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[基础题组练]
1．(2019·湖南湘东五校联考)已知在等比数列{a}中，a＝7，前三项之和S＝21，则公比q
n 3 3
的值是( )
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或
解析：选C.当q＝1时，a＝7，S＝21，符合题意；当q≠1时，得q＝－.综上，q的值是1
n 3
或－，故选C.
2．在等比数列{a}中，如果a＋a＝40，a＋a＝60，那么a＋a＝( )
n 1 2 3 4 7 8
A．135 B．100
C．95 D．80
解析：选A.由等比数列前n项和的性质知，a＋a，a＋a，a＋a，a＋a 成等比数列，其
1 2 3 4 5 6 7 8
首项为40，公比为＝，所以a＋a＝40×＝135.
7 8
3．等比数列{a}的各项为正数，且aa＋aa＝18，则log a＋log a＋…＋log a ＝( )
n 5 6 4 7 3 1 3 2 3 10
A．12 B．10
C．8 D．2＋log 5
3
解析：选B.由题aa＋aa＝18，所以aa＝9，log a＋log a＋…＋log a ＝log (aa…
5 6 4 7 5 6 3 1 3 2 3 10 3 1 2
a )＝log (aa)5＝5log 9＝10.
10 3 5 6 3
4．(一题多解)(2019·湖北武汉联考)已知{a}为等比数列，a＋a＝2，aa＝－8，则a＋a
n 4 7 5 6 1 10
等于( )
A．7 B．5
C．－5 D．－7
解析：选D.法一：设数列{a}的公比为q，则由题意得所以或所以a＋a ＝a(1＋q9)＝－
n 1 10 1
7.
法二：由
解得或
所以或所以a＋a ＝a(1＋q9)＝－7.
1 10 1
5．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列
的项数是( )
A．13 B．12
C．11 D．10
解析：选B.设该等比数列为{a}，其前n项积为T，则由已知得a·a·a＝3，a ·
n n 1 2 3 n－2
a ·a＝9，(a·a)3＝3×9＝33，所以a·a＝3，又T＝a·a·…·a ·a＝a·a ·…
n－1 n 1 n 1 n n 1 2 n－1 n n n－1
·a·a，所以T＝(a·a)n，即7292＝3n，所以n＝12.
2 1 1 n
6．(2019·黄冈模拟)已知正项等比数列{a}的前n项和为S，且aa＝2a，a 与2a 的等差
n n 1 6 3 4 6
中项为，则S＝________．
5解析：设{a}的公比为q(q>0)，因为aa＝2a，而aa＝aa，所以aa＝2a，所以a＝2.
n 1 6 3 1 6 3 4 3 4 3 4
又a＋2a＝3，所以a＝，所以q＝，a＝16，所以S＝＝31.
4 6 6 1 5
答案：31
7．设等比数列{a}中，前n项和为S，已知S＝8，S＝7，则a＋a＋a＝________．
n n 3 6 7 8 9
解析：因为a＋a＋a＝S－S，且S，S－S，S－S 也成等比数列，即8，－1，S－S 成等
7 8 9 9 6 3 6 3 9 6 9 6
比数列，所以8(S－S)＝1，即S－S＝.所以a＋a＋a＝.
9 6 9 6 7 8 9
答案：
8．(2019·安徽安庆模拟)数列{a}满足：a ＝λa－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若数列{a－
n n＋1 n n
1}是等比数列，则λ的值为________．
解析：由a ＝λa－1，得a －1＝λa－2＝λ.由于数列{a－1}是等比数列，所以＝1，得
n＋1 n n＋1 n n
λ＝2.
答案：2
9．已知数列{a}的前n项和S＝1＋λa，其中λ≠0.
n n n
(1)证明{a}是等比数列，并求其通项公式；
n
(2)若S＝，求λ.
5
解：(1)由题意得a＝S＝1＋λa，
1 1 1
故λ≠1，a＝，故a≠0.
1 1
由S＝1＋λa，S ＝1＋λa 得a ＝λa －λa，
n n n＋1 n＋1 n＋1 n＋1 n
即a (λ－1)＝λa.
n＋1 n
由a≠0，λ≠0得a≠0，所以＝.
1 n
因此{a}是首项为，公比为的等比数列，
n
于是a＝.
n
(2)由(1)得S＝1－.由S＝得1－＝，即＝.解得λ＝－1.
n 5
10．已知{a}是等差数列，满足a＝3，a＝12，数列{b}满足b＝4，b＝20，且{b－a}为
n 1 4 n 1 4 n n
等比数列．
(1)求数列{a}和{b}的通项公式；
n n
(2)求数列{b}的前n项和．
n
解：(1)设等差数列{a}的公差为d，由题意得
n
d＝＝＝3，
所以a＝a＋(n－1)d＝3n(n＝1，2，…)．
n 1
设等比数列{b－a}的公比为q，由题意得
n n
q3＝＝＝8，解得q＝2.
