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2024-2025 学年八年级上学期期中复习模拟卷
（范围：第十一章-第十三章内容，时间：120分钟，满分：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．一个多边形的内角和等于 ，这个多边形是（ ）
A．十边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形
【答案】B
【知识点】多边形内角和问题
【分析】本题考查了多边形的内角和公式，设这个多边形的边数为 ，根据内角和公式列出方程即可求解 ，
掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
【详解】解：设这个多边形的边数为 ，
由题意得， ，
解得 ，
∴这个多边形是八边形，
故选： ．
2．在平面直角坐标系中，则与点 关于 轴对称的点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、坐标与图形
【分析】本题考查了关于 轴对称的点的坐标规律，根据“关于 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为
相反数”求解，解题的关键是熟记，关于 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于 轴对称
的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
【详解】解：∵点 与点 关于 轴对称，
∴ 的坐标为 ，
故选： ．
3．如图， 中 ，延长 到点D，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，进行求解即可．
【详解】解：∵ 是 的一个外角，
∴ ，
故选B．
4．轴对称图形以其特有的对称美，给人们带来了一种和谐的美感．下列图形中，轴对称图形的个数是（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】轴对称图形的识别
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：左起第一、第三、第四共3个图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线
两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
第二个图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是
轴对称图形；
故选：C．
5．已知 与 中 ， ，则下列条件中不能判定 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）【分析】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有： 、 、 、 、
，注意： 、 不能判定两个三角形全等．
作出草图，根据三角形全等的判定定理对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：如图，
A、 符合“边边角”，不能判定两三角形全等，故本选项符合题意；
B、 ，符合“边角边”， 能判定两三角形全等，故本选项不符合题意；
C、 ，符合“角边角”， 能判定两三角形全等，故本选项不符合题意；
D、 ，符合“角角边”， 能判定两三角形全等，故本选项不符合题意．
故选：A．
6．如图，在 中， ， 平分 ，那么下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． 是 的高线
C． 是 的角平分线 D． 是等边三角形
【答案】D
【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、三线合一、等边三角形的判定
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，三角形全等的判定，根据三角形全等的
判定方法，可得出 ，根据等腰三角形三线合一可得出 是 的高线， 是
的角平分线．
【详解】解：∵在 中， ， 平分 ，
∴ 是 的高线， 是 的角平分线， 是 中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，无法判断 是等边三角形，故D符合题意， 不符合题意．
故选：D．
7．如图，在 中，点 在 上， 平分 ，延长 到点 ，使得 ，连结 ．若
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．由“ ”可证
，可得 ，即可求解．
【详解】解： 平分 ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
故选：A
8．如图，在 中， ， ，M为边 上的点，连接 ，如果将 沿直线
翻折后，点 恰好落在边 的中点处，那么点 到 的距离是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角平分线的性质定理、折叠问题
【分析】本题考查了折叠的性质、角平分线的性质定理、三角形面积公式，作 于 ，
于 ，由折叠的性质可得： ， ，再由角平分线的性质定理可得
，再结合面积公式计算即可得解．
【详解】解：如图：作 于 ， 于 ，
，
∵在 中， ，
∴由折叠的性质可得： ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵将 沿直线 翻折后，点 恰好落在边 的中点处，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
9．在等腰三角形 中， ，若中线 将该三角形的周长分为5和3两个部分，则该等腰三角
形的底边长为（ ）A． B．4 C． 或4 D． 或4
【答案】A
【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、构成三角形的条件、根据三角形中线求长度
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三角形中线的定义，三角形的三边关系，掌握三角形的任意
两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．设腰长 ，底边长 ，结合
