文档内容
电磁感应+双棒模型
【考点解读】
电磁感应中的“双杆＋轨道”模型
类型 光滑平行导轨 光滑不等距导轨
示意图
两金属杆的质量分别为
两金属杆的质量分别为m
1
、m
2
，
两金属杆的质量分别为 m 、m ，电
1 2
m 、m ，电阻分别为r 、
电阻分别为 r 1 、r 2 ，导轨间距为 1 2 1 阻分别为r 、r ，导轨间距L ＝2L ，
1 2 1 2
r ，导轨间距为 L，其他
L，其他电阻忽略不计 2
其他电阻忽略不计
电阻忽略不计
类型 光滑平行导轨 光滑不等距导轨
杆 MN 做加速度逐渐减
小的减速运动，杆PQ做杆 MN 做加速度逐渐减小的减速运
开始时，两杆做变加速运动；稳
力学 加速度逐渐减小的加速动，杆PQ做加速度逐渐减小的加速
定时，两杆以相同的加速度做匀
观点 运动，稳定时，两杆的加运动，稳定时，两杆的加速度均为零，
加速运动
速度均为零，以相等的速两杆的速度之比v ∶v ＝1∶2
MN PQ
度做匀速运动
类型 光滑平行导轨 光滑不等距导轨
动量观点 系统动量不守恒 系统动量守恒
外力做的功＝金属杆1增加的动
能量
能＋金属杆2增加的动能＋焦耳 杆MN动能的减少量＝杆PQ动能的增加量＋焦耳热
观点
热
【高考真题】
【典例1】. （2025高考海南卷）（16分）间距为L的金属导轨倾斜部分光滑，水平部分粗糙且平滑相
接，导轨上方接有电源和开关，倾斜导轨与水平面夹角θ=30°，处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场
中，水平导轨处于垂直竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小均为B，两相同导体棒ab、cd 与水平
学科网（北京）股份有限公司导轨的动摩擦因数µ=0.25，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两棒质量均m，接入电路中的电阻均为R，
cd 棒仅在水平导轨上运动，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，且不互相碰撞，忽略
金属导轨的电阻，重力加速度为g。
（1）锁定水平导轨上的cd 棒，闭合开关，ab棒静止在倾斜导轨上，求通过ab棒的电流；断开开关，
同时解除cd 棒的锁定，当ab棒下滑距离为x 时，cd 棒开始运动，求cd 棒从解除锁定到开始运动过程
0
中，cd 棒产生的焦耳热；
（2）此后ab棒在下滑过程中，电流达到稳定，求此时ab、cd 棒的速度大小之差；
（3）ab棒中电流稳定之后继续下滑，从ab棒到达水平导轨开始计时，t 时刻cd 棒速度为零，加速度
1
不为零，此后某时刻，cd 棒的加速度为零，速度不为零，求从t 时刻到某时刻，ab、cd 的路程之差。
1
mg 1 m3g2R2
【答案】（1） ， mgx −
2BL 4 0 16B4L4
3mgR m2gR2
（2） （3）Δs =
4B2L2 4B4L4
【解析】（1）ab棒静止在倾斜导轨上，根据平衡条件可得
解得通过ab棒的电流
设当ab金属棒下滑距离x0时速度为v ，cd金属棒开始运动时回路中的电流为I ，
0 1
此时对cd金属棒有
同时
分析可知，解除cd 棒的锁定，当ab棒下滑距离为x 时，cd 棒开始运动，cd金属棒产生的焦耳热与
0
学科网（北京）股份有限公司ab金属棒产生的焦耳热相等，对整个过程由能量守恒定律可得
联立解得cd 棒产生的焦耳热 （5分）
（2）分析可知，ab金属棒在下滑过程中产生的感应电动势与cd金属棒在向左运动的过程中产生的感应
电动势方向相反，故当电流达到稳定时，两金属棒的速度差恒定，故可知此时两金属棒的加速度相等。
由于两金属棒受到的安培力大小相等，对两金属棒
同时有
联立解得ab、cd 棒的速度大小之差 （4分）
（3）分析可知，从开始到t1时刻，两金属棒整体所受的合外力为零，故该过程系统动量守恒，
解得
设某时刻时，ab金属棒的速度为v ’’，cd金属棒速度为v ，cd金属棒的加速度为零，可得
1 cd
其中
分析可知此时两导体棒产生的感应电动势方向相反，可得
从t3时刻到某时刻之间，对两金属棒分别根据动量定理，
注意到I△t=q，可得
两式相加得
同时有
联立解得①②③④可得从t 时刻到某时刻，ab、cd 的路程之差 （7分）
1
【典例 2】.[2023全国甲]如图，水平桌面上固定一光滑 U形金属导轨，其平行部分的间距为 l，导轨的
最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计.导轨所在区域有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度
学科网（北京）股份有限公司大小为B.一质量为m、电阻为R、长度也为l的金属棒P静止在导轨上.导轨上质量为3m的绝缘棒Q位
于 P的左侧，以大小为 v 的速度向 P运动并与 P发生弹性碰撞，碰撞时间极短.碰撞一次后，P和 Q先
0
后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点.P在导轨上运动时，两端与导轨接触良好，P与Q
始终平行.不计空气阻力.求
（1）金属棒P滑出导轨时的速度大小；
（2）金属棒P在导轨上运动过程中产生的热量；
（3）与P碰撞后，绝缘棒Q在导轨上运动的时间.
