文档内容
第 09 讲 立体几何与空间向量 章节总结
(精讲）
第一部分：典型例题讲解
题型一：空间位置关系证明的传统法与向量法
角度1：用传统法证明空间的平行和垂直关系
角度2：利用向量证明空间的平行和垂直关系
题型二：空间角的向量求法
角度1：用传统法求异面直线所成角
角度2：用向量法求异面直线所成角
角度3：用向量法解决线面角的问题（定值+探索性问题（最值，求参数））
角度4：用向量法解决二面角的问题（定值+探索性问题（最值，求参数））
题型三：距离问题
角度1：点 到直线 的距离
角度2：点 到平面 的距离（等体积法）
角度3：点 到平面 的距离（向量法）
题型四：立体几何折叠问题
第二部分：高考真题感悟
第一部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：空间位置关系证明的传统法与向量法
角度1：用传统法证明空间的平行和垂直关系
典型例题
例题1．（2022·四川成都·高一期末（文））如图，四边形ABCD为长方形， ， ，点 、
分别为 、 的中点．设平面 平面 ．(1)证明： 平面 ；
(2)证明： ．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；
(1)取PB中点 ，连接FG，EG，
因为点E、F分别为AD、PC的中点，
所以 ， ，
因为四边形ABCD为长方形，所以 ，且 ，
所以 ， ，所以四边形DEGF为平行四边形，
所以 因为 平面PBE， 平面PBE， 平面PBE；
(2)由（1）知 平面PBE，又 平面PDC，平面 平面 ，
所以 .
例题2．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）如图，在四面体 中， ， ，点 是 的
中点， ，且直线 面 ．
(1)直线 直线 ；
(2)平面 平面 ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
(1) 直线 平面 ， ，平面 平面 ，
．
(2) ， 是 的中点，
是 的中点．
又 ，
，
又 ， ，
，
又 ， ， ， 平面 ，
平面 ，
又 平面 ，
平面 平面
例题3．（2022·福建·厦门市湖滨中学高一期中）如图，在正方体 中， 为 的中点，
为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
(1)证明：连接 交 于点 ，则 为 的中点，因为 为 的中点，则 ，
平面 ， 平面 ，因此， 平面 .
(2)证明：因为 且 ， 为 的中点， 为 的中点，
所以， ， ，所以，四边形 为平行四边形，
所以， ， 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
因为 ，因此，平面 平面 .
例题4．（2022·甘肃酒泉·高二期末（文））如图，在四棱锥 中， 是边长为2的正三角
形， ， ， ， ， ， ， 分别是线段 ， 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
(1)证明：如图，取 中点 ，连 ， ．
∵ 为中位线，∴ ，又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
同理，在梯形 中， ，又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，且 平面 ， 平面 ， ，
∴平面 平面 ．又 平面 ，所以 平面 ．(2)证明：如上图，在四边形 中，过 作 交 于 ，
在 中，得 ， ， ，则 ，得 ，
∵ ，∴ ．
又由已知条件 ， ，故 平面 ．
又 平面 ，∴平面 平面 ．
角度2：利用向量证明空间的平行和垂直关系
典型例题
例题1．（2022·全国·高二专题练习）如图，在直三棱柱 中， 为
的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面 ．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
(1)在直三棱柱 中，
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，设 ，则 ， ， ，
， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
，且 平面 ，则 平面
(2) ， ，
设平面 的一个法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
又平面 的法向量 ，则 ，则
平面 平面 ．
例题2．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在直四棱柱 中，底面 为等腰梯形，
， ， ， ， ， ， 分别是棱 ， ， 的中点．
求证：（1）直线 平面 ；
（2）平面 平面 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.（1）因为 ， ， 是棱 的中点，所以 ，则 为正三角形．
因为底面 为等腰梯形，所以 ．
取 的中点 ，连接 ，则 ，所以 ．
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ．
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，可得平面 的一个法向量为 ，
则 ，所以 ．
又直线 平面 ，所以直线 平面 ．
（2）因为 ， ， ，
所以 ， ．
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，可得平面 的一个法向量为 ．
由（1）知 ，所以 ，即 ，所以平面 平面 ．
例题3．（2022·全国·高二专题练习）如图，四棱锥 中， 底面 ， ， ，
， 是 的中点．求证：（1） ；（2） 平面 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
方法一 （1）以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角
坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，所以 ，
，所以 ，所以 ．
（2）由（1），得 ， ， ．
设向量 是平面 的法向量，则 ，即 ，取 ，则 ，
所以 ，所以 ，所以 平面 ．
方法二 （1）∵ 底面 ，∴ ．又 ， ，∴ 平面 ．∵
平面 ，∴ ．
（2）∵ 底面 ，∴ ．又 ， ，∴ 平面 ，∴ ．
由题可得 ，由 是 的中点，∴ ．
又 ， ，∴ 平面 ，∴ ．∵ ， ， ，
∴ 平面 ．
例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体 中， 为棱 上的动点．（1）求证： ；
（2）若平面 平面 ，试确定 点的位置．
【答案】（1）证明见解析；（2）E为CC 的中点.
