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[基础题组练]
1．根据如下样本数据：
x 3 4 5 6 7 8
y 4.0 2.5 0.5 0.5 0.4 0.1
得到的线性回归方程为y＝bx＋a，则( )
A.a>0，b>0 B.a>0，b<0
C.a<0，b>0 D.a<0，b<0
解析：选B.根据给出的数据可发现：整体上y与x呈现负相关，所以b<0，由样本点(3，
4.0)及(4，2.5)可知a>0，故选B.
2．某考察团对10个城市的职工人均工资x(千元)与居民人均消费y(千元)进行调查统计，
得出y与x具有线性相关关系，且回归方程为y＝0.6x＋1.2.若某城市职工人均工资为5千元，
估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为( )
A．66% B．67%
C．79% D．84%
解析：选D.因为y与x具有线性相关关系，满足回归方程y＝0.6x＋1.2，该城市居民人均
工资为x＝5，所以可以估计该城市的职工人均消费水平y＝0.6×5＋1.2＝4.2，所以可以估计
该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为＝84%.
3．在一组样本数据(x，y)，(x，y)，…，(x，y)(n≥2，x，x，…，x 不全相等)的散点图中，
1 1 2 2 n n 1 2 n
若所有样本点(x，y)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为(
i i
)
A．－1 B．0
C. D．1
解析：选D.所有点均在直线上，则样本相关系数最大，即为1，故选D.
4．(2019·黑龙江哈尔滨模拟)千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、
实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，某校积极响应国家号召，不断加大拔尖人才
的培养力度，据不完全统计：
年份(届) 2014 2015 2016 2017
学科竞赛获省级一等奖
51 49 55 57
及以上的学生人数x
被清华、北大等世界名校
103 96 108 107
录取的学生人数y
根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为1.35，该校2018届同学在学科竞赛中获省级一
等奖及以上的学生人数为63，据此模型预测该校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人
数为( )
A．111 B．117C．118 D．123
解析：选B.因为x＝53，y＝103.5，所以a＝y－bx＝103.5－1.35×53＝31.95，所以回归直
线方程为y＝1.35x＋31.95.当x＝63时，代入解得y＝117，故选B.
5．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某
机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．
非一线 一线 总计
愿生 45 20 65
不愿生 13 22 35
总计 58 42 100
由K2＝，
得K2＝≈9.616.
参照下表，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
0
k 3.841 6.635 10.828
0
下列结论正确的是( )
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”
C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”
解析：选C.因为K2≈9.616>6.635，所以有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有
关”，故选C.
6．经调查某地若干户家庭的年收入x(万元)和年饮食支出y(万元)具有线性相关关系，并
得到y关于x的回归直线方程：y＝0.245x＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1
万元，年饮食支出平均增加________万元．
解析：x变为x＋1，y＝0.245(x＋1)＋0.321＝0.245x＋0.321＋0.245，因此家庭年收入每增
加1万元，年饮食支出平均增加0.245万元．
答案：0.245
7．已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、
物理成绩(单位：分)对应如下表：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8
数学成绩 60 65 70 75 80 85 90 95
物理成绩 72 77 80 84 88 90 93 95
给出散点图如下：根据以上信息，判断下列结论：
①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；
②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；
③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，
则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高．
其中正确的个数为________．
解析：由散点图知，各点都分布在一条直线附近，故可以判断数学成绩与物理成绩具有
线性相关关系，但不能判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系，故①正确，②错误；若甲
同学的数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩可能比乙同学的物
理成绩高，故③错误．综上，正确的个数为1.
答案：1
8．在一组样本数据(x，y)，(x，y)，…，(x，y)的散点图中，若所有样本点(x，y)(i＝1，
1 1 2 2 6 6 i i
2，…，6)都在曲线y＝bx2－附近波动．经计算∑x＝11，∑y＝13，∑x＝21，则实数b的值为
i i
________．
解析：令t＝x2，则曲线的回归方程变为线性的回归方程，即y＝bt－，此时t＝＝，y＝＝，
代入y＝bt－，得＝b×－，解得b＝.
答案：
9．某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等
于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个
文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为.
优秀 非优秀 总计
甲班 10
乙班 30
总计 110
(1)请完成上面的列联表；
(2)根据列联表中的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”．
参考公式与临界值表：K2＝.