三角形中线的定义，列二元一次方程组，求出 、 的值，再根据三角形的三边关系检验即可．
【详解】解：设腰长 ，底边长 ，
是中线，
，
中线 将该三角形的周长分为5和3两个部分，
或 ，
或 ，
解得： 或 ，
当等腰三角形 腰长为 ，底边长为 时， ，可以组成三角形；
当等腰三角形 腰长为 ，底边长为 时， ，不可以组成三角形；
该等腰三角形的底边长为 ，
故选：A．
10．如图，在 和 中， ，连接 交于点F，连接 ．下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④ 平分 ．其中
正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综
合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形的外角等于与它不相邻的两个
内角的和等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
先由 证明 ，即可根据全等三角形的判定定理“ ”证
明 ，得 ，可判断①正确；设 交 于点 ，因为 ，所以
，可判断②正确；作 于点 于点
，由 得 ，则 ，即可证明 平分 ，可判断④正确；假设
，则 ，所以 ，由
，得 ，即可推导出 ，得 ，与已知条
件相矛盾，可判断③错误，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵ ，
，
在 和 中，
，
，
，故①正确；
设 交 于点 ，
，故②正确；作 于点 于点 ，
，
，又 ，
，
∴点 在 的平分线上，
平分 ，故④正确；
假设 ，则 ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
∴ ，与已知条件相矛盾，
，故③错误，
∴①②④这3个结论正确，
故选：C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．若一个等腰三角形的一个内角的度数为 ，则它的底角的大小为 度．
【答案】40
【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和，根据等腰三角形定义以及三角形形内角和定理分
两种情况讨论求解即可．【详解】解： 当 为等腰三角形的底角时， ，不能组成三角形，
当 为等腰三角形的顶角时，它的底角的大小为 ，
故答案为：40．
12．如图， 平分 ， 于点 ，点 为射线 上一动点，若 ，则 的最小值为
．
【答案】3
【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．
过O点作 于H点，如图，先根据角平分线的性质得到 ，然后根据垂线段最短解决问
题．
【详解】解：过O点作 于H点，如图，
平分 ，
，
∵点E为射线 上一动点，
∴ 的最小值为 的长，
即 的最小值为3．
故答案为：3．
13．如图， 的中线 、 相交于点F， ，垂足为H．若 ， ，则 长
为 ．【答案】 /
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】本题主要考查三角形的中线与面积的关系，连接 ，由三角形的中线与面积的关系可得
，然后可得 ，则有 ，进而问题可求
解．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵ 、 是 的中线， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，且 ，∴ ．
14．如图，已知等边三角形 的边长为3，过 边上一点P作 于点 为 延长线上一点，
取 ，连接 ，交 于点M，则 的长为 ．
3
【答案】
2
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，根据题意作P作 交 于点
F，证 是等边三角形，再证明 ，利用全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】过P作 交 于点F．
∵ 是等边三角形，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ 是等边三角形．
∴ ．
又∵ ，∴ ．
在 和 中， ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
15．如图， 为△ 内一点， 平分 ， ， ，若 ， ，则
的长为 ．
【答案】2
【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边
证明边相等
【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，理解角平分线
的定义，熟练掌握等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．延长 交 于点
，根据 得 ，再证明 和 全等得 ， ，则
，据此可得 的长．
【详解】解：延长 交 于点 ，如图所示：，
，
，
，
平分 ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
．
故答案为：2．
16．如图， 内角平分线 交 边于点 ，交外角的平分线 于 ，连结 ， ，若
为等腰三角形，则 的度数为 ．
【答案】 或
【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、等腰三角形的性质
和判定
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质与判定，延长 ，过点 作 于点
， 于点 ， 于点 ．首先由角平分线和外角得到， ，，依据角平分线的性质定理推导出 ，得出 平分 ，从而得到 ，
结合 为等腰三角形，求出 的度数，然后由外角得到 ，最后根据
解答即可．
【详解】解：延长 ，过点 作 于点 ， 于点 ， 于点 ．
平分 ， 平分 ，
， ，
，
又 ，
，
∴ ，
平分 ， 平分 ， ， ， ，
，
，
平分 ，
，
为等腰三角形，
当 时， ，
∴ ，
∴
；
当 时， ， ，
∴ ，不合题意；
当 时， ，
，
∴
；综上， 的度数为 或 ．
故答案为： 或 ．
三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分.
