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4.2 利用导数求单调性（精练）
1．（2023春·江西鹰潭）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为 . ，则 .
令 ，解得 .故选：D
2．（2023·江西鹰潭）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，由 ，即 ，解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ，故选：D
3．（2023春·四川乐山）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D． ，
【答案】A
【解析】 ，当 时， 单调递增，当 时， 单调递
减； 的减区间是 ；故选：A.
4．（2023春·吉林长春）若函数 在区间 上是增函数，则实数a的取值范围为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，则
由函数 在区间 上是增函数，可得 在区间 上恒成立，
即 在区间 上恒成立，又由 ，可得 ，则 故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在 上为增函数，则a的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】题意得 对 恒成立，即 对 恒成立．
因为y＝ax＋a＋1的图象为直线，所以 ，解得 ．故选：B.
6．（2023春·山东聊城）已知函数 ，则 单调递增的一个充分不必要条件可以
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 且 ，
令 ，要使 单调递增，即 恒成立，
当 时 满足题设；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 ，可得 ，则 ，满足题设；
综上，使 单调递增，则 ，
A为充要条件，B为充分不必要条件，C、D既不充分也不必要条件.
故选：B
7．（2023·全国·高三专题练习）设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令 ，则 ， ， ，
由 可得 且 ，由 可得 ；所以 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，所以 ，故选：C.
8．（2023春·河南）（多选）函数 的图象如图所示，则以下结论正
确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】由 的图象可知 在 和 上单调递增，在 上单调递减，在 处取得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】极大值，在 处取得极小值，
又 ，所以 和 为方程 的两根且 ；
所以 ， ，
所以 ， ， ， ，故A错误，B正确；
所以 ， ，故C正确，D错误.
故选：BC
9．（2023春·安徽安庆）（多选）如图是函数 的导函数 的图象， ，则
下列判断正确的是（ ）
A． 单调递增区间为 B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，由题图知当 时， ，所以在区间 上， 单调递
增，故 正确；
对于B，当 时， 单调递减，在 上， 单调递增；当
时， 单调递减，所以 ，故B正确；
对于C， 不一定是函数的最大值，最大值可能由区间 的端点产生，所以 错误；
对于D，当 时， ， 单调递减，所以 ，故D正确；
故选：ABD.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】10．（2023·全国·高三对口高考）设函数 ，则函数 的单调增区间为__________．
【答案】 和
【解析】 ，
令 ，得 或 ，
解得 或 ，
所以函数 的单调增区间为 和 ，
故答案为： 和 ．
11．（2023春·河南洛阳）函数 的单调递增区间为__________．
【答案】 /
【解析】
由 得： ．所以 单调递增区间为
故答案为：
12．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数 在区间 上不单调，则实数
的取值范围为________．
【答案】
【解析】由 可知，其定义域为 ，则 ，
易知当 时， ；当 时， ；
即函数 在 单调递减，在 上单调递增；
若函数 在区间 上不单调，则需满足 ，解得 ；
所以实数 的取值范围为 .故答案为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】13．（2023·全国·高三对口高考）函数 在区间 内单调递减，且在区间
及 内单调递增，则实数p的取值集合是__________．
【答案】
【解析】因为函数 在 内单调递减，在 及 内单调递增，
因此 分别是函数 的极大值、极小值点，而 ，
于是 ，且 ，解得 ，此时 ，
当 时， ，当 或 时， ，
因此函数 在 内单调递减，在 及 内单调递增，符合题意，
所以实数p的取值集合是 .
故答案为：
14．（2023·甘肃）若函数 存在增区间，则实数 的取值范围为_____________.
【答案】
【解析】 ，定义域为 ， ，
由题意可知，存在 使得 ，即 .
当 时， ，所以， ，因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
15．（2023春·广东广州）已知函数 在 上单调递减，则 的取值范围是
______．
【答案】
【解析】函数 ，求导得 ，
依题意， ， ，即 恒成立，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】显然函数 是开口向上的二次函数，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .故答案为：
16．（2023春·河南洛阳）已知函数 ，若 在定义域上单调递增，则实数 的
取值范围是________．
【答案】
【解析】依题意，当 时， 恒成立，即 恒成立，
所以， 在 上恒成立，
构造函数 ，则 ，由 得 ，由 得
所以函数 在区间 上递减，在区间 上递增，
所以，函数 在 处取得极小值也即是最小值，故 ，
所以， ，即实数 的取值范围是
故答案为： .
17．（2023春·河南洛阳）已知函数 ，若函数 在 上单调递减，则实数
的取值范围是____________.
【答案】
【解析】 ，
因为 在 上单调递减，故 ，有 恒成立，
故 对 恒成立，
所以 对 恒成立，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 对 恒成立，
令 ，而 在 上为减函数，
故 在 上最大值为 ，
故 .
