易错点13多面体的表面积和体积答案-备战2023年高考数学易错题_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习易错题（含解析）

易错点 13 多面体的表面积和体积 多面体，因其具有考查直观想象、逻辑推理、数学抽象的素养的特性，越来越引起出 题专家组的青睐。 易错点1：基础知识不扎实 （1）对立几中一些常见结论要做到了然于胸，如：关于三棱锥中顶点在底面三角形上的射 影问题的相关条件和结论要在理解的基础上加以熟记； （2）在思维受阻时，要养成回头看条件的习惯，问一问自己条件是否都用了呢？ 易错点2：平面化处理意识不强，简单的组合体画不出适当的截面图致误 易错点3：“想图、画图、识图、解图”能力的欠缺，多面体与几何体的结构特征不清楚 导致计算错误 易错点4：空间想象能力欠缺 题组一：侧面积与表面积 1．（2020年全国三卷）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题2可知：该几何体是棱长为 的正方体割掉一部分剩下的一个角，如图 所示，其面积为： ，故选：C． 2．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为 则该圆锥的侧面积为________. 【答案】 【分析】∵ ∴∴ ∴ . 故答案为： . 3．（2016年全国III）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三 视图，则该多面体的表面积为 A． B． C．90 D．81 【答案】B 【解析】由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为 3的正方形，故面积都 是9，前后两个侧面是平行四边形，一边长为3、该边上的高为6，故面积都为18，左 右两个侧面是矩形，边长为 和3，故面积都为 ，则该几何体的表面积为2(9 +18+ )=54 + ． 题组二：体积 4．（2017新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三 视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解法一 由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4 的圆柱，其体积 ，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱 的一半， 其体积 ， 故该组合体的体积 ．故选B． 解法二 该几何体可以看作是高为14，底面半径为3的圆柱的一半，所以体积为 ．选B． 5．（2015新课标）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截 去部分体积与剩余部分体积的比值为 1 1 1 1 8 7 6 5 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，设正方形的棱长为 1，则截取部分为三棱锥 ，其体积为 ，又 正方体的体积为1，则剩余部分的体积为 ，故所求比值为 ．D 1 C 1 A 1 B 1 D C A B 6.（2019全国Ⅲ理16）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为 长方体 挖去四棱锥O—EFGH后所得几何体，其中O为长方体的中 心，E，F，G，H分别为所在棱的中点， ，3D打印所用 原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 ___________(g). 【答案】118.8 【解析】该模型为长方体 ，挖去四棱锥 后所得的几何体， 其中O为长方体的中心， ， ， ， ，分别为所在棱的中点， ， ， 所以该模型体积为： ， 打印所用原料密度因为为 ，不考虑打印损耗， 所以制作该模型所需原料的质量为： ． 7.（2019年新课标2卷）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形 状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面 1) 体”（图 ．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体 现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方 体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有 个面，其棱长为 ．【答案】26,√2−1 【解析】由图知，该半正多面体的面数为 ，设所求棱长为 ，则由题知 第一空填26，第二空填√2−1 ， 26 a 题组三：圆柱和圆锥中的问题 8．（2016全国II）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积 为 A．20π B．24π C．28π D．32π 【答案】C 【解析】该几何体是圆锥与圆柱的组合体， 设圆柱底面圆半径为 ，周长为 ，圆锥母线长为 ，圆柱高为 ． 由图得 ， ，由勾股定理得： ， ，故选C． 9．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个 半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆锥的母线长为 ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则 ， 解得 . 故选：B. 10．（2021上海卷）在圆柱中，底面圆半径为 ，高为 ，上底面圆的直径为 , 是底 面圆弧上的一个动点，绕着底面圆周转，则 的面积的范围________．【答案】 【解析】当点 为 的投影时，面积最小 ； 当点 为弧 中点的投影时，面积最大 ， 因此面积的取值范围为 11．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷））已知圆柱的上、 下底面的中心分别为 ， ，过直线 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方 形，则该圆柱的表面积为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】：根据题意，可得截面是边长为 的正方形， 结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是 的圆，且高为 ， 所以其表面积为 ，故选B. 题组四：大题 12．【2021 年新课标 1 卷】如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中点． （1）证明： ； （2）若 是边长为 的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角 的大小为 ，求三棱锥 的体积． 【答案】（1）见解析； （2） ． 【解析】（1）因为在 中， ， 为 中点，所以 ， 因为平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ， ， 所以 平面 ， 又因为 面 ，所以 ．（2）方法一：由题意可得 , ， 在 中，由余弦定理得 ， 所以 ， 所以 为直角三角形，且 以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴，过 作 轴垂直于面 ，建系如图： 设 点纵坐标为 ，因为 ，由相似可得 ， 易得 ，所以 ， ， 设面 法向量 ， 由 ， ，得 ； 易得面 法向量 ，所以 ，所以 ， 由相似易得 ， 所以 ． 