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4.1 导数的概念及其意义、导数的运算（精讲）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】一．导数的概念
1.如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极根，则称y＝f(x)在x＝x 处可导，并把这
0
个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x 处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x)或 ，
0 0
即f′(x)＝lim＝lim
0
2.当x＝x 时，f′(x)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数
0 0
(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝lim
二．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x 处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x，f(x))处的切线的斜率，
0 0 0
相应的切线方程为y－f(x)＝f′(x)(x－x)（点斜式）
0 0 0
三．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数)
＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
＝nxn－1
f(x)＝sin x ＝cos x
f(x)＝cos x －sinx
f(x)＝ax(a>0且a≠1)
＝axln a
f(x)＝ex
＝ex
f(x)＝log x(x>0，a>0且a≠1)
a ＝
f(x)＝ln x(x>0)
＝
四．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝ ±
(2)[f(x)·g(x)]′＝ g(x)＋f(x)
(3) (g(x)≠0)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】五．复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函
数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′＝y′·u′，即y对x的导数等于y对
x u x
u的导数与u对x的导数的乘积．
一．导数概念理解
f′(x)＝y′＝lim ， 应是两个变量的差值，如果不是两个变量的差值，要进行拼凑
二．导数运算
连乘形式：先展开化为多项式形式，再求导
三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
分式形式：先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导
对数形式：化为和、差形式，再求导
复合函数：先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元
三．导数的几何意义
四．在型与过型的切线方程
1.在型
2.过型
3.求参
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）斜率：
（2）代点：切点在切线上，代入切线方程；切点在曲线上，代入曲线
五．公切线
法一：利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；
法二：设公切线l在y＝f(x)上的切点P(x，f(x))，在y＝g(x)上的切点P(x，g(x)，
1 1 1 2 2 2
则f′(x)＝g′(x)＝.
1 2
法三：两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通
过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．
六．切点或切线数量
1.判断切点或切线数量：利用在型或过型列出关于切点x 的方程f(x)，判断方程解的个数：
0 0
（1）f(x)是一元二次方程，可以用判别式判断
0
（2）f(x)若不是一元二次方程，则判断其零点个数或与x轴交点的个数，一般采用图像法；画未学过函数
0
图像一般需要知道单调区间（导数法），极值和端点值或端点值的正负
2.已知切点或切线数量求参：一般采用分离参数，变成两个函数的交点个数问题
考法一 导数的概念及应用
【例1-1】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）设 为 上的可导函数，且 ，则
曲线 在点 处的切线斜率为（ ）
A．2 B．-1 C．1 D．
【答案】C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】 .
故曲线 在点 处的切线斜率为 .故选：C
【例1-2】（2023湖南）如图，直线 是曲线 在 处的切线，则 ___________.
【答案】
【解析】 直线 过点 ， ， 直线 斜率 ，
又直线 是 在 处的切线， ，又 ， .故答案为： .
【例1-3】（2023·云南）函数 的图象如图所示， 是函数 的导函数，则下列数值排序正
确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图知： ，即 .故选：A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例1-4】（2022·湖北·武汉市第一中学）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ，所以 ，解得 ；故
选：B
【一隅三反】
1．（2023春·河南）已知 是函数 的导函数，若 ，则
（ ）
A． B．2 C． D．8
【答案】C
【解析】
故选：C
2．（2022秋·江苏徐州·高三徐州市第七中学校考阶段练习）设 为可导函数，且满足
，则曲线 在点 处的切线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，则根据导数值的定义：
，
由导数的几何意义可知， 在点 处的切线的斜率为 .故选：B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023春·江苏）如图，函数 的图象在点 处的切线是 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】D
【解析】由题可得函数 的图象在点 处的切线与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
则切线 ， ， ， .故选：D．
4.（2023·江西）若函数 的导函数为 ，且满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 ，令 ，则 ，解得 ，
所以 ， .故选：D.
考法二 导数的运算
【例2】（2023广东湛江）求下列函数的导数
(1) (2) ； (3) ．
(4) ； (5) ；
【答案】(1) ；(2) ；(3)
(4) (5) ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1） .
（2）
（3） ．
（4）因为函数 可以看做函数 和 的复合函数，
根据复合函数求导公式可得， ；
（5）函数 ，所以 .
