文档内容
专题21.3 一元二次方程的应用（7个考点2个易错点）
【考点1一元二次方程应用-变化率问题】
【考点2一元二次方程应用传染、枝干问题】
【考点3 一元二次方程应用握手、比赛问题】
【考点4 一元二次方程应用-销售利润问题】
【考点5 一元二次方程应用-每每问题】
【考点6 一元二次方程应用-几何面积问题】
【考点7 一元二次方程应用-动点与几何问题】
【易错点1 由实际问题抽象出一元二次方程】
【易错点2 一元二次方程的应用】
【题型1一元二次方程应用-变化率问题】
1．（2023秋•蓬江区期末）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第
一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个
数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程（ ）
A．300（1+2x）＝500 B．300（1+x2）＝500
C．300（1+x）2＝500 D．500（1﹣x）2＝300
【答案】C
【解答】解：根据题意得：300（1+x）2＝500．
故选：C．
2．（2023秋•城关区校级期末）某学校连续三年组织学生向山区捐送图书，第一年共捐书
400本，三年共捐书1525本．设该校捐书本数的年平均增长率为x，根据题意，下列方
程正确的是（ ）
A．1525（1﹣x）2＝400B．400（1+x）2＝1525
C．400+400（1+x）+400（1+x）2＝1525
D．400x2＝1525
【答案】C
【解答】解：根据题意得：400+400（1+x）+400（1+x）2＝1525，
故选：C．
3．（2023秋•汉中期末）在“乡村振兴”工作中，某养殖场加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡
的产蛋率不断提高，2021年10月份和12月份的产蛋量分别是4万千克与4.84万千克，
求养殖场这两个月蛋鸡产蛋量的月平均增长率．
【答案】10%．
【解答】解：设养殖场这两个月蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，
依题意得：4（1+x）2＝4.84，
解得：x ＝0.1＝10%，x ＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
1 2
答：养殖场这两个月蛋鸡产蛋量的月平均增长率为10%．
4．（2023秋•罗定市期末）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头
盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售
3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发
现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能
将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的
条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x．
依题意，得2250（1+x）2＝3240，
解得x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
1 2
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）设增加y条生产线，则
（900﹣30y）（y+1）＝3900．
解得y ＝4，y ＝25（不符合题意，舍去）
1 2
答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线．5．（2023秋•中山市校级期末）“读书，使人思想活跃，聪颖智慧；使人增长见识，谈吐
不凡；使人目光远大，志存高远”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社
会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆384人次，进馆人次逐月增加，到第三个月
末累计进馆1824人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过1350人次，在进馆人次的月平均增
长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
【答案】（1）50%；（2）校图书馆能接纳第四个月的进馆人次，理由见解答．
【解答】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
384+384（1+x）+384（1+x）2＝1824．
化简得：4x2+12x﹣7＝0．
∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，
∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）．
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
（2）∵进馆人次的月平均增长率为50%，
∴第四个月的进馆人次为：384（1+50%）3＝384× ＝1296＜1350．
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
【题型2一元二次方程应用传染、枝干问题】
6．（2023秋•湛江期末）新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，
经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了x人，则根据
题意可列出方程（ ）
A．x（1+x）＝256 B．x+（1+x）2＝256
C．x+x（1+x）＝256 D．1+x+x（1+x）＝256
【答案】D
【解答】解：每轮传染中平均每个人传染了x人，根据题意可列出方程，1+x+x（1+x）
＝256，
故选：D．
7．（2023秋•麦积区期末）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很
快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有121个人患了新冠，每轮传染中平均