答案 （1） v （2）m （3）
0
1 2 2𝑚𝑚𝑚𝑚
解析 （1）2Q与P发生弹𝑣𝑣0性碰撞，𝐵𝐵由2 𝑙𝑙动2 量守恒定律有
3mv ＝mv ＋3mv
0 P Q
由机械能守恒定律有
×3m ＝ m ＋ ×3m
1 2 1 2 1 2
2联立解𝑣𝑣得0 v2＝𝑣𝑣𝑃𝑃 v ，2v ＝ 𝑣𝑣v 𝑄𝑄
Q 0 P 0
1 3
根据题述，P、2Q落到地2面上同一地点，结合平抛运动规律可知，金属棒P滑出导轨时的速度大小为
v' ＝v ＝ v
P Q 0
1
（2）由能2量守恒定律可得，金属棒P在导轨上运动过程中产生的热量为
Q＝ m － mv' ＝m
1 2 1 2 2
（3）2 P𝑣𝑣在𝑃𝑃 导2轨上𝑃𝑃做变𝑣𝑣速0 运动，设速度大小为v时金属棒中产生的感应电动势大小为e，电流大小为i，
在Δt时间内速度变化Δv，则由法拉第电磁感应定律有e＝Blv
由闭合电路欧姆定律有i＝
𝒆𝒆
金属棒P所受的安培力F＝𝑚𝑚Bil＝
2 2
𝐵𝐵 𝑙𝑙 𝑣𝑣
由动量定理有－FΔt＝mΔv 𝑚𝑚
即－ Δt＝mΔv
2 2
𝐵𝐵 𝑙𝑙 𝑣𝑣
方程两𝑚𝑚侧求和得∑－ Δt＝∑mΔv
2 2
𝐵𝐵 𝑙𝑙 𝑣𝑣
即－ ∑vΔt＝m∑Δv 𝑚𝑚
2 2
𝐵𝐵 𝑙𝑙
注意到𝑚𝑚∑vΔt＝x，∑Δv＝v' －v ＝－v
P P 0
联立解得x＝
𝑚𝑚𝑣𝑣0𝑚𝑚
对绝缘棒Q有𝐵𝐵 2 x𝑙𝑙＝2 v t
Q
学科网（北京）股份有限公司解得与P碰撞后，绝缘棒Q在导轨上运动的时间为
t＝ .
2𝑚𝑚𝑚𝑚
【典𝐵𝐵 2例𝑙𝑙 2 3】.[2023湖南]如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为 L，两导轨及其所构
成的平面均与水平面成θ角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B.
现将质量均为m的金属棒a、b垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为R.运动过程中金属
棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为g.
（1）先保持棒b静止，将棒a由静止释放，求棒a匀速运动时的速度大小v ；
0
（2）在（1）问中，当棒a匀速运动时，再将棒b由静止释放，求释放瞬间棒b的加速度大小a ；
0
（3）在（2）问中，从棒 b释放瞬间开始计时，经过时间 t ，两棒恰好达到相同的速度 v，求速度 v的
0
大小，以及时间t 内棒a相对于棒b运动的距离Δx.
0
答案 （1）v ＝ （2）a ＝2gsinθ （3）v＝gt sinθ＋ Δx＝
0 0 0
2 2
2𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚sin𝜃𝜃 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚sin𝜃𝜃 2𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 sin𝜃𝜃
解析 （1）棒a匀𝐵𝐵速2 𝐿𝐿运2 动时，对棒a受力分析，由平衡条件有 𝐵𝐵 2 𝐿𝐿 2 𝐵𝐵 4 𝐿𝐿 4
mgsinθ＝BI L
1
由法拉第电磁感应定律有E ＝BLv
1 0
由闭合电路欧姆定律有I ＝
1
𝐸𝐸1
联立解得v ＝ 2𝑚𝑚
0
2𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚sin𝜃𝜃
（2）当棒a匀速𝐵𝐵运2
𝐿𝐿
2动时，由静止释放棒b，分析可知，棒b受到沿导轨向下的安培力，则释放棒b的瞬
间，对棒b，由牛顿第二定律有
mgsinθ＋BI L＝ma
1 0
又BI L＝mgsinθ
1
解得a ＝2gsinθ
0
（3）释放棒b后，由于棒b中产生的感应电动势对于回路来说，与棒a中产生的感应电动势方向相反，
所以两棒所受安培力均减小，对棒a，由动量定理有
（mgsinθ－B L）t ＝mv－mv
0 0
对棒b，由动
𝐼𝐼
量定理有
（mgsinθ＋B L）t ＝mv
0
联立解得v＝𝐼𝐼gt sinθ＋
0
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚sin𝜃𝜃
设棒a速度为v 时产生的𝐵𝐵 2感𝐿𝐿 2应电动势为E，则E＝BLv
i i i i
同理设棒b速度为v 时产生的感应电动势为E，则
j j
E＝BLv
j j
学科网（北京）股份有限公司－ （ － ）
棒中电流为I＝ ＝
𝐸𝐸𝑖𝑖 𝐸𝐸𝑗𝑗 𝐵𝐵𝐿𝐿 𝑣𝑣𝑖𝑖 𝑣𝑣𝑗𝑗
两棒所受安培力的2𝑚𝑚大小均为2𝑚𝑚 F＝BIL＝ （ － ）
2 2
𝐵𝐵 𝐿𝐿 𝑣𝑣𝑖𝑖 𝑣𝑣𝑗𝑗
对棒b，由动量定理有[mgsinθ＋
（ － ）2𝑚𝑚
]Δt＝mΔv
2 2
𝐵𝐵 𝐿𝐿 𝑣𝑣𝑖𝑖 𝑣𝑣𝑗𝑗
对方程两侧求和，即Σ[mgsinθ＋
（2𝑚𝑚－ ）
]Δt＝ΣmΔv
2 2
𝐵𝐵 𝐿𝐿 𝑣𝑣𝑖𝑖 𝑣𝑣𝑗𝑗
注意到ΣΔt＝t ，Σ（v－v）Δt＝Δx，2Σ𝑚𝑚Δv＝v
0 i j
解得Δx＝ .
