1）求该款壮族服饰销售量的年平均增长率；
（2）若该款壮族服饰的进价为100元/套，经在市场中测算，当售价为130元/套时，年销售量为2000套，
若在此基础上售价每上涨1元/套，则年销售量将减少20套，为使年销售利润达到72000元，而且尽可能
让顾客得到实惠，则该款壮族服饰的实际售价应定为多少元?
23．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）“道路千万条，安全第一条”．公安交警部门提醒市民，骑行
必须严格遵守“一盔一带”的法规．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔 月份到 月份的销售，该品牌
头盔 月份销售 个， 月份销售 个，且从 月份到 月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为 元/个，测算在市场中，当售价为 元/个时，月销售量为 个，若在此基
础上售价每上涨 元/个，则月销售量将减少 个，为使月销售利润达到 元，并且尽可能让市民得到
实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
24．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）某体育用品店销售一种跳绳，4月份销售量为300条，6月份销售量为
432条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该跳绳销售量的月增长率；
（2）若此种跳绳的进价为30元/条，经过市场调研，当售价为40元/条时，月销售量为600条，若在此
基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10条，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得
到实惠，那么该跳绳的售价应定为多少？
【题型9】图形问题与营销问题综合（3个题）
25．（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）（1）某纸箱厂用一块边长为 的正方形纸片制作成一个
没有盖的长方体水果盒；可先在纸片的四个角上剪去四个相同的小正方形（边缘损耗忽略不计）（如图
①），然后把四边折合起来（如图②），若做成的盒子的底面积为 时，则剪去的小正方形的边长
为 ．
（2）已知该矩形包装盒的生产成本为4元/个，市场调研发现：如果以10元/个销售，每天可以售出200
个．为了减少库存，厂家决定降价销售，根据近期销售情况发现，销售单价每降低 元，销售量就会增
加20个，在尽可能减少库存的情况下，该厂家将售价定为多少元时，每天的销售利润为2400元？
26．（19-20九年级上·山东潍坊·期中）列方程解应用题.
（1）某项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它
们的面积之和为56平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的
宽度是多少米？（2）某商场进价为每件40元的商品，按每件50元出售时，每天可卖出500件.如果这种商品每件涨价1
元，那么平均每天少卖出10件.当要求售价不高于每件70元时，要想每天获得8000元的利润，那么该商
品每件应涨价多少元？
27．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）某厂家专门为产品生产包装盒，该厂有一种特制的矩形包
装盒的原材料，长12cm，宽为10cm．
（1）已知该公司2020年销售这种原材料制作的包装盒的销售额为5000万元，并预计2022年的销售额为
7200万元，假设该厂在这两年中的销售额的增长率相同，设为m，那么根据题意列出的方程为 ；
（2）该厂技术工人先将矩形原材料剪去两个全等的正方形，又剪去了两个全等的矩形，剩余部分制成了
底面积为24cm2的有盖包装盒（边缘损耗忽略不计），则剪去的正方形边长为 cm．
（3）已知该矩形包装盒的生产成本为40元/个，市场调研发现：如果以100元/个销售，每天可以售出
200个．为了减少库存，厂家决定降价销售，根据近期销售情况发现，销售单价每降低1元，销售量就会
增加20个，在尽可能减少库存的情况下，该厂家将售价定为多少元时，每天的销售利润为24000元？
第二部分【压轴类】
【题型1】可化为一元二次方程的分式方程与无理方程（2个题）
28．（21-22九年级上·江苏南京·期中）【阅读材料】
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为 的形式．求解二元一次方程组，把它转化
为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组；求解一元二次方
程，把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可
能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思
想——转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程 ，可以通过因式分解把它转化为 ，解方程 和 ，可得方程 的解．
【直接应用】
方程 的解是 ， ________， ________．
【类比迁移】
解方程： ．
【问题解决】
如图，在矩形 中， ， ，点 在 上，若 ，求 的长．
29．（2020七年级上·全国·专题练习）用换元法解分式方程：
解：设 =m，则原方程可化为m﹣ =2；去分母整理得：m2﹣2m﹣3=0
解得：m =﹣1，m =3即： =﹣1或 =3；解得：x= 或x=﹣
1 2
经检验：x= 或 x=﹣ 是原方程的解．故原方程的解为：x = ，x =﹣ ．
1 2
请同学们借鉴上面换元法解分式方程的方法，先解下列方程，然后再化简求值：
