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第 22 练 空间中的平行关系
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．已知直线a、b和平面 ，下面说法正确的是( )
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】C
【详解】
对于A，若 ， ，则 或 ，故A错误；
对于B，若 ， ，则 或 ，故B错误；
对于C，若 ， ， ，则 ，故C正确；
对于D，若 ， ，则 ，a与b相交，或a与b异面，故D错误．
故选：C．
2．设 为两个不同的平面，则 的充要条件是（ ）
A． 内有无数条直线与 平行
B． 垂直于同一平面
C． 平行于同一条直线
D． 内的任何直线都与 平行
【答案】D
【详解】
A选项， 内有无数条直线与 平行， 与 可能相交，A选项错误.
B选项， 垂直于同一平面， 与 可能相交，B选项错误.
C选项， 平行于同一条直线， 与 可能相交，C选项错误.
D选项， 内的任何直线都与 平行，则 ，D选项正确.
故选：D
3．在空间四边形 中， 分别在 上，且满足 ，则直线 与平面
的位置关系是（ ）
A． 平面 B． 平面
C． 与平面 相交 D．以上都有可能
【答案】A
【详解】∵
∴
又∵ ， .
∴ 平面 .
故选：A
4．如图，已知 为四边形 外一点， ， 分别为 ， 上的点，若 平面
，则（ ）
A． B． C． D．以上均有可能
【答案】B
【详解】
如下图分别在边 ， 上取点 ， ，使 ， ，
所以 ， ，又 ， ，
所以选项A ，C， D不正确.
因为 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，所以 ，故B
正确.
故选：B.
5．如图是正方体的平面展开图．关于这个正方体，以下判断不正确的是（ ）A． B． 平面
C． 与 所成的角为 D．
【答案】A
【详解】
如图：由正方体的平面展开图还原正方体
根据图形显然 不平行， ，A不正确，D正确；
∵ 且 ，则 为平行四边形
∴
平面 ， 平面
则 平面 ，B正确；
连接
∵ 且 ，则 为平行四边形
∴
又∵ ，即△ 为等边三角形
∴ 与 所成的角为 ，C正确；
故选：A．
6．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与平面PAD交于EF，E在
线段PD上且异于P、D，则四边形EFBC是（ ）A．空间四边形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形
【答案】C
【详解】
因为 ∥ ， 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 ，
因为 平面 ，平面 平面 ，
所以 ∥ ，
因为 ， ，
所以 ，
所以四边形 为梯形，
故选：C
7．已知长方体 中， ， ， ， 分别为棱 和
的中点， 为长方体表面上任意一点．若 平面 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】C
【详解】
如图所示，取 ， 分别为棱 和 的中点，连接 ,
由题意易知 ，
所以 ；
又易知 ，
故可以证明平面 平面 ；
又 平面 ，由面面平行的性质可知 平面 ，
所以由题意可知 在等腰梯形 四条边上运动，
过点 作 ，交 于点 ，
由题意可知 ,
所以 ,
所以 ，
又 ，
所以故当 与 点重合时， 的值为最大值，此时 ；故选：C
8．如图，在棱长为1的正方体 中， 为棱 的中点， 为正方形
内一动点（含边界），若 平面 ，则线段 长度的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
如图，取 中点 ， 中点 ，连接 ，
所以 ，正方体中，易得 ，所以 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 为 中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ，所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
又 为正方形 内一动点（含边界），所以 在线段 上，
可得 ,
则当 在 中点时， 取得最小值为 ，
当 在 两端时， 取得最大值为 ，
所以 长度的取值范围是 .
故选：D.
二、多选题
9．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，
则在这四个正方体中，直线 与平面 平行的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】BCD
【详解】
对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行，
故A错误；
对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正确；
对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正确；对于选项D，由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正确；
故选：BCD
10．下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中正确的关系有（ ）
A． B．DE∥平面ABFG
C．平面BDE∥平面AFH D．BE∥平面DGC
【答案】BC
【详解】
还原为原正方体如图所示，由图可知， 与 异面，故A错误；
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，故B正确；
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
而 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，故C正确；
因为 ， 与平面 相交，
所以 与平面 相交，故D错误.