2 2
2𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 sin𝜃𝜃
4 4
𝐵𝐵 𝐿𝐿
【典例 4】.[ 2021福建]如图，P、Q是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，间距为 L，导轨足够
长且电阻可忽略不计.图中 EFHG矩形区域内有方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为 B的匀强磁
场.在t＝t 时刻，两均匀金属棒a、b分别从磁场边界EF、GH进入磁场，速度大小均为v ；一段时间后，
1 0
流经a棒的电流为0，此时t＝t ，b棒仍位于磁场区域内.已知金属棒a、b由相同材料制成，长度均为L，
2
电阻分别为 R和 2R，a棒的质量为 m.在运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，a、b棒没有
相碰，则（ AD ）
A.t 时刻a棒的加速度大小为
1
2 2
2𝐵𝐵 𝐿𝐿 𝑣𝑣0
B.t 时刻b棒的速度为0 3𝑚𝑚𝑚𝑚
2
C.t ～t 时间内，通过a棒横截面的电荷量是b棒的2倍
1 2
D.t ～t 时间内，a棒产生的焦耳热为 m
1 2
2 2
答案 AD 9 𝑣𝑣0
解析 在t＝t 时刻，两均匀金属棒a、b分别从磁场边界EF、GH进入磁场，速度大小均为v ，由右手
1 0
定则可判断出两金属棒产生的感应电流方向都是逆时针方向，产生的感应电动势都是BLv ，由闭合电路
0
欧姆定律可得，t 时刻 a 金属棒中的感应电流 I＝ ＝ ，受到的安培力 F＝BIL＝ ，由牛顿
1
2 2
2𝐵𝐵𝐿𝐿𝑣𝑣0 2𝐵𝐵𝐿𝐿𝑣𝑣0 2𝐵𝐵 𝐿𝐿 𝑣𝑣0
第二定律 F＝ma 可得，t 时刻 a 棒的加速度大小为𝑚𝑚+2a𝑚𝑚＝ 3𝑚𝑚 ，选项 A 正确；由于金属棒3𝑚𝑚a、b 串联构
1
2 2
2𝐵𝐵 𝐿𝐿 𝑣𝑣0
成回路，所以在t ～t 时间内，通过a棒横截面的电荷量与3𝑚𝑚b𝑚𝑚棒的相同，选项C错误；由于金属棒a、b
1 2
电阻分别为 R 和 2R，金属棒 a、b串联构成回路，二者电流相等，由焦耳定律可知金属棒 a、b产生的
焦耳热之比为1∶2，设t ～t 时间内，a棒产生的焦耳热为Q，则b棒产生的焦耳热为2Q，又两者材料
1 2
相同，由电阻定律可知，金属棒a的横截面积为b的2倍，故体积为b的2倍，质量为b的2倍，即b
的质量为 0.5m，t＝t 时刻流经 a棒的电流为 0，且b 棒仍位于磁场区域内，说明金属棒 a、b具有共同
2
速度，由动量守恒定律有 mv －0.5mv ＝1.5mv，解得 v＝ ，由能量守恒定律有 m ＋ ×0.5m ＝Q＋
0 0
𝑣𝑣0 1 2 1 2
3 2 𝑣𝑣0 2 𝑣𝑣0
学科网（北京）股份有限公司2Q＋ ×1.5m ，解得Q＝ m ，选项B错误，D正确.