17．如图，在所给网格图（每小格均是边长为1的正方形）中完成下面各题：
(1)作 关于直线 对称的图形 ；
(2)求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】画轴对称图形、利用网格求三角形面积
【分析】本题考查了作图—轴对称变换，割补法求面积，掌握轴对称的性质是解题关键．
（1）分别作出点A、B、C关于 的对称点 、 、 ，连接 、 、 即可；
（2）过A，B，C三点围成的矩形的面积减去三个三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求作；
（2）解： ．
18．如图，在在 中， 是 边上的高， ．(1)求 的度数：
(2)若 是 的角平分线， 交 于点F，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的定义：
（1）根据三角形内角和定理，可得 ，再根据三角形高的定义 ，则由三角形内角和
定理即可求出答案；
（2）根据角平分线的定义，可得 ，然后根据三角形外角的性质，即可求解．
【详解】（1）解：在 中，∵ ，
∴ ，
∵ 是 边上的高，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， 是 的角平分线，
∴ ，
∵ 是 的一个外角，
∴ ．
19．已知：如图，在 中， ， 是 的角平分线， ，垂足为点 ，
．(1)求 的度数；
(2)如果 ， ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平
分线的性质
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积的求法，熟练掌握全等三
角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据已知条件得到 ，由等腰三角形的性质得到 ，根据 是 的角平分线，
求得 ，于是得到 ，列方程即可得到结论；
（2）根据已知条件求得 ，根据全等三角形的性质得到 ，
，于是得到 ，即可得到结论．
【详解】（1）解：∵ 且 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， 是 的角平分线， ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ．
20．已知 的三边长分别为a，b，c．
(1)化简式子 ；
(2)若 ， ， ．
①x的取值范围是 ；
②当 为等腰三角形时，求a，b，c的值．
【答案】(1)
(2)① ；② ， ， 的值为13，13，7
【知识点】求不等式组的解集、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系．
（1）由三角形三边关系定理得： ， ，即可化简 ；
（2）①由三角形三边关系定理列出不等式组，再求解即可；
②分三种情况分类讨论，分别根据等腰列方程求解，再判断是否构成三角形即可．
【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得： ， ，
，
故答案为： ；
（2）解：① ， ， ，
，
，
故答案为： ；
②分以下三种情况：
如果 的腰是 ， ，则 ，
，， ，
， ， 符合三角形三边关系；
如果 的腰是 ， ，则 ，
，
， ，
， ， 不能组成三角形；
如果 的腰是 ， ，则 ，此时无解；
综上， ， ， 的值为13，13，7．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
21．如图，在 中，内角平分线 和外角平分线 相交于点P，根据下列条件求 的度数．
(1)若 ， ，则 ______；若 ，则 ______；
(2)若 ，则 ______；
(3)从以上的结果猜想 与 的关系是______；
(4)证明第（3）题中所猜想的结论．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3) ；
(4)见解析．
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，角平分线．
（1）①先得出 ，根据角平分线的定义得出 ，
，则 ，
②先求出 ，根据角平分线的定义得出 ，，再根据 ，即可解答；
（2）根据角平分线的定义得出 ， ，再根据 ，即可
解答；
（3）根据（1）和（2）即可得出结论；
（4）根据角平分线的定义得出 ， ，再根据 ，即可
求证．
【详解】（1）解：①∵ ，
∴ ，
∵ ， 、 平分 、 ，
∴ ， ，
∴ ，
②∵ ，
∴ ，
∵ 、 平分 、 ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）解：∵ 、 平分 、 ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ；
故答案为： ；
（3）解：由（1）和（2）可知， ，
故答案为： ；（4）证明：：∵ 、 平分 、 ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
即 ．
22．如图1，在 中， 和 的平分线相交于点 ，过点 作 ，分别交 和
于点 和 ．
(1)求证： 是等腰三角形．
(2)若 ， ，求 的周长．
(3)如图2，过点 作 于点 ，连接 ，当 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)9
(3)
【知识点】角平分线的有关计算、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质、角平分线的性
质等知识带你，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）根据角平分线的性质可得 与 的关系， 与 的关系，根据平行线的性质可得
与 的关系， 与 的关系，根据等腰三角形的判定可得 即可证明结论；
（2）同（1）可得 ，然后根据三角形的周长公式计算即可；
（3）根据角平分线的性质和判定证得 是 的平分线，即可求得 ．
【详解】（1）证明：∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ 是等腰三角形．