【一隅三反】
1．（2023春·四川）求下列函数的导数
(1) ； (2) (3) (4)
(5) ； (6) ； (7) (8) ；
【答案】(1) (2) (3) (4) .
(5) (6) (7) (8)
【解析】（1）因为 ，则 .
（2）因为 ，则 .
（3）由已知 ，所以 ；
（4） ．
（5）因为 ，所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（6）因为 ，所以 .
（7）因为 ，所以
（8）因为 ，所以
考法三 导数的几何意义
【例3-1】（2023吉林）曲线 在 处切线的斜率为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】 ，故曲线 在 处切线的斜率为 .故选：D
【例3-2】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，曲线 在点 处的切线的倾
斜角为 ，则 ______．
【答案】
【解析】由 ，得 则 ，解得 ．
故答案为： .
【例3-3】（2023春·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）若曲线 在点 处的切线与
直线 垂直，则实数 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ，∴ ，
∴曲线 在点 处的切线的斜率 ，
∵切线与直线 垂直，∴直线 的斜率为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ .故选：C.
【例3-4】（2023湖南）设点 是曲线 上任意一点，直线 过点 与曲线相切，则直线 的倾斜
角的取值范围为______.
【答案】
【解析】设直线 的倾斜角为
故答案为：
【一隅三反】
1．（2023四川）函数 在 处切线的倾斜角为_______.
【答案】
【解析】 ,则 ，
即函数 在 处切线的斜率为1，则倾斜角为 故答案为：
2．（2023重庆）若曲线 在点 处的切线与 平行，曲线 在点 处的
切线与直线 垂直，则 __________．
【答案】
【解析】设 ， .
则 ， .
直线 的斜率为 ，由导数的几何意义可得， ，所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ， .
直线 的斜率为 ，由导数的几何意义可得， ，所以 .
所以 .故答案为： .
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则曲线 在点
处的切线的斜率为
【答案】
【解析】对 ，
求导可得， ，得到 ，所以，
，所以， ， 故选D
4．（2023春·河南）点P在曲线 上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是
【答案】[0，
【解析】因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，又 ，所以
，故选：D.
考点四 在型与过型的切线方程
【例4-1】（1）（2023上海）已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程是______.
（2）（2023春·河北）若 ，则曲线 在 处的切线方程为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为 ，所以 ，所以曲线 在点 处的切线的斜率 ，
所以切线方程为： ，即 或 .故答案为：
（2） ， ，
令 ，解得 .
所以 ，则 .
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 .故选： .
【例4-2】（1）（2023·北京东城·统考一模）过坐标原点作曲线 的切线，则切线方程为
（2）2023·江苏南通·二模）过点 作曲线 的切线，写出一条切线的方程_______．
【答案】（1） （2） （答案不唯一）
【解析】（1）由函数 ，可得 ，
设切点坐标为 ，可得切线方程为 ，
把原点 代入方程，可得 ，即 ，
解得 ，所以切线方程为 ，即 .故选：A.
（2） ， ，
设切点坐标为 ，则切线斜率为 ，得方程 ，
代入点 ，得 ，即 ，解得 或 ，
当 时，切线方程为 ；当 时，切线方程为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为： （或 ）.
【例4-3】（1）（2023·江西·校联考模拟预测）若直线 与曲线 相切，则
___________.
（2）（2022·全国·模拟预测）已知函数 在 处的切线过原点，则a的值为
（3）（2023·新疆阿克苏·校考一模）若直线 与曲线 相切，则k的取值范围是
【答案】（1）2（2） （3）
【解析】（1）设切点坐标为 ，由曲线 可得 ，
则 ，解得 ，所以 故答案为：2
（2）由 ，则 ，
所以 ， ，即切线方程为 ，
又函数 在 处的切线过原点，所以 ，即 ．
（3） ，由导数的几何意义可知， .
【一隅三反】
1.（2023吉林）函数 在点 处的切线的方程是__________.
【答案】
【解析】因为函数 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以函数在点 处切线的斜率为： ，
所以函数到点 处切线方程为： ，故答案为： .
2．（2023·陕西咸阳）已知函数 ，那么 在点 处的切线方程为___________．
【答案】
【解析】由 ，则 ，所以 ，
又 ，所以 在点 处的切线方程为 ，即 ．
故答案为： ．
3．（2023春·上海浦东新）已知曲线 ，过点 作曲线的切线，则切线的方程为____.