一个人传染m人，则m的值为（ ）A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解答】解：由题意，（1+m）2＝121，
解得m＝10或m＝﹣12（不符题意，舍去），
故选：B．
8．（2023春•台江区校级期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同
样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是43个，设每个枝干长出x小分支，列方
程为 x 2 + x + 1 ＝ 4 3 ．
【答案】x2+x+1＝43．
【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：x2+x+1＝43，
故答案为：x2+x+1＝43．
9．（2023秋•怀集县期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，
根据题意得：1+x+x（x+1）＝81，
整理，得：x2+2x﹣80＝0，
解得：x ＝8，x ＝﹣10（不合题意，舍去）．
1 2
答：每轮传染中平均一个人传染8个人．
（2）81+81×8＝729（人）．
答：经过三轮传染后共有729人会患流感．
【题型3 一元二次方程应用握手、比赛问题】
10．（2023秋•仙居县期末）在某足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共
比赛10场，求参加比赛的球队数量．设有x个队参赛，根据题意可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝10 B．x（x+1）＝10
C． x（x﹣1）＝10 D． x（x+1）＝10
【答案】C
【解答】解：根据题意得： x（x﹣1）＝10．故选：C．
11．（2022秋•耿马县期末）某女子冰壶比赛有若干支队伍参加了双循环比赛，双循环比
赛共进行了56场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
【答案】A
【解答】解：设有x支队伍．
由题意得：x（x﹣1）＝56．
解得：x ＝8，x ＝﹣7（舍）．
1 2
故选：A．
12．（2023秋•绥棱县期末）在某班初三学生毕业20年的联谊会上，每两名学生握手一次，
统计共握手630次．若设参加此会的学生为x名，根据题意可列方程为（ ）
A．x（x+1）＝630 B．x（x﹣1）＝630
C．2x（x﹣1）＝630 D．x（x﹣1）＝630×2
【答案】D
【解答】解：设参加此会的学生为x名，则每名学生需握手的次数为：（x﹣1）次；因
此一共要握手：x（x﹣1）次；
因为两名学生握手一次，所以根据题意所列的方程为： x（x﹣1）＝630，即x（x﹣
1）＝630×2．
故选：D．
13．（2022秋•威县期末）为防控疫情，我们应该做到有“礼”有“距”，于是用“碰肘
礼”代替“握手”的问候方式逐渐流行．某次会议上，每两个参会者都相互行了一次
“碰肘礼”，经统计共碰肘28次，若设有x人参加这次会议，则可列方程为 x （ x
﹣ 1 ）＝ 2 8 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：依题意得 x（x﹣1）＝28，
故答案为： x（x﹣1）＝28．
14．（2023秋•林芝市期末）某校九年级班级之间进行篮球循环赛，班与班之间都要进行 1
场比赛，循环赛打完共进行了15场比赛，该校九年级共有多少个班？【答案】该校九年级共有6个班．
【解答】解：设该校九年级共有x个班，
根据题意得： x（x﹣1）＝15，
整理得：x2﹣x﹣30＝0，
解得：x ＝6，x ＝﹣5（不符合题意，舍去）．
1 2
答：该校九年级共有6个班．
【题型4 一元二次方程应用-销售利润问题】
15．（2023秋•楚雄州期末）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台
上直播销售猕猴桃．已知该猕猴桃的成本为5元/kg，销售价格不高于14元/kg，且每售
卖1kg需向网络平台支付1元的相关费用．该果园经过一段时间的直播销售发现，每日
销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x的函数解析式．
（2）当猕猴桃的销售价格定为多少元/kg时，销售这种猕猴桃的日利润恰好为900元？
【答案】（1）y＝﹣50x+850；
（2）8元/kg．
【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
将（7，500），（12，250）代入y＝kx+b得： ，
解得： ，
∴y与x的函数解析式为y＝﹣50x+850；
（2）根据题意得：（x﹣5﹣1）（﹣50x+850）＝900，
整理得：x2﹣23x+120＝0，
解得：x ＝8，x ＝15，
1 2
又∵销售价格不高于14元/kg，
∴x＝8．答：当销售单价定为8元/kg时，销售这种狱猴桃的日利润恰好为900元．
16．（2023秋•电白区期末）从2020年开始，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带
货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件8元的
日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y（件）与销售单价x（元）满足y＝﹣
10x+400，设销售这种商品每天的利润为W（元）．
（1）求W与x之间的函数关系式；
（2）该商家每天想获得2200元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？
【答案】（1）W＝﹣10x2+480x﹣3200；
（2）为了减少库存，将销售单价应定为18元．
【解答】解：（1）根据题意得：W＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣10x+400），
化简得：W＝﹣10x2+480x﹣3200，
即函数关系为：W＝﹣10x2+480x﹣3200；
（2）令W＝2200得：﹣10x2+500x﹣4000＝2200，
解得：x ＝18或x ＝30，
1 2
当x＝18时，销量：y＝﹣10x+400＝220（件）；
当x＝30时，销量：y＝﹣10x+400＝100（件）；
