文档内容
第 04 讲 空间直线、平面的垂直 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：直线、平面垂直的判定与性质
题型二：平面与平面垂直的判定与性质
题型三：平行、垂直关系的综合应用
题型四：几何法求线面角
题型五：几何法求二面角
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：直线与平面垂直
1、直线和平面垂直的定义
如果一条直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，那么直线 垂直于平面 ，记为 ．直
线 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足.
符号语言：对于任意 ，都有 .
2、直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
简记：线线垂直 线面垂直
符号语言： ， ， ， ，
3、直线和平面垂直的性质定理
3.1定义转化性质：如果一条直线 与平面 垂直，那么直线 垂直于平面 内所有直线.
符合语言： ， .
3.2性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
符合语言： ，
知识点二：直线与平面所成角1、直线与平面所成角定义
如图，一条直线 和一个平面 相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜
线，斜线和平面的交点 叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线 ，过垂足
和斜足 的直线 叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射
影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
说明：① 为斜线
② 与 的交点 为斜足
③直线 为在平面 上的射影
④直线 与射影 所成角 (角 )为直线 与平面 上所成角
⑤当直线 与平面 垂直时： ；当直线 与平面 平行或在平面 内时：
⑥直线与平面所成角 取值范围： .
2、直线与平面所成角的求解步骤
①作：在斜线上选取恰当的点向平而引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键；
②证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义；
③算：一般借助三角形的相关知识计算.
知识点三：二面角
1、二面角定义
（1）定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面
叫做二面角的面．
（2）符号语言：
①二面角 .
②在 , 内分别取两点 ， ( , ),可记作二面角 ;
③当棱记作 时，可记作二面角 或者二面角 .
2、二面角的平面角
（1）定义：在二面角 的棱 上任取一点 ,以点 为垂足,在半平面 和 内分别作垂直与直线
的射线 , ,则射线 和 构成的 叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面
角.（2）说明：
①二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度；
②二面角的大小与垂足 在 上的位置无关一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的；
③构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的
两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可，前两个要素决定了二面
角的平面角大小的唯一性，后一个要素表明平面角所在的平面与棱垂直；
④二面角的平面角 的范围是 ，当两个半平面重合时， ；当两个半平面合成一个平面
时，
⑤当两个半平面垂直时， ，此时的二面角称为直二面角.
3、二面角的平面角 的取值范围：
4、二面角平面角求法
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半
平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用
二面角的平面角定义的三要素来找出平面角.
（2）三垂线定理及其逆定理
①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜
线垂直.
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另
一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角.
(3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交
线所成的角，就是二面角的平面角.
(4)转化法：化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角（或其补角）.
(5)向量法：用空间向量求平面间夹角的方法
知识点四：平面与平面垂直
1、平面与平面垂直的定义
（1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
（2）符号语言:
（3）图形语言2、平面与平面垂直的判定
（1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直)
（2）符号（图形）语言: ，
3、平面与平面垂直的性质定理
（1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
(2)符号（图形）语言： ， ，a⊂α,a⊥l .
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）若平面 平面 ，任取直线 ，则必有 ．( )
（2）已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．( )
（3）已知两个平面互相垂直，那么一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线．( )
2．（2022·全国·高一课时练习）空间中直线l和三角形的两边 ， 同时垂直，则这条直线和三角形的
第三边 的位置关系是( )
A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定
3．（2022·全国·高一课时练习）对于直线m，n和平面 ，能得出 的一个条件是( )
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高一课时练习）已知 ，则过l与 垂直的平面( )
A．有1个 B．有2个 C．有无数个 D．不存在
5．（2022·全国·高一课时练习）若平面 平面 ，平面 平面 ，则( )A． B． C． 与 相交但不垂直 D．以上都有可能
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：直线、平面垂直的判定与性质
典型例题
例题1．（2022·山东省莱西市第一中学高一期中）如图， 和 都垂直于平面 ，且 ，
， 是 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： 平面 ．
例题2．（2022·广西贵港·高二期末（文））如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， 分别
是 ， 的中点，且 ．(1)证明： 平面 ．
例题3．（2022·辽宁·沈阳二十中高一期末）已知四棱锥 中，平面 平面 ，底面
为矩形，点E在AD上，且 ， ， 为 的中点， ， ．
(1)证明： ；
例题4．（2022·北京·高一期末）如图，在四棱锥 中，平面 底面 ，底面 为平
行四边形， .(1)求证： ；
(2)在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，指出点 的位置；若不存在，请说明理由.