【答案】
【解析】设切点坐标为 ， ,则切线的斜率 ，
故切线方程为 ，又因为点 在切线上，
所以 ，整理得到 ，
解得 ，所以切线方程为 ．
故答案为: .
4．（2023吉林）已知函数 ，则曲线 过点 的切线方程为______．
【答案】 或
【解析】设切点为 ， ，则切线斜率为 ，
故曲线 在 处的切线方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】将点 的坐标代入切线方程可得 ，解 或 ，
故所求切线方程为 或 ，即 或 .
故答案为： 或 .
5．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）若直线 为曲线 的一条切线，则实数k的值是
（ ）
A．e B． C． D．
【答案】C
【解析】设直线 与曲线 相切于点 ，函数 的导函数为 ，
则 ，解得 .故选：C
6．（2023春·上海杨浦）已知 为实数，函数 在 处的切线方程为 ，则 的
值为___________．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
则 ，由 处的切线方程为 ，
得切线的斜率为 ，所以 ，得 ，
所以 ，当 时， ，所以切点为 ，
将 代入切线方程得： ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得 ，所以 .
故答案为：
考法五 公切线
【例5-1】（2023安徽）已知直线l与曲线 、 都相切，则直线l的方程为______．
【答案】 或
【解析】由 得 ，设切点为 ，所以切线的斜率为 ，
则直线l的方程为： ；
由 得 ，设切点为 ，所以切线的斜率为 ，
则直线l的方程为： ．
所以 ， ，
消去 得 ，
故 或 ，所以直线l的方程为： 或 ．故答案为： 或
【例5-2】（2023·山西·校联考模拟预测）若直线 与函数 和 的图象都相切，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设直线 与函数 和 的图象分别相切于点 ，
则由 ，得 ，令 ，得 ，将 代入 中得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，得 ，令 ，得 ，将 代入 中得 ，所以
．
故选：D
【例5-3】（2023·陕西榆林·校考模拟预测）若直线 与曲线 相切，切点为 ，与曲线
也相切，切点为 ，则 的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【解析】因为直线 与曲线 相切，切点为 ，
可知直线 的方程为 ，
又直线 与曲线 也相切，切点为 ，
可知直线 的方程为 ，
所以 ，两式相除，可得 ，所以 .故选：B
【一隅三反】
1．（2023·云南）已知曲线 与曲线 有相同的切线，则这条切线的斜率为____.
【答案】
【解析】设曲线 与曲线 的切点分别为 ， ，
又 ， ，所以 ， ，
所以切线为 ，即 ，
，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
所以 ， ，即这条切线的斜率为 .故答案为： .
2．（2023·陕西渭南·统考一模）已知直线 是曲线 与曲线 的公
切线，则 等于
【答案】2
【解析】设 是 图象上的一点， ，
所以 在点 处的切线方程为 ， ①，
令 ，解得 ，
，所以 ，
，所以 或 （此时①为 ， ，不符合题意，舍去），
所以 ，此时①可化为 ，所以 .
3．（2023河北）若函数 与 的图像存在公共切线，则实数 的最大值为
【答案】
【解析】 ， ，设公切线与 的图像切于点 ，
与曲线 切于点 ，所以 ，
故 ，所以 ，所以 ，
因为 ，故 ，设 ，
则 ，令
当 时， ，当 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 在 上递增，在 上递减，所以 ，所以实数a的最大值为e，
考点六 切线条数或切点个数
【例6-1】（2023福建）已知函数 ，则过点 可作曲线 的切线的条数最多
为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为函数 ，所以 ，
设过点 作曲线 的切线，切点为 ，
则有 ，也即 ，
又因为 ，所以
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 或 时， ，函数 单调递增，
综上：函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
又因为 ， ，
所以函数 有三个零点，分别在区间 上，
也即方程 有三个不同的根，
所以过点 作曲线 的切线，有三个不同的切点，
也即过点 可作曲线 的切线的条数最多为 ，故选： .