已知a是方程 的根，并求代数式 的值？
【题型2】根的判别式与韦达定理（2个题）
30．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）已知 、 是关于x的一元二次方程 的两个不相等的实数根
（1）直接写出m的取值范围
（2）若满足 ，求m的值．
（3）若 ，求证： ；
31．（2023·四川南充·一模）关于 的一元二次方程 中， 、 、 是
的三条边，其中 ．
（1）求证此方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个根是 、 ，且 ，求 ．
【题型3】根的判别式、韦达定理解决几何问题（2个题）
32．（20-21九年级上·江苏南京·阶段练习）（1）若一个三角形的各边长都是方程 的一个根，
则这样的三角形恰好仅有三个，三边长分别是2，2，2：4，4，4；______；
（2）若一个三角形的各边长都是关于 的方程 的一个根，当这样的三角形恰
好仅有三个时，求 的取值范围．
33．（21-22九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知：平行四边形 的两边 的长是关于方程
的两个实数根．
（1）当m为何值时，平行四边形 是菱形？并求出此时菱形的周长．
（2）若 ，那么平行四边形 的周长是多少？
【题型4】韦达定理解决函数问题（分类讨论思想）（2个题）
34．（20-21九年级上·重庆梁平·期末）关于 的一元二次方程 的一个根是 ，另一个根 ．（1）求 、 的值；
（2）若直线 经过点 ， ，求直线 的解析式；
（3）在平面直角坐标系中画出直线 的图象， 是 轴上一动点，是否存在点 ，使 是直角三角
形，若存在，写出点 坐标，并说明理由．
35．（2021八年级下·全国·专题练习）关于x的一元二次方程x2﹣6x+n＝0的一个根是2，另一个根m．
（1）求m、n的值；
（2）若直线AB经过点A（2，0），B（0，m），求直线AB的解析式；
（3）在平面直角坐标系中画出直线AB的图象，P是x轴上一动点，是否存在点P，使△ABP是直角三角
形，若存在，写出点P坐标，并说明理由．
【题型5】一元二次方程与一次函数问题（数形结合思想）（3个题）
36．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，已知函数 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，点
与点 关于 轴对称．
（1）求直线 的函数解析式；
（2）设点 是 轴上的一个动点，过点 作 轴的平行线，交直线 于点 ，交直线 于点 ．
①当 的面积为5时，求点 的坐标；
②连结 ，如图2，若 ，求点 的坐标．
37．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图1，直线 ： 与坐标轴分别交于点A，B，与直线： 交于点C．
（1）求 的面积；
（2）如图2，若有一条垂直于x轴的直线 以每秒1个单位的速度从点A出发沿射线 方向作匀速滑动，
分别交直线 ， 及x轴于点M，N和Q．设运动时间为 ，连接 ．
①当 时，求t的值；
②试探究在坐标平面内是否存在点P，使得以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直接
写出t的值；若不存在，请说明理由．
38．（21-22八年级下·浙江宁波·期中）如图直角坐标系中直线 与 轴正半轴、 轴正半轴交于 ，
两点，已知 ， ， ， 分别是线段 ， 上的两个动点， 从 出发以每秒 个单
位长度的速度向终点 运动， 从 出发以每秒 个单位长度的速度向终点 运动，两点同时出发，当其
中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为 （秒）．（1）求线段 的长，及点 的坐标；
（2） 为何值时， 的面积为 ；
（3）若 为 的中点，连接 ， ，以 ， 为邻边作平行四边形 ．是否存在时间 ，使
轴恰好将平行四边形 的面积分成 两部分，若存在，求出 的值．参考答案：
1．
【分析】本题考查解分式方程，解一元二次方程，将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可．
【详解】解：去分母，得： ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 ，
经检验 是增根， 是原方程的解，
∴分式方程的解为 ．
2．
【分析】本题主要考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤求解即可，注意解分式方程最后要验根，熟
练掌握分式方程的解法是解题的关键．
【详解】解：
方程左右同乘以 、去分母得： ，
去括号得： ，
移项、合并同类项得： ，
因式分解得： ，
∴ 或 ，
解得： ， ，
检验： ，则 ，故是原分式方程的根，
，则 ，故是原分式方程的增根，
∴原分式方程的解为 ．
3．(1)
(2)
【分析】（1）先求出分式方程的解，然后代入求解即可；
（2）将（1）中k的值代入，然后利用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：由
得
解得：
经检验， 是原方程的解
把 代入解方程 得：
解得： ；
（2）∵
∴一元二次方程为：
即
∴ ，
∴这个一元二次方程的另一个解为 ．
【点睛】本题主要考查解分式方程及利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题关键．
4．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查一元二次方程的根，根的判别式：
（1）将 代入方程，进行求解即可；
（2）求出判别式的符号，即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意，得： ，
解得： ；
（2）∵ ，
∴；