∵销量越高，越有利于减少库存，
∴为了减少库存，将销售单价应定为18元．
17．（2023秋•虹口区校级期末）为提高农民收入，某区一水果公园引进一种新型蟠桃，
蟠桃进价为每公斤40元．上市后通过一段时间的试营销发现：当蟠桃销售单价在每公
斤40元至90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量 y（公斤）与销售单价 x
（元/公斤）之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示．
（1）求y与x的函数解析式，并写出定义域；
（2）如果想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每公斤多少元．
【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意列方程组 ，
解得： ．
则y与x的函数解析式是y＝﹣4x+360（40≤x≤90）．
（2）由题意，得（x﹣40）y＝2400．
代入，得（x﹣40）（﹣4x+360）＝2400．
解得x ＝60，x ＝70．
1 2
答：销售单价应定为每公斤60元或70元．
18．（2023秋•青羊区校级期末）某商店欲购进A、B两种足球，若购进5个A种足球，3
个B种足球，共需450元．若购进10个A种足球，8个B种足球，共需1000元．
（1）购进A、B两种足球每个各需多少元？
（2）该商店购进足够多的两种足球，在销售中发现，A种足球售价为每件80元，每天
可销售100个，现在决定对A种足球在每个80元的基础上降价销售，每个每降价1元，
多售出20个，该商店对A种足球降价销售后每天销售量超过200个；B种足球销售状况
良好，每天可获利7000元．为使销售A、B两种足球每天总获利为10000元，A种足球
每个降价多少元？
【答案】（1）购进A商品每件需60元，B商品每件需50元；
（2）A种足球每件降价10元．
【解答】解：（1）设购进A足球每个需x元，B足球每个需y元，
则由题意得： ，
解得： ，
答：购进A商品每个需60元，B商品每个需50元．
（2）设A种足球每个降价m元，
则由题意得： ，
化简得： ，∴m＝10，
∴A种足球每个降价10元．
19．（2023秋•金牛区期末）某商贸公司以每千克60元的价格购进一种干果，原计划以每
千克100元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降
价x（元）（0＜x＜40）之间的关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价多少元？
【答案】（1）为y＝10x+100；
（2）商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价5元或25元．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b
当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140，
∴ ，
解得 ，
∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100；
（2）根据题意得，（100﹣60﹣x）（10x+100）＝5250，
整理得x2﹣30x+125＝0，
解得：x ＝5，x ＝25，
1 2
答：商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价5元或25元．
【题型5 一元二次方程应用-每每问题】
20．（2023秋•绥中县期末）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜欢．某商
店销售一批吉祥物，每个吉祥物进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨
1元，每天销售量减少10个，现商店决定提价销售．设每天销售量为y个，销售单价为
x元．当每个吉祥物销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
【答案】每个吉祥物销售单价是50元时，商店每天获利2400元．
【解答】解：依题意有（x﹣40）[300﹣10（x﹣44）]＝2400，
解得x ＝50，x ＝64，
1 2
∵（64﹣40）÷40×100%＝60%＞30%，
∴x ＝64舍去．
2
答：每个吉祥物销售单价是50元时，商店每天获利2400元．
21．（2023秋•金塔县期末）某商店进了一批服装，每件成本50元，如果按每件60元出售，
可销售800件，如果每件提价5元出售，其销售量就将减少100件，如果商店销售这批
服装要获得利润12000元，那么这种服装的售价应定为多少元？该商店应进这种服装多
少件？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设提价5x元，则销售量就将减少100x件，根据题意得：
（60﹣50+5x）（800﹣100x）＝12000，
即x2﹣6x+8＝0，
解此求一元二次方程得x ＝2，x ＝4，
1 2
故当x ＝2时，这种服装的售价应定为70元，该商店应进这种服装600件
1
当x ＝4时，这种服装的售价应定为80元，该商店应进这种服装400件．
2
22．（2024•深圳模拟）某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售
量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售
价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．设这种画册每本降价x元．
（1）平均每天的销售量为 （ 100+1 0 x ） 本（用含x的代数式表示）；
（2）商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到 2240元，且要求每本售价不低于55
元，求每本画册应降价多少元？
【答案】（1）（100+10x）；（2）每本画册应降价4元．
【解答】解：（1）由题意可知，每天的销售量为（100+10x）本．
故答案为：（100+10x）．
（2）由题意可得，
（60﹣40﹣x）（100+10x）＝2240，整理得x2﹣10x+24＝0，
解得x ＝4，x ＝6，
1 2
∵要求每本售价不低于55元，
∴x＝4符合题意．
故每本画册应降价4元．
