文档内容
第 02 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：基本事实的应用
题型二：空间两条直线的位置关系
题型三：立体几何中的截线(截面)问题
角度1：立体几何中的截线
角度2：立体几何中的截面
题型四：异面直线所成角
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：与平面有关的基本事实及推论
1、与平面有关的三个基本事实
（1）基本事实1：过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面
数学语言： , , 三点不共线 有且只有一个平面 ,使 , , .
（2）基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内
数学语言： , ,且 ,
（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线数学语言： ,且 ,且
2、基本事实1的三个推论
推论1:经过一条直线与这条直线外一点,有且只有一个平面;
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
知识点二：空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线 直线与平面 平面与平面
平 图
行 形
关 语
系 言
符
号
语
言
相 图
交 形
关 语
系 言
图
形
语
言独 图
有 形
关 语
系 言
图 与 是异面直线
形
语
言
知识点三：平行公理和等角定理
1、基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行
数学符号语言；若直线 ,则
2、等角定理
①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
②图形语言：
③符号语言： , 或
④作用：判断或证明两个角相等或互补
知识点四：异面直线所成角
（1）异面直线的概念
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
（2）异面直线的画法
画异面直线时,为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托
（3）异面直线的判定
①定义法 ②两直线既不平行也不相交（4）异面直线所成角取值范围：
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高一课时练习）从圆柱的一个底面上任取一点（该点不在底面圆周上），过该点作另一个
底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或平行
【答案】B
由母线的定义可知：该垂线与母线是平行的
故选：B
2．（2022·全国·高一课时练习）在三棱锥 中，与 是异面直线的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
根据异面直线的定义可知：在三棱锥 中，与 是异面直线的是
故选：C
3．（2022·全国·高一课时练习）已知 ， ，若 ，则 等于( )
A． B． 或 C． D．以上结论都不对
【答案】B
由题可知： ， ，且
根据空间等角定理可知： 为 或
故选：B
4．（2022·全国·高一课时练习）如图，空间四边形 中，E，F，G，H分别是 ， ， ，
的中点，则四边形 是( )
A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形
【答案】B
根据中位线定理可知： // 且 ，可知四边形 为平行四边形
故选：B
5．（2022·全国·高一课时练习）若直线l在平面 外，则l与平面 的公共点个数为( )
A．0 B．0或1 C．1 D．2
【答案】B直线l在平面 外，则直线l与平面 相交或者平行，当直线l与平面 相交时，公共点的个数是1个，当
直线l与平面 平行时，公共点的个数是0个，
故选：B
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：基本事实的应用
典型例题
例题1．（2022·北京市第十二中学高一期末）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面 B．两个平面可以只有一个公共点
C．三条平行直线一定共面 D．三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面
【答案】D
对于A，因为不共线的三点确定一个平面，故A错误；
对于B，若两个平面有一个公共点，那么就有一条经过该点的公共直线，即交线，该交线上有无数个公共
点，故B错误；
对于C，三条平行直线可能共面，也可能有一条在另外两条确定的平面外，故C错误；
对于D，当三条直线两两相交，三个交点不重合时，三条直线共面，
当三条直线两两相交于一个点时，这三条直线可能在同一个平面内，也可能不共面，
此时其中任意两条直线都可确定一个平面，即可确定3个平面，故D正确，
故选：D
例题2．（2022·江苏·高一课时练习）下列判断中：①三点确定一个平面；②一条直线和一点确定一个平面；
③两条直线确定一个平面；④三角形和梯形一定是平面图形；⑤四边形一定是平面图形；⑥六边形一定是
平面图形；⑦两两相交的三条直线确定一个平面.其中正确的是___________.
