文档内容
第 03 讲 等式与不等式的性质
目录
01 模拟基础练.................................................................................................................................................2
题型一：不等式性质的应用..............................................................................................................................2
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式...........................................................................................3
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围...........................................................................................4
题型四：不等式的综合问题..............................................................................................................................5
题型五：糖水不等式.........................................................................................................................................7
02 重难创新练.................................................................................................................................................9
03 真题实战练..............................................................................................................................................16题型一：不等式性质的应用
1．（2024·上海杨浦·二模）已知实数 ， ， ， 满足： ，则下列不等式一定正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于ABD，取 ，满足 ，
显然 ， ， ，ABD错误；
对于C， ，则 ，C正确.
故选：C
2．（多选题）已知 ， ，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】对于A，取 ，满足 ，取 ，有 ，A错误；
对于B，由 ，得 ，而 ，因此 ，B正确；
对于C，取 ， ，C错误；
对于D，由 ，得 ，因此 ，D正确.
故选：BD
3．（多选题）下列不等式中，推理正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】CD
【解析】对于A中，例如 ，此时 ，所以A错误；
对于B中，若 ，可得 ，则 ，所以B错误；
对于C中，由 ，可得 ，可得 ，即 ，所以C正确；对于D中， ，由不等式的性质，可得 ，所以D正确.
故选：CD.
4．（多选题）已知 ，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】ABC
【解析】 时，由函数 在 上单调递增，有 ，
即 ，移项得 ，故A选项正确；
由基本不等式， 时， ，
因为 ，等号不成立，所以 ，故B选项正确；
若 ， ，则 ，故C选项正确；
若 ，则 ， 不一定成立，
如 ， ，满足 且 ， 不成立，故D选项错误.
故选：ABC．
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式
5．设 ， ，则 、 的大小关系是 .
【答案】 /
【解析】因为 ， ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 .
故答案为：
6．若 ， ，则 与 的大小关系为 .（用“ ”连接）
【答案】
【解析】，
因为 ， ，则 ， ，
所以 .
故答案为： .
7．若 ，则 、 、 、 中最小的是 .
【答案】
【解析】因为 ，所以 ， ，
因为 ， ，所以 ，
即
故答案为：
8． ，则 的大小关系为 ．
【答案】≥
【解析】因为 ， 则
由
所以
故答案为：
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
9．（多选题）已知 ， ，则（ ）
A． 的取值范围为 B． 的取值范围为
C．ab的取值范围为 D． 的取值范围为
【答案】AC
【解析】因为 ， ，
所以 ， ， ，
所以， 的取值范围为 ， 的取值范围为 ，
故A选项正确，B选项错误；因为 ， ，
所以， ， ， ，
所以，ab的取值范围为 ， 的取值范围为
故C选项正确，D选项错误.
故选：AC
10．若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设 ，则 ，又 ，所以 .
故选：C
11．已知 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 ， ，
得 ，即 ，
，
所以 ，即 ，
故选：D
12．（多选题）已知实数 ， 满足 ， ，则 可能取的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由题意，实数 ， 满足 ， ，
令 ，即 ，
可得 ，解得 ，所以 ，
则 ， ，
所以 .
故选：BC.题型四：不等式的综合问题
13．（2024·河北石家庄·二模）若实数 ，且 ，则 的取值
范围是 .
【答案】
【解析】因为 ，故 ，
由 得 ，解得 ，
故 .
故答案为：
14．（2024·河北邯郸·三模）记 表示x，y，z中最小的数．设 ， ，则
的最大值为 ．
【答案】2
【解析】若 ，则 ，此时 ，
因为 ，所以 和 中至少有一个小于等于2，
所以 ，又当 ， 时， ，
所以 的最大值为2．
若 ，则 ，此时 ，
因为 ，所以 和 中至少有一个小于2，
所以 ．
综上， 的最大值为2．
故答案为：2.15．（多选题）已知a，b＞0且2a＋b＝1，则 的值不可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】ABD
【解析】由题可知：
所以
所以原式
原式 ，由a，b＞0，所以
又
故
故选：ABD
题型五：糖水不等式
16．糖水不等式： 成立的实数 是有条件限制的，使糖水不等式： 不
成立的 的值可以是 （只需填满足题意的一个值即可）．
【答案】0（答案不唯一）
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 或 .