1
以D为坐标原点，以DA，DC，DD 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
1
设正方体的棱长为a，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A(a，0，a)，C (0，a，a)．
1 1
设E(0，a，e)(0≤e≤a)．
（1） ＝(－a，a，e－a)， ＝(－a，－a，0)，
＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，
∴ ，即AE⊥BD；
1
（2）设平面ABD，平面EBD的法向量分别为 ＝(x，y，z)， ＝(x，y，z)．
1 1 1 1 2 2 2
∵ ＝(a，a，0)， ＝(a，0，a)， ＝(0，a，e)
∴ ， ， ， .
∴ ,
取x＝x＝1，得 ＝(1，－1，－1)， ＝(1，－1， )．
1 2由平面ABD⊥平面EBD得 ⊥ .
1
∴2－ ＝0，即e＝ .
∴当E为CC 的中点时，平面ABD⊥平面EBD.
1 1
题型二：空间角的向量求法
角度1：用传统法求异面直线所成角
典型例题
例题1．（2022·重庆·西南大学附中高一期末）正四面体 中， ， 分别是 和 的中点，则
异面直线 和 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
连接 ，取 的中点 ，连接 ，
因为 为 的中点，
所以 ∥ ，
所以 为异面有线CE和AF所成角或其补角，
设正四面体的棱长为2，则 ， ,
所以 ，
所以在 中，由余弦定理得
,
所以异面有线CE和AF所成角的余弦值为 ，
故选：C例题2．（2022·福建莆田·高二期末）若正六棱柱 底面边长为1，高为 ，则直线
和 所成的角大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意， 平移到 ，则 为所求.
由于 ，
故选：C.
例题3．（2022·河北邯郸·高一期末）如图，在圆台 中， ， ，且
， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：如图，连接 ，因为 ， ，且
所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
所以 即为异面直线 与 所成角或其补角，因为，在圆台 中， 平面 ，
所以 平面 ， ，
因为 ，
所以 ，
所以，在 中， ，
所以
所以，异面直线 与 所成角的余弦值为
故选：C
例题4．（2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末）如图， 是正方体的一个“直角尖” （
两两垂直且相等）棱 的中点， 是 中点， 是 上的一个动点，连接 ，则当 与
所成角为最小时， _________．
【答案】
解：根据题意， 两两垂直，故以 为坐标原点，建立空间直角坐标系如下图所示：不妨设
，则
， ， ， ， ，
设点 的坐标为 ，
则 ，所以 ,
所以 ，设直线 与 所成角为
则 ①
令 ，则 .
代入①得：
所以，当 即 时， 取得最大值，此时 取得最小值.
从而 ，所以 .
故 .
故答案为： .
角度2：用向量法求异面直线所成角
典型例题
例题1．（2022·山东德州·高一期末）已知 ､ ､ ､ 分别是正方体 ，边 ， ，
， 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为___________.
【答案】
，
，
设该正方体的棱长为 ，显然 ，
于是有 ，
所以 ，，
所以 ，
因此异面直线EH与GF所成角的余弦值为 ，
故答案为：
例题2．（2022·河南省兰考县第一高级中学模拟预测（理））已知三棱柱 的底面是边长为2
的等边三角形，侧棱长为2， 为 的中点，若 ，则异面直线 与 所成角的
余弦值为______．
【答案】
由题意， , ,
所以 ，
，
，
所以
故答案为： .