方法二：几何法A E F B D O G C 如图，取 的三等分点 ，使得 ， 取 的三等分点 ，使得 ，连接 、 、 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 由（1）知： 平面 ，所以 平面 ，所以 ， ， 又有 ，所以 ， ， ， ，所以 ， 所以 ，所以 ，并且 ， 因为 ，所以 ，所以 ， ， ， 平面 ， 平面 ， ， 所以 平面 ，则 ， 所以 即为二面角 的平面角，所以 ， 又因为 ，所以 为等腰直角三角形，所以 , 由相似易得 ， ． 13．（2021全国甲卷文）已知直三棱柱ABC−A B C 中，侧面A A B B为正方形． 1 1 1 1 1 AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC 的中点，BF⊥A B ． 1 1 1 (1)求三棱锥F－EBC的体积； (2)已知D为棱A B 上的点，证明：BF⊥DE． 1 1 【答案】(1) ；(2)见解析. 【解析】(1)因为三棱柱 的直三棱柱，所以 ，又 ， ， 平面 ， 所以 平面 ，所以 ， 所以△ 为直角三角形，则△ 为直角三角形， 为 中点，所以 ， 因为 ， 所以 (2)取 中点 ，连接 ， ， ， 因为 分别为 的中点，所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 四点共面， 因为侧面 为正方形，所以 ， 又 ，所以 ， 所以侧面 为正方形， 又 为 中点， 为 中点，由平面几何知识可知 ， 又 ， ，所以 平面 ， 而 平面 ，所以 . 14.【2021年乙卷】 如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，M为 的中点，且 ． （1）证明：平面 平面 ； （2）若 ，求四棱锥 的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【解析】 【分析】（1）由 底面 可得 ，又 ，由线面垂直的判定 定理可得 平面 ，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面 平面 ； （2）由（1）可知， ，由平面知识可知， ，由相似比可求出，再根据四棱锥 体的积公式即可求出． 【详解】（1）因为 底面 ， 平面 ， 所以 ， 又 ， ， 所以 平面 ， 而 平面 ， 所以平面 平面 ． （2）由（1）可知， 平面 ，所以 ， 从而 ，设 ， ， 则 ，即 ，解得 ，所以 ． 因为 底面 ， 故四棱锥 的体积为 ． 1．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 )组成一个几何体，该几何体三视图中的 正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16 + 20 ，则 = A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【解析】由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为 ，所以 ． 2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为168 88 1616 816 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4 1 224422 宽为2高为2长方体，故其体积为2 = 168 ，故选A． 3．如图，网格纸上正方形小格的边长 为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三 视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部 分的体积与原来毛坯体积的比值为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】原毛坯的体积 ，由三视图可知该零件为两个圆柱的组合体， 其体积 ，故所求比值为 ． 4．正三棱柱 的底面边长为 2，侧棱长为 ，D 为 BC 中点，则三棱锥 的体积为 A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】由题意可知 ，由面面垂直的性质定理可得 平面 ，又 ，所以 ， 故选C． 5．已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥 底面面积是这个球面面积的 ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高 的比值为 ． 【答案】 【解析】由圆锥底面面积是这个球面面积的 ，得 ，所以 ，则小圆 锥的高为 ，大圆锥的高为 ，所以比值为 ． 6.如图，长方体 的体积是120，E为 的中点，则三棱锥E-BCD的体积 是 . 【答案】10 【解析】因为长方体 的体积是120，E为 的中点， 所 以 ， 所 以 三 棱 锥 的 体 积 ： . 7．已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 互相垂直， 与圆锥底面所成角为 ，若 的面积为 ，则该圆锥的体积为__________． 【答案】8π 【详解】：如下图所示， 又 ， 解得 ，所以 ，所以该圆锥的体积为 . 8．如图，圆形纸片的圆心为 ，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形 的中心为 ． 、 、 为圆 上的点， ， ， 分别是以 ， ， 为 底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以 ， ， 为折痕折起 ， ， ，使得 、 、 重合，得到三棱锥。当 的边长变化时，所 得三棱锥体积(单位： )的最大值为_______。 E A F C O B D 【解析】如图连接 交 于 ，由题意 ，设等边三角形 的边长为 （ ），则 ， ． E A G F C O B D 由题意可知三棱锥的高 底面 ，三棱锥的体积为 ， 设 ，则 （ ）， 令 ，解得 ，当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减， 所以 是 取得最大值 所以 ． 9.如图，a>0,b>0,为圆锥的顶点， 1 + 1 =√ab是圆锥底面的圆心，a3 +b3是底面的内接正三角形， ab a,b为2a+3b=6上一点，∠APC=90°． （1）证明：平面PAB⊥平面PAC； （2）设DO=C ，圆锥的侧面积为 P ，求三棱锥P−ABC的体积. l 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 （1）l 为圆锥顶点，A为底面圆心， 平面 ， 在 上， ， 是圆内接正三角形， ， ， ，即 ， 平面 平面 ， 平面 平面 ； （2）设圆锥的母线为 ，底面半径为 ，圆锥的侧面积为 ， ，解得 ， ，在等腰直角三角形 中， ， 在 中， ， 三棱锥 的体积为 . 10.如图，已知三棱柱ABC–ABC 的底面是正三角形，侧面BBC C是矩形，M，N分别为 1 1 1 1 1 BC，BC 的中点，P为AM上一点．过BC 和P的平面交AB于E，交AC于F． 1 1 1 1 （1）证明：AA//MN，且平面AAMN⊥平面EBC F； 1 1 1 1 （2）设O为△ABC 的中心，若AO=AB=6，AO//平面EBC F，且∠MPN= ，求四 1 1 1 1 1 棱锥B–EBC F的体积． 1 1 【答案】（1）证明见解析；（2）24. 【解析】（1） 分别为 ， 的中点， 又 在等边 中， 为 中点，则 又 侧面 为矩形，， ， 由 ， 平面 平面 又 ，且 平面 ， 平面 ， 平面 又 平面 ，且平面 平面 又 平面 平面 平面 平面 平面 （2）过 作 垂线，交点为 ，画出图形，如图 平面 ， 平面 ，平面 平面 又 为 的中心. 故： ，则 ， 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 平面 又 在等边 中 即 由（1）知，四边形 为梯形 四边形 的面积为： ，为 到 的距离 ， .