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专题 21.3 一元二次方程解法（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
（1）基本思想：降次
（3）用换元法或整体思想解一元二次方程；
（4）可化为一元二次方程的分式方程（中考题中常出现）.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】直接开平方法解一元二次方程
【例1】（2024八年级下·浙江·专题练习）求下列方程中 的值：
（1） ； (2) ．
【举一反三】
【变式1】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）若一元二次方程 的两根分别是 与
，则这两根分别是（ ）
A．1，4 B．1， C．2， D．3，0
【变式2】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）给出一种运算：对于函数 ，规定 ．例
如：若函数 ，则有 ．已知函数 对应的 ，则 的值是 ．【题型2】配方法解一元二次方程
【例2】（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程：
（1） ； （2） ．
【举一反三】
【变式1】（23-24八年级下·浙江温州·期中）用配方法解一元二次方程 ，下列变形
正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）若方程 能配方成 的
形式，则直线 不经过的象限是 ．
【题型3】公式法解一元二次方程
【例3】（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程：
（1） ； （2） ； （3） ．
【举一反三】
【变式1】（2024·河北石家庄·一模）若 是一元二次方程 的
根，则 （ ）
A． B．4 C．2 D．0
【变式2】（2024·安徽淮北·三模）关于x的方程 有两个根，记作 ， ，
则 ．
【题型4】因式分解法解一元二次方程【例4】（23-24八年级下·全国·假期作业）阅读下列材料：
（1）将 分解因式，我们可以按下面方法解答：
解：步骤：①竖分二次项与常数项
②交叉相乘，验中项： ．
③横向写出两因式： ．
注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法．
（2）根据乘法原理：若 ，则 或 ．
① ；
② ．
【举一反三】
【变式1】（2024·河北石家庄·二模）已知一元二次方程的两根分别为 ， ，则这个方
程不可能为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】方程 的解是 ．
【题型5】可化为一元二次方程的分式方程
【例6】（2024·广西梧州·二模）解分式方程： ．
【举一反三】
【变式1】（23-24九年级下·广东惠州·阶段练习）分式方程 的解为 ．【变式2】（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）解方程： ．
【题型6】用换元法解一元二次方程
【例6】（2024·广西河池·一模）解方程： ．
【举一反三】
【变式1】（2024八年级下·浙江·专题练习）已知实数 、 满足等式 ，则
．
【变式2】（2024九年级下·云南·专题练习）用换元法解方程 时，设 ，则
原方程可化为关于 的方程是（ ）
A． B．
C． D．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2022·贵州贵阳·中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．
用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分
解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0．
【例2】（2023·四川凉山·中考真题）解方程： ．
2、拓展延伸
【例1】（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）观察下列一元二次方程，并回答问题：第1个方程： ，方程的两个根分别是 ， ；
第2个方程： ，方程的两个根分别是 ， ；
第3个方程： ；方程的两个根分别是 ， ；
第4个方程： ；方程的两个根分别是 ， ；
……
（1）请按照此规律写出两个根分别是 ， 的一元二次方程 ．
（2）如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大
1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方
程 是否是“邻根方程”；
（3）已知关于x的方程 （m是常数）是“邻根方程”，且这两个根是某个直
角三角形的两条边，求此三角形第三边的长是多少．
【例2】（23-24九年级上·广西桂林·期末）【阅读与理解】
【材料阅读】我们学习了一元一次方程后，类比一元一次方程的解法，知道了一元一次不等式的解
法．现在，我们又学习了一元二次方程的解法，如何解一元二次不等式 呢？
例：解不等式
解：由于一元二次方程 有两个实数根，分别为 ， ，
所以二次三项式 可因式分解为： ，
因此，原不等式可变形为 ，
根据乘法法则“同号得正，异号得负”可得
……①）或 ……②
分别解不等式组①和②，得： 或 ．
从而原不等式的解集为 或 ．
【问题解决】请仿照材料中不等式 的解法，解答下列问题：（1）将多项式 在实数范围内因式分解；
（2）解不等式 ；
（3）解不等式 ．