故答案为： .
18．（2023春·安徽六安）若函数 在 上是减函数，则 的最大值是__________．
【答案】3
【【解析】函数 ，求导得 ，依题意， ， 恒成立，
即 ，恒有 成立，而当 时， ，因此 ，
当 时， ，对 ， ，即函数 在 上是减函数，
所以 的最大值是3.
故答案为：3
19．（2023·全国·统考高考真题）设 ，若函数 在 上单调递增，则a的
取值范围是______.
【答案】
【解析】由函数的解析式可得 在区间 上恒成立，
则 ，即 在区间 上恒成立，
故 ，而 ，故 ，
故 即 ，故 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】结合题意可得实数 的取值范围是 .
故答案为： .
20．（2023春·高二单元测试）设函数 在区间 上是减函数，则 的取值
范围是_________．
【答案】
【解析】因 ， ，
若 ， ，当 时， ，符合题意，
当 时， 得 ，因 ，故 ，
由题意 在 上恒成立，
设 ， 则 在 上单调递减，故 故 ， ，综上
，
故答案为：
21．（2023广东）若函数 在区间 上为减函数，在区间 上为增函
数，则实数 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，
令 得 或 ，
因为 在区间 上为减函数，在区间 上为增函数，所以 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，则 单调递减；
当 时， ，则 单调递增；
所以 ，解得 ，故 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上单调递增.则 的取值范围为
__________.
【答案】
【解析】由题得 .由题可知 在 上恒成立，即 ，
即 在 上恒成立，因为 ，所以 ，解得 .
故答案为：
23．（2023春·上海杨浦）函数 的导函数 的图像如图所示，以下结论正确的序号是
______．
（1） 是函数 的极值点；
（2） 是函数 的极小值点
（3） 在区间 上严格增；
（4） 在 处切线的斜率大于零；
【答案】（1）（3）（4）；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】由图象可得 时， ，且 时 ， 时 ，即 是函数
的极小值点，（1）正确；
而 时， ，但 与 时， ，∴ 不是函数 的极值点，（2）不正
确；
由图象可知 上 ，∴ 在区间 上严格增，（3）正确；
处 ，所以该处切线的斜率大于零，（4）正确；
故答案为：（1）（3）（4）；
24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在定义域 内可导，其图象如下图，记
的导函数为 ，则不等式 的解集为______________.
【答案】
【解析】由函数图象可得，在定义域 内函数的单调递减区间为 ，
故不等式 的解集为： ，
故答案为：
25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上单调递增，则实数 的取
值范围为______
【答案】
【解析】由题可知 在 上恒成立，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，即 在 上恒成立，
令 ，则 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，则 ，故 ， ，即m的取值范围为 .
故答案为：
26．（2023北京）函数 的图象如图所示， 为函数 的导函数，则不等式 的解集为
______________．
【答案】
【解析】由图可知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，在
上单调递增.
所以，当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时，
.
当 时，由 可得 ，此时 ；
当 时，由 可得 ，此时 .
综上所述，解集为 .
故答案为： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2023春·山东淄博·高二山东省淄博实验中学校联考期中）若函数 在
上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ 递增，∴ 恒成立，
令 ，即 恒成立，
因为 ， ，
当 时， ，
而 在 上为增函数，故存在 ，使得 ，
当 时， ， 递减，
当 时， ， 递增，
所以 ，
即 ， ，即
故选：C
2．（2023湖北省）已知函数 ，设 ， ， ，则
（ ）
A． B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．
【答案】D
【解析】由函数 ，
可得函数 为偶函数且在 上为增函数，
设 ，
则 ，
所以 是 上的增函数，所以 ，即 ，
所以 ，左右两边同时乘以 ，可得 ， ，即 ；
设 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，即 ，即 ，
综上可得， .
故选:D.