1 2 2 2
2 v 9 𝑣𝑣0
【针对性训练】
1.（2025·安徽黄山模拟）如图所示，空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，足够长的光
滑平行金属导轨水平放置，导轨左右两部分的间距分别为 l、2l；质量分别为 m、2m 的导体棒 a、b 均
垂直导轨放置，导体棒 a 接入电路的电阻为 R，其余电阻均忽略不计；a、b 两棒分别以 v 、2v 的初速
0 0
度同时向右运动，两棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持良好接触，a 总在窄轨上运动，b 总在宽轨
上运动，直到两棒达到稳定状态，从开始运动到两棒稳定的过程中，下列说法正确的是（ ）
A.a棒加速度的大小始终等于b棒加速度的大小
B.稳定时a棒的速度为1.5v
0
C.电路中产生的焦耳热为 m
3 2
D.通过a棒的某一横截面2的电𝑣𝑣0荷量为
𝑚𝑚𝑣𝑣0
答案 AC 2𝐵𝐵𝑙𝑙
解析： 由F ＝ILB＝ma，可得a＝ ，a、b两棒串联，电流相等，a、b两棒长度分别为l、2l，质量
安
𝐼𝐼𝐿𝐿𝐵𝐵
分别为m、2m，则a、b两棒加速度大𝑚𝑚小相等，故A正确；因为导轨光滑，水平方向导体棒只受到安培
力作用，对a棒，根据动量定理有F t＝ lBt＝mv －mv ，同理，对b棒有－F t＝－B ×2l·t＝2mv －2m·2v ，
a a 0 b b 0
稳定时无电流，即 Blv a ＝B·2lv b ，得 v a ＝ 𝐼𝐼 2v b ，联立解得 v a ＝2v 0 ，v b ＝v 0 ，故 B 错 𝐼𝐼 误；由能量守恒定律可
知，动能的损失等于电路中产生的焦耳热，初动能E ＝ m ＋ ×2m×（2v ）2，末动能E ＝ m×（2v ）
k0 0 k 0
1 2 1 1
2＋ ×2m× ，则电路中产生的焦耳热为E －E ＝ m2 𝑣𝑣，0 故2C正确；对a棒应用动量定理2有 lB·Δt＝
k0 k
1 2 3 2
mv2－mv ，𝑣𝑣又0 q＝ ·Δt， v ＝2v ，联立解得q＝ ，2故𝑣𝑣0 D错误。 𝐼𝐼
a 0 a 0
𝑚𝑚𝑣𝑣0
𝐼𝐼 𝐵𝐵𝑙𝑙
2. 如图所示，光滑水平导轨置于匀强磁场中，磁场方向竖直向下，磁感应强度大小为B.左侧导轨间距
为L，右侧导轨间距为2L，导轨均足够长.质量为m的导体棒ab和质量为2m的导体棒cd均垂直于导轨
放置，处于静止状态.现瞬间给导体棒 cd一水平向右的初速度 v ，在此后的运动过程中，两棒始终在对
0
应的导轨部分运动，始终与导轨垂直且接触良好.已知导体棒ab的电阻为R，cd的电阻为2R，导轨电阻
不计.下列说法正确的是（ AC ）
学科网（北京）股份有限公司A.导体棒ab和cd组成的系统动量不守恒
B.两棒最终以相同的速度做匀速直线运动
C.导体棒ab最终的速度为 v
0
2
D.从导体棒cd获得初速度到3 二者稳定运动的过程中，系统产生的焦耳热为 m
8 2
答案 AC 9 𝑣𝑣0
解析 导体棒cd获得速度后，回路中产生感应电流，根据左手定则知导体棒cd减速，导体棒ab加速，
当 BLv ＝2BLv 时，回路中磁通量不变，没有感应电流，最终两棒做匀速直线运动，分别对两棒运用
ab cd
动量定理得－2B Lt＝2mv －2mv ，B Lt＝mv ，联立解得v ＝ v ，v ＝ v ，故B错误，C正确；两导
cd 0 ab ab 0 cd 0
2 1
体棒受到的安培力𝐼𝐼 大小不相等，系统受𝐼𝐼 到的合力不为零，动量不3守恒，A3正确；从导体棒 cd 获得初速
度到二者稳定运动的过程中，系统产生的焦耳热为Q＝ ·2m － m － ·2m ，解得Q＝ m ，故D
1 2 1 2 1 2 2 2
错误. 2 𝑣𝑣0 2 𝑣𝑣𝑎𝑎𝑎𝑎 2 𝑣𝑣𝑐𝑐𝑐𝑐 3 𝑣𝑣0
3.[2024山东青岛调研/多选]如图，两平行金属导轨ABC和A'B'C'的间距为0.5m，其中AB、A'B'段光滑，
长度为1.2m、与水平方向的夹角为30°，BC、B'C'段水平.空间中存在方向分别与两导轨平面垂直的磁场，
磁感应强度大小均为2T.现将导体棒b放置于水平导轨某处，导体棒a自最高端AA'由静止释放，当a棒
开始匀速运动时，b棒刚好能保持静止.a棒到达BB'后再经过0.36s恰好不与b棒发生碰撞.已知导体棒a、
b的质量均为 0.1kg，接入电路中的电阻分别为 4Ω和 1Ω，两导体棒与水平导轨的动摩擦因数相同，运
动过程中导体棒始终与导轨接触良好且垂直，导轨电阻不计，重力加速度g＝10m/s2.下列说法正确的是
（ BC ）
A.a棒匀速运动时的速度大小为2m/s
B.棒与水平导轨间的动摩擦因数为0.5
C.b棒初始位置与BB'相距0.35m
D.a棒下滑过程中，系统损失的机械能为0.4J
【答案】BC
解析 a棒匀速运动时，由平衡条件有mg sin 30°＝BIL，又I＝ ，E＝BLv，联立并代入数据解得v
＋
𝐸𝐸
＝2.5 m/s，A错误；经分析可知，b棒所受的安培力大小与a棒𝑚𝑚𝑎𝑎的相𝑚𝑚𝑏𝑏等，又a棒匀速运动时，b棒恰能
保持静止，对b棒由平衡条件有BIL＝μmg，解得μ＝0.5，B正确；对a棒从BB'运动到b棒位置的过程
中，根据动量定理有－B Lt－μmgt＝0－mv，又 t＝q＝ ＝ ，联立解得x＝0.35 m，C正确；a
＋ ＋
Δ𝛷𝛷 𝐵𝐵𝐿𝐿𝐵𝐵
棒下滑过程中，系统损失𝐼𝐼的机械能ΔE＝mgs sin 𝐼𝐼 30°－ m𝑚𝑚v 𝑎𝑎2，𝑚𝑚𝑏𝑏代入𝑚𝑚𝑎𝑎数𝑚𝑚据𝑏𝑏 解得ΔE＝0.287 5 J，D错误.