使糖水不等式 不成立的 的值可以是0.
故答案为：0(答案不唯一)
17．已知 克糖水中含有 克糖（ ），再添加 克糖（ ）（假设全部溶解），糖水变甜了.
(1)请将这一事实表示为一个不等式，并加以证明；
(2)已知 ，小明同学判断添加 克糖前后的两杯糖水中的含糖浓度值之差的绝对值肯定小于 ，
判断是否正确，并说明理由.（ ）
【解析】（1）不等式：已知 ， ，则 .证明： ，
因为 ，则 ，所以 ，即 .
（2）答：小明同学判断正确，理由如下：
两杯糖水的含糖浓度值之差的绝对值 ，
不妨设 （ ），记 （ ），
化简得 ，又 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时， 的最大值小于 ，
综上：添加 克糖前后的两杯糖水的含糖浓度值之差的绝对值肯定小于 .
18．（多选题）在a克的糖水中含有b克的糖（ ），再添加少许的糖m克（ ），全部溶解
后糖水更甜了，由此得糖水不等式 ，若 ，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C． D．当 时， ．
【答案】ABC
【解析】由 ，则 ，
若 ，
若 ，则 ，故 ；
若 ，则 ，故 ；
由题设，结合不等式性质显然有 ；
故选：ABC19．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“ ”作为等号使用，后来英国数学家
哈利奥特首次使用“ ”和“ ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.如
糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果 克糖水中含有 克糖（ ），再
添加 克糖（ ）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，加入 克糖（ ）后糖水变甜了，
即糖水的浓度增加了，
加糖之前，糖水的浓度为： ；加糖之后，糖水的浓度为： ；
所以 .
故选：A.
1．（2024·陕西安康·模拟预测）若 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 ，得 ，所以 ，所以 ，所以 错误；
令 ，此时 与 无意义，所以 错误；
因为 ，所以由不等式的性质可得 ，所以 正确；
令 ，则 ，所以 错误.
故选： .2．（2024·全国·模拟预测）若 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
当 时，解得 ；当 时，解得 ，
所以 ，即 ，A，B错误.
当 时， ，C错误.
因为 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
即 ，D正确.
故选：D.
3．（2024·河北沧州·一模）下列命题为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于AC，当 时， ，
所以 ，故A正确，C错误；
对于B，当 时， ，故B错误；
对于D， ，
因为 ，所以 ，故D错误.
故选：A.
4．（2024·四川成都·模拟预测）命题“ ”是“ ，且 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若 ，
，即 ，，即 ，
则充分性成立；
若 且 ，
当 时， ，
当 时， ，
则必要性成立；
综上所述：“ ”是“ ，且 ”的充分必要条件.
故选：C.
5．（2024·江西·模拟预测）已知 ， ， ，则下列选项中是“ ”的一个充分不必要条件的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 ，可得 ，因为 ， 的符号不确定，推不出 ，故 不满足题意；
由 ，可得 ，反之当 ， 时不成立，故“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故 满足题意；
因为 ， ，所以 ， 不满足题意.
故选： .
6．（2024·山东潍坊·模拟预测）若正数 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知 为正数，且 ，
所以 ，化简得 ，解得 ，
当且仅当 时取等号，所以 ，故A正确.
故选：A.
7．若 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】对于A， ， ，且
，A错误；
对于B， ，
， ，
即 ，B正确；
对于C, ，C错误；
对于D， ，
，
即 ，故D错误.
故选：B
8．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，若 ，显然满足 ，但不能得到 ，故A错误，
对于B，由于 ，所以 ，又 为单调递增函数，所以 ，故B错误，
对于C，若 ，显然满足 ， ，故C错误，
对于D，若 ，则 ，函数 在 上单调递增，所以
，
当 ，则 ，函数 在 上单调递增，所以 ，
当 ，则 ，综上可知D正确 ，
故选：D
9．（多选题）（2024·广西·二模）已知实数a，b，c满足 ，且 ，则下列结论中正确的
是（ ）
A． B．C． D．
【答案】AD
【解析】 且 ，则 ， ，
则 ，A正确；
因为 ， ，所以 ，B错误；
因为 ， ， ，
当 时， ，则 ；当 时， ，则 ，当 时，
，则 ，故C错误；
因为 ，
当且仅当 时，等号成立，此时由 可得 ，不符合 ，
所以 不成立，故 ，即 ，D正确.