角度3：用向量法解决线面角的问题（定值+探索性问题（最值，求参数））
典型例题
例题1．（2022·全国·高二单元测试）如图，四棱锥 中，底面 为平行四边形，且， ， ，若二面角 为 ，则 与平面 所成角的正弦值
为__________．
【答案】
取 中点 ，连接 ，如图，则由已知得 ， ，
所以 为二面角 的平面角，所以 ，
又 ， ，
中， ， ，所以 ，
由 ， 平面 ，得 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，所以 ，
，所以 ，
以 为 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ， ， ，
，平面 的一个法向量是 ，
，
所以 与平面 所成角的正弦值为 ．
故答案为： ．例题2．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）如图，在四棱锥 中，底面 为菱形，
， 为 的中点， ．
(1)点 在线段 上， ，求证： 平面 ；
(2)在（1）的条件下，若 ，求直线 和平面 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明：连接 交 于 ，连接 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面MQB；(2)解：连接 ， 由题意 ， 都是等边三角形，
因为 是 中点，所以 ，又 ，
所以 平面 ， ，
在 中， ，所以 ，
在平面 内作 于 ，则 ，
由 平面 ，所以 ，又 ，
所以 平面 ，
以点 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
由 ，可得 ，所以 ，
设平面 的法向量 , 则 ，
可取 ，则 ，直线 的方向向量 ，
设直线 和平面 所成角为 ，则 ，
所以 ，即直线 和平面 所成角的余弦值等于 .
例题3．（2022·天津一中高一期末）如图， 且 ， ， 且 ，
且 ． 平面 ， ．
(1)若 为 的中点， 为 的中点，求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的正弦值；
(3)若点 在线段 上，且直线 与平面 所成的角为 ，求线段 的长．
【答案】(1)见解析(2) (3)
(1)证明：因为 平面ABCD， 平面ABCD，
所以 ，
因为 ，
所以 两两垂直，
所以以D为原点，分别以 ， ， 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），
则D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G
（0，0，2），M（0， ，1），N（1，0，2）．
所以 =（0，2，0）， =（2，0，2）．
设 为平面CDE的法向量，则
，令 ，则 ．因为 =（1， ，1），
所以 ，
因为直线MN 平面CDE，
所以MN∥平面CDE．
(2)解：依题意，可得 =（–1，0，0）， ， =（0，–1，2）．
设 为平面BCE的法向量，则 ，令 ，则 ，
设 为平面BCF的法向量，则 ，令 ，则 ，
所以 ，
所以平面EBC与平面BCF的夹角的正弦值为
(3)解：设线段DP的长为h（ ），则点P的坐标为（0，0，h），可得 ．
因为 ， ，
所以 平面
所以 =（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，
所以 ，
由题意，可得 ，解得 ．
所以线段 的长为 .例题4．（2022·湖北·鄂州市教学研究室高二期末）莲花山位于鄂州市洋澜湖畔．莲花山，山连九峰，状若
金色莲初开，独展灵秀，故而得名．这里三面环湖，通汇长江，山峦叠翠，烟波浩渺．旅游区管委会计划
在山上建设别致凉亭供游客歇脚，如图①为该凉亭的实景效果图，图②为设计图，该凉亭的支撑柱高为3
m，顶部为底面边长为2的正六棱锥，且侧面与底面所成的角都是 ．
(1)求该凉亭及其内部所占空间的大小；
(2)在直线 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，请确定点
的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)60
(2)直线PC上不存在点M，使得直线MA与平面 所成角的正弦值为 ，理由见解析
(1)结合图②易得凉亭的顶是正六棱锥，侧面与水平面成45°，取 的中点G，连接 ，PG，则
， ，故 ，易求 ，所以 ，
所以该凉亭的体积分为两部分，上半部分为正六棱锥，其体积为，下半部分为正六棱柱，
其体积 ，
所以该凉亭及内部所占空间为60 ，
(2)取AB的中点H，以OH、FC、OP所在直线分别为x，y，z轴，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标
系 ，如图所示．
假设在直线PC上存在点M，使得直线MA与平面 所成角的正弦值为 ，
则 ， ， , ，
设 则 ，平面 的一个法向量 ，
则 ， ， ，
则 ，即 ，令 ，解得 ， ，所以平面 的一个法向量
,
设直线MA与平面 所成角为 ，则
，化简得
， ,故该方程不存在实数解，
所以在直线PC上不存在点M，使得直线MA与平面 所成角的正弦值为
角度4：用向量法解决二面角的问题（定值+探索性问题（最值，求参数））典型例题
例题1．（2022·吉林·长春市实验中学高一期末）如图在三棱锥 中， ，
且 ．
(1)求证：平面 平面
(2)若 为 中点，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
【答案】(1)见详解.(2)
(1)取AC中点D，连接OD，BD，
在三棱锥 中， ， 且 ．
所以 ， .所以 是平面OAC和平面ABC所成角的平面角.
， ， ，
所以 ，所以 ，所以 .
所以平面 平面ABC.
(2)以D为坐标原点，DB为x轴，DC为y轴，DO为z轴，
建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，因为E为OC中点，所以 显然平面ABC的法向量为 ，
设平面EAB的法向量为 ，则 ，
取 ，得 .设平面ABC与平面EAB所成锐二面角为 ，
所以平面ABC与平面EAB所成锐二面角的余弦值为：
.
