文档内容
第 02 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”............................................2
题型二：截面问题................................................................................................................................4
题型三：异面直线的判定....................................................................................................................5
题型四：异面直线所成的角................................................................................................................6
题型五：平面的基本性质....................................................................................................................6
题型六：等角定理................................................................................................................................7
02 重难创新练......................................................................................................................................8
03 真题实战练....................................................................................................................................13题型一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”
1．如图所示，四边形 和四边形 都是梯形， ， ，
分别为 ， 的中点．
(1)证明：四边形 是平行四边形；
(2) ， ， ， 四点是否共面？为什么？
2．如图， 为空间四边形，点 、 分别是 、 的中点，点 、 分别在 、 上，且
， ．求证：
(1) 、 、 、 四点共面；
(2) 、 必相交且交点在直线 上．3．若 所在的平面和 所在平面相交，并且直线 相交于一点O，求证：
(1) 和 、 和 、 和 分别在同一平面内；
(2)如果 和 、 和 、 和 分别相交，那么交点在同一直线上（如图）.
4．（2024·河南·模拟预测）在正四棱柱 中，O为 的中点，且点E既在平面 内，
又在平面 内．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，E为AO的中点，E在底面ABCD内的射影为H，指出H所在的位置（需要说明理
由），并求线段 的长．
题型二：截面问题
5．（2024·高三·福建·期中）已知正方体 的体积为 ，点 在线段 上，点 异于点 ，，点 在线段 上，且 ，若平面 截正方体 所得的截面为四边形，则线段
长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆锥的底面面积为 ，其侧面展开图的圆心角为 ，则过该圆锥顶点做截面，截面三角形面积
最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
7．（2024·四川·一模）设正方体 的棱长为1，与直线 垂直的平面 截该正方体所得的
截面多边形为M．则下列结论正确的是（ ）．
A．M必为三角形 B．M可以是四边形
C．M的周长没有最大值 D．M的面积存在最大值
8．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最
大值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·全国·模拟预测）如图，在正四棱柱 中， ，过点 作
垂直于直线PC的截面 ，则以 为顶点，截面 为底面的棱锥的体积为（ ）
A．42 B．48 C．56 D．63
10．如图，在棱长为2的正方体 中， ， 分别为棱 和 的中点，过点 ， ，
的平面 交 于点 ，则 （ ）A． B． C． D．
题型三：异面直线的判定
11．（2024·江西南昌·二模）在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
分别为 ， 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． ， 是异面直线， B． ， 是相交直线，
C． ， 是异面直线， 与 不垂直 D． ， 是相交直线， 与 不垂直
12．（2024·上海·模拟预测）如下图， 是正方体 面对角线 上的动点，下列直线中，
始终与直线 异面的是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
13．已知正方体 中， ， ， 分别是棱 ， ， 的中点， 是线段 上的
动点，则下列直线中，始终与直线 异面的是（ ）
A． B． C． D．
题型四：异面直线所成的角
14．如图，在直三棱柱 中，所有棱长都相等， 分别是棱 的中点，
则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ）A． B． C． D．
15．在正方体 中， 分别为 、 、 、 的中点，则异面直线 与
所成的角等于（ ）
A． B． C． D．
16．（2024·高三·陕西西安·期末）如图，在长方体 中， ，异面直线 与
所成的的余弦值为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
17．（2024·上海杨浦·二模）正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为 .
题型五：平面的基本性质
18．下列说法不正确的是（ ）
A．若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线
B．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
C．若α∩β＝l，a α，b β，a∩b＝A，则A∈l
D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
⊂ ⊂
19．如图，在正方体 中，P，Q分别是棱 ， 的中点，平面 平面 ，
则下列结论错误的是（ ）A． 过点B
B． 不一定过点B
C． 的延长线与 的延长线的交点在 上
D． 的延长线与 的延长线的交点在 上
20．若空间中 个不同的点两两距离都相等，则正整数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型六：等角定理
21．设 和 的两边分别平行，若 ，则 的大小为 .
22．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是 .
23．已知空间中两个角 ， ，且角 与角 的两边分别平行，若 ，则 .
24．如图，正方体 中，E，F，G分别是棱 ， 及 的中点， ，则
.
25．已知空间两个角 和 ，若 ， ，则 ．1．（2024·山东淄博·二模）已知α，β，γ为三个不同的平面，a，b，l为三条不同的直线．
若
则下列说法正确的是（ ）
A．a与l相交 B．b与l相交 C．a∥b D．a与β相交
2．（2024·吉林·模拟预测）如图，位于江城广场某大厦楼顶的四面钟与摇橹人雕像相映成趣，一直以来是
吉林市的重要地标之一.该时钟整体呈正方体造型，在相邻两个时钟正常运行的过程中，两时针所在直线所
成的角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，已知正四棱锥 的所有棱长均相等， 为棱 的中点，
则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·天津和平·三模）已知正方体 的棱长为6，点 ， 分别在棱 ， 上，
且满足 ，点 为底面 的中心，过点 ， ， 作平面 ，则平面 截正方体
所得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知 分别是棱长为2的正四面体 的对棱 的中点.过的平面 与正四面体 相截，得到一个截面多边形 ，则正确的选项是（ ）
①截面多边形 可能是三角形或四边形.
②截面多边形 周长的取值范围是 .
③截面多边形 面积的取值范围是 .
④当截面多边形 是一个面积为 的四边形时，四边形的对角线互相垂直.
