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[基础题组练]
1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
解析：选A.首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．
2．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD
不相交，则甲是乙成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；
若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的
充分不必要条件．
3．已知l，l，l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )
1 2 3
A．l⊥l，l⊥l l∥l
1 2 2 3 1 3
B．l⊥l，l∥l l⊥l
1 2 2 3⇒1 3
C．l∥l∥l l，l，l 共面
1 2 3 1⇒2 3
D．l，l，l 共点⇒l，l，l 共面
1 2 3⇒ 1 2 3
解析：选B.在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线
中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线
不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧
棱，故D错．
4．如图，ABCDABC D 是长方体，O是BD 的中点，直线AC交平面ABD 于点M，则
1 1 1 1 1 1 1 1 1
下列结论正确的是( )
A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A 不共面
1
C．A，M，C，O不共面 D．B，B，O，M共面
1
解析：选A.连接AC ，AC，则AC ∥AC，
1 1 1 1
所以A，C ，C，A四点共面，
1 1
所以AC 平面ACC A，
1 1 1
因为M∈AC，
⊂1
所以M∈平面ACC A.
1 1又M∈平面ABD，
1 1
所以M在平面ACC A 与平面ABD 的交线上，
1 1 1 1
同理A，O在平面ACC A 与平面ABD 的交线上．
1 1 1 1
所以A，M，O三点共线．
5．(2019·成都第一次诊断性检测)在各棱长均相等的直三棱柱ABCABC 中，已知M是
1 1 1
棱BB 的中点，N是棱AC的中点，则异面直线AM与BN所成角的正切值为( )
1 1
A. B．1
C. D.
解析：选C.法一：如图，取AA 的中点P，连接PN，PB，则由直三棱柱
1
的性质可知AM∥PB，则∠PBN为异面直线AM与BN所成的角(或其补
1 1
角)．设三棱柱的棱长为2，则PN＝，PB＝，BN＝，所以PN2＋BN2＝PB2，
所以∠PNB＝90°，在Rt△PBN中，tan∠PBN＝＝＝，故选C.
法二：以N为坐标原点，NB，NC所在的直线分别
为x轴，y轴，过点N与平面ABC垂直的直线为z轴， 建立如图所示的
空间直角坐标系，设AB＝2，则N(0，0，0)，A(0，－1， 2)，B(，0，0)，M(，
1
0，1)，所以NB＝(，0，0)，A1M＝(，1，－1)，设直线AM 与BN所成的角为
1
θ，则cos θ＝|cos〈NB，A1M〉|＝＝＝，则sin θ＝，tan θ＝.
6．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分
别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，则下
列说法正确的是________．
①EF与GH平行；
②EF与GH异面；
③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；
④EF与GH的交点M一定在直线AC上．
解析：连接EH，FG(图略)，依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，所以E，F，G，H
四点共面．因为EH＝BD，FG＝BD，故EH≠FG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交
点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，所以点M是
平面ACB与平面ACD的交点，又AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上．
答案：④
7．一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个命题：
①AF⊥GC；②BD与GC成异面直线且夹角为60°；
③BD∥MN；④BG与平面ABCD所成的角为45°.
其中正确的是________(填序号)．解析：将平面展开图还原成正方体(如图所示)．
对于①，由图形知AF与GC异面垂直，故①正确；
对于②，BD与GC 显然成异面直线．如图，连接 EB，ED，则
BM∥GC，所以∠MBD即为异面直线BD与GC所成的角(或其补角)．在
等边△BDM中，∠MBD＝60°，所以异面直线BD与GC所成的角为60°，
故②正确；
对于③，BD与MN为异面垂直，故③错误；
对于④，由题意得，GD⊥平面ABCD，所以∠GBD是BG与平面ABCD所成的角．但在
Rt△BDG中，∠GBD不等于45°，故④错误．综上可得①②正确．
答案：①②
8．已知直三棱柱ABCABC 中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC ＝1，则异面直线AB 与
1 1 1 1 1
BC 所成角的余弦值为________．
1
解析：如图所示，将直三棱柱ABCABC 补成直四棱柱ABCD-
1 1 1
ABC D，连接AD，BD，则AD∥BC ，所以∠BAD 或其补角为异
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面直线AB 与BC 所成的角．因为∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC ＝
1 1 1
1，所以AB＝，AD＝.在△BDC 中，∠BC D＝60°，BC ＝1，DC
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
＝2，所以BD＝＝，所以cos∠BAD＝＝.
1 1 1 1
答案：
9．在正方体ABCDABC D 中，
1 1 1 1
(1)求AC与AD所成角的大小；
1
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求AC 与EF所成角的大小．
1 1
解：(1)如图，连接BC，AB ，由ABCDABC D 是正方体，易知
1 1 1 1 1 1
AD∥BC，从而BC与AC所成的角就是AC与AD所成的角．
1 1 1 1
因为AB＝AC＝BC，
1 1
所以∠BCA＝60°.
1
即AD与AC所成的角为60°.
1
(2)连接BD，在正方体ABCDABC D 中，AC⊥BD，AC∥AC .
1 1 1 1 1 1
因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以EF∥BD，所以EF⊥AC.