3．（2023·全国·模拟预测）已知 ，其导函数 的图像如图所示，
则 在 内的极值点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】因为 ，
所以 ，
由图象知： ，
则 ， ，
所以 ，
又 ，
则 ，
即 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
则 ，
令 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 取得极大值，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 在 内的极值点个数为1，
故选：B
4．（2023春·山东聊城）已知偶函数 满足 对 恒成立，下列
正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 为偶函数，则 ，
令 ，则 ，
所以 为偶函数，
又 ，则当 时 ，
所以 在 上单调递增，则 ，
所以 ，即 ，故A正确；
，即 ，
则 ，即 ，故B错误；
，即 ，
则 ，即 ，故C错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，即 ，
则 ，即 ，故D错误；
故选：A
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 内单调递增，则实数 的取值范围
为______
【答案】
【解析】因为 ，所以， ，
因为函数 在 内单调递增，则 在 内恒成立，
即 ，解得 ．
令 ， ，则 ，
故 在 内单调递增，则 ，故 ，
即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
6．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数 ，讨论函数 的单调性；
【答案】答案见解析；
【解析】函数 的定义域为 ，求导得 ，
①当 ，即 时， 恒成立，此时 在 上单调递减；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】②当 ，即 时，由 解得， ，
由 解得， ，由 解得 或 ，
此时 在 上单调递增，在 和 上单调递减；
③当 ，即 时，由 解得 或 (舍)，
由 解得 ，由 解得 ，
此时 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时，函数 在 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递增，在 和 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
7．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 ．讨论 的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】因为 ，定义域为 ，所以 ，
当 时，由于 ，则 ，故 恒成立，
所以 在 上单调递减；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增；
综上：当 时， 在 上单调递减；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增.
8．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考模拟预测）已知函数 ，其中
．
(1)若函数 定义域内的任意x使 恒成立，求实数a的取值范围；
(2)讨论函数 的单调性．
【答案】(1) (2)答案见解析
【解析】（1）因为 ，显然 ，
则 ，
因为 恒成立，则 ，对 恒成立，
当 时， ，则 恒成立，故 ；
当 时， ，则 恒成立，故 ；
综上， ．
（2）由（1）知 ， ，
①当 时， ，
当 时， ，则 ， 单调递减，
当 时， ，则 单调递增，
即当 时， 在 上单调递减， 上单调递增；
②当 时，
当 时，由（1）知 在 单调递增；
当 时，当 时， ；
当 时， ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ；
故当 和 时， ；当 时， ；
因此 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
故当 和 时， ；当 时， ；
因此 在 上单调递增，在 上单调递减；
综上：当 时， 在 上单调递减， 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
9．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数 ，讨论 的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】函数 定义域为 ，
，
令 ，则 ，
当 ，即 时 ， ，所以 在定义域 上单调递增；
当 ，即 时 恒成立，所以 在定义域上单调递增，
令 ，则 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 ，即 时解得 ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 ，即 ，此时 恒成立，所以 在 上单调递增，
当 ，即 时 恒成立，所以 在定义域上单调递减，
令 ，则 ，即 ，解得 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
综上可得：当 时 在 上单调递增；
当 时 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时 在 上单调递增；
当 时 在 上单调递减，在 上单调递增.
10．（2023·全国·高三对口高考）求下列函数的单调区间
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.
【解析】（1）函数 的定义域为 ，求导得 ，
当 时， 恒成立，函数 在(0, 上单调递減；
当 时，令 ，有 ， ，
当 ，即有 时， ， 恒成立，即 在 上恒成立，
在 上单调递增；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 ，即有 时，令 ，解得 ，
由 ，即 ，得 或 ，
由 ，即 ，得 ，
因此函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 的递减区间是 ，无递增区间；
当 时，函数 的递增区间为 ， ，递减区间为
；
当 时, 的递增区间是 ，无递诫区间.
（2）函数 的定义域为 ，
求导得 ，
当 时，恒有 成立，当 时， ，当 时， ，
于是函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， ，由 ，得 或 ，
若 ，即 时， 恒成立，当 时， ，当 时， ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，有 ， 恒成立，函数 在 上单调递减；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，有 ，当 或 时， ，当 时， ，
因此函数 在 ， 上单调递减，在 上单调递增；
当 时，有 ，当 或 时， ，当 时， ，
因此函数 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时，函数 的递减区间是 ，递增区间是 ；
当 时，函数 的递减区间是 ， ，递增区间是 ；
当 时，函数 的递减区间是 ，无递增区间；
当 时，函数 的递减区间是 ， ，递增区间是 ；
当 时，函数 的递减区间是 ，递增区间是 .
11．（2023·全国·高三对口高考）已知函数 ，求函数 的单
调区间．
【答案】答案见解析.
【解析】函数 的定义域为 ，求导得 ，
当 时， ，由 ，得 ，由 ，得 ，
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，由 ，得 或 ，
当 或 时， ，当 时， ，
因此 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 恒成立，当且仅当 时取等号，因此 在 上单调递增；
当 时，当 或 时， ，当 时， ，
因此 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 .
12．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时， ，求实数a的取值范围；
【答案】(1)答案见解析(2)
【解析】（1）依题意， ， ；
当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时，令 ，解得 ，
故当 时， ；当 时， ，
故函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
综上所述，当 时，函数 在 上单调递增；当 时，函数 在 上单调递增，
在 上单调递减；
（2）依题意， ，由（1）知，当 时，函数 在 上单调递增；符合题意，
时，当 ，即 时，函数f（x）在 上单调递增，在 上单调递减，
，解得 ，所以 ，
当 ，即 时，函数f（x）在[0，2]上单调递增， 成立，
综上，实数a的取值范围是 .