∴无论 取什么实数，方程总有实数根．
5．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程：
（1）根据根的判别式得到 ，解之即可得到答案；
（2）先求出 ，进而解原方程得到 或 ，根据题意可得 ，解方程即可得
到答案．
【详解】（1）解：∵方程 ，
∴ ，
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
（2）解：∵ ，n 为符合条件的最小整数，
∴ ，
∴原方程为 ，即 ，
∴ ，即 ，
解得 或 ，
∵该方程的较大根是较小根的5倍，
∴ ，
∴ ．
6．(1)见解析
(2)(3)5
【分析】
本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
（1）根据题意证明 即可；
（2）由方程②有两个相等的实数根，由二次项系数不为0及根的判别式等于0可得到关于 的方程则可求
得 的值；
（3）把 分别代入两个方程，整理即可求得所求代数式的值．
【详解】（1）
∴无论k为何值时，方程总①有实数根
（2）∵方程②有两个相等的实数根，
且 ，
则 ，
则 ，
，
，
；
（3）根据a是方程①和②的公共根，
③， ④
得： ⑤，
得： ，
代数式 ．
故代数式的值为5．7．(1)
(2)1
【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，矩形的判定．
（1）将 代入方程，求出 的值即可；
（2）根据对角线相等的平行四边形为矩形，得到方程有两个相等的实数根，得到 ，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵ 的两对角线 ， 的长是关于 的方程 的两个实数根，
∴当 的长为1时， ，
解得： ；
（2）∵ 的两对角线 ， ，
∴当 时， 是矩形，
方程 有两个相等的实数根，
，
解得 ，即 的值为1．
8．(1)
(2)4
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关
键．
（1）由根的判别式即可得；
（2）分情况讨论，当 时和当 时，分别求出方程的根，再根据三角形三边之间的关系判断计算
可得答案．
【详解】（1）解：由题意得 ，解得： ；
（2）根据题意，∵ 时，
∴只能取 或 ，即1是方程的一个根，
将 代入方程得：
解得： ，
当 时，代入原方程可得∶ ，
解得方程的另一个根为3，
此时三角形三边分别为1、1、3，此时不能构成三角形；
当 时，则 ，
解得： ，
此时方程为：
即： ，
即 ，
解得： ，
此时三角形三边分别为1、 、 ，此时三角形的周长为： ．
综上，三角形的周长为4．
9．(1)见解析
(2)当 时， 是菱形，此时菱形的边长为
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程 的根与 有
如下关系：① ，方程有两个不相等的实数根，② ，方程有两个相等的实数根，③ ，方程没
有实数根，也考查了菱形的性质．（1）计算出 ，由此即可得出结论；
（2）当 时， 是菱形，即可求出 的值，然后代入原方程，解方程即可得出菱形的
边长．
【详解】（1）证明： ，
，
无论 取何值，方程总有两个实数根；
（2）解： 是菱形，
，
的两边 的长是已知方程的两个实数根，
方程有两个相等的实数根，
，
解得： ，
当 时，原方程为： ，
解得： ，
此时菱形的边长为 ．
10．直线 经过的象限是第二、三、四象限
【分析】把x=0代入已知方程，列出关于m的方程，即可求得m，即可判断直线经过的象限．
【详解】解：把 代入方程 ，
得： ，
∴ ，
由题意知： ，
∴ ，∴ ．
∴直线 经过的象限是第二、三、四象限．
【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程解得定义是解题的关键．
11．（1） ；（2）
【分析】（1）直接利用：1、当△＞0，方程有两个不相等的实数根；2、当△=0，方程有两个相等的实数
根；3、当△＜0，方程没有实数根进行求解；
（2）根据 ，得到函数值y随x的增大而减小，比较x即可求解．
【详解】解：（1）∵方程有两个实数根，
∴△＝（－4）2－4m≥0，
∴ ；
（2）
．
∴函数值y随x的增大而减小，
∵2＜3
∴ ．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的实数根情况和一次函数的增减性，熟练掌握利用一元二次方程根的
判别式判断方程实数根的情况和一次函数的性质是解题的关键．
12．（1）方程有两个不相等的实数根；（2）
【分析】（1）进行判别式的值得到△=m2-4×2n，把m=n+3代入后变形得到△=(n-1)2+8，则利用非负数的性
质可判断△＞0，从而根据判别式的意义得到方程根的情况；
（2）利用判别式的意义得到m2-8n=0，再利用关于原点对称的点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特
征得到-n=-m+2，即n=m-2，消去n得到m2-8(m-2)=0，然后解关于m的方程即可．
【详解】解：（1）∵m=n+3，且 ， ， ，
∴
=m2-4×2n
=(n+3)2-8n
=n2-2n+9=(n-1)2+8，
而(n-1)2≥0，
∴(n-1)2+8＞0，即△＞0，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根；
（2）根据题意得△=m2-4×2n=0，
∵点（m，n）关于原点的对称点为（-m，-n），且在直线 上，
∴-n=-m+2，即n=m-2，
把n=m-2代入m2-8n=0得m2-8(m-2)=0，
整理得m2-8m+16=0，即 ，
解得m =m =4，
1 2
即m的值为4．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0
时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