1
2
学科网（北京）股份有限公司4.（2025·河南郑州模拟）如图所示，在方向竖直向上、磁感应强度大小为 B 的匀强磁场中有两条光滑
固定的平行金属导轨MN、PQ，导轨足够长，间距为L，其电阻不计，导轨平面与磁场垂直，ab、cd为
两根垂直于导轨水平放置的金属棒，其接入回路中的电阻均为R，质量均为m，与金属导轨平行的水平
轻质细线一端固定，另一端与 cd棒的中点连接。一开始细线处于伸直状态，ab棒在平行于导轨的拉力
F的作用下从静止开始以恒定加速度a 向右做匀加速直线运动，经时间t 细线被拉断，两根金属棒运动
0 0
时始终与导轨接触良好且与导轨相垂直。
（1）求细线能承受的最大拉力F ；
0
（2）求细线被拉断前的过程中通过金属棒ab中间横截面的电荷量q；
（3）若在细线被拉断瞬间撤去拉力F，求从此刻起两根金属棒之间距离增加量的最大值及细线断后回路
中产生的总焦耳热。
答案：（1） （2） （3） m
2 2 2
𝐵𝐵 𝐿𝐿 𝑎𝑎0𝑡𝑡0 𝐵𝐵𝐿𝐿𝑎𝑎0𝑡𝑡0 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎0𝑡𝑡0 1 2 2
解析：（1）ab2棒𝑚𝑚 以加速度a 4向𝑚𝑚右做匀加速𝐵𝐵运2 𝐿𝐿动2 ，4当细𝑎𝑎0线𝑡𝑡被0 拉断时，ab棒运动的速度v＝a t
0 0 0
回路中的感应电动势E＝BLv
回路中的感应电流为I＝
𝐸𝐸
cd棒受到的安培力为F ＝2𝑚𝑚BIL＝F
A 0
联立解得最大拉力F ＝ 。
0
2 2
𝐵𝐵 𝐿𝐿 𝑎𝑎0𝑡𝑡0
（2）在Δt时间内平均感应2𝑚𝑚电动势 ＝
Δ𝛷𝛷
回路中的平均电流为 ＝ 𝐸𝐸 Δ𝑡𝑡
𝐸𝐸
细线被拉断前的过程中𝐼𝐼 通2𝑚𝑚过ab棒中间横截面的电荷量为q＝ ·Δt＝
Δ𝛷𝛷
ab棒在t 时间内的位移x ＝ a 𝐼𝐼 2𝑚𝑚
0 0 0
1 2
t 时间内回路中磁通量变化量2Δ𝑡𝑡Φ0＝BLx
0 0
联立解得q＝ 。
2
𝐵𝐵𝐿𝐿𝑎𝑎0𝑡𝑡0
（3）细线被拉断4𝑚𝑚瞬间撤去拉力F后，ab棒做减速运动，cd棒做加速运动，两棒之间的距离增大，设经
过t时间两棒达到相同速度v'而稳定运动时，两棒之间的距离增加量达到最大值Δx，两棒所受安培力等
大反向，水平方向动量守恒，由动量守恒定律得mv＝2mv'
对于ab棒，由动量定理得－BL t＝mv'－mv
＝ 𝐼𝐼1
𝐸𝐸
𝐼𝐼1＝2𝑚𝑚
𝐵𝐵𝐿𝐿Δ𝐵𝐵
𝐸𝐸 𝑡𝑡
学科网（北京）股份有限公司联立解得Δx＝
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎0𝑡𝑡0
由能量守恒定律𝐵𝐵得2 𝐿𝐿细2 线断后回路中产生的总焦耳热
Q ＝ mv2－ mv'2×2＝ m 。
总
1 1 1 2 2
2 2 4
𝑎𝑎0 𝑡𝑡0
1
5 （2025 学年湖北省百师联盟高三下二轮复习联考（二）） 如图所示，半径为 r、间距为 2L 的 光滑
4
圆弧导轨与水平光滑导轨在M、N处相切且平滑连接，水平导轨由两个足够长的宽窄导轨组成，宽导轨
的间距为2L，窄导轨的宽度为L，虚线MN 右侧存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两根
粗细相同、材质相同的均匀金属棒a、b分别放在宽窄导轨上，长度与导轨宽度相同，a棒的质量为m，
1
电阻为R。a棒从 圆弧导轨顶端由静止沿圆弧导轨滑下，到a、b棒运动稳定的整个过程中，两棒始终
4
与导轨接触良好且垂直于导轨，不计导轨的电阻，重力加速度为g。在a、b棒整个运动过程中，下列说
法正确的是（ ）
A. a棒克服安培力做的功大于安培力对b棒做的功
8B2L2 2gr
B. b棒的最大加速度大小为
3mR
2
C. b棒上产生的焦耳热为 mgr
3
m 2gr
D. 流过b棒的电荷量为
3BL
【答案】ABD
【解析】a棒克服安培力做功，使得a棒的动能转化为电能，安培力对b棒做正功，使得b棒的动能增
加，同时电流流过整个回路还要转化为焦耳热，故A正确；
B．由于金属棒 a、b 粗细相同、材质相同，则 a、b 棒质量之比为2:1，电阻之比为2:1，b 棒加速度最
E
1 I =
大时，回路中感应电流最大，对应a棒刚进入磁场时，根据mgr = mv2，E=2BLv ， 1
2 0 0 R+ R
2
1
对b棒，由牛顿第二定律得BIL= ma
2
学科网（北京）股份有限公司8B2L2 2gr
解得a =
3mR
故B正确；
C．当a、b棒运动稳定后，回路中没有感应电流，设此时a棒的速度为v ，b棒的速度为v ，则2BLv = BLv
1 2 1 2
即2v =v
1 2
对a棒，根据动量定理有−2BILt =mv −mv
1 0
1
对b棒，根据动量定理有BILt = mv
2 2
1 2
解得v = v ，v = v
1 3 0 2 3 0
1 1 1 1 1 2 2
回路中产生的总焦耳热Q= mv2 − m( v )2 − ⋅ m( v )2 = mgr
2 0 2 3 0 2 2 3 0 3
2
由于a、b棒电阻之比为2:1，所以b棒产生的焦耳热为 mgr，故C错误；