【例6-2】（2023·四川眉山·统考二模）已知函数 .若过点 可以作曲线 三条切
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】线，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设切点为 ，由 可得 ，
所以在点 处的切线的斜率为 ，
所以在点 处的切线为： ，
因为切线过点 ，所以 ，
即 ，即这个方程有三个不等根即可，
切线的条数即为直线 与 图象交点的个数，
设 ，
则
由 可得 ，由 可得： 或 ，
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
当 趋近于正无穷， 趋近于0，当 趋近于负无穷， 趋近于正无穷，
的图象如下图，且 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】要使 与 的图象有三个交点，则 .
则 的取值范围是: .故选：A.
【例6-3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期末）过点 可以作曲线
的两条切线，切点的横坐标分别为m，n，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】 ，设切点为坐标 ，则 ，
即 ，则 ，由题意知 有两解，分别为m，n，
故 ，故选：D.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）过点 作曲线 的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______.
【答案】
【解析】 时， ，设切点 ，则 ，切线 过 ，
， ， 时， ，切点 ，
，切线 过 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，故 .故答案为： .
2．（2023春·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）若过点 可以作曲线 的两条切线，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设曲线 在点 处的切线为 ，
由 可知直线 的斜率为 ，
故直线 的方程为 ，
将 代入直线 可得关于 的方程 具有两个不相等的正数解，
构造函数 ，
则 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增，
且当 时， ；
，当 ，即 时， ，
即当 时， ；
故为了使方程 有两个不相等的正数解，
则须使 .
故选：B.
3．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知函数 ，存在两条过原点的直线与曲线
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】相切，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设切点坐标为 ，又 ，则切线斜率
又 ，则切线方程为： ，
又切线过原点，则 ，即方程 在 上有两不
相等的实根，
设 ， ，则 ，
当 时， 恒成立， 在 上单调递增，不可能存在两个零点，故不符合题意；
当 时， 得 ，当 时， ， 单调递减， 时， ，
单调递增，
要使得 两个不同的零点，则 ，解得
，
又 ， 时， ，故当 时， 有两个零点，
则实数a的取值范围是 .
故选：D.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．（2023·陕西西安·统考一模）过点 可作三条直线与曲线 相切，则实数a的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ，
设切点为 ，则切线方程为 ，
切线过点 ， ，整理得到 ，
方程有三个不等根.
令 ，则 ，令 ，则 或 ，
当 或 时， ，函数单调递增；
当 时， ，函数单调递减，
极大值 ，极小值 ，函数 与 有三个交点，
则 ， 的取值范围为 .
故选：D
考点七 导数几何意义与其他知识综合
【例7-1】（2023·湖北·统考模拟预测）已知 ， ，直线 与曲线 相切，
则 的最小值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】D
【解析】对 求导得 ，
由 得 ，则 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
当且仅当 时取等号．故选：D．
【例7-2】（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知函数 ，且其图象在点
处的切线的倾斜角为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以
所以 ，解得 ，所以
由题意可知， ，
所以 .故选：B.
【例7-3】（2023·全国·高三专题练习）设点P在曲线 上，点Q在直线y=2x上，则PQ的最
小值为
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【解析】先求曲线上切线斜率为 的点的横坐标：令 ，解得 ，代入曲线方程求得 ，
故切点为 ，斜率为 的直线方程为 ，将两条平行直线的方程化为一般式得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，故两平行直线的距离为 .故选D.
【一隅三反】
1．（2023·山东）函数 的图象在 处的切线对应的倾斜角为 ，则sin2 =（ ）
A． B．± C． D．±
【答案】C
【解析】因为 所以
当 时， ，此时 ，
∴ ．故选：C.
2.（2022·湖北·黄冈中学）已知a，b为正实数，直线 与曲线 相切，则 的最小值
为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．13
【答案】B
【解析】设切点为 ， 的导数为 ，
由切线的方程 可得切线的斜率为1，令 ，则 ，故切点为
，
代入 ，得 ，
、 为正实数，则 ，
当且仅当 ， 时， 取得最小值9，故选：B
3（2023广东）已知点A是函数f(x)＝x2－ln x＋2图象上的点，点B是直线y＝x上的点，则|AB|的最小值为
( )
A. B．2
C. D.
【答案】A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】当与直线y＝x平行的直线与f(x)的图象相切时，切点到直线y＝x的距离为|AB|的最小值．
f′(x)＝2x－＝1，解得x＝1或x＝－(舍去)，又f(1)＝3，
所以切点C(1,3)到直线y＝x的距离即为|AB|的最小值，即|AB| ＝＝.
min
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