13．(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据根的判别式得出 ，据此可得答案；
（2）根据根与系数的关系得出 ， ，代入 得出关于 的方程，解
之可得答案．
本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握 ， 是方程 的两根时，
， ．
【详解】（1）证明：
，∵
无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系，得 ， ，
由 ，得 ，
解得 ．
14．(1)理由见解析
(2) 或
【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程—因式分解法，
（1）根据判别式公式得出 ，结合 ， 异号，得到 的正负情况，即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，把 和 用 表示出来，代入方程 ，整
理后，解之即可；
解题的关键：（1）正确掌握根的判别式公式，（2）正确掌握根与系数的关系，解一元二次方程的方法．
【详解】（1）解：根据题意得： ，
∵ ， 异号， ， ，
∴ ，
∴此方程有两个不等实数根；
（2）∵关于 的方程 的根是 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵方程 ，
∴ ，即 ，
∴ ，∴ 或 ，
解得： 或 ，
∴方程 的根为 或 ．
15．小亮和小刚的说法是正确的，理由见解析
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，先计算 ，
，再判定结果的符号，从而可得答案．
【详解】解：小亮和小刚的说法是正确的
由题意可得 ，
∵ ，所以
又∵ ，
∴ ，即方程总有两个不相等的实数根，
∴小亮的说法是正确的．
设方程的两根为 ， ，则
∵ ，
∴ ，
∴ ，即该方程的两个实数根的符号不相同，
∴小刚的说法是正确的．
16．(1)当 时，平行四边形 是菱形，这时菱形的边长为6
(2)25
【分析】（1）根据菱形的性质可知方程 有两个相等的实数根，由根的判别式求出m，进而
可求出方程的根；
（2）由 的长为5，可知5是方程的一个根，代入方程求出m，根据根与系数的关系可求出平行四边形的周长．
【详解】（1）解：∵平行四边形 是菱形，
∴ ，
∴方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ （舍）， ，
当 时，方程为 ，
解得 ，
即菱形的边长为6；
（2）解：∵ ， 的长是方程 的两个实数根， 的长为5，
∴ ，5是方程的一个根，
∴ ，
∴解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 的周长为25．
【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，一元二次方程根的判别式以及根据系数的关系，综
合运用各知识点是解答本题的关键．
17．(1)66
(2)不可能，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，三角形的三边关系，解题的关键是：
（1）利用两根之和求出b值，再利用两根之积求出K值；
（2）根据已知两边，利用三边关系得出 ，即可判断．
【详解】（1）解：∵a，b为一元二次方程 的两个实数根，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）不可能，理由是：
∵两边长分别为6和11，
∴ ，
∴第三边的长不可能是20．
18．(1)
(2)
【分析】（1）由原方程有两个实数根可得 ，再建立不等式求解即可；
（2）由根与系数的关系可得 ， 由矩形的性质可得： ，再建立方程求
解即可．
【详解】（1）解：∵方程 有两个实数根，
∴ ，
即： ，
解得 ；
（2）设方程的两根为 ， ，则 ，
由矩形的性质可得：
∴
解得 ，
∵ ，
∴ ．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解法，掌握以上基础
知识是解本题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）解方程即可得到结论；
（2）由四边形 是矩形， ， ，根据折叠的性质得到 ，
，根据全等三角形的判定得到 ，根据勾股定理得到 ．
【详解】（1）解：
解得： ，
，
；
（2） 四边形 是矩形，
， ，
把矩形OABC沿对角线AC所在直线折叠，点B落在点D处，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，即 ，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键是求出OA、OC的长．
20．(1) 且
(2)
(3)能，理由见解析
【分析】（1）根据一元二次方程的定义，以及根的判别式进行判断即可
（2）根据方程的解的定义求得 ，进而根据一元二次方程根与系数的关系求解即可；
【详解】（1）关于x的方程ax2﹣（2a+1）x+a﹣2＝0有两个实数根，
则 ，
a的取值范围为： 且
（2） x＝2是方程的一个根，
解得
设另一根为 ，则
另一个根为
（3）若y＝（2a﹣3）x﹣a+5过点A（﹣1，3），
则
解得
且
y＝（2a﹣3）x﹣a+5能经过点A（﹣1，3），
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，根与系数的关系，根的判别式，一函数的性质是解题的关键．21．y＝2x—3
【分析】首先设两点的直线解析式y=kx+b，利用根与系数的关系确定两点的坐标，代入可确定直线的解析
式．
【详解】根据根与系数的关系
通过解方程可知
设两点的直线解析式y=kx+b，
解得k=2，b=−3，
∴过AB的直线是y=2x−3.
