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4.1 导数的概念及其意义、导数的运算（精讲）一．导数的概念
1.如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极根，则称 y＝f(x)在x＝x 处可导，并把这
0
个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x 处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x)或 ，
0 0
即f′(x)＝lim＝lim
0
2.当x＝x 时，f′(x)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数
0 0
(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝lim
二．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x 处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x，f(x))处的切线的斜率，
0 0 0
相应的切线方程为y－f(x)＝f′(x)(x－x)（点斜式）
0 0 0
三．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数)
＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
＝nxn－1
f(x)＝sin x ＝cos x
f(x)＝cos x －sinx
f(x)＝ax(a>0且a≠1)
＝axln a
f(x)＝ex
＝ex
f(x)＝log x(x>0，a>0且a≠1)
a ＝
f(x)＝ln x(x>0)
＝
四．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝ ±
(2)[f(x)·g(x)]′＝ g(x)＋f(x)
(3) (g(x)≠0)五．复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函
数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′＝y′·u′，即y对x的导数等于y对
x u x
u的导数与u对x的导数的乘积．
一．导数概念理解
f′(x)＝y′＝lim ， 应是两个变量的差值，如果不是两个变量的差值，要进行拼凑
二．导数运算
连乘形式：先展开化为多项式形式，再求导
三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
分式形式：先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导
对数形式：化为和、差形式，再求导
复合函数：先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元
三．导数的几何意义
四．在型与过型的切线方程
1.在型
2.过型
3.求参（1）斜率：
（2）代点：切点在切线上，代入切线方程；切点在曲线上，代入曲线
五．公切线
法一：利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；
法二：设公切线l在y＝f(x)上的切点P(x，f(x))，在y＝g(x)上的切点P(x，g(x)，
1 1 1 2 2 2
则f′(x)＝g′(x)＝.
1 2
法三：两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通
过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．
六．切点或切线数量
1.判断切点或切线数量：利用在型或过型列出关于切点x 的方程f(x)，判断方程解的个数：
0 0
（1）f(x)是一元二次方程，可以用判别式判断
0
（2）f(x)若不是一元二次方程，则判断其零点个数或与x轴交点的个数，一般采用图像法；画未学过函数
0
图像一般需要知道单调区间（导数法），极值和端点值或端点值的正负
2.已知切点或切线数量求参：一般采用分离参数，变成两个函数的交点个数问题
考法一 导数的概念及应用
【例1-1】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）设 为 上的可导函数，且 ，则
曲线 在点 处的切线斜率为（ ）
A．2 B．-1 C．1 D．【例1-2】（2023湖南）如图，直线 是曲线 在 处的切线，则 ___________.
【例1-3】（2023·云南）函数 的图象如图所示， 是函数 的导函数，则下列数值排序正
确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例1-4】（2022·湖北·武汉市第一中学）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2023春·河南）已知 是函数 的导函数，若 ，则
（ ）
A． B．2 C． D．82．（2022秋·江苏徐州·高三徐州市第七中学校考阶段练习）设 为可导函数，且满足
，则曲线 在点 处的切线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·江苏）如图，函数 的图象在点 处的切线是 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．1
4.（2023·江西）若函数 的导函数为 ，且满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
考法二 导数的运算
【例2】（2023广东湛江）求下列函数的导数
(1) (2) ； (3) ．
(4) ； (5) ；【一隅三反】
1．（2023春·四川）求下列函数的导数
(1) ； (2) (3) (4)
(5) ； (6) ； (7) (8) ；
考法三 导数的几何意义
【例3-1】（2023吉林）曲线 在 处切线的斜率为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例3-2】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，曲线 在点 处的切线的倾
斜角为 ，则 ______．
【例3-3】（2023春·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则实数 等于（ ）
A． B． C． D．
【例3-4】（2023湖南）设点 是曲线 上任意一点，直线 过点 与曲线相切，则直线 的倾斜
角的取值范围为______.