23．（2023秋•白银期末）某商城在2021年端午节期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500
元，标价为3000元．
（1）商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每
次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降
50元时，平均每天就能多售出4台，若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到
5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？
【答案】（1）每次降价的百分率是10%；
（2）定价为2750元．
【解答】解：（1）设每次降价的百分率为x，
依题意得：3000（1﹣x）2＝2430，
解得x ＝0.1＝10%，x ＝1.9（不合题意，舍去）
1 2
答：每次降价的百分率是10%；
（2）假设下调a个50元，依题意得：5000＝（2900﹣2500﹣50a）（8+4a）．
解得a ＝a ＝3．
1 2
所以下调150元，因此定价为2750元．
24．（2023秋•孟津区校级期末）我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240
元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每
降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平
均每周获利41600元，请回答：
（1）每千克茶叶应降价多少元？
（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售
价的几折出售？
【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设每千克茶叶应降价x元，则平均每周可售出（200+ ）千克，
依题意，得：（400﹣240﹣x）（200+ ）＝41600，
整理，得：x2﹣110x+2400＝0，
解得：x ＝30，x ＝80．
1 2
答：每千克茶叶应降价30元或80元．
（2）∵为尽可能让利于顾客，
∴x＝80，
∴ ×10＝8．
答：该店应按原售价的八折出售．
25．（2023秋•定西期末）一家水果店以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，然后
以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克，通过调查发现，这种水果每千克的售
价每降低0.2元，每天可多售出40千克．
（1）若将这种水果每千克的售价降低x元，则每天的销售是多少千克（用含x的代数式
表示）？
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出230千克，那么水果店
需将每千克的售价降低多少元？
【答案】（1）每天的销售量是（100+200x）千克；
（2）水果店需将每千克的售价降低1元．
【解答】解：（1）每天的销售量是（100+200x）千克；
（2）设这种水果每斤售价降低x元，根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300，
解得：x ＝0.5，x ＝1，
1 2
当x＝0.5时，销售量是100+200×0.5＝200＜230；
当x＝1时，销售量是100+200＝300（千克）．
∵每天至少售出230千克，
∴x＝1．
答：水果店需将每千克的售价降低1元．
【题型6 一元二次方程应用-几何面积问题】
26．（2023秋•阳城县期末）学校课外实践小组有一块长 32cm，宽20cm的矩形试验田，
为了方便管理，准备沿平行于两边的方向开劈二横一纵的三条等宽的小道，要使种植面积为540cm2，小道的宽是多少？若设小道的宽为x cm，根据题意，列方程（ ）
A．32×20﹣20x﹣32x+2x2＝540
B．32×20﹣2x⋅32﹣20x＝540
C．（32﹣x）（20﹣2x）＝540
D．（32﹣2x）（20﹣x）＝540
【答案】C
【解答】解：设小道的宽为x cm，
则种植部分的长为（32﹣x）cm，宽为（20﹣2x）cm
由题意得：（32﹣x）（20﹣2x）＝540．
故选：C．
27．（2023秋•李沧区期末）如图，在一个长为 80m，宽为50m的矩形停车场中有四块相
同的矩形停车区域，它们的面积之和为2520m2，四块停车区域之间以及周边留有宽度相
同的行车通道，如果设行车通道的宽度为x m，那么列出的方程为（ ）
A．（80﹣x）（50﹣x）＝2520
B．（80﹣4x）（50﹣x）＝2520
C．（80﹣4x）（50﹣2x）＝2520
D．（80﹣5x）（50﹣2x）＝2520
【答案】D
【解答】解：根据题意，可得（80﹣5x）（50﹣2x）＝2520，
故选：D．
28．（2023秋•永修县期末）如图所示，在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样
宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道
路的宽为 2 米．【答案】2．
【解答】解：∵道路的宽为x米，
∴种植草坪的部分可合成长为（32﹣x）米，宽为（20﹣x）米的矩形．
依题意得：（32﹣x）（20﹣x）＝540，
解得：x ＝2，x ＝50（舍去）．
1 2
故答案为：2．
29．（2023秋•新兴县期末）如图，一农户要建一个矩形菜地，为了节省材料，菜地的一
边利用长为10米的墙，另外三边用长为19米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙
的一边留下一个宽1米的门，当所围成的矩形菜地的长、宽分别是多少时，菜地面积为
48平方米？
【答案】长为8米，宽为6米．
【解答】解：设BC的长为x米，则AB的长为 米，
根据题意得：x• ＝48，
整理得：x2﹣20x+96＝0，
解得：x ＝8，x ＝12，
1 2
∵墙长10米，
∴x＝8，
∴ ＝ ＝6（米）．
答：当矩形菜地的长为8米，宽为6米时，菜地面积为48平方米．
30．（2022秋•环江县期末）某公园准备在一块长为 42m，宽为30m的长方形花园内修建
一个底部为正方形的温室花房（如图所示），在温室花房四周修四条宽度相同，且与温
室花房各边垂直的小路，温室花房边长是小路宽度的6倍，花园内其他的空白地方铺草坪，设小路宽度为x m．