【答案】④
解①根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故①不对；
②根据一条直线和直线外的一点确定一个平面知，故②不对；
③由异面直线的定义知，两条直线不一定确定一个平面，故③不对；
④因梯形的一组对边平行，所以由“两条平行确定一个平面”知，梯形是一个平面图形，
又因三角形的三个顶点不共线，故④对；
⑤比如空间四边形则不是平面图形，故⑤不对；
⑥比如空间六边形则不是平面图形，故⑥不对；
⑦两两相交于同一点的三条直线，如三棱锥的三个侧面，它们确定了三个平面，故⑦不对．
故答案为：④．
题型归类练
1．（2022·北京·101中学高一期末）空间四点 共面而不共线，那么这四点中（ ）
A．必有三点共线 B．至多有三点共线
C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线【答案】B
如下图所示，A，C，D均不正确，只有B正确.
故选：B.
2．（2022·湖北·高一阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．一条直线和该直线外一个点确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．两条直线确定一个平面
【答案】B
不共线的三点确定一个平面，A错误；
易知B正确；
空间四边形无法确定一个平面，C错误；
两条相交直线或平行直线确定一个平面，D错误.
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的个数是（ ）
两两相交的三条直线可确定一个平面
两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行
过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行
和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线
A． B． C． D．
【答案】D
对于 ，两两相交的三条直线可确定一个平面或三个平面，故 错误；
对于 ，两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面平行或相交，故 错误；
对于 ，过平面外一点的直线一定在平面外，且直线与这个平面相交或平行，故 正确；
对于 ，和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线或相交直线，故 错误．正确的命题只有一个．
故选：D
4．（2022·山西·平遥县第二中学校高一期中）在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、
F、G、H四点，如果EF与GH能相交于点P，那么（ ）
A．点P不在直线AC上 B．点P必在直线BD上
C．点P必在平面ABC内 D．点P必在平面ABC外
【答案】C
CD中，点E、F分别在边AB、BC上，有 平面 ， 平面 ，则直线 平面 ，
同理，直线 平面 ，因EF、GH能相交于点P，即 ，
因此 平面 ， 平面 ，而平面 平面 ，于是有 ，A不正确，C正确，
D不正确；
又直线AC与BD没有公共点，即点P不在直线BD上，B不正确.
故选：C
题型二：空间两条直线的位置关系
典型例题
例题1．（2022·四川成都·高一期末（理））如图，两个正方形 ， 不在同一个平面内，点 ，
分别为线段 ， 的中点，则直线 与 的关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定
【答案】C
取 的中点 ，连接 ，则 ，又 ，
∴ ，则 确定平面 ，
又 平面 ， 平面 ， ， 平面 ，
∴直线FQ与PB是异面直线.
故选：C.
例题2．（2022·辽宁·营口市第二高级中学高一阶段练习）在空间内，如果两条直线 和 没有公共点，那
么 与 的位置关系是______．
【答案】异面或平行
如果两条直线 和 没有公共点，那么 与 的位置关系是异面或平行.
故答案为：异面或平行.
例题3．（2022·上海虹口·高二期末）在空间，如果两个不同平面有一个公共点，那么它们的位置关系为
________．
【答案】相交
在空间，如果两个不同平面有一个公共点，则这两个平面相交.
故答案为：相交.
题型归类练
1．（2022·山西忻州·高一期末）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确
的是（ ）
A．直线 与直线 异面 B．直线 与直线 共面
C．直线 与直线 异面 D．直线 与直线 共面
【答案】B如图，点 与点 重合，故A错误；
∵ ，且 ，∴四边形 是平行四边形，∴ ，∴ 与 是共面直线，故B正
确；
∵ ，∴ 与 相交，故C错误；
∵ ， 不在一个平面内，且 与 既不平行也不相交，∴ ， 是异面直线，故D错误.
故选：B.
2．（2022·全国·高一）正方体中，点 ， ， ， 是其所在棱的中点，则 与 是异面直线的图形是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
对于A，在正方体 中，连接 ， ，则 ，如图，
因为点 ， ， ， 是其所在棱的中点，则有 ， ，因此 ，则直线 与 共面，A错误；
对于B，在正方体 中，连接 ， ， ，如图，
因为点 ， ， ， 是其所在棱的中点，有 且 ，则四边形 为平行四边形，即有
，
又 ，因此 ，直线 与 共面，B错误；
对于C，在正方体 中，如图，
因为点 ， ， ， 是其所在棱的中点，有 ，而 平面 ， 平面 ，
则 平面 ， 平面 ，则直线 与 无公共点，又直线 与直线 相交，
于是得直线 与 不平行，则直线 与 是异面直线，C正确；
对于 ，在正方体 中，连接 ， ， ， ，如图，
因为 且 ，则四边形 为平行四边形，有 ，
因为点 ， ， ， 是其所在棱的中点，有 ， ，则 ，直线 与 共面，D错
误.