9
1 2
D．对b，根据动量定理得BILt = BqL= m⋅ v
2 3 0
m 2gr
电荷量q =
3BL
故D正确。
6. ( 2025年5月山西青桐鸣大联考)如图所示，两足够长且间距为L的光滑平行金属导轨固定在水平面上，
导轨处在垂直于导轨平面向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B．质量均为m的金属棒a、b
1
垂直放在导轨上，给金属棒a水平向右、大小为v 的初速度，同时给金属棒b水平向左、大小为 v 的
0 2 0
初速度，两金属棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，两金属棒接入电路的有效电阻均为R，导轨
的电阻不计，则下列说法正确的是（ ）
3B2L2v
A. 开始运动的一瞬间，金属棒a的加速度大小为 0
2mR
学科网（北京）股份有限公司1
B. 当金属棒b的速度为零时，金属棒a的速度大小为 v
2 0
mv
C. 最终通过金属棒b的电荷量为 0
4BL
9
D. 最终金属棒a中产生的焦耳热为 mv 2
32 0
【答案】BD
3
BLv
【解析】．开始运动的一瞬间，电路中的电流 2 0 3BLv
I = = 0
2R 4R
BIL 3B2L2v
此时金属棒a的加速度大小为a= = 0 ，故A错误；
m 4mR
由于 a、b 组成的系统合外力总是为零，因此系统动量守恒，设 b 的速度为零时 a 的速度大小为v ，则
1
1
mv −m× v =mv
0 2 0 1
1
解得v = v ，故B正确：
1 2 0
1 1
设最终a、b的共同速度为v，则mv −m× v =2mv，解得v= v 。
0 2 0 4 0
1 1 3mv
对金属棒b研究，根据动量定理可得BqL=m v + v ，解得q= 0 ，故C错误；
2 0 4 0 4BL
2
1 1 1 1
设金属棒a中产生的焦耳热为Q，则2Q= mv2 + m v − ×2mv2
2 0 2 2 0 2
9
解得Q= mv2，故D正确。
32 0
7. （山西吕梁市2025年高三年级第三次模拟考试）如图所示，足够长的光滑水平轨道左侧bb～cc 部
1 2 1 2
分的轨道间距为3L，右侧cc ～d d 部分的轨道间距为L，两部分轨道通过导线连通。整个区域存在竖
1 2 1 2
直向下的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小B =0.1T。质量m =0.1kg的金属棒P和质量
M =0.2kg的金属棒Q垂直于导轨分别静止放置在左、右两侧轨道上。现给金属棒P一大小为
v =2m/s、方向沿轨道向右的初速度，已知两金属棒接入电路的有效电阻均为R=0.2Ω，轨道电阻
0
不计，L=0.2m，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，P棒总在宽轨上运动，
Q棒总在窄轨上运动。下列说法正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. 整个过程金属棒P、Q动量守恒
2
B. 金属棒P匀速运动的速度大小为 m/s
19
60
C. 整个过程通过金属棒Q某横截面的电荷量为 C
19
120
D. 整个运动过程金属棒P、Q扫过的面积之差为 m2
19
【答案】BC
【解析】．因为P、Q受到的安培力大小不相等，合力不为零，所以整个过程金属棒P、Q动量不守恒，
A错误；
B．选取水平向右为正方向，对P、Q分别应用动量定理，对P有−F
P安
·t =mv
P
−mv
0
对Q有F ·t =Mv
Q安 Q
其中F =3F
P安 Q安
整理得mv −mv =3Mv
0 P Q
两棒最后匀速时，电路中无电流，此时回路总电动势为零，必有3BLv = BLv
P Q
即v =3v
Q P
2
联立解得v = m/s，B正确；
P 19
在Q加速过程中根据动量定理有∑BiLΔt =Mv −0
Q
又电荷量q=∑iΔt
60
解得q= C，C正确；
19
∆Φ B∆S
根据q= =
2R 2R
240
代入数据解得ΔS = m2，D错误。
19
8. （山东省临沂2025年普通高中学业水平等级测评试题三模）如图所示的光滑金属轨道由左、右两段
足够长的轨道拼接而成，整个轨道固定在水平面内，左侧两平行导轨间距为2L，在上面搁置导体棒2
学科网（北京）股份有限公司（长度为2L，质量为2m，电阻为2R），右侧两平行导轨间距为L，在上面搁置导体棒1（长度为L，
质量为m，电阻为R），导轨电阻不计，整个轨道所在的空间中有垂直于轨道平面的匀强磁场。现在给
棒1一个初速度v ，它通过安培力带动棒2向右运动，运动过程中棒1、棒2均与导轨良好接触。下列
0
说法正确的是（ ）
A. 两棒一直做减速运动，最终速度为0
2 1
B. 棒1和棒2的最终速度分别为 v 和 v
3 0 3 0
C. 两棒在运动过程中的同一时刻加速度大小不相等
1
D. 整个过程中两棒上产生的焦耳热为 mv2