故两点的直线解析式y=2x−3.
【点睛】考查一元二次方程根与系数的关系以及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解
题的关键.
22．(1)该款壮族服饰销售量的年平均增长率为
(2)该款壮族服饰的实际售价应定为140元
【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握
解一元二次方程的方法．
（1）设该款壮族服饰销售量的年平均增长率为x，根据“2021年销售量为1500套，2023年销售量为2160
套，且从2021年到2023年销售量的年平均增长率相同”列一元二次方程求解即可；
（2）设该款壮族服饰的实际售价为y元/套，根据题意，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出
答案．
【详解】（1）解：设该款壮族服饰销售量的年平均增长率为x，
依题意，得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
答：该款壮族服饰销售量的年平均增长率为 ；
（2）解：设该款壮族服饰的实际售价为y元/套，依题意，得： ，
整理，得： ，
解得： ， ，
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴
答：该款壮族服饰的实际售价应定为140元．
23．(1)该品牌头盔销售量的月增长率为
(2)该品牌头盔的实际售价应定为 元/个
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为 ，根据该品牌头盔 月份及 月份的月销售量，得出关于 的一
元二次方程，解之取其正值即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为 元/个，根据“月销售利润 每个头盔的利润 月销售量”，得出关
于 的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
由题意，得： ，
，
，
解得： ， （不合题意，舍去），
答：该品牌头盔销售量的月增长率为 ；
（2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为 元/个，
由题意，得： ，
整理，得： ，，
或 ，
解得： （为让市民得到实惠，舍去）， ，
答：该品牌头盔的实际售价应定为 元/个．
24．(1)该跳绳销售量的月增长率为 ；
(2)该跳绳的售价应定为50元/条．
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．
（1）设该跳绳销售量的月增长率为x，4月份销售量为300条，6月份销售量为432条，若从4月份到6月
份销售量的月增长率相同．据此列出方程，解方程即可得到答案；
（2）设该跳绳的售价应定为y元/条，则每条跳绳的销售利润为 元，月销售量为 条，
根据月销售利润达到10000元列出方程，解方程并根据尽可能让顾客得到实惠即可得到答案．
【详解】（1）解：设该跳绳销售量的月增长率为x，
根据题意得： ，
解得： （不符合题意，舍去）．
答：该跳绳销售量的月增长率为 ；
（2）设该跳绳的售价应定为y元/条，则每条跳绳的销售利润为 元，月销售量为
条，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得：
又∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴ ．
答：该跳绳的售价应定为50元/条．25．（1）15；（2）该厂家将售价定为每个7元时，每天的销售利润为2400元．
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，确定相等关系，熟练利用一元二次方程解决销售利润问题是
解本题的关键．
（1）根据题意设截去的小正方形长为 ，并由题意列方程与解出方程即可；
（2）首先设每个售价为x元，利用销售量×每个利润 元列出方程求解，在解出x的值后，要考虑尽
可能减少库存进行取舍．
【详解】解：（1）设截去的小正方形的边长为 ，则：
，
解得 或 ，
当 时， ，不符合题意，舍去；
小正方形的边长为 ，
故答案为：15；
（2）设每个售价为 元，则销售量为 个，则
，
整理得： ，
解得： ， ，
但是要尽可能减少库存，
∴ 不符合题意，取 ，
答：该厂家将售价定为每个7元时，每天的销售利润为2400元．
26．（1）人行道的宽为2米.（2）该商品每件应涨价10元．
【分析】（1）根据矩形的面积和为56平方米，列出一元二次方程求解即可；
（2）可以设每件应涨价x元，题中等量关系为销售数量×每件利润=8000，根据等量关系列出方程再解答；
【详解】（1）解：设人行道的宽度为 米，根据题意，得
解得： （不合题意，舍去）
答：人行道的宽为2米.