例题2．（2022·四川雅安·高二期末（理））如图（一）四边形 是等腰梯形， ， ，
， ，过 点作 ，垂足为 点，将 沿 折到 位置如图（二），
且 ．
(1)证明：平面 平面EBCD；
(2)已知点 在棱 上，且 ，求二面角 的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明：在等腰梯形ABCD中， ，∴ ，∴
， ， ，∴ ， ，在 中，知 ，∵ ，∵ ，∴
，EC， 面EBCD， ，∴ 面EBCD
∵ 面 ，∴面 面EBCD
(2)由（1）知 面EBCD，
∴以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系
∴ ， ， ，
设∵ ，∴ ，∴ ，∴
设 是面CEP的法向量，
∴ ，∴ ，令 ，
∴ ， ，
设 是面DEP的法向量，
∴ ，∴ ，∴
令 ，∴ ， ，
由图知，二面角 的余弦值为锐二面角，余弦值
例题3．（2022·全国·高三专题练习）四棱雉 中， 平面 ， 底面 是 等腰梯
形， 且 ， 点 在棱 上.(1)当 是棱 的中点时， 求证: 平面 ;
(2)当直线 与平面 所成角 最大时， 求二面角 的大小.
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)取 中点 ，
的中点为 ，
，且 ，
∴四边形 是平行四边形，
， 平面 ，
平面 ；
(2)等腰梯形 中， ，
作 于 ，则 中，
由余弦定理得， ， ，即 ，
底面 ，则 两两垂直
如图，以 为原点， 为 轴、 轴、 轴为正方向建立空间直角坐标系， 则，
，
设平面 法向量 ，则
∴平面 的一个法向量 ，
设 ，则 ，
，
，∴当 时， 取得最大值，
，
设平面 法向量 ，则
∴平面 的一个法向量 ，
设平面 法向量 ，则 ，
∴平面 的一个法向量 ，
，
∴二面角 的大小为 .
例题4．（2022·江苏徐州·高二期末）如图，已知 垂直于梯形 所在的平面，矩形 的对角
线交于点 ， 为 的中点， ， .(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值；
(3)在线段 上是否存在一点 ，使得 与平面 所成角的大小为 ？若存在，求出 的长；若
不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2) (3)存在，
(1)证明：连接FG，在 中，F，G分别为SD，SB的中点，
所以 ，
又因为 平面AEG， 平面AEG，
所以 平面AEG.
(2)因为 平面ABCD，AB， 平面ABCD，
所以 ， ，又 ，所以 ，
以 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 , , ，， ，
设平面SCD的法向量为 ，
则 ,即
令 ，得 ， ，
所以平面SCD的一个法向量为 ，
又平面ESD的一个法向量为 ，
所以 ，
由图形可知，二面角 的余弦值为 .
(3)存在，理由如下：
假设存在点H，设 ，
则 ,
由（2）知，平面SCD的一个法向量为 ，
则 ，
即 ，所以 ，则 ，
故存在满足题意的点H，此时 .
题型三：距离问题
角度1：点 到直线 的距离
典型例题
例题1．（2022·湖南益阳·高二期末）在棱长为1的正方体 中， 为 的中点，则点
到直线 的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知，得 ， ， ，
， ，
所以 在 上的投影为 ，
所以点 到直线 的距离为
故选：B
例题2．（2022·北京·二模）如图，已知正方体 的棱长为1，则线段 上的动点 到直
线 的距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
如图建立空间直角坐标系，则 ，设 ，则 ，
∴动点P到直线 的距离为
，当 时取等号，
即线段 上的动点P到直线 的距离的最小值为 .
故选：D.
角度2：点 到平面 的距离（等体积法）
典型例题
例题1．（2022·四川广安·模拟预测（文））如图，四棱锥 中，底面 为直角梯形，其中
， ，面 面 ，且 ，点 在棱 上．
(1)若 ，求证： 平面 ．
(2)当 平面 时，求点 到平面 的距离．【答案】(1)证明见解析；(2) .