13．（2023·江苏·统考模拟预测）已知函数 .讨论函数 的单调性；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】答案见解析
【解析】易知 ，又因为 ，
令 ， ，
①当 ，即 时， 恒成立，所以 ，此时， 在区间 上是增函数；
②当 ，得到 或 ，又 ，其对称轴为 ，且
，所以，
当 时， ，所以 在区间 上恒成立，
即 在区间 上恒成立，此时 在区间 上是增函数；
当 时， ，且 ，由 ，
得到 或 ， 时， ，
时，
即 时， ， 时，
此时， 在 上是减函数，
在 上是增函数.
综上所述，当 时， 在 上是增函数；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， 在 上是减函数，
在 上是增函数.
14．（2023·广东广州·统考模拟预测）设函数 ，其中 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 存在两个极值点，设极大值点为 为 的零点，求证： .
【答案】答案见解析
【解析】由
① 时，由 ，令 ，解得 ，
所以 时， 时， ，
则 在 单调递增，在 单调递减；
② 时，由 ，
（i） 时，因为 ，则 在 单调递增，
（ii） 时， ，解得 或 ，
所以 时， 时， ，
则 在 ， 上单调递增，在 单调递减；
（iii） 时，由 ，
所以 时， 时， ，
则 在 ， 上单调递增，在 单调递减；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上： 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
时， 的单调递增区间为 ；
时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
15．（2023·北京·统考模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 的单调性；
(3)若对任意的 ，当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【解析】（1） ，
，
，
当 时， ，
切点坐标为 ，
又 ， 切线斜率为 ，
曲线 在 处切线方程为：
.
（2） ， ，
， ，
， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】①当 时， 成立，
的单调递减区间为 ，无单调递增区间.
②当 时，令 ，
所以当 时， ， 在 上单调递减
时， ， 在 上单调递增
综上: 时， 的单调递减区间为 ，无单调递增区间；
时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
（3） ，
，
，
令 ， ，
由已知可得：
且 ，
的单调区间是
， ，
时， 恒成立，
， ，
令 ， ，即证 ， ，
成立，
的单调递减区间为 ，
，
恒成立，
综上： 的取值范围是 .
16．（2023·山东聊城·统考三模）已知函数 ．讨论 的单调性；
【答案】答案见解析
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1） ， ，
①当 ，即 时， ， 在区间 单调递增．
②当 ，即 时，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在区间 单调递增；在区间 单调递减．
③当 ，即 时，
若 ，则 ， 在区间 单调递增．
若 ，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在区间 单调递减；在区间 单调递增．
综上， 时， 在区间 单调递增；在区间 单调递减；
时， 在区间 单调递增
时， 在区间 单调递减、在区间 单调递增．
17．（2023春·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 在区间 上有两个不同的零点，求 的取值范围.
【答案】(1)当 时， 在 上单调递增；当 时， 在区间 上单调递减，在
区间 上单调递增
(2)
【解析】（1）∵ ，∴ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】①当 时， 恒成立，此时 在 上单调递增；
②当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 在区间 上单调递减，
当 时， ， 在区间 上单调递增.
综上所述，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在区间 上单调递减，在
区间 上单调递增.
（2）∵ ，∴ ，即 是 的一个零点.
由第（1）问 的单调性知，
①当 时， 在 上单调递增，有且只有一个零点 ，不合题意；
②当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
i）当 ，即 时， 在区间 上单调递增，
∴ 在区间 上有且只有一个零点 ，不合题意；
ii）当 ，即 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
当 时， 取得极小值，也是最小值 ，
且由 的单调性知，
又∵ ，∴ ，
，
令 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ， 单调递增， ，
∴ ，
∴由零点存在定理知， 在区间 有零点，
∴结合 的单调性及 知， 在区间 上有两个不同的零点，
综上所述，若 在区间 上有两个不同的零点，则实数 的取值范围是 .
18．（2023·全国·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，不等式 恒成立，求正整数 的最大值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）因为 ，
所以 .
因为 ，若 ，即 时， 在 上单调递增，
若 ，即 时，
令 ，得 ；
令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）因为 ，
恒成立，
即 恒成立，
令 ，则 ，显然 在 上单调递增，
又 ， ，
所以存在唯一实数 ，使得 ，即 ，
所以 .
所以 时， ； 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
所以 时， 恒成立，
若 ， 恒成立，满足条件；
若 ，函数 在 上单调递增，
而 ，不合题意；
若 ，函数 在 上单调递减，
而 ，符合题意；
所以当 时， 在 上恒成立，
所以 恒成立时，正整数 的最大值为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