故选：C3．（2022·全国·高二课时练习）已知a和l是异面直线，b和l也是异面直线，则直线a和b的位置关系是
______．
【答案】平行或相交或异面
长方体中，如上图示：
当 时，直线a，b异面；
当 时，直线a，b平行；
当 时，直线a，b相交；
故答案为：平行或相交或异面
题型三：立体几何中的截线(截面)问题
角度1：立体几何中的截线，截面
典型例题
例题1．（2022·山东青岛·高一期末）在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则平
面 截正方体所得的截面多边形的形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】B
解：如图，把截面 补形为四边形 ，
连接 ， ，
因为 ， 分别为 ， 的中点，则 ，
又在正方体 中，
所以 ，则 四点共面.则平面 截正方体所得的截面多边形的形状为四边形.
故选：B.
例题2．（2022·广东·北京师范大学珠海分校附属外国语学校高一阶段练习）棱长为1的正方体
中，点 为棱 的中点，则过 ， ， 三点的平面截正方体的截面周长为________．
【答案】
如图，取 的中点为 ，连接 ，取 的中点为 ，连接 ，
在正方形 中，因为 、 分别为所在棱的中点，故 ，
而 ， ，故 ， ，
故四边形 为平行四边形，故
在正方形 中，因为 、 分别为所在棱的中点，故 ，
故四边形 为平行四边形，故
故 ，故四边形 为平行四边形，
故 四点共面，故过 ， ， 三点的平面截正方体的截面为平行四边形 .
又 ，故截面的周长为 ，
故答案为： .
例题3．（2022·广西钦州·高一期末）如图，沿正方体相邻的三个侧面的对角线截得一个体积为 的三棱锥，
则该正方体的棱长为________．
【答案】2设该正方体的棱长为 ，则 ，解得
故答案为：2
例题4．（2022·广东韶关·高一期末）在棱长为2的正方体 中， 是棱 的中点，则过
、 、 三点的平面截正方体所得的截面图形的面积为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】C
设平面 交棱AD于F，
由正方体性质及平面与平面平行的性质定理得 ， ，
由勾股定理可得四边形 所有边长的长度为 ，
所以 是菱形，且 为 的中点，
取 的中点 ，连接 ，则
，
故 ．
故选：C．
题型归类练
1．（2021·安徽·安庆九一六学校高二阶段练习（理））在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个
角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有 .设想正方形换成正方体，把截
线换成如图的截面，这时从正方体上截下一个三条侧棱两两垂直的三棱锥 ，如果用 ， ， 表
示三个侧面面积， 表示截面面积，那么类比得到的结论是A． B．
C． D．
【答案】B
建立从平面图形到空间图形的类比，与可得类比得到 ，故选B．
2．（多选）（2022·浙江温州·高一期末）用一个平面去截一个几何体， 所得截面的形状是正方形， 则原
来的几何体可能是（ ）
A．长方体 B．圆台 C．四棱台 D．正四面体
【答案】ACD
解：对于A：若长方体的底面为正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所得截面的形状是正方形，
故A正确；
对于B：圆台的截面均不可能是正方形，故B错误；
对于C：若四棱台的底面是正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所得截面的形状是正方形，故C
正确；
对于D：如图所示正四面体 ，将其放到正方体中，
取 的中点 ， 的中点 ，取 的中点 ， 的中点 ，
依次连接 、 、 、 ，由正方体的性质可知截面 为正方形，故D正确；
故选：ACD
3．（2022·江苏盐城·高二期末）如图，在直三棱柱 中， ，点P在
棱BC上运动，则过点P且与 垂直的平面 截该三棱柱所得的截面周长的最大值为_________．【答案】
取 中点为 ,连接 交 于 ,连接 ,所以 , ,所以
,
, ,所以 ,
,故 ,又因为平面 平面 ,其交线为 ,且
,因此 平面 ,故 ,因此 平面 ,故平面 平面 ，因为点P在
棱BC上运动，故当点P运动到点 时，此时截面最大，进而周长最大，此时周长为
故答案为：