6 0
【答案】BD
【解析】．根据题意，安培力会带动棒 2 向右加速运动，安培力使得棒 1 向右减速，最终两棒均做匀速
直线运动，故A错误；
当两棒做匀速直线运动时有BLv = B2Lv ，此时回路中无电流，此即为两棒最终稳定状态，此时v =2v ；
1 2 1 2
对棒1应用动量定理，得−BIL∆t =mv −mv
1 0
对棒2应用动量定理，得BI2L∆t =2mv
2
2v v
解得v = 0 ，v = 0 ，故B正确；
1 3 2 3
对棒1，由牛顿第二定律有BI L=ma
1 1
对棒2，由牛顿第二定律有BI 2L=2ma
2 2
其中，因为两棒串联，所以每时每刻I =I ,所以解得a =a ，故C错误；
1 2 1 2
1 1 1
由能量关系有Q= mv2 −
mv2 + 2mv2
2 0 2 1 2 2
1
解得Q= mv2，故D正确。
6 0
学科网（北京）股份有限公司9. （宁夏白银市一中、八中、银光中学2025年5月高三适应性）如图所示，光滑平行水平导轨ab、cd
之间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，导轨间距为L，金属棒A、B置于导轨上，与导轨垂
直且接触良好。现给金属棒B一个瞬时冲量使其获得沿导轨向右的初速度v，已知金属棒A、B的电阻
均为R、质量均为m，初始时A、B之间的距离为s，导轨电阻不计且足够长，则下列说法中正确的是（ ）
v
A. 金属棒A、B的最终速度大小为
2
mv2
B. 金属棒A上产生的焦耳热为
4
mv
C. 流过金属棒A上的电荷量为
BL
mRv
D. 最终金属棒A、B之间距离为s+
B2L2
【答案】AD
【解析】．规定向右为正方向，由动量守恒有mv=2mv
共
v
解得A、B的最终速度大小为v = ，故A正确；
共
2
1 1
由能量守恒可知，整个回路产生热量Q= mv2 − ×2mv2
共
2 2
1
联立解得Q= mv2
4
Q 1
则金属棒A上产生的焦耳热为Q = = mv2，故B错误；
A 2 8
对A，动量定理有BLIt =mv
共
mv
联立解得It = =q，故C错误；
2BL
∆Φ
根据 E t ∆Φ BL∆x
q= It = t = t = =
2R 2R 2R 2R
Rmv
联立解得∆x=
B2L2
Rmv
则最终金属棒A、B之间距离为x=s+∆x=s+ ，故D正确。
B2L2
学科网（北京）股份有限公司10. （2025年5月山西三模）如图所示，两根足够长的光滑金属导轨平行，间距为L固定在同一水平面
上。虚线 PQ 为与导轨垂直的边界，其左侧区域有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度的大小为 B。两根
质量分别为2m和m、电阻分别为R 和2R的金属棒a和b垂直导轨放置。某时刻，给a以初速度v 使
0
其沿导轨开始向b运动，当回路的电流为零时，b正好到达PQ处。最终，a恰能到达PQ处。已知a、b
始终没有发生碰撞，且与导轨垂直并保持接触良好，不计导轨电阻，求：
（1）b开始运动时加速度的大小。
（2）b在磁场内运动过程中通过回路截面的电荷量及a、b的相对位移。
（3）整个过程中a产生的热量。
B2L2v
【答案】（1） 0
3mR
2mv 2mRv
（2） 0 ， 0
3BL B2L2
7
（3） mv2
27 0
【解析】（1）设b开始运动时回路电动势的大小为E，电流为I，b加速度的大小为a，则由E = BLv ，
0
E
I = ，BIL=ma
R+2R
B2L2v
联立解得a= 0
3mR
（2）回路电流为零时a、b速度大小恰好相等，设为v，由动量守恒得2mv =(2m+m)v
0
设到达PQ的过程中，b运动的时间为t，回路电流的平均值为I ，通过截面的电荷量为q ，则由动量
定理BILt =mv
又q=It
2mv
解得q= 0
3BL
学科网（北京）股份有限公司BL∆x
b在磁场中运动过程中，设a、b间缩小的距离为∆x，回路的平均感应电动势为E，则E =
t
E
又I =
R+2R
2mRv
解得∆x= 0
B2L2
（3）设整个过程中回路产生的总热量为Q ，a产生的热量为Q ，则由能量守恒得
总 a
1 1
Q = (2m)v2 − mv2
总 2 0 2
R
又Q = Q
a R+2R 总
7
解得Q = mv2
a 27 0
11. （重庆高2025届学业质量调研第三次抽测）如图，平行光滑金属导轨固定在绝缘水平桌面上，右端
连接光滑倾斜轨道，导轨间距为L。导轨左侧接有电阻，aa'b'b与cc'd'd区域间存在竖直向上与竖直
向下的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，aa'与bb'、cc'与dd'的距离均为2L。M导体棒质量为3m、
N 绝缘棒质量为2m，两棒垂直导轨放置。现N 棒静止于bb'与cc'之间某位置，M棒在aa'边界静止，
B4L5
某时刻 M 棒受到水平向右的恒力F 作用开始运动。已知F = ，当运动到bb′边界时撤去F ，