题型归类练
1．（2022·全国·高二专题练习）如图，四棱锥 中， 为矩形， ，且
． 为 上一点，且 ．
(1)求证： 平面 ；
2．（2022·全国·高二单元测试）在四棱锥 中，已知 ， ， ，
， ， ， 是 上的点．(1)求证： 底面 ；
3．（2022·河北唐山·高一期末）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是矩形， 平面ABCD，M
为AD的中点且 .
(1)证明： ；
4．（2022·福建三明·高一期末）如图，在直三棱柱 中，E为 的中点，且 ．(1)证明：AB⊥BC；
题型二：平面与平面垂直的判定与性质
典型例题
例题1．（2022·四川绵阳·高二期末（理））如图，在四棱锥 中， 底面 ， ，
， ， ， 为棱 的中点， 是线段 上一动点.
(1)求证：平面 平面 ；
例题2．（2022·北京延庆·高一期末）如图，在四棱锥 中，已知底面 是一个菱形，
，且 ，平面 平面 .(1)求证： ；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)求证： .
例题3．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）如图，在四棱柱 中， ， ，
底面 是菱形， ，平面 平面 ， ．
(1)证明： 平面 ；
例题4．（2022·广东茂名·高二期末）在四棱锥 中，底面 为矩形，平面 平面 .(1)求证：平面 平面 ；
题型归类练
1．（2022·江西·景德镇一中高一期末）如图所示，已知菱形 和矩形 所在平面互相垂直，
， ， .
(1)证明：平面 平面 ；
2．（2022·河南南阳·高一期末）如图，已知 是正三角形， 、 都垂直于平面 ，且
， 为 的中点．(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ．
3．（2022·重庆市实验中学高一期末）如图，四棱锥 中， 平面 ， ，
， ， 为 的中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值；
4．（2022·全国·高一单元测试）如图，在四棱锥 中，平面 平面ABCD，四边形ABCD为
等腰梯形， ∥ ， ， ， ， ．(1)求证： ；
题型三：平行、垂直关系的综合应用
典型例题
例题1．（2022·四川成都·高一期末）如图，三棱锥 中，等边三角形 的重心为 ，
， ， ， ， ， 分别是棱 ， ， 的中点， 是线段
的中点.
(1)求证： 平面DEF；
(2)求证：平面 平面 .
例题2．（2022·福建三明·高一期末）如图1，在平行四边形 中， ， ， ，
是边 上的点，且 ．连结 ，并以 为折痕将 折起，使点 到达点 的位置，得到四棱锥 ，如图2．
(1)设平面 与平面 的交线为 ，证明： ；
(2)在图2中，已知 ．
①证明：平面 平面 ；
②求以 ， ， ， 为顶点的四面体外接球的表面积．
题型归类练
1．（2022·四川成都·高三期末（理））如图，已知正方体 的棱长为2，M，N分别为 ，
的中点．有下列结论：
①三棱锥 在平面 上的正投影图为等腰三角形；
②直线 平面 ；
③在棱BC上存在一点E，使得平面 平面 ；
④若F为棱AB的中点，且三棱锥 的各顶点均在同一求面上，则该球的体积为 ．
其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2022·河南新乡·高二期末（文））如图，在棱长为2的正方体 中，点M在线段
（不包含端点）上运动，则下列4个命题中所有正确命题的序号为（ ）①异面直线 与 所成角的取值范围是 ；
② ；
③三棱锥 的体积为定值 ；
④ 的最小值为 ．
A．②④ B．①④ C．②③④ D．①③
3．（2022·河南·信阳高中高一阶段练习）在三棱锥 中，三条棱 、 、 两两垂直，且
，若点 、 、 、 均在球 的球面上， 为球面上的一个动点，以下说法，其中正
确的序号是（ ）
①球 的表面积为
② 到平面 的距离为
③三棱锥 体积的最大值为
④存在点 ，使 平面
A．②③④ B．②④ C．①②④ D．①③④
4．（2022·江苏·高一课时练习）如图，在直三棱柱 中， 是边长为 的正三角形，
为 的中点， 为线段 上的动点，则下列说法正确的是_______.（填写序号）
① 平面 ；②三棱锥 的体积的最大值为 ；
③ 与 为异面直线；④存在点 ，使得 与 垂直.5．（2022·四川宜宾·高一期末）如图，正方体 的棱长为1，点P是线段 上的动点，给
出以下四个结论：
① ；
②三棱锥 体积为定值；
③当 时，过P，D，C三点的平面与正方体表面形成的交线长度之和为3；
④若Q是对角线 上一点，则PQ＋QC长度的最小值为 ．
其中正确的序号是______．
6．（2022·河南安阳·高二期末（理））如图，在正方体 中， 是棱 的中点， 是侧面
内的动点，且 平面 ，下面说法中正确的是______（将所有正确的序号都填上）
①存在一点 ，使得 ；②存在一点 ，使得 ；
