文档内容
第 21 讲 空间几何体
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似
相交于一点，但不
侧棱 平行且相等 延长线交于一点
一定相等
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
互相平行且相
母线 相交于一点 延长线交于一点
等，垂直于底面
轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆面
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
2.直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为 45°( 或
135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和
z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变
为原来的一半.
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台侧面展开
图
侧面积公
S ＝ 2π rl S ＝ π rl S ＝ π( r ＋ r ) l
圆柱侧 圆锥侧 圆台侧 1 2
式
4.柱、锥、台、球的表面积和体积
名称
表面积 体积
几何体
柱体(棱柱和圆柱) S ＝S ＋2S V＝Sh
表面积 侧 底
锥体(棱锥和圆锥) S ＝S ＋S V＝Sh
表面积 侧 底
台体(棱台和圆台) S ＝S ＋S ＋S V＝(S ＋S ＋)h
表面积 侧 上 下 上 下
球 S＝ 4π R 2 V＝ π R 3
二、考点和典型例题
1、空间几何体的结构特征
【典例1-1】（2022·广东深圳·高三阶段练习）通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台
形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是
1cm和4cm）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（ ）
A． cm B．1cm C． cm D． cm
【答案】D
【详解】
由已知圆台的侧面展开图为半圆环，不妨设上、下底面圆的半径分别为 ， ，
则 ， ，解得 ， ．
所以圆台轴截面为等腰梯形，其上、下底边的长分别为 和 ，腰长为 ，
即 ,过点 作 , 为垂足，所以 ，
该圆台形容器的高为 ，
故选：D．
【典例1-2】（2022·河南·模拟预测（文））在正四棱锥 中， ，若正四
棱锥 的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【详解】
如图，连接AC，BD，记 ，连接OP，所以 平面ABCD.
取BC的中点E，连接 .
因为正四棱锥 的体积是8，所以 ，解得 .
因为 ，所以在直角三角形 中, ，
则 的面积为 ，故该四棱锥的侧面积是 .
故选：C
【典例1-3】（2022·湖南·长郡中学模拟预测）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10
的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为圆台下底面半径为5，球的直径为 ，
所以圆台下底面圆心与球心重合，底面圆的半径为 ，画出轴截面如图，
设圆台上底面圆的半径 ，则
所以球心 到上底面的距离 ，即圆台的高为3，
所以母线长 ，
所以 ，
故选：C.
【典例1-4】（2022·浙江·镇海中学模拟预测）如图，梯形 是水平放置的一个平面图
形的直观图，其中 ， ， ，则原图形的面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：由题得 ,
所以 .
故选：B．
【典例1-5】（2022·福建省福州第一中学三模）已知 ， 分别是圆柱上､下底面圆的
直径，且 ，. ，O分别为上､下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，
且三棱锥 的体积为18，则该圆柱的侧面积为（ ）
A．9 B．12 C．16 D．18
【答案】D
【详解】
分别过 作圆柱的母线 ，连接 ，设圆柱的底面半径为
则三棱锥 的体积为两个全等四棱锥 减去两个全等三棱锥
即 ，则
圆柱的侧面积为
故选：D．2、空间几何体的表面积、体积
【典例2-1】（2022·山东泰安·模拟预测）在底面是正方形的四棱锥 中， 底
面ABCD，且 ，则四棱锥 内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：由题意，设四棱锥 内切球的半径为r，
因为 ，四棱锥 的表面积
，
所以 ，
所以四棱锥 内切球的表面积为 .
故选：B.
【典例2-2】（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面
上.若该球的体积为 ，且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵ 球的体积为 ，所以球的半径 ,
设正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，
则 ， ,
所以 ，
所以正四棱锥的体积 ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时，正四棱锥的体积 取最大值，最大值为 ，
又 时， ， 时， ,
所以正四棱锥的体积 的最小值为 ，
所以该正四棱锥体积的取值范围是 .
故选：C.
【典例2-3】（2022·全国·高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，
其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔 时，相应水面的面积为 ；
水位为海拔 时，相应水面的面积为 ，将该水库在这两个水位间的形状看作
一个棱台，则该水库水位从海拔 上升到 时，增加的水量约为（ ）
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
依题意可知棱台的高为 (m)，所以增加的水量即为棱台的体积 ．棱台上底面积 ，下底面积 ，
∴
．
故选：C．
【典例2-4】（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的
圆心角之和为 ，侧面积分别为 和 ，体积分别为 和 ．若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：设母线长为 ，甲圆锥底面半径为 ，乙圆锥底面圆半径为 ，
则 ，
所以 ，
又 ，
则 ，所以 ，
所以甲圆锥的高 ，
乙圆锥的高 ，
所以 .
故选：C.
【典例2-5】（2022·山东临沂·三模）战国时期的铜镞是一种兵器，其由两部分组成，前段
是高为3cm、底面边长为2cm的正三棱锥，后段是高为1cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱
锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
由题意，铜镞的直观图如图所示，
三棱锥的体积 ，
因为圆柱的底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，
所以圆柱的底面圆的半径 ，所以圆柱的体积所以此铜镞的体积为
故选：A.
3、与球有关的切、接问题
【典例3-1】（2022·北京·101中学三模）一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面
上，若此球的表面积为 ，则该四棱柱的高为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【详解】
设球的半径为 ，则 ，解得
设四棱柱的高为 ，则 ，解得
故选：C
【典例3-2】（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）若正三棱柱 的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的体积的最小值为 ，则该三棱柱的侧面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
如图：设三棱柱上、下底面中心分别为 、 ，则 的中点为 ，
设球 的半径为 ，则 ，设 ， ，
则 ， ，
则在 △ 中， ，
当且仅当 时，
因为 ，即
所以 ，即 ，
所以该三棱柱的侧面积为 .
故选：B.
【典例3-3】（2022·湖北·模拟预测）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一
球（圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上），求此圆锥侧面积和球表面积之比（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
设直角圆锥底面半径为 ，则其侧棱为 ，
所以顶点到底面圆圆心的距离为： ，
所以底面圆的圆心即为外接球的球心，所以外接球半径为 ，
所以 .
故选：A.
【典例3-4】（2022·山东聊城·三模）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之
作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积
为 ，圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设球半径为 ，圆锥的底面半径为 ，若一个直角圆锥的侧面积为 ，
设母线为 ，则 ，
所以直角圆锥的侧面积为： ，
可得： ， ，圆锥的高 ，
由 ，解得： ，所以球 的体积等于 ，
故选：B
【典例3-5】（2022·全国·高考真题（文））已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底
面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为 ，
则
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
又
则
当且仅当 即 时等号成立，
故选：C
