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[基础题组练]
1．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10
＝( )
A．121 B．123
C．231 D．211
解析：选B.法一：令a＝an＋bn，则a＝1，a＝3，a＝4，a＝7，…，得a ＝a＋a ，从而
n 1 2 3 4 n＋2 n n＋1
a＝18，a＝29，a＝47，a＝76，a ＝123.
6 7 8 9 10
法二：由a＋b＝1，a2＋b2＝3，得ab＝－1，代入后三个等式中符合，则a10＋b10＝(a5＋b5)2
－2a5b5＝123.
2．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0 a＝b”类比推出“若z，z∈C，则z－z＝0 z＝z”；
1 2 1 2 1 2
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则
⇒ ⇒
a＋b＝c＋d a＝c，b＝d”；
⇒
③“若a，b∈R，则a－b>0 a>b”类比推出“若z，z∈C，则z－z>0 z>z”．
⇒ 1 2 1 2 1 2
其中类比得到的结论正确的个数是( )
⇒ ⇒
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选C.由复数的减法运算可知①正确；因为a，b，c，d都是有理数，是无理数，所以②
正确；因为复数不能比较大小，所以③不正确．
3．(2019·广西柳州模拟)给出以下数对序列：
(1，1)
(1，2)(2，1)
(1，3)(2，2)(3，1)
(1，4)(2，3)(3，2)(4，1)
……
记第i行的第j个数对为a ，如a ＝(3，2)，则a ＝( )
ij 43 nm
A．(m，n－m) B．(m－1，n－m)
C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m＋1)
解析：选D.由前4行的特点，归纳可得，若a ＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，所以a ＝
nm nm
(m，n－m＋1)．故选D.
4．(2019·福建莆田质量检测)“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年
方法，干支是天干和地支的总称．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这
就是俗称的“干支表”．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸这十个符号叫天干；子、丑、寅、
卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥这十二个符号叫地支．如公元1984年农历为甲子年，公元
1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年，则公元2047年农历为( )
A．乙丑年 B．丙寅年C．丁卯年 D．戊辰年
解析：选C.记公元1984年为第一年，则公元2047年为第64年，即天干循环了六次，第
四个为“丁”．地支循环了五次，第四个为“卯”，所以公元2047年农历为丁卯年，故选C.
5．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当FB⊥AB时，其离心率为，此类椭圆被
称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于 ( )
A. B.
C.－1 D.＋1
解析：选A.设“黄金双曲线”的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则B(0，b)，F(－c，0)，A(a，0)．
在“黄金双曲线”中，因为FB⊥AB，
所以FB·AB＝0.
又FB＝(c，b)，AB＝(－a，b)，
所以b2＝ac.而b2＝c2－a2，所以c2－a2＝ac.
在等号两边同除以a2，得e2－1＝e，
解得e＝.
6．观察下列式子：<2，＋<，＋＋<8，＋＋＋<，…，根据以上规律，第n(n∈N*)个不等式是
____________________．
解析：根据所给不等式可得第n个不等式是＋＋…＋<.
答案：＋＋…＋<
7.祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条
原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，
“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水
平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆＋＝1(a>b>0)所
围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)
(如图)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，
求出椭球体体积，其体积等于______________．
解析：椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然
后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得
出椭球体的体积V＝2(V －V )＝2(πb2a－πb2a)＝πb2a.
圆柱 圆锥
答案：πb2a
8．设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并
给出证明．
解：f(0)＋f(1)＝＋＝＋＝＋＝，
同理可得：f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝，
并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.
归纳猜想得：当x＋x＝1时，均有f(x)＋f(x)＝.
1 2 1 2
证明：设x＋x＝1，
1 2
f(x)＋f(x)＝＋
1 2
＝＝
＝＝＝.
9．给出下面的数表序列：
表1 表2 表3
1 1 3 1 3 5
4 4 8 …
12
其中表n(n＝1，2，3，…)有n行，第1行的n个数是1，3，5，…，2n－1，从第2行起，每行
中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下
的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．
解：表4为1 3 5 7
4 8 12
12 20
32
它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的
等比数列．
将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成
首项为n，公比为2的等比数列．
[综合题组练]
1．(应用型)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不
合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称
“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存
在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )
A．2人 B．3人
C．4人 D．5人
解析：选B.利用推理以及逻辑知识求解．首先要证，没有任意两个同学的数学成绩是相
同的．假设A，B两名同学的数学成绩一样，由题知他们的语文成绩不一样，这样他们的语文
成绩总有一个人比另一个人高，相应地由题可知，语文成绩较高的同学比另一个同学“成绩
好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此，没有任意两个同学的
数学成绩是相同的．因为数学成绩等级只有3种，因而同学数量最大为3.之后要验证3名同
学能否满足条件．易证3名同学的成绩等级分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件，因此满足条件的人数最多是3.
2．(2019·安徽“江淮十校”联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有： “割之
弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无
限与有限的转化过程，比如在 中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通
过方程＝x确定x＝2，则1＋＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C.1＋＝x，即1＋＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝，x＝，故1＋＝，故选C.
1 2
3．(2019·辽宁沈阳模拟)“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首
先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书
中，辑录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于
“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两
数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是( )
A．2 017×22 016 B．2 018×22 015
C．2 017×22 015 D．2 018×22 016
解析：选B.从给出的数表可以看出，该数表每行的数都构成等差数列，其中第一行从右
到左是公差为 1的等差数列，第二行从右到左的公差为 2，第三行从右到左的公差为
4，……，第n行从右到左的公差为2n－1，而从右向左看，每行的第一个数分别为1＝2×2－1，3
＝3×20，8＝4×21，20＝5×22，48＝6×23，……，所以第n行的第一个数为(n＋1)×2n－2.显然
第2 017行只有一个数，为(2 017＋1)×22 017－2＝2 018×22 015.故选B.
4．(应用型)(2019·吉林长春质监)有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师，期间他们做
了一个游戏，张老师的生日是m月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列
出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7
日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听
了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”
请问，张老师的生日是________．
解析：根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日，5月8日，9月4日，
9月6日，9月9日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除2
月7日、8月7日；根据甲接着说的“哦，现在我也知道了”，可以得知张老师的生日为8月4
日．
答案：8月4日
5．已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长，分别交对边于A′，B′，C′，
则＋＋＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”：＋＋＝＋＋＝＝1.
请运用类比思想猜想，对于空间中的四面体VBCD，存在什么类似的结论，并用“体积
法”证明．
解：结论：在四面体VBCD中，任取一点O，连接VO，DO，BO，CO并延长，分别交四个面
于E，F，G，H点．
则＋＋＋＝1.
证明如下：在四面体OBCD与VBCD中，设其高分别为h，h，
1
则＝＝＝.
同理，＝；＝；＝，
所以＋＋＋＝
＝＝1.
6．我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数y＝f(x)(x∈D)，对任意x，y，∈D均
满足f≥[f(x)＋f(y)]，当且仅当x＝y时等号成立．
(1)若定义在(0，＋∞)上的函数f(x)∈M，试比较f(3)＋f(5)与2f(4)的大小；
(2)设函数g(x)＝－x2，求证：g(x)∈M.
解：(1)对于f≥[f(x)＋f(y)]，
令x＝3，y＝5得f(3)＋f(5)≤2f(4)．
(2)证明：g－[g(x)＋g(x)]
1 2
＝－＋＝≥0，
当且仅当x＝x 时取等号，
1 2
所以g≥[g(x)＋g(x)]，
1 2
所以g(x)∈M.