所以EF⊥AC .
1 1
即AC 与EF所成的角为90°.
1 1
10.如图，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已
知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：
(1)三棱锥PABC的体积；
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．
解：(1)S ＝×2×2＝2，
△ABC三棱锥PABC的体积为V＝S ·PA＝×2×2＝.
△ABC
(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE(或
其补角)是异面直线BC与AD所成的角．
在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，cos∠ADE＝＝.
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.
[综合题组练]
1．(应用型)在棱长为1的正方体ABCDABC D 中，E，F分别是DD 和AB的中点，平面
1 1 1 1 1
BEF交棱AD于点P，则PE＝( )
1
A. B.
C. D.
解析：选D.过点C 作C G∥BF，交直线CD于点G，过点E作
1 1 1
HQ∥C G，交CD延长线，C D 于点H，Q，连接BQ，HF交AD于点P，
1 1 1 1
HQ∥BF，所以Q，H，F，B 四点共面，易求得HD＝DQ＝，由
1 1 1
△PDH∽△PAF可得＝＝2，则PD＝，
在Rt△PED中，PE＝＝，故选D.
2．(2019·宁波模拟)
如图，在直二面角ABDC中，△ABD，△CBD均是以BD为
斜边的等腰直角三角形，取AD的中点E，将△ABE沿BE翻折
到△ABE，在△ABE的翻折过程中，下列不可能成立的是( )
1
A．BC与平面ABE内某直线平行
1
B．CD∥平面ABE
1
C．BC与平面ABE内某直线垂直
1
D．BC⊥AB
1
解析：选D.连接CE，当平面ABE与平面BCE重合时，BC 平面ABE，所以平面ABE
1 1 1
内必存在与BC平行和垂直的直线，故A，C可能成立；
⊂
在平面BCD内过B作CD的平行线BF，使得BF＝CD，
连接EF，则当平面ABE与平面BEF重合时，BF 平面ABE，
1 1
故平面ABE内存在与BF平行的直线，即平面ABE内存在与CD平行的直线，
1 1⊂
所以CD∥平面ABE，故C可能成立．
1
若BC⊥AB，又AB⊥AE，则AB为直线AE和BC的公垂线，所以AB＜CE，
1 1 1 1 1 1
设AB＝1，则经计算可得CE＝，
1
与AB＜CE矛盾，故D不可能成立．故选D.
1
3．(2019·济南模拟)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，AD的中点，将四边形
CDFE沿EF翻折，使得平面CDFE⊥平面ABEF，则异面直线BD与CF所成角的余弦值为
________．解析：如图，连接DE交FC于O，取BE的中点G，连接OG，CG，则OG∥BD且OG＝
BD，所以∠COG为异面直线BD与CF所成的角或其补角．设正方形ABCD的边长为2，则
CE＝BE＝1，CF＝DE＝＝，所以CO＝CF＝.易得BE⊥平面CDFE，所以BE⊥DE，所以BD＝
＝，所以OG＝BD＝.易知CE⊥平面ABEF，所以CE⊥BE，又GE＝BE＝，所以CG＝＝.在
△COG中，由余弦定理得，cos∠COG＝＝＝，所以异面直线BD与CF所成角的余弦值为.
答案：
4．(创新型)如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，
将△ADE沿直线DE翻折成△ADE.若M为线段AC的中点，则在
1 1
△ADE翻折过程中，下列四个命题中不正确的是________(填序号)．
①BM是定值；
②点M在某个球面上运动；
③存在某个位置，使DE⊥AC；
1
④存在某个位置，使MB∥平面ADE.
1
解析：取DC的中点F，连接MF，BF，则MF∥AD且MF＝AD，FB∥ED且FB＝ED，
1 1
所以∠MFB＝∠ADE.
1
由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，
所以M是在以B为球心，MB为半径的球上，可得①②正确；
由MF∥AD与FB∥ED可得平面MBF∥平面ADE，可得④正确；若存在某个位置，使
1 1
DE⊥AC，则因为DE2＋CE2＝CD2，即CE⊥DE，因为AC∩CE＝C，则DE⊥平面ACE，所以
1 1 1
DE⊥AE，与DA⊥AE矛盾，故③不正确．
1 1 1
答案：③
5．(创新型)如图，已知正方体ABCDABC D 的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点
1 1 1 1
M在棱DD 上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹的面积是
1
________．
解析：连接DN，则△MDN为直角三角形，在Rt△MDN中，MN＝2，P为MN的中点，连接DP，则DP＝1，所以点P在以D为球心，半径R＝1的球面上，又因为点P只能落在正方体
上或其内部，所以点P的轨迹的面积等于该球面面积的，故所求面积S＝×4πR2＝.
答案：
6．(应用型)如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，
DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所
成角的余弦值．
解：如图所示，取AC的中点F，连接EF，BF，
因为在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，所以EF∥CD.
所以∠BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角．
在Rt△EAB中，AB＝AC＝1，AE＝AD＝，所以BE＝.
在Rt△EAF中，AF＝AC＝，AE＝，
所以EF＝.
在Rt△BAF中，AB＝1，AF＝，所以BF＝.
在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝.
所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为.