P(K2≥k) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
0
k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
0
解：(1)列联表如下：
优秀 非优秀 总计
甲班 10 50 60乙班 20 30 50
总计 30 80 110
(2)根据列联表中的数据，得到
K2＝≈7.486<10.828.因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”．
10．(2019·长沙市统一模拟考试)某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，
收集了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如下表：
月份 1 2 3 4 5 6
广告投入
2 4 6 8 10 12
量/万元
收益/万元 14.21 20.31 31.8 31.18 37.83 44.67
他们用两种模型①y＝bx＋a，②y＝aebx分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差
分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：
x y xy x
i i
7 30 1 464.24 364
(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由．
(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除；(ⅰ)剔除异常数据后，求出
(1)中所选模型的回归方程；
(ⅱ)广告投入量x＝18时，(1)中所选模型收益的预报值是多少？
附：对于一组数据(x，y)，(x，y)，…，(x，y)，其回归直线y＝bx＋a的斜率和截距的最小
1 1 2 2 n n
二乘估计分别为b＝＝，a＝y－bx.
解：(1)应该选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且模
型①的带状区域比模型②的带状区域窄，所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高．
(2)(ⅰ)剔除异常数据，即3月份的数据后，得x＝×(7×6－6)＝7.2，
y＝×(30×6－31.8)＝29.64.
xy＝1 464.24－6×31.8＝1 273.44，
i i
x＝364－62＝328.
b＝＝＝＝3，
a＝y－bx＝29.64－3×7.2＝8.04.
所以y关于x的回归方程为y＝3x＋8.04.(ⅱ)把x＝18代入(ⅰ)中所求回归方程得y＝3×18＋8.04＝62.04，
故预报值为62.04万元．
[综合题组练]
1．中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休
年龄政策”．为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．人社部
从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延
迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：
年龄 [15，25) [25，35) [35，45) [45，55) [55，65]
支持“延迟
退休”的人 15 5 15 28 17
数
(1)由以上统计数据填写2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为以45岁为分界点的
不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；
45岁以下 45岁以上 总计
支持
不支持
总计
(2)若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加
某项活动．现从这8人中随机抽2人．
①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率；
②记抽到45岁以上的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．
参考数据及公式：
P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.001
0
k 2.706 3.841 6.635 10.828
0
K2＝
解：(1)列联表如下：
45岁以下 45岁以上 总计
支持 35 45 80
不支持 15 5 20
总计 50 50 100
因为K2＝＝＝6.25＞3.841，
所以有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异．
(2)从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2
人．
①抽到1人是45岁以下的概率为＝，抽到1人是45岁以下且另一人是45岁以上的概
率为＝.
故所求概率为＝.
②X＝0，1，2.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝.
可得随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
故E(X)＝1×＋2×＝.
2．(2019·洛阳第一次联考)随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而
生．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司6个月内的市场占
有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．
(1)由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关
系．求y关于x的线性回归方程，并预测M公司2017年4月份(即x＝7时)的市场占有率．
(2)为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1 000元/辆和1
200元/辆的A，B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因(如骑
行频率等)会导致车辆使用年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款
车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用年限频数表如下：
使用年限
1年 2年 3年 4年 总计
车型
A 20 35 35 10 100
B 10 30 40 20 100
经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，
假设每辆单车的使用年限都是整数，且以频率作为每辆单车使用年限的概率．如果你是M公
司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？参考公式：回归直线方程为y＝bx＋a，其中b＝，a＝y－bx.
解：(1)由数据计算可得x＝＝3.5，
y＝＝16.
由公式计算可得，b＝2，a＝16－2×3.5＝9.
所以月度市场占有率y与月份代码x之间的线性回归方程为y＝2x＋9.
当x＝7时，y＝2×7＋9＝23.
故M公司2017年4月份的市场占有率预计为23%.
(2)法一：由频率估计概率，每辆A款车可使用1年，2年，3年和4年的概率分别为0.2，
0.35，0.35和0.1，
所以每辆A款车产生利润的期望值为
E(X)＝(500－1 000)×0.2＋(1 000－1 000)×0.35＋(1 500－1 000)×0.35＋(2 000－1
000)×0.1＝175(元)．
由频率估计概率，每辆B款车可使用1年，2年，3年和4年的概率分别为0.1，0.3，0.4和
0.2，
所以每辆B款车产生利润的期望值为
E(Y)＝(500－1 200)×0.1＋(1 000－1 200)×0.3＋(1 500－1 200)×0.4＋(2 000－1
200)×0.2＝150(元)．
所以E(X)>E(Y)，
所以应该采购A款单车．
法二：由频率估计概率，每辆A款车可使用1年，2年，3年和4年的概率分别为0.2，
0.35，0.35和0.1，
所以每辆A款车可使用年限的期望值为
E(X)＝1×0.2＋2×0.35＋3×0.35＋4×0.1＝2.35(年)，
所以每辆A款车产生利润的期望值为2.35×500－1 000＝175(元)．
由频率估计概率，每辆B款车可使用1年，2年，3年和4年的概率分别为0.1，0.3，0.4和
0.2，
所以每辆B款车可使用年限的期望值为
E(Y)＝1×0.1＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.2＝2.7(年)，
所以每辆B款车产生利润的期望值为2.7×500－1 200＝150(元)．
所以应采购A款单车．