(1)连接AC与BD交于点N，连接MN，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又因为 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 平面BDM， 平面BDM，
∴ 平面BDM．
(2)∵ 平面MBC， 平面MBC，
∴ ，
∴ ，
∴M是AE的中点，
∵平面 平面ABCD，
∴点E到平面ABCD的距离为 ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴
∴点E到平面BDM的距离 满足 ，所以距离 ．
例题2．（2022·云南保山·高一期末）如图，在四棱锥 ，四边形 正方形， 平面 ．
， ，点 是 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明：连接 交 于点 ，连接 ，
底面 为正方形， 为 中点，
点 是 的中点， ，
平面 ， 平面 ，
平面 ．(2)解：因为 平面 ， 平面 ，所以 ，又四边形 为正方形，
所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
又点 是 的中点， ， ，所以 ，
，
， ，
所以 ，
设点 到平面 的距离为 ，则 ，即 ，
即 ，解得 ，
即点 到平面 的距离为 .
角度3：点 到平面 的距离（向量法）
典型例题
例题1．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）将边长为 的正方形 沿对
角线 折成直二面角，则点 到平面 的距离为______．
【答案】 ##
记AC与BD的交点为O，图1中，由正方形性质可知 ，
所以在图2中， ，所以 ，即
如图建立空间直角坐标系，易知
则
则
设 为平面ABC的法向量，
则 ，取 ，得
所以点 到平面 的距离
故答案为：例题2．（2022·江苏·南京市第一中学高二阶段练习）如图，四棱锥 的底面是正方形， 底
面 ， 为 的中点，若 ，则点 到平面 的距离为___________.
【答案】
因为 底面 ， ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
则 、 、 、 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，，所以，点 到平面 的距离为 .
故答案为： .
例题3．（2022·全国·高二单元测试）在如图所示的几何体中，四边形 为矩形， 平面 ，
，点 为棱 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析(2) (3)1
(1)连接BD，交AC于点O，
又P，O分别为DF和DB的中点，
所以BF//PO，
因为PO 平面APC，BF 平面APC，
所以BF//平面APC；
⊂ ⊄
(2)直线AF⊥平面 ，AB 平面ABCD，
所以AF⊥AB，
⊂
由（1）得AD⊥AF，AD⊥AB，
所以以A为原点，AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
，所以 ， ， ，
设平面BCF的法向量 ，则 ，
令 ，则
设直线DE与平面BCF所成角的正弦值θ，
所以 ，
所以直线DE与平面BCF所成角的正弦值 ；
(3)由（2） ，
设平面APC的法向量为 ，则 ，
令 ，则
所以平面APC的法向量 ，
则点E到平面APC的距离 ，
所以E到平面APC的距离1．
题型四：立体几何折叠问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）如图，平面五边形 中， ，
，将 沿 折叠，得四棱锥 .(1)证明： ；
(2)若二面角 的大小是 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明：取 的中点 ，连结 ， ，
因为 ，即 ，所以 ， ，
因为 ，即 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
(2)解：以 为原点，如图建立空间直角坐标系，由（1）可知， 为二面角 的平面角，即 ，
， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ， ， 所以平面 的法向量为 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
例题2．（2022·广东·佛山市南海区桂华中学高三阶段练习）如图1所示，梯形 中，
， ， 为 的中点，连结 ， 交于 ，将 沿 折叠，使得
平面 ⊥平面 （如图2）.
(1)求证： ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)连接EC，则△ABE､△BCE､△CDE都是正三角形，四边形ABCE是菱形，
所以 ， ，
又因为面 面BCDE，面 面 ， 面ABE，
所以 面BCDE，
又因为 面BCDE，所以 ；(2)由（1）知FB､FC､FA两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
， ， ， ， ，
设平面ADE的法向量为 ， ，
令 ， ，
平面AFC的法向量为 ，
设平面AFC与平面ADE的夹角的大小为 ，
，
所以平面AFC与平面ADE的夹角的余弦值为 .
例题3．（2021·广西·高二阶段练习）将边长为2的正方形 沿对角线 折叠，使得平面 平
面 ， 平面 ，且 .
(1)求 与平面 所成角的正弦值；
(2)直线BE上是否存在一点 ，使得 平面 ，若存在，确定点 的位置，若不存在，请说明
理由.【答案】(1) (2)存在，点M为BE的中点
(1)解：以A为坐标原点，AB，AD，AE所在的直线分别
为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，
取BD中点F，连接CF，AF；
由题意可得 且 ，
又因为平面 平面CBD，
所以 平面BDA，
所以点 的坐标为 .
设平面BCE的法向量为 ，
则 ，即 ，所以
令x＝1，得 ，又
设平面DE与平面BCE所成角为θ，
则 ，
即DE与平面BEC所成角的正弦值为 .
(2)解：假设存在点M使得CM∥面ADE，
则 ， ，所以 ， ；
又因为 平面ABD， ，
所以 平面ADE；
因为CM∥面ADE，
则 ，即 ，
即 ，解得 ，
即点M为BE的中点时，CM∥面ADE.