4．（2022·浙江·杭十四中高一期末）“牟合方盖”是我国古代数学家构造的一个几何模型．如图1，正方
体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，
截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图2）．已知这个牟合方盖与正方体内切球的体积之比为 ，则
正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为__________．【答案】
正方体的体积为 ，正方体的内切球体积为 .所以牟合方盖的体积为
，正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为
故答案为：
5．（2021·全国·高二课时练习）如图所示是一个三棱锥，欲过点P作一个截面，使得截面与底面平行，该
怎样在侧面上画出截线？
【答案】见解析
在面SAB内过点P作 ，交SB于点E，
在面SAC内过点P作 ，交SC于点F，连接EF.
则面 面ABC，面PEF为所作截面.
证明：∵ ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
同理可证 平面 ， ，∴平面 平面ABC.
题型四：异面直线所成角
典型例题
例题1．（2022·重庆南开中学高一期末）正四面体 中， 是 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：取 的中点 ，连接 ，
因为D是PA中点，
所以 且 ，
所以 即为异面直线CD与PB所成角的平面角，
设 ，则 ，
则 ，
即异面直线CD与PB所成角的余弦值是 .
故选：B.
例题2．（2022·江苏·高一课时练习）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在
鳖臑 中， 平面 ， ，且 ， 为 的中点，则异面直线
与 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
取 的中点 ，连接 、 ，如下图所示：因为 、 分别为 、 的中点，则 且 ，
所以，异面直线 与 的夹角为 或其补角，
因为 平面 ， 平面 ， ，则 ，
，同理可得 ， ，
所以， ，则 .
故选：C.
例题3．（2022·天津·耀华中学高一期末）如图，已知空间四边形 的四条边以及对角线的长均为2，
､ 分别是 与 的中点，则异面直线 和 所成角的余弦值为___________.
【答案】
如图：连接 ，设 为 的中点，连接 ，
则 且 ，
所以 为异面直线 和 所成的角（或补角），
由题意可得 ，
所以 ，，
在 中由余弦定理可得：
，
故答案为：
题型归类练
1．（2022·四川南充·高二期末（文））将边长为1的正方形 （及其内部）绕 旋转一周形成圆柱，
如图， 长为 ， 长为 ，其中 与 在平面 的同侧，则异面直线 与 所成的角的余
弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
作出过点 的圆柱的母线 ，连接 ，如图，则有 ，而 ，即有 ， 为正三角形，
，因此， ， 是异面直线 与 所成的角，
由 平面 得 ，而 ，从而有 ， ，
所以异面直线 与 所成的角的余弦值为 .
故选：C
2．（2022·四川内江·高二期末（理））如图，在直三棱柱 中， 面 ，
，则直线 与直线 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
连接 交 于 ，若 是 的中点，连接 ，由 为直棱柱，各侧面四边形为矩形，易知： 是 的中点，
所以 ，故直线 与直线 夹角，即为 与 的夹角 或补角，
若 ，则 ， ，
面 ， 面 ，则 ，
而 ，又 ， 面 ，故 面 ，
又 面 ，所以 .
所以 ， ，
在△ 中 .
故选：C
3．（2022·湖北恩施·高一期末）在正方体 中，E，F分别为棱BC， 的中点，则异面
直线EF与 所成角的余弦值为______．
【答案】
如图，在正方体 中，取 的中点G，连结FG,GE,可知 ，则异面直线EF
与 所成的角为∠EFG或其补角．
设正方体 的棱长为2，则 ， ，
， ．
故答案为：
4．（2022·湖北武汉·高一期末）已知四棱锥 的底面 是矩形，其中 ，侧棱
底面 ，且直线 与 所成角的余弦值为 ，则四棱锥 的外接球体积为___________.