故选：BC.
11．设 ， ， 为三个平面，l，m，n为三条直线，则下列说法不正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若l上有两点到 的距离相等，则
C． ， ， 两两相交于三条直线l，m，n，若 ，则
D．若 ， ， ， ，则
【答案】ABD
【详解】
解：对A：若 ， ，则 或 ，故选项A错误；
对B：若l上有两点到 的距离相等，则 或 或 与 相交，故选项B错误；
对C： ， ， 两两相交于三条直线l，m，n，若 ，由线面平行的判断定理及性质
定理可得 ，故选项C正确；
对D：若 ， ， ， ，则 或 与 相交，故选项D错误.
故选：ABD.
12．如图所示，平面 平面 ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】
对于A，因为平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故A正确
对于B，设由 与 所确定的平面为
因为平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面
所以 ，所以 即 ，解之得
对于C，若 ，则 ，这与三角形三边关系定理相矛盾，故C错误
对于D， ，
而由 ，
但 与 长度关系不确定，故D错误
故选：AB
三、解答题
13．如图，在圆锥 中， ， ， 为底面圆上的三个点， ，且
， ．
(1)证明： 平面 ．(2)求四棱锥 的体积．
【解析】(1)
如图，设线段 上靠近 的三等分点为 ，连接 ， ．
因为 ，所以 ，所以 ，且 ，
因为 ，且 ，所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
(2)
作 于点 ，则 为 的中点，所以 ，
所以梯形 的面积为 ，
因为 ，所以 到平面 的距离为 ，
所以四棱锥 的体积为 ．
14．如图，在四棱柱ABCD﹣ABC D 中，BB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD＝90°．
1 1 1 1 1(1)求证：BC∥平面ADD A；
1 1
(2)若 ，BD与平面ABCD所成角为 ，满足 且 ，
1
求 最大值．
【解析】(1)
∵AD∥BC，BC 平面ADD A，AD 平面ADD A，
1 1 1 1
∴BC∥平面ADD A．
1 1 ⊂
(2)
∵BB⊥平面ABCD，则BD与平面ABCD所成角为 ，即 ，
1 1
∵∠BAD＝90°且 ，则 ，
∵ ，则 且 ，
∴
，
当 ，即 时取等号
∴ 最大值为 .
15．如图，在四棱柱 中，四边形ABCD是正方形，E，F，G分别是棱 ，
， 的中点.(1)证明：平面 平面 ；
(2)若点 在底面ABCD的投影是四边形ABCD的中心， ，求三棱锥
的体积.
【解析】(1)
证明：连接EG， .
因为E，G分别是棱 ， 的中点，所以 ， .
因为 ， ，所以 ， ，
所以四边形 是平行四边形，则 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
因为E，F分别是棱 ， 的中点，所以 .
因为 ，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ， 平面 ，且 ，
所以平面 平面 .(2)
连接AC，BD，记 ，连接 ，则 平面ABCD.
因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，
则四棱柱 的体积 .
故三棱锥 的体积 ，
即三棱锥 的体积为 .
16．在长方体 中， ，P为 的中点．
(1)已知过点 的平面 与平面 平行，平面 与直线 分别相交于点M，N，请
确定点M，N的位置；
(2)求点 到平面 的距离．
【答案】(1) 分别是棱 的中点；(2) .
【解析】(1)
依题意，如图，平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面
，
则 ，在长方体 中， ，则有四边形 为平行四边形，
于是得 ，即点M是棱AB的中点，同理点N是棱 的中点，所以 分别是棱 的中点.
(2)
在长方体 中， ，P为 的中点，
则 ， ， ，
设点 到平面 的距离为 ，由 得： ，
即 ，解得 ，
所以点 到平面 的距离是 .