（1）用含x的代数式表示花园内温室花房的面积和小路面积；
（2）若草坪面积为1164m2时，求这时道路宽度．
【答案】（1）温室花房的面积为36x2 m2，小路的面积为（72x﹣12x2）m2；
（2）1m．
【解答】解：（1）∵温室花房边长是小路宽度的6倍，小路宽度为x m，
∴温室花房边长为6x m，
∴温室花房的面积为6x•6x＝36x2（m2），小路的面积为（42﹣6x+30﹣6x）•x＝（72x﹣
12x2）（m2）．
答：温室花房的面积为36x2 m2，小路的面积为（72x﹣12x2）m2．
（2）依题意得：42×30﹣36x2﹣（72x﹣12x2）＝1164，
整理得：x2+3x﹣4＝0，
解得：x ＝1，x ＝﹣4（不符合题意，舍去）．
1 2
答：当草坪面积为1164m2时，道路的宽度为1m．
【题型7 一元二次方程应用-动点与几何问题】
31．（2023秋•仁寿县期末）如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B
出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，
P、Q两点同时出发，一点先到达终点时 P、Q两点同时停止，则（ ）秒后，
△PCQ的面积等于4．
A．1 B．2 C．4 D．1或4
【答案】A【解答】解：设t秒后，△PCQ的面积等于4，
由题意得：BP＝t，CQ＝2t，则CP＝5﹣t，
∵S△PCQ ＝ CQ•CP，
∴4＝ ×2t×（5﹣t），
整理得：t2﹣5t+4＝0，
解得：t ＝1，t ＝4（不合题意，舍去），
1 2
即1秒后，△PCQ的面积等于4，
故选：A．
32．（2023秋•佛山期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，一动点P
从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s
的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）当运动时间为t（s）时，CP＝ 2 t cm，CQ＝ （ 16 ﹣ 4 t ） cm；（用含t的代
数式表示）
（2）若△PCQ的面积是△ABC面积的 ，求t的值．
【答案】（1）2t，（16﹣4t）；
（2）t的值为2．
【解答】解：（1）当运动时间为t（s）时，CP＝2t cm，AQ＝4t cm，
∴CQ＝AC﹣AQ＝（16﹣4t）cm．
故答案为：2t，（16﹣4t）；
（2）根据题意得： CP•CQ＝ × BC•AC，
即 ×2t•（16﹣4t）＝ × ×8×16，整理得：t2﹣4t+4＝0，
解得：t ＝t ＝2．
1 2
答：t的值为2．
33．（2023秋•阿荣旗期末）如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD
＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到
达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动
（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？
（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：当运动时间为t秒时，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm．
（1）依题意，得： ×（16﹣3t+2t）×6＝33，
解得：t＝5．
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（2）过点Q作QM⊥AB于点M，如图所示．
∵PM＝PB﹣CQ＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm，
∴PQ2＝PM2+QM2，即102＝（16﹣5t）2+62，
解得：t ＝ ，t ＝ （不合题意，舍去）．
1 2
答：P，Q两点从出发开始到 秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm．34．（2023秋•青白江区期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P
从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向
点C以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C
时，两点停止运动，问：
（1）经过多长时间，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）△PBQ的面积会等于△ABC面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不
会，请说明理由．
【答案】（1）经过2s或4s时，△PBQ的面积等于8cm2；
（2）不会，理由见详解．
【解答】解：（1）点P的速度是1cm/s，点Q的速度是2cm/s，点P，Q分别从点A，B
同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴点P从点A到点B的时间为6÷1＝6秒，点Q从点B到点C的时间为8÷2＝4秒，设点
P，Q运动的时间为t（0＜t≤4），
∴AP＝t，BQ＝2t，则BP＝6﹣t，
∴ ，即t2﹣6t+8＝0，解方程得，t ＝2，t ＝4，
1 2
∴经过2s或4s时，△PBQ的面积等于8cm2．
（2）在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴ ，设运动时间为a秒，根据题意得， ，
∴a2﹣6a+12＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×12＝36﹣48＝﹣12＜0，关于a的一元二次方程无解，
∴不存在△PBQ的面积会等于△ABC面积的一半．
【易错点1 由实际问题抽象出一元二次方程】
1．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月
份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+2x）＝182
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