【答案】
如图，因为 ，故 或其补角为异面直线 与 所成的角，
因为 平面 ， 平面 ，故 ，
故 为锐角，故 ，故 ，故 .
将该四棱锥补成如图所示的长方体：
则该长方体的外接球即为四棱锥的外接球，其直径为 ，
故外接球的体积为 .
故答案为： .
5．（2022·湖南·高一期末）在正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成
角的正切值为________.
【答案】
如图所示，连接 ，在正方体 中， ，则 为异面直线 与 所成的
角或其补角，不妨设该正方体的棱长为2，
由正方体的性质可得 平面 ， 平面 可得 ，在 中， .
故答案为：
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题（理））在正方体 中，P为 的中点，则直线 与 所成
的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
如图，连接 ，因为 ∥ ，
所以 或其补角为直线 与 所成的角，
因为 平面A B C D ，所以 ，又 ， ，
1 1 1 1
所以 平面 ，所以 ，
设正方体棱长为2，则 ，
，所以 .
故选：D2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在四边形ABCD中， ， ，P为空间中的
动点， ，E为PD的中点，则动点E的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：如图，作 的中点 ，连接 ， ．因为 ， ，
所以 ．因为 ， ，所以 ，
故四边形 为平行四边形，则有 ，且 ，则有点 的轨迹长度与点 的轨迹长度相同，
过点 作 于 ，则点 的轨迹是以 为圆心 长为半径的圆，且 ，
故点 的轨迹长度为 ．
故选：D．
3．（2022·全国·模拟预测）已知正方体中 ，E，G分别为 ， 的中点，则直线 ，
CE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
如图所示：
取AB的中点F，连接EF，CF，易知 ，则∠ECF（或其补角）为直线 与CE所成角．不妨设，则 ， ， ，由余弦定理得 ，即直线 与CE
所成角的余弦值为 ．
故选：C．
4．(多选）（2022·全国·高考真题）已知正方体 ，则（ ）
A．直线 与 所成的角为 B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成的角为 D．直线 与平面ABCD所成的角为
【答案】ABD
如图，连接 、 ，因为 ，所以直线 与 所成的角即为直线 与 所成的角，
因为四边形 为正方形，则 ，故直线 与 所成的角为 ，A正确；
连接 ，因为 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，故B正确；
连接 ，设 ，连接 ，
因为 平面A B C D ， 平面A B C D ，则 ，
1 1 1 1 1 1 1 1
因为 ， ，所以 平面 ，
所以 为直线 与平面 所成的角，
设正方体棱长为 ，则 ， ， ，
所以，直线 与平面 所成的角为 ，故C错误；
因为 平面 ，所以 为直线 与平面 所成的角，易得 ，故D正确.
故选：ABD
5．（多选）（2022·湖北·模拟预测）棱长为1的正方体 中，P、Q分别在棱BC、 上，
， ， ， 且 ，过A、P、Q三点的平面截正方体 得到截面多边形，则（ ）
A． 时，截面一定为等腰梯形 B． 时，截面一定为矩形且面积最大值为
C．存在x，y使截面为六边形 D．存在x，y使 与截面平行
【答案】BD
对A， 时，截面为矩形，故A错；
对B，当 时，点 与点 重合，设过A、P、Q三点的平面交 于 ，则因为平面 平面
，故 ，且 ，此时截面为矩形，当点 与点 重合时面积最大，此时截面积
，B正确；
对C，截面只能为四边形、五边形，故C错；
对D，当 ， 时，延长 交 延长线于 ，画出截面 如图所示.此时因为 ，
，故 ，则 .由面面平行的截面性质可得 ，
，故 ，此时 ，故 且 ，故平行四边形 ，故
，根据线面平行的判定可知 与截面平行，故D正确．故选：BD