③点 的轨迹是一条直线；④三棱锥 的体积是定值．
题型四：几何法求线面角
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，已知正四棱锥 底面边长为2，侧棱长为4，为侧棱 中点，则直线 与底面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·湖南·高一阶段练习）在正四棱柱 中， 与平面 所成角的正弦值
为 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知点 为圆台 下底面圆 的圆周上一点， 为上
底面圆 的圆周上一点，且 ， ， ，记直线 与直线 所成角为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
题型归类练
1．（2022·安徽·合肥市第六中学高一期末）等边 的边长为 ，过点 的直线 与过 的平面 交于
点 ．将平面 绕 转动（不与平面 重合），且三条直线 、 、 与平面 所成的角始终相等．
当三棱锥 体积最大时， 与平面 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·吉林·抚松县第一中学高一阶段练习）已知如图，在三棱柱 中，底面 是等边三
角形， ， 在底面的射影为 的中点， 为 的中点，则直线 与平面 所成角
的正弦值为（ ）A． B． C． D．
3．（2022·重庆长寿·高一期末）如图，直三棱柱 中， ， ， ，
则直线 与平面 所成角的正弦值为__________．
4．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）如图，在正三棱柱 中，各棱长均为4，M，N分别
是BC， 的中点，则直线AB与平面 所成角的余弦值为_________.
5．（2022·贵州·高一阶段练习）如图，在正四棱锥 中，所有棱长均相等，点 为 中点，则直
线 与平面 所成角的正弦值为_________.题型五：几何法求二面角
典型例题
例题1．（2022·全国·高一）若一个正四棱锥的高和底面边长都为 ，则它的侧面与底面所成角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高一）在三棱锥 中， ， ，则二面角
的大小为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·江苏淮安·模拟预测）周总理纪念馆是由正方体和正四棱锥组合体建筑设计，如图所示，若
该组合体接于半径R的球O（即所有顶点都在球上），记正四棱锥侧面 与正方体底面A B C D 所成
1 1 1 1
二面角为 ，则 _________．
题型归类练
1．（2022·甘肃平凉·二模（理））在四棱锥 中，底面 是矩形， 底面 ，且
， ，则二面角 的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2．（2022·重庆市第七中学校高一期末）正方体 中，二面角 的平面角的余弦值
为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏省江浦高级中学高一期末）在四棱锥 中， ， ，平面 平面 ， ， ，则二面角 的正切值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·北京·高一期末）如图正方体 的棱长为 ，则二面角 的正弦值为
___________.
5．（2022·全国·高三专题练习）如图，三棱柱 的底面是边长为 的正三角形， ，
， 为 的中点， ，则二面角 的正切值为______.
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·全国·高考真题（理））在长方体 中，已知 与平面 和平面 所成的角均为 ，则（ ）
A． B．AB与平面 所成的角为
C． D． 与平面 所成的角为
2．（多选）（2022·全国·高考真题）已知正方体 ，则（ ）
A．直线 与 所成的角为 B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成的角为 D．直线 与平面ABCD所成的角为
3．（多选）（2021·全国·高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为
正方体的顶点．则满足 的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·全国·高考真题（文））已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，
E，F分别为 和 的中点， .
（1）求三棱锥 的体积；
（2）已知D为棱 上的点，证明： .5．（2022·全国·高考真题（文））如图，四面体 中， ，E为AC
的中点．
(1)证明：平面 平面ACD；
(2)设 ，点F在BD上，当 的面积最小时，求三棱锥 的体积．