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④
6．（2024·上海·三模）如图，点N为正方形ABCD的中心， 为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，
M是线段EB的中点，则（ ）
A．DM≠EN，且直线DM、EN是异面直线
B．DM＝EN，且直线DM、EN是异面直线
C．DM≠EN，且直线DM、EN是相交直线
D．DM＝EN，且直线DM、EN是相交直线
7．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图所示，在正方体 中，M是棱 上一点，平面
与棱 交于点N.给出下面几个结论，其中所有正确的结论是（ ）
①四边形 是平行四边形；②四边形 可能是正方形；③存在平面 与直线 垂直；④
任意平面 都与平面 垂直.
A．①② B．③④ C．①④ D．①②④
8．（2024·重庆·模拟预测）如图，已知四边形 是平行四边形， 分别是 的中点，点P在
平面 内的射影为 与平面 所成角的正切值为2，则直线 与 所成角的余弦值为
（ ）A． B． C． D．
9．（多选题）（2024·吉林长春·模拟预测）下列基本事实叙述正确的是（ ）
A．经过两条相交直线，有且只有一个平面
B．经过两条平行直线，有且只有一个平面
C．经过三点，有且只有一个平面
D．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面
10．（多选题）（2024·安徽芜湖·模拟预测）如图，长方体 ，过点 作平面 的垂线，垂足为点 ．
则以下命题中，正确的是（ ）
A．点 是 的垂心 B． 垂直平面
C． 的延长线经过点 D．直线 和 是异面直线
11．（多选题）（2024·重庆·三模）如图，已知正方体 中， 分别为棱
、 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A． 四点共面 B． 与 异面
C． D．RS与 所成角为12．（多选题）（2024·浙江温州·三模）已知空间两条异面直线 所成的角等于60°，过点 与 所成
的角均为 的直线有且只有一条，则 的值可以等于（ ）
A．30° B．45° C．75° D．90°
13．（2024·全国·二模）已知长方体 的底面ABCD为边长是2的正方形， ，
E，F分别为棱AB， 的中点，则过 ，E，F的平面截长方体 的表面所得截面的面积
为 .
14．（2024·辽宁大连·二模）如图，圆柱的轴截面为矩形 ，点 ， 分别在上、下底面圆上，
， ， ， ，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为 .
15．（2024·山东济南·三模）在正四棱柱 中， ， ，M，N分别是 ，
的中点，则平面MNC 截该四棱柱所得截面的周长为 ．
1
16．（2024·贵州毕节·三模）在正方体 中，点P是线段 上的一个动点，记异面直线
DP与 所成角为 ，则 的最小值为 ．
17．（2024·四川凉山·三模）如图，在正四棱柱 中， ， ，点 ， ， ，
分别在棱 ， ， ， 上， ．
(1)证明：点 在平面 中；
(2)求多面体 的体积．18．（2024·山东·二模）如图所示，直三棱柱 ，各棱长均相等. ， ， 分别为棱 ， ，
的中点.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求直线 与 所成角的正弦值.
19．（2024·贵州贵阳·二模）如图.直四棱柱 的底面为菱形，且 分别是上，
下底面的中心， 是AB的中点， .
(1)当 时，求直线 与直线EC所成角的余弦值；
(2)是否存在实数k，使得 在平面EBC内的射影 恰好为 的重心.若存在，求出点 的坐标;若不存
在，请说明理由.1．（2002年普通高等学校招生考试数学（理）试题（新课标））已知 ， 为异面直线， 平面 ，
平面 ， ，则 （ ）
A．与 ， 都相交 B．与 ， 中至少一条相交
C．与 ， 都不相交 D．至多与 ， 中的一条相交
2．（2006 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（上海卷））已知空间四个点，则“这四个点中有三
点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2006 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（上海卷））若空间中有两条直线，则“这两条直线
为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
4．（2002年普通高等学校招生考试数学（理）试题（大纲卷））正六棱柱 的底面边
长为1，侧棱长为 ，则这个棱柱侧面对角线 与 所成的角是（ ）
A． B． C． D．
5．（2001年普通高等学校招生考试数学（理）试题（京蒙皖））如图是正方体的平面展开图，在这个正
方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°；④DM与BN垂直.以上四个命
题中，正确命题的序号是（ ）
A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④
6．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（大纲卷））已知正四面体ABCD中，E是AB的
中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
7．（2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学卷（湖南））如图1，在正四棱柱
中， 分别是 ， 的中点，则以下结论中不成立的是（ ）
A． 与 垂直 B． 与 垂直
C． 与 异面 D． 与 异面
8．（2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅱ））已知正四棱柱 中，
，E为 中点，则异面直线BE与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2011年浙江省普通高等学校招生统一考试文科数学）若直线 不平行于平面 ，且 ，则
A． 内的所有直线与 异面 B． 内不存在与 平行的直线
C． 内存在唯一的直线与 平行 D． 内的直线与 都相交
10．（2010年绥滨一中高一下学期期末考试数学卷）经过同一条直线上的3个点的平面
A．有且只有一个 B．有且只有3个
C．有无数多个 D．不存在
11．（2002 年普通高等学校春季招生考试数学试题（上海卷））如图是表示一个正方体表面的一种平面
展开图，图中的四条线段 ､ ､ 和 在原正方体中相互异面的有 对
12．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））如图，在长方体 中，点 ，
分别在棱 ， 上，且 ， ．证明：（1）当 时， ；
（2）点 在平面 内．