故选：AD
10．（多选题）（2024·湖北·模拟预测）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． ， B．
C． 的最小值为 ，最大值为4 D． 的最小值为12
【答案】BD
【解析】对于选项A:由已知得 ， ，
则 ， .故A错误；
对于选项B:令 ，
则 在 单调递减，在 单调递增，
得 ，故B正确；
对于选项C:结合题意可得 ，令 ，
则 在 上单调递增，得 ，故C错误.
对于选项D:设 ，则 ，当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
所以 .故D正确.
故选:BD.
11．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知 ，且 ，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C．存在 使得 D．若 且 ，则
【答案】ABD
【解析】对于A，由 及 ，得 ，所以 ，A正确．
对于B，由 及 ，得 ，所以 ．同理可得 ．
又 ，所以 ，所以 ，B正确．
对于C，由 及 ，得 ，所以 ，得 ，
所以 ，得 ，C错误．
对于D，由 ，得 ．由 ，得 ．
因为 ，所以 ，所以 ，D正确．
故选：ABD．
12．（多选题）（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知实数 满足 ，则
（ ）
A． B．
C． D．当 最小时，
【答案】BCD
【解析】对于A中，当 时， ，所以A错误；
对于B中，由 ，可得 ，所以B正确；
对于C中，因为 ，所以 ，又因为 ，所以等号不成立， ，所以C正确；
对于D中，由 的最小值，即为数轴 到 和 的距离之和最小，
当且仅当 时最小，此时 ，所以D正确.
故选：BCD.
13．若 ， ， ，则 的取值范围为
【答案】
【解析】设 ，则 ，
解得： ， ，则 ，
而由 ，可得 ，
再由 ，可得 ，
所以 ，
即 ，可得 .
故答案为： .
14．购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，甲策略是每次购买这种物品的数量
一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济.
【答案】乙
【解析】设第一次和第二次购物时价格分别为 ，
按甲策略，每次购n ，按这种策略购物时，两次的平均价格 ，
按乙策略，第一次花m元钱，能购物 物品，第二次仍花m元钱，能购物 物品，
两次购物的平均价格 ，
比较两次购物的平均价格 ，
因为甲策略的平均价格不小于第乙种策略的平均价格，所以用第二种购物方式比较经济，故答案为：乙.
15．（2024·湖北·三模）若实数x，y，z，t满足 则 的最小值为 .
【答案】
【解析】因为 ，所以 ,
所以 ，
当且仅当 即 时等号成立，
即 的最小值为 .
故答案为： .
16． 表示三个数中的最大值，对任意的正实数 ， ，则 的最小值是
．
【答案】2
【解析】设 ，则 ， ， ，
因 ，则得 ．又因 ，所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，故 的最小值为2．
故答案为：2.
1．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））若a>b>0，且ab=1，则下列不
等式成立的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，且 ，所以
设 ，则 ，所以 单调递增，
所以 ，所以选B.
2．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷））已知实数 满足 ，
则下列关系式恒成立的是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由 知， 所以， ，选A.
3．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版））若 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】用特殊值法，令 ， ， 得 ，选项A错误， ，选项B错误，
，选项D错误，
因为
选项C正确，故选C．
4．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷））有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：
每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位： ）分别为 ， ，
，且 ，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/ ）分别为 ， ， ，且 ．在不同的方案
中，最低的总费用（单位：元）是
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由 ， ，所以
，故 ；同理，
，故 .因为
，故 .故最低费用为 .故选B.
5．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷））若 则一定有
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】本题主要考查不等关系．已知 ,所以 ，所以 ，故 ．故
选
6．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷精编版））能够说明“设 是任意实数,
若 ,则 ”是假命题的一组整数 的值依次为 .
【答案】
【解析】 ，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.
7．（2010年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学）已知 且 ，则
的取值范围是 （答案用区间表示）
【答案】（3,8）
【解析】设 ，
则 ，解得 ，即 ，
又 且 ，
且 ，
.
故答案为：（3,8）
8．（2010年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题）设实数 满足 ，
则 的最大值是_____ ____
【答案】27【解析】 ,
当且仅当 ，即 时等号成立.
故答案为：27