（2）解：设售价应提高 元，依题意得：，
解这个方程，得： ，
∵售价不高于70元，
则50+30=80>70，
所以 不符合题意，
答：该商品每件应涨价10元．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合
适的等量关系，列方程．
27．(1)
(2)
(3)该厂家将售价定为每个70元时，每天的销售利润为24000元．
【分析】（1）设该厂在这两年中的销售额的增长率为m，则2022年的销售额可表示为 ，从而
可得答案；
（2）根据题意找到等量关系列出方程组，转化为一元二次方程求解即可．
（3）首先设每个售价为x元，利用销售量×每个利润 元列出方程求解，在解出x的值后，要考虑尽
可能减少库存进行取舍．
【详解】（1）解：设该厂在这两年中的销售额的增长率为m，则
．
（2）解：设底面长为acm，宽为bcm，正方形的边长为xcm，根据题意得：
，
解得 ， ， 代入 中，得： ，
整理得： ，
解得 ， （舍去），
答：剪去的正方形的边长为2cm．（3）解：设每个售价为 元，则销售量为 个，则
，
整理得： ，
解得： ， ，
但是要尽可能减少库存，
∴ 不符合题意，取 ，
答：该厂家将售价定为每个70元时，每天的销售利润为24000元．
【点睛】本题考查的是长方体的展开图，一元二次方程的应用，确定相等关系，熟练利用一元二次方程解
集增长率，面积，销售利润问题是解本题的关键．
28．（1）4，2；（2） 或 ；（3） 或
【分析】（1）首先提出 ，然后因式分解多项式，求解即可得结论；
（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；
（3）设 的长为 ，根据勾股定理 可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式
方程，求解即可．
【详解】（1） ，
，
，
∴ 或 或 ，
故答案为：4，2；
（2） ，
方程的两边平方，得 ，
即 ，
，或 ，
当 时， ，
是原方程的解，
当 时， ，
是原方程的解，
的解是 或 ；
（3）因为四边形 是矩形，
， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
，
，
，
两边平方得： ，
整理得： ，
两边平方并整理得： ，
解得： 或 ，
的长为 或 ．
【点睛】本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根，解决（3）时，
根据勾股定理和线段长，列出方程是关键．
29．x =4，x =﹣ ； ，-1
1 2【分析】先仿照题例，设 =m，将原方程化为m2﹣m﹣2=0，然后解这个整式方程，再还元求得原方程
的解，另外要注意求代数式的值时，注意a的取值之合理性．
【详解】解：
设 =m，则原方程可化为
m2﹣m﹣2=0，
解这个整式方程得：
m =2，m =﹣1
1 2
即： =2或 =﹣1；
解得：x=4或x=
经检验：x=4或 x= 是原方程的解．
故原方程的解为：x =4，x = ．
1 2
因为a是方程 的根，
所以，a=4或a=
=
=
=
=
则①当a=4时，原式= ；②当a= 时，原式=
即：所求代数式的值为2或﹣1
【点睛】此题是换元法解分式方程，换元法解分式方程是难点，关键是换元之后把方程化成整式方程，要
将所解整式方程的解还原回来，求出原分式方程的解，并要进行验根．
30．(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据一元二次方程 的两个不相等的实数根，得 ，即可列式作答；
（2）结合一元二次方程根与系数的关系，得 和 ，因为 ，所以
，解得 ， ，结合 ，即可作答；
（3）因为 ，结合 和 ，得
，则 ，又因为 ，即可证明 ．
【详解】（1）解：∵一元二次方程 的两个不相等的实数根
∴ ，
即 ；
（2）解：∵ ，且 ，
∴
整理得 ，
解得： ，∵由（1）知 ，
∴
检验：当 时， ，即 ；
（3）证明：因为 ，
把 和 代入上式，
得 ，
∵ ，
∴
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及根据一元二次方程根的情况求参数等内容，正
确掌握 ， 是解题的关键．
31．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据求根公式，写出一元二次方程的 ，再根据 、 、 是 的三条边，结合
，即可解答。
（2）根据韦达定理得 ， ，再用完全平方公式化简得 ，代入
即可解答。【详解】（1）解：关于 的一元二次方程 去括号，整理为一般形式为：
，
，
、 、 是 的三条边，其中 ，
，
，
，
此方程有两个不相等的实数根；
（2） 方程的两个根是 、 ，
， ，
，
，即 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式,根与系数的关系以及勾股定理的应用，掌握当 ，方
程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根是解题的关键．
32．（1）2，4，4；（2）
【分析】(1)求出方程的根根据三角形三边关系判断即可,
(2) 当 时，此方程无解，根据三角形的各边长都是关于 的方程 的一个根
得出判别式 ，求出k的取值范围；设出两根 ， （ ），根据大小关系及三角形的
边恒大于0求出k的取值范围；即可求解.