【一隅三反】
1．（2023四川）函数 在 处切线的倾斜角为_______.
2．（2023重庆）若曲线 在点 处的切线与 平行，曲线 在点 处的
切线与直线 垂直，则 __________．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则曲线 在点
处的切线的斜率为
4．（2023春·河南）点P在曲线 上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是
考点四 在型与过型的切线方程
【例4-1】（1）（2023上海）已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程是______.
（2）（2023春·河北）若 ，则曲线 在 处的切线方程为
【例4-2】（1）（2023·北京东城·统考一模）过坐标原点作曲线 的切线，则切线方程为（2）2023·江苏南通·二模）过点 作曲线 的切线，写出一条切线的方程_______．
【例4-3】（1）（2023·江西·校联考模拟预测）若直线 与曲线 相切，则
___________.
（2）（2022·全国·模拟预测）已知函数 在 处的切线过原点，则a的值为
（3）（2023·新疆阿克苏·校考一模）若直线 与曲线 相切，则k的取值范围是
【一隅三反】
1.（2023吉林）函数 在点 处的切线的方程是__________.
2．（2023·陕西咸阳）已知函数 ，那么 在点 处的切线方程为___________．
3．（2023春·上海浦东新）已知曲线 ，过点 作曲线的切线，则切线的方程为____.
4．（2023吉林）已知函数 ，则曲线 过点 的切线方程为______．
5．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）若直线 为曲线 的一条切线，则实数k的值是
（ ）
A．e B． C． D．
6．（2023春·上海杨浦）已知 为实数，函数 在 处的切线方程为 ，则 的
值为___________．考法五 公切线
【例5-1】（2023安徽）已知直线l与曲线 、 都相切，则直线l的方程为______．
【例5-2】（2023·山西·校联考模拟预测）若直线 与函数 和 的图象都相切，
则 （ ）
A． B． C． D．
【例5-3】（2023·陕西榆林·校考模拟预测）若直线 与曲线 相切，切点为 ，与曲线
也相切，切点为 ，则 的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【一隅三反】
1．（2023·云南）已知曲线 与曲线 有相同的切线，则这条切线的斜率为____.
2．（2023·陕西渭南·统考一模）已知直线 是曲线 与曲线 的公
切线，则 等于
3．（2023河北）若函数 与 的图像存在公共切线，则实数 的最大值为
考点六 切线条数或切点个数
【例6-1】（2023福建）已知函数 ，则过点 可作曲线 的切线的条数最多
为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例6-2】（2023·四川眉山·统考二模）已知函数 .若过点 可以作曲线 三条切线，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例6-3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期末）过点 可以作曲线
的两条切线，切点的横坐标分别为m，n，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）过点 作曲线 的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______.
2．（2023春·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）若过点 可以作曲线 的两条切线，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知函数 ，存在两条过原点的直线与曲线
相切，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·陕西西安·统考一模）过点 可作三条直线与曲线 相切，则实数a的取值范
围为（ ）A． B． C． D．
考点七 导数几何意义与其他知识综合
【例7-1】（2023·湖北·统考模拟预测）已知 ， ，直线 与曲线 相切，
则 的最小值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【例7-2】（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知函数 ，且其图象在点
处的切线的倾斜角为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【例7-3】（2023·全国·高三专题练习）设点P在曲线 上，点Q在直线y=2x上，则PQ的最
小值为
A．2 B．1 C． D．
【一隅三反】
1．（2023·山东）函数 的图象在 处的切线对应的倾斜角为 ，则sin2 =（ ）
A． B．± C． D．±
2.（2022·湖北·黄冈中学）已知a，b为正实数，直线 与曲线 相切，则 的最小值
为（ ）A．8 B．9 C．10 D．13
3（2023广东）已知点A是函数f(x)＝x2－ln x＋2图象上的点，点B是直线y＝x上的点，则|AB|的最小值为
( )
A. B．2
C. D.
