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第 22 节 空间几何体的结构特征、三视图和直观图
基础知识要夯实
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似
相交于一点，但不
侧棱 平行且相等 延长线交于一点
一定相等
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
互相平行且相
母线 相交于一点 延长线交于一点
等，垂直于底面
全等的等腰三角
轴截面 全等的矩形 全等的等腰梯形 圆
形
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
2.直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直
观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图
中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
3.空间几何体的表面积与体积公式
名称
表面积 体积
几何体
柱 体 S ＝S ＋2S V＝S h
表面积 侧 底 底(棱柱和圆柱)
锥 体
S ＝S ＋S V＝S h
表面积 侧 底 底
(棱锥和圆锥)
台 体
S ＝S ＋S ＋S V＝(S ＋S ＋)h
表面积 侧 上 下 上 下
(棱台和圆台)
球 S＝4πR2 V＝πR3
3．空间几何体的三视图
空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面
图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括主视图、左视图、俯视图．
[难点正本 疑点清源]
1．正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱．反之，正
棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．
2．正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫作正棱锥．特别
地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影
是底面正多边形的中心．
3．空间几何体的数量关系也体现在三视图中，主视图和左视图的“高平齐”，主视图和俯视图的
“长对正”，左视图和俯视图的“宽相等”．其中，主视图、左视图的高就是空间几何体的高，主
视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，左视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽
度．要尽量按照这个规则画空间几何体的三视图．
基本技能要落实
考点一 空间几何体的结构特征
【例1】 (1)给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)给出下列命题：
①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；
②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
③存在每个面都是直角三角形的四面体；
④棱台的侧棱延长后交于一点.
其中正确命题的序号是________.
【方法技巧】1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举
反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例.
2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.
【跟踪训练】
1.下列命题正确的是( )
A.两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台
D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
考点二 空间几何体的直观图
【例2】安徽省黄山市屯溪第一中学2020-2020学年高三上学期期中考试数学（理)试题】水平放置
的 ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的 ，其中 ，
，则 绕 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为( )
A． B． C． D．
【方法技巧】1.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或
135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握.
2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：
S ＝ S
直观图 原图形.
【跟踪训练】 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰
梯形，那么原平面图形的面积是( )
A.2＋ B. C. D.1＋
考点三 空间几何体的三视图
【例3】在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如图所示，则相应的左视图可以为【跟踪训练】
1.如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是 ( )
达标检测要扎实
一、单选题
1．已知一个侧棱均相等的三棱锥的三视图 (如图)， 根据图中标出尺寸(单位： )， 可得这个
三棱锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
2．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的棱长为A． B． C． D．
3．如图，在三棱柱 中，侧棱 底面 ，且 是正三角形，若点P是上
底面 内的任意一点，则三棱锥 的正视图与侧视图的面积之比为（ ）
（注：以垂直于平面 的方向为正视图方向）
A． B． C．1 D．
4．若一个平面图形的斜二测直观图是一个边长为2的正方形（如图），则原图的周长为（ ）
A． B．16 C． D．
5．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为V，该几何体所有棱的棱长之和为L，则（
）A． B．
C． D．
6．如图，一个水平放置的图形的直观图是一个等腰直角三角形 ，斜边长 ，那么原平面
图形的面积是（ ）
A．2 B． C． D．
7．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．水平放置的 有一边在水平线上，它的斜二测直观图是边长为2的正 ，则 的
面积是（ ）A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法不正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
B．圆柱的任意两条母线互相平行
C．四棱柱是平行六面体
D．菱形的直观图是菱形
10．如图所示的是水平放置的三角形直观图， 是 中 边上的一点，且 ，又
轴，那么原 的 、 、 三条线段中（ ）
A．最长的是
B．最长的是
C．最短的是
D．最短的是
11．利用斜二测画法得到的下列结论中正确的是（ ）
A．三角形的直观图是三角形 B．正方形的直观图是正方形
C．菱形的直观图是菱形 D．平行四边形的直观图是平行四边形
12．三棱锥 的三视图如图，图中所示顶点为棱锥对应顶点的投影，正视图与侧视图是全等
的等腰直角三角形，俯视图是边长为 的正方形，则（ ）A．该棱锥各面都是直角三角形 B．直线 与 所成角为
C．点 到底面 的距离为 D．该棱锥的外接球的表面积为
三、填空题
13．已知一三角形ABC用斜二测画法画出的直观图是面积为 的正三角形 (如图)，则三角
形ABC中边长与正三角形 的边长相等的边上的高为______．
14．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是_________ ．
15．如图， 是平面四边形 的直观图，若 是边长为2的正方形，则四边形的周长为________.
16．已知某圆锥被一过该圆锥顶点的平面所截得到的几何体的正视图与侧视图如图所示，若该圆锥
的顶点与底面圆周都在球 的球面上，则球 的表面积为_______________________．
四、解答题
17．已知一长方体的底面是边长为3cm的正方形，高为4cm，试用斜二测画法画出此长方体的直观
图．
图（1） 图（2）
18．水平放置的平面图形与直观图的面积间有何关系?
19．用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，判断下列命题的真假.
（1）三角形的直观图还是三角形；
（2）平行四边形的直观图还是平行四边形；
（3）正方形的直观图还是正方形；
（4）菱形的直观图还是菱形.
20．用斜二测画法画出如图所示的五边形的直观图.(不写作法，保留作图痕迹)21．一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，
圆柱的底面直径为3 cm，高为3 cm，圆锥的高为3 cm，画出此机器部件的直观图.
22．在水平放置的平面上，画一个边长为4cm的正三角形的直观图．