（2）解：由（1）得： ，同理可得 ，
∴ 的周长 ，
∵ ， ，
∴ 的周长 ．
（3）解：过点O分别作 于M， 于N，
∵ 和 的平分线相交于点 ， ， ，
∴ ，
∴ 是 的平分线，
∴ ．
23．如图， 是等边三角形． ，AD是边 上的高，点E在边AD上，连接 ，以 为边
在其下方作等边 ，连接 ．
(1)当 是等腰三角形时， __________度；
(2)求证： ；
(3)求 的最小值；
(4)当 是等腰三角形时，直接写出 的大小．
【答案】(1)75
(2)见解析(3)1
(4) 或 或
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边
三角形的性质
【分析】（1）根据等边三角形性质得到 ，根据 ， 是等腰三角形，
得 ，得 ．
（2）根据等边三角形性质得 ， ， ，得 ．
（3）根据等边三角形性质得到 ， ，根据 ，得 ， ，根据全等
三角形性质得 ，得当 时， 最小，值为1．
（4）根据 是等腰三角形，其中 ，若 ， 则 ，得
； 若 ，则 ，得 ；若 ，则 ，
得 ．
【详解】（1）解：∵ 和 都是等边三角形，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ 是等腰三角形，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
故答案为：75
（2）证明：∵ 是等边三角形，
∴ ， ．
∵ 是等边三角形，
∴ ， ．
∴ ．
在 和 ， ，∴ ．
（3）解：∵ 是等边三角形，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∴当 时， 最小．
最小值为 ．
（4）解：当 是等腰三角形时，
若 ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
若 ，
则 ．
∴ ．
若 ，
则 ．
∴ ．
故 的大小为 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形和全等三角形．熟练掌握等边三角形性质，等腰三角形性质，全等三
角形判定和性质，含30度直角三角形的判定和性质，分类讨论，是解决问题的关键．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
24．【问题探究】（1）如图1，在 中， ， ， 为 延长线上一点，点 在 边上，且
，连接 ， ．
①求证： ；
②如图2，延长 交 于点 ， 平分 ．求证： ；
【拓展延伸】
（2）如图3，在 中， ， ， ， ，垂足为 ， 与
相交于点 ．试探究线段 与 的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2） ，理由见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰
三角形的性质和判定
【分析】（1）①根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；②由①知， ，根据全等
三角形的性质得到 ，求得 ，根据角平分线的定义得到 ，根
据全等三角形的性质得到 ，于是得到 ；
（2）作 于点 ，交 的延长线于 ，分别证明 、 ，根据全等三
角形的性质证明即可．
【详解】（1）证明：① ，
，
在△ 与△ 中，
，
，
；
②由①知， ，
，， ，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
；
（2） ，
理由：作 于点 ，交 的延长线于 ，
， ，
，
，
， ，
又 ，
，
在 和 中，
，
，
， ，， ，
，
在 和 中，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质、角平分线的定义，掌握全等三角
形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
（1）如图1， ， ，过点 作 于点 ，过点 作 的延长线于点 ．
由 ，得 ．又 ， ，可以推理得
到 ，进而得到 ______， ______．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一
线三等角”模型．
【模型应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系 中，点 为平面内任一点，点 的坐标为 ，若 是以 为
斜边的等腰直角三角形，求点 A 的坐标．
【深入探究】
（3）如图3， ， ， ，连接 、 ，且 于点F， 与
直线 交于点 ，求证：点 是 的中点．【答案】（1） ， ；（2） 或 ，（3）见解析
【知识点】坐标与图形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形，等腰三角形的定义，正确的作出辅助线是解
题的关键．
（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）分两种情况讨论，当点A在第一象限时，：过 作 轴于 ，过 作 轴于 ， 与
相交于 ，根据余角的性质得到 ，根据全等三角形的性质得到 ， ，设
，则 ，于是得到结论；当点A在第四象限时，同理可得答案；
（3）作 于 ， 于 ，根据余角的性质得到 ，根据全等三角形的性质得到
，同理 ，由此可得 ，再由此证明 ，由全等三角形的性
质得到 ，于是得到点 是 的中点．
【详解】解∶（1）∵ ，
∴ ， ；
故答案为： ， ；
（2）如图，当点A在第一象限时，过 作 轴于 ，过 作 轴于 ， 与 相交于 ，
，
，
，
，
，
在 与 中，，
，
， ，
设 ，则 ，
，
，
， ，
点 的坐标 ；
如图，当点A在第四象限时，过 作 轴于 ，过 作 轴于 ， 与 相交于 ，
，
，
，
，
，
在 与 中，
，
，
， ，
设 ，则 ，
，，
， ，
又 此时点 在第四象限，点 的坐标 ，
综上所述，点 的坐标为 或
（3）如图，作 于 ， 于 ，
，
，
，
，
，
在 与 中，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 与 中，
，，
，
又 ，
，
， ，
，
在 与 中，
，
，
，
点 是 的中点．