所以b－a＝(b－a)qn－1＝2n－1.
n n 1 1
从而b＝3n＋2n－1(n＝1，2，…)．
n
(2)由(1)知b＝3n＋2n－1(n＝1，2，…)．
n
数列{3n}的前n项和为n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为＝2n－1.所以，数列{b}的前n项和为n(n＋1)＋2n－1.
n
[综合题组练]
1．(创新型)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题： “远望巍巍塔七层，红光点
点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相
邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
解析：选B.每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a}，则前7项的和S ＝
n 7
381，公比q＝2，依题意，得S＝＝381，解得a＝3，故选B.
7 1
2．(应用型)(2019·河南濮阳模拟)设{a}是公比为q的等比数列，|q|>1，令b＝a＋1(n＝
n n n
1，2，…)，若数列{b}有连续四项在集合{－53，－23，19，37，82}中，则q等于( )
n
A．－ B.
C．－ D.
解析：选C.{b}有连续四项在{－53，－23，19，37，82}中且b＝a＋1.a＝b－1，则{a}
n n n n n n
有连续四项在{－54，－24，18，36，81}中．
因为{a}是等比数列，等比数列中有负数项，则q<0，且负数项为相隔两项，所以等比数
n
列各项的绝对值递增或递减．
按绝对值的顺序排列上述数值18，－24，36，－54，81，
相邻两项相除＝－，＝－，－＝－，＝－，则可得－24，36，－54，81是{a}中连续的四项．
n
q＝－或q＝－(因为|q|>1，所以此种情况应舍)，
所以q＝－.故选C.
3．在递增的等比数列{a}中，已知a＋a＝34，a·a ＝64，且前n项和S＝42，则n＝
n 1 n 3 n－2 n
________．
解析：因为{a}为等比数列，
n
所以a·a ＝a·a＝64.
3 n－2 1 n
又a＋a＝34，
1 n
所以a，a 是方程x2－34x＋64＝0的两根，
1 n
解得或
又因为{a}是递增数列，
n
所以
由S＝＝＝42，
n
解得q＝4.
由a＝aqn－1＝2×4n－1＝32，
n 1
解得n＝3.
答案：3
4．已知数列{a}满足a＝2且对任意的m，n∈N*，都有＝a，则数列{a}的前n项和S＝
n 1 n n n________．
解析：因为＝a，
n
令m＝1，则＝a，
n
即＝a＝2，
1
所以{a}是首项a＝2，公比q＝2的等比数列，
n 1
S＝＝2n＋1－2.
n
答案：2n＋1－2
5．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知数列{a}和{b}满足a＝1，b＝0，4a ＝3a－b＋4，4b
n n 1 1 n＋1 n n n＋1
＝3b－a－4.
n n
(1)证明：{a＋b}是等比数列，{a－b}是等差数列．
n n n n
(2)求{a}和{b}的通项公式．
n n
解：(1)证明：由题设得4(a ＋b )＝2(a＋b)，即a ＋b ＝(a＋b)．
n＋1 n＋1 n n n＋1 n＋1 n n
又因为a＋b＝1，所以{a＋b}是首项为1，公比为的等比数列．
1 1 n n
由题设得4(a －b )＝4(a－b)＋8，即a －b ＝a－b＋2.
n＋1 n＋1 n n n＋1 n＋1 n n
又因为a－b＝1，所以{a－b}是首项为1，公差为2的等差数列．
1 1 n n
(2)由(1)知，a＋b＝，a－b＝2n－1.
n n n n
所以a＝[(a＋b)＋(a－b)]＝＋n－，
n n n n n
b＝[(a＋b)－(a－b)]＝－n＋.
n n n n n
6．(应用型)已知数列{a}中，a＝1，a·a ＝，记T 为{a}的前2n项的和，b＝a ＋a
n 1 n n＋1 2n n n 2n 2n－
，n∈N*.
1
(1)判断数列{b}是否为等比数列，并求出b；
n n
(2)求T .
2n
解：(1)因为a·a ＝，
n n＋1
所以a ·a ＝，
n＋1 n＋2
所以＝，即a ＝a.
n＋2 n
因为b＝a ＋a ，
n 2n 2n－1
所以＝＝＝，
因为a＝1，a·a＝，
1 1 2
所以a＝，所以b＝a＋a＝.
2 1 1 2
所以{b}是首项为，公比为的等比数列．
n
所以b＝×＝.
n
(2)由(1)可知，a ＝a，
n＋2 n
所以a，a，a，…是以a＝1为首项，以为公比的等比数列；a，a，a，…是以a＝为首项，
1 3 5 1 2 4 6 2
以为公比的等比数列，
所以T ＝(a＋a＋…＋a )＋(a＋a＋…＋a )
2n 1 3 2n－1 2 4 2n
＝＋＝3－.