【答案】B
【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．
故选：B．
2．元旦节班上数学兴趣小组的同学，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统
计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少设数学兴趣小组人数
为x人，则可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝90 B．x（x﹣1）＝2×90
C．x（x﹣1）＝90÷2 D．x（x+1）＝90
【答案】A
【解答】解：设数学兴趣小组人数为x人，
每名学生送了（x﹣1）张，
共有x人，
根据“共互送了90张贺年卡”，
可得出方程为x（x﹣1）＝90．
故选：A．
3．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ）
A．x（x﹣1）＝10 B． ＝10
C．x（x+1）＝10 D． ＝10
【答案】B
【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x﹣1（次）；
依题意，可列方程为： ＝10；
故选：B．
4．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，
赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请
x各队参赛，可列出的方程为 x （ x ﹣ 1 ）＝ 28 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为： x（x﹣1）＝28．
故答案为： x（x﹣1）＝28．
【易错点2 一元二次方程的应用】
5．有一块长28cm、宽20cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个全等的小正方形，折成
一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180cm2，为了有效利用材料，则截去的小正方
形的边长是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】C
【解答】解：设截去的小正方形的边长是xcm，由题意得
（28﹣2x）（20﹣2x）＝180，
解得：x ＝5，x ＝19，
1 2
∵20﹣2x＞0，
∴x＜10．
∴x ＝19，不符合题意，应舍去．
2
∴x＝5．∴截去的小正方形的边长是5cm．
故选：C．
6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，动点P从点A开始以每秒1个单位
长度的速度沿边AC向点C运动，同时动点Q从点C开始，以每秒2个单位长度的速度
沿C→B→A的折线在CB、BA边上向点A运动，当P点到达C点时，两点同时停止运
动，连接PQ．在运动过程中（Q点在C、B、A三点除外），线段PQ将△ABC分成一
个三角形和一个四边形，若四边形的面积为三角形面积的2倍，则运动的时间为 4 ﹣
或 4+ 2 秒．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝10
设运动的时间为t，则AP＝t，点Q所走的路程为2t，
1）当点Q在BC线段上运动时，0＜t＜5，
如图所示，过点Q作QG⊥AC，交AC于点G，
则sinC＝ ＝
∴QG＝ ×2t＝
∵S△ABC ＝6×8÷2＝24若四边形的面积为三角形面积的2倍，则S△PQC ＝24× ＝8
∴（8﹣t）× ÷2＝8
化简得3t2﹣24t+40＝0
解得t ＝4﹣ ，t ＝4+ （舍）
1 2
2）当点Q在BA线段上运动时，5＜t＜8，
如图所示，
S△APQ ＝ AP•AQ＝ t（10+6﹣2t）＝8
化简得：t2﹣8t+8＝0
解得t ＝4﹣2 （舍），t ＝4+2 ．
3 4
故答案为：4﹣ 或4+2 ．
7．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之
气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，
第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆 608人次，若进馆
人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增
长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
128+128（1+x）+128（1+x）2＝608
化简得：4x2+12x﹣7＝0
∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，
∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
（2）∵进馆人次的月平均增长率为50%，
∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3＝128× ＝432＜500
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
8．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的
一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材
料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；能否围成480平方米
的矩形花园，为什么？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设矩形花园BC的长为x米，则其宽为 （60﹣x+2）米，依题意列方程得：
（60﹣x+2）x＝300，
x2﹣62x+600＝0，
解这个方程得：x ＝12，x ＝50，
1 2
∵28＜50，
∴x ＝50（不合题意，舍去），
2
∴x＝12．
（60﹣x+2）x＝480，x2﹣62x+960＝0，
解这个方程得：x ＝32，x ＝30，
1 2
∵墙EF最长可利用28米，
而28＜30＜32，
∴x ＝32，x ＝30均不合题意，舍去，
1 2