【详解】解：（1）
解得:
∴这三个三角形的三边长分别为: 2，2，2；4，4，4；2，4，4；
故答案为：2，4，4；
（2）∵当 时，此方程无解，
∴ ．
∵方程 有实数根，
∴ ．∴ ．∴ ．∴ ．
∵ ，设两根为 ， （ ），
∴ ， ．
显然 ．
又∵ ，解得 ．
又∵ ，∴ ．解得， ．
∴ ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和三角形三边的关系；解题的关键是根据三角形三边的关系确定
k的取值范围.
33．(1)当m为1时，四边形 是菱形，周长为2
(2)5
【分析】（1）根据菱形的性质可得出 ，结合根的判别式，即可得出关于m的一元二次方程，解
之即可得出m的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长；
（2）将 代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程结合根与系数的关系可求出方程的另一根
AD的长，再根据平行四边形的周长公式即可求出周长．
【详解】（1）解：∵四边形 是菱形，
∴ ．
又∵ 的长是关于x的方程 的两个实数根，
∴ ，
∴m＝1，
∴当m为1时，四边形 是菱形．
当 时，原方程为 ，即 ，
解得： ，
∴菱形 的边长是 ，周长为 ；
（2）解：∵ ，
∴根据题意，把 代入原方程，得： ，
解得： ．
将 代入原方程，得： ，
整理得： ，即有： ，
∴平行四边形 的周长是 ．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式、平行四边形的性质以及菱形的性质，解题的关键是掌
握：（1）根据菱形的性质结合根的判别式，找出关于m的一元二次方程；（2）根据根与系数的关系结合
方程的一根求出方程的另一根．
34．（1） ， ；（2） ；（3） 或 ，理由见解析．
【分析】（1）将方程的一个根代入方程求得n,然后根据韦达定理求得m即可；
（2）设 的解析式 ，直接将两点代入求解即可；
（3）分两种情况进行讨论：① 是斜边；② 是直角边，画图进行分析．
【详解】解：（1）当 时，方程为 ，解得 ，
， 一元二次方程为 的另一个根 ．
，
（2）设直线 的解析式为 ，
直线 经过点 ， ，
，
解得 ， ，
直线 的解析式： ；
（3）
第一种： 是斜边， ，
，当点 与原点 重合时， ，
当点 的坐标为 ， 是直角三角形．
第二种：设 是直角边，显然 ，则点 为直角顶点，即 ，
线段 在第一象限，
这时点 在 轴负半轴．
设 的坐标为 ，
， ，
， ， ，
，
，
．
，
，
解得 ，
当点 的坐标为 ， 是直角三角形，
综上， 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程，一次函数的运用，韦达定理，掌握分类讨论的思想是解决本题的关键．
35．（1）m＝4，n＝8；（2）y＝﹣2x+4；（3）存在，P的坐标为（0，0）或（﹣8，0）
【分析】（1）当x=2时，方程为22-12+n=0，解得n=8，则2+m=6，即可求解；
（2）用待定系数法即可求解；
（3）分AB是斜边、AB是直角边两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．
【详解】解：（1）当x＝2时，方程为22﹣12+n＝0，解得n＝8，
∵2+m＝6，
∴一元二次方程为x2﹣6x+8＝0的另一个根m＝4．
∴m＝4，n＝8；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵直线AB经过点A（2，0），B（0，4），则 ，解得 ，
∴直线AB的解析式：y＝﹣2x+4；
（3）存在，理由：直线AB的图象如图：
第一种：AB是斜边，∠APB＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴当点P与原点O重合时，∠APB＝90°，
∴当点P的坐标为（0，0），△ABP是直角三角形；
第二种：设AB是直角边，显然∠BAP≠90°，
则点B为直角顶点，即∠ABP＝90°，
∵线段AB在第一象限，
∴这时点P在x轴负半轴．
设P的坐标为（x，0），
∵A（2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，OP＝﹣x，
∴BP2＝OP2+OB2＝x2+42，AB2＝OA2+OB2＝22+42，AP2＝（OA+OP）2＝（2﹣x）2．
∵AP2＝BP2+AB2，
∴x2+42+22+42＝（2﹣x）2，
解得x＝﹣8，
∴当点P的坐标为（﹣8，0），△ABP是直角三角形，
∴综上，P的坐标为（0，0）或（﹣8，0）．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、解一元二次方程
