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4.2 利用导数求单调性（精讲）
函数的单调性与导数的关系
一般地，设函数y＝f(x)在某个区间(a，b)内有导数，函数f(x)的单调性与其导函数f′(x)的正负之间具有如下
关系：
①在某个区间(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，区间(a，b)为函数y＝f(x)
的单调增区间；
②在某个区间(a，b)上，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，区间(a，b)为函数y＝f(x)
的单调减区间．
③在某个区间(a，b)上，如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上为常函数．
易错点：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.
一．利用导数求函数单调区间的方法
法一：当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间；（无参函数）
确定函数单调区间的步骤
①确定函数f(x)的定义域．
②求f′(x)．③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式 f′(x)<0，解集在定义域内的部分为
单调递减区间．
法二：当导函数方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定
各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间；
法三：若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f′(x)的结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，
从而确定单调区间．
易错点：若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”
“和”隔开．
二．根据函数单调性求参数的一般思路
法一：由函数在区间[a，b]上单调递增(减)可知f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立，列出不等式；
法二：利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；
法三：对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′(x)在整个区间恒等于0．若f′(x)恒等于0，则参数的这个
值应舍去；若只有在个别点处有f′(x)＝0，则参数可取这个值．
法四：当函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题；当已知函数在某区间上不单调时，则
转化为关于导函数的方程在该区间上有解问题．
三．含参函数单调性的分类讨论
1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
2.划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
3.讨论点一般有三类：①自变量系数a分②判别式Δ分③两根的大小分
四．单调性的应用
1．比较大小：若自变量不在同一单调区间内，则要利用函数的性质，将其转化到同一个单调区间上，再
进行比较．
2．利用单调性比较大小或解不等式，关键是根据题意构造辅助函数，利用构造的函数的单调性比较大小
或解不等式．
3．与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在 f(x)与f′(x)的不等关系
时，常构造含f(x)与另一函数的积(商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而
求解不等式．
五．易错点
1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上
的任何子区间内都不恒为零．
注意：若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”或“和”连接，不能用“∪”连接．
考法一 利用导数求函数的单调区间（无参）【例1-1】（2023春·湖北）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（2023春湖南）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2023春·河南）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·吉林长春）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023春·山东）若函数 ，则函数 的单调递减区间为（ ）．
A． ， B． ，
C． D．
考法二 导函数图像判断原函数图像【例2-1】（2023春·广东）已知函数 的图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A． 在区间 上单调递减
B． 在区间 上单调递增
C．当 时， >0
D．当 时， =0
【例2-2】（2023·广西）设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象
最有可能的是（ ）
A． B．
C． D．【一隅三反】
1．（2023·山东）已知函数 的导函数 图像如图所示，则 的图像是图四个图像中的
（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2023·山西）函数 的图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D． 的符号不确定3．（2023春·河南新乡）已知定义在区间 上的函数 的导函数为 ， 的图象如图所示，
则（ ）
A． 在 上单调递增
B．
C．曲线 在 处的切线的斜率为0
D． 最多有3个零点
4．（2023·海南）已知函数 的图象是下列四个图象之一，且其导函数 的图象如下图所
示，则该函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．考法三 已知函数单调性求参数
【例3-1】（2023春·北京海淀）已知函数 ，若 在区间 上单调递增，则实数 的
取值范围是___________；若 在区间 上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是__________.
【例3-2】（2023·天津）若函数 有三个单调区间，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例3-3】（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数 在区间 上不单调，则
实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．m>1
【一隅三反】
1.（2023·全国·统考高考真题）已知函数 在区间 上单调递增，则a的最小值为
（ ）．
A． B．e C． D．
2．（2023·陕西西安·统考三模）若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·四川成都）若函数 的单调递减区间为 ，则实数k的值为
（ ）
A．1 B． C．3 D．4．（2023春重庆）（多选）已知函数 在 上有三个单调区间，则实数 的取
值可以是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·陕西）函数 在区间 上不单调，实数 的范围是____________.
考法四 单调性的应用--比较大小
【例4-1】．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数 ，若 ， ，
，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知 ， ， ，则下列判断正确的是
（ ）
A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜b＜c
【例4-3】（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知 则
（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·山西·校联考模拟预测）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河北·统考模拟预测）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
考法五 单调性的应用--解不等式
【例5-1】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）已知函数 ，则 的
解集为（ ）
A． B． C． D．
【例5-2】（2023春·四川凉山·）已知函数 满足 ，且 的导函数 ，则
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数 ，则不等式 的解集是
______.2．（2023春·江苏盐城）已知函数 的定义域为R， 为 的导函数，且 ，则不
等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知函数 ， ，若
，则实数 的取值范围为______．
考法六 含参函数单调性的分类讨论
【例6-1】（2023·河北·模拟预测）已知函数 .讨论函数 的单调性；
【例6-2】．2023·广东佛山·校联考模拟预测）已知函数 ，讨论
的单调性；【例6-3】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）已知函数 ，讨
论函数 的单调性；
【例6-4】（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知函数 ，讨论
函数 的单调性；【例6-5】（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知函数 ，讨论
的单调性；
【一隅三反】
1．（2023·陕西咸阳）已知 ，讨论函数 的单调性；
2．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知函数 ， ，讨论 的单调区间；3（2023·贵州）已知函数 .讨论 的单调性；
4．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知函数 ，讨论函数 的单调性；5．（2023·山东德州·三模）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性；