答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米；不能围成480平方米的
矩形花园．
9．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝6m，AC＝8m，点P、Q同时由A、B两点出发
分别沿AC，BC方向向点C匀速运动，已知点P移动的速度是20cm/s，点Q移动的速度
是10cm/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的 ？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设运动时间为t秒，则PC＝8﹣0.2t，QC＝6﹣0.1t，
由题意得， （8﹣0.2t）（6﹣0.1t）＝ × ×6×8，
整理得，t2﹣100t+900＝0，
解得t ＝10，t ＝90（舍去），
1 2
答：10秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的 ．
10．某租赁公司拥有汽车100辆．据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出，每
辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为
500元，未租出的车辆每月只需维护费100元．
（1）当每辆车的月租金为4800元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益
（租金收入扣除维护费）是多少万元？
（2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司
的月收益（租金收入扣除维护费）可达到40.4万元？【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）100﹣ ＝92（辆），
（4800﹣500）×92﹣100×（100﹣92）＝394800（元），
394800元＝39.48万元．
答：当每辆车的月租金为4800元时，能租出92辆，此时租赁公司的月收益是39.48万
元．
（2）40.4万元＝404000元
设上涨x个100元，由题意得：
（4000+100x﹣500）（100﹣x）﹣100x＝404000
整理得：x2﹣64x+540＝0
解得：x ＝54，x ＝10
1 2
∵规定每辆车月租金不能超过7200元，
∴取x＝10，则4000+10×100＝5000（元）
答：每辆车的月租金定为5000元时，租赁公司的月收益可达到40.4万元
11．某淘宝网店销售台灯，成本为每个 30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为
40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．
（1）若售价下降1元，每月能售出 80 0 个台灯，若售价下降x元（x＞0），每月能
售出 （ 600+20 0 x ） 个台灯．
（2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预
计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．
（3）月获利能否达到9600元，说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）若售价下降1元，每月能售出：600+200＝800（个），
若售价下降x元（x＞0），每月能售出（600+200x）个．
故答案为800，（600+200x）
（2）（40﹣30﹣x）（600+200x）＝8400
整理，得
x2﹣7x+12＝0
解得x ＝3，x ＝4，
1 2
因为库存1210个，降价3元或4元获利恰好为8400元，
但是实际销量要够卖，需小于等于1210个，当x＝4时，1400＞1210（舍去）
当x＝3时，1200＜1210，可取，
所以售价为37元
答：每个台灯的售价为37元．
（3）月获利不能达到9600元，理由如下：
（40﹣30﹣x）（600+200x）＝9600
整理，得
x2﹣7x+18＝0
∵Δ＝49﹣72＝﹣23＜0
方程无实数根．
答：月获利不能达到9600元．
12．甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天
的传染后共有81人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速
度，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设每天平均一个人传染了x人，由题意，得
x（x+1）+x+1＝81，
解得：x ＝8，x ＝﹣10（舍去），
1 2
81+81×8
＝81+648
＝729（人）．
故每天平均一个人传染了8人，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有729人患甲
型流感．
13．某电子商店在销售某型号电话手表时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售
该型号电话手表8块与将标价直降100元销售7块获利相同．
（1）求该型号电话手表每块进价和标价分别是多少元？
（2）若该型号电话手表的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51
块；若每块电话手表每降价20元，每月可多售出3块．若希望尽量减少库存，每月获
利要想达到26400元，则该型号电话手表每块应降价多少元？
【答案】（1）型号手表的进价为1000元，标价为1500元．
（2）尽量减少库存，每月获利要想达到26400元，则该型号电话手表每块应降价100元．
【解答】解：（1）设该型号手表的进价为x元，则标价为（1+50%）x元，
依题意，得：8×[0.9×（1+50%）x﹣x]＝7×[（1+50%）x﹣100﹣x]，
解得：x＝1000，
∴（1+50%）x＝1500．
答：该型号手表的进价为1000元，标价为1500元．
（2）设该型号手表降价y元，则平均每月可售出（51+ y）块，
依题意，得：（1500﹣1000﹣y）（51+ y）＝26400，
整理，得：y2﹣160y+6000＝0，
解得：y ＝100，y ＝60．
1 2
答：尽量减少库存，每月获利要想达到26400元，则该型号电话手表每块应降价100元．