等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
36．(1)(2)① 或 或 或 ；② 或
【分析】（1）分别求出 、 、 三点坐标，用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）①设 ，则 ， ，求出 ，再由
，求出 的值后即可求 点坐标；②分两种情况讨论：当点 在线段
上时，利用角的关系推导出 ，再由勾股定理得 ，求出 的值即可
求点 的坐标；当点 在线段 上时，同理可求 点的另一个坐标．
【详解】（1）在 中，令 得 ，
，
令 得 ，
，
点 与点 关于 轴对称，
，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
直线 的函数解析式为 ；
（2）①设 ，
轴，
， ，，
∵ ， ，
∴ ，
，
整理： ，
解得 ，或者 ，
的坐标为 或 或 或 ；
② 点 在线段 上运动，
，
设 ，即有 ，
当点 在线段 上时，如图：
点 与点 关于 轴对称，
，
，
，
，
，
，
，
，， ， ，
，
解得 ，
；
当点 在线段 上时，如图：
同理可证明 ，
，
同理可得 ，
综上所述：点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，勾股定理及应用等知识，解题的
关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
37．(1)3
(2)① 或 ②存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形构成菱形，此时 的值为2或4或
【分析】（1）先根据一次函数的解析式分别求出 ， ，再利用三角形的面积公式求解
即可得；
（2）①先求出 ， ， ，从而可得 ，再根据 建立方
程，解方程即可得；②先求出 ，再分三种情况： 、 和 ，分
别建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：对于直线 ： ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，解得 ，即 ，
联立 ，解得 ，即 ，
则 的面积为 ．
（2）解：①由题意可知， ，
，
，即 ，
，
，
，
解得 或 ；
② ，
，
如图，要使以 、 、 、 为顶点的四边形构成菱形，则有三种情况： 、 和
，
当 时，则 ，解得 ，当 时，则 ，解得 或 （此时点 与点 重合，舍去），
当 时，则 ，解得 ，
综上，存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形构成菱形，此时 的值为2或4或 ．
．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、菱形的判定、一元二次方程的应用、两点之间的距离公式等知识，
较难的是题（2）②，正确分三种情况讨论是解题关键．
38．(1) ，
(2) 为 秒或 秒
(3)存在， 为 秒
【分析】（1）先确定出 ，再用含 角的直角三角形的性质即可得出结论；
（2）先确定出 ，再利用三角形面积公式建立方程求解即可得出结论；
（3）先确定点 是 的中点，，再利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
∴线段 的长为 ，点 的坐标为 ．
（2）如图，过点 作 于点 ，
∴ 轴， 是直角三角形，
∴ ，
∵ 从 出发以每秒 个单位长度的速度向终点 运动， 从 出发以每秒 个单位长度的速度向终点 运
动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为 秒，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的面积为 ，
∴ ，
∴ ， ．
∴ 秒或 秒时， 的面积为 ．
（3）如图，连接 、 ，过点 作 于点 ，∵四边形 是平行四边形，
∴ ，点 是 和 的中点，
∵ 轴恰好将平行四边形 的面积分成 两部分，
∴ ，
∴点 是 的中点，
∴点 的纵坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
∴点 的纵坐标为 ，
∵ 为 的中点， ，
∴ ，
∵点 是 和 的中点，
∴ ，
∴点 的纵坐标为 ，
由（2）可知： ，
∴ ，
∴点 的纵坐标为 ，
∴ ，
∴ ．
∴当 为 秒时， 轴恰好将平行四边形 的面积分成 两部分．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查含 角的直角三角形的性质，三角形的面积公式，三角形中线
的性质，中点坐标，平行四边形的性质，勾股定理，一元二次方程，一元一次方程等知识．用方程的思想
解决问题是解答本题的关键．