12mR2
此时M棒已达到匀速运动。已知整个过程中两棒与导轨始终垂直且接触良好，导轨左侧电阻和M棒接
入导轨的电阻均为R，其他导体电阻不计，所有碰撞均为弹性碰撞，首次碰撞之后 N 与 M 每次碰撞前
M均已静止，且碰撞时间极短，M、N始终与导轨垂直且接触良好，求：
（1）撤去F 时M棒的速度大小v以及M棒穿过aa'b'b区域过程中系统产生的热量Q；
（2）从M棒开始进入cc'd'd区域到M棒第一次静止，通过电阻R的电荷量q；
（3）自发生第一次碰撞后到最终两棒都静止，导体棒M在磁场中运动的总位移大小x。
B2L3 B2L6
【答案】（1）v= ，Q=
6mR 8mR2
学科网（北京）股份有限公司BL2
（2）q=
10R
（3）x= L
【解析】（1）由于撤去F 时M棒已经达到匀速运动，则有F = F = BIL
A
E
又E = BLv，I =
2R
B2L2
则F = v
2R
2FR
整理得v=
B2L2
B4L5
其中F =
12mR2
B2L3
解得v=
6mR
1
对M棒，由能量守恒有F×2L=Q+ ×3mv2
2
B2L6
解得Q=
8mR2
（2）两棒发生完全弹性碰撞，根据动量守恒及机械能守恒可得
1 1 1
3mv =3mv +2mv，×3mv2 = ×3mv2 + ×2mv2
0 1 2 2 2 1 2 2
1 6
解得v = v，v = v
1 5 0 2 5 0
M棒进入cc′d′d区域磁场中到停下，由动量定理得−BI L∆t =−BLq =0−3mv
2 1 1
BL2
解得通过电阻R的电荷量q=
10R
∆Φ BLx
（3）M棒进入cc′d′d区域磁场运动x 后停下，则q = = 右
右
2R 2R
解得x =0.2L
右
绝缘棒N第二次与导体棒M碰前速度大小为v ，碰后速度为v ，方向水平向右，导体棒M的速度为
2 N2
学科网（北京）股份有限公司1 1 1
v ，由弹性碰撞可得2mv =2mv +3mv ，×2mv2 = 2mv2 + mv2
M2 2 N2 M2 2 2 2 N2 2 M2
1 4
解得v =− v，v = v
N2 5 2 M2 5 2
B2L2 B2L2x
对导体棒M，由动量定理有− v ∆t =− 1 =0−3mv
2R M2 2 2R M2
24
解得x = L
1 25
同理可得绝缘棒N第三次与导体棒M碰前速度大小为v ，碰后的速度为v ，方向水平向右，导体棒
N2 N3
1 1 1
M的速度为v ，由弹性碰撞可得2mv =2mv +3mv ，×2mv2 = 2mv2 + mv2
M3 N2 N3 M3 2 N2 2 N3 2 M2
1 4
解得v =− v ，v = v
N3 5 N2 M3 5 N2
B2L2 B2L2x
对导体棒M，由动量定理有− v ∆t =− 2 =0−3mv
2R M3 3 2R M3
24 1
解得x = L= x
2 125 5 1
n−1
1
依次类推x = x
n 5 1
n
1
1−
解得
x =
5
x =
6
L
左 1 1 5
1−
5
所以导体棒在磁场中的运动位移为x= x −x = L
左 右
12 （湖南长郡中学2025年高考物理科目预测试卷）如图所示，光滑金属导轨固定在绝缘水平桌面上，
1
中间部分水平且左端与 圆弧轨道完美连接（且圆弧左端水平连接一电阻R）、右端连接有光滑倾斜轨
4
道，水平轨道和圆弧部分平滑连接，导轨间的距离为L。AB区域与CD区域间存在竖直向下与竖直向上
的匀强磁场，磁感应强度的大小均为B，AB的距离、CD的距离均为L。电阻为R导体棒P的质量为2m、
绝缘棒Q的质量为m，两棒垂直导轨放置，绝缘棒Q静止于B与C之间的某位置，现将P棒由左侧圆
B2L3
弧的E处由静止释放，当P棒运动到B处时的速度为v= 、P进入水平磁场后P产生的热量为Q 。
1
4mR
学科网（北京）股份有限公司已知整个过程中两棒与导轨始终垂直且接触良好，其他导体电阻不计，所有碰撞均为弹性碰撞，首次碰
撞之后P与Q每次碰撞前P均已静止，且碰撞时间极短，P、Q始终与导轨垂直且接触良好，求：
(1)左侧圆弧轨道的半径r；
(2)从P棒开始运动到P棒第一次静止，整个过程中通过P的电荷量q；
(3)自发生第一次碰撞后到最终两棒都静止，导体棒P在磁场中运动的总位移大小x。
B2L3 BL2
【答案】(1)v= (2)q= (3)x=L
4mR 3R
【解析】（1）P进入磁场后与左侧电阻R形成串联回路，
即：Q =Q =Q ，
R P 1
1
整个过程中能量守恒可得：mgr =2Q + mv2
1 2
B2L3 2Q
解得：r = + 1
8mgR mg
（2）P棒在AB区域在磁场通过R的电荷量q =IΔt
1 1
BL2 BL2
平均电流I = ，联立可得 q =
2RΔt 1 2R
1
两棒发生完全弹性碰撞，根据动量守恒定律及机械能守恒定律可得2mv=2mv +mv ，
1 2
1 1 1
2mv2= 2mv 2+ mv 2
2 2 1 2 2
B2L3 B2L3
解得v = ，v =
1 12mR 2 3mR
P棒进入CD区域磁场中停下由动量定理得∑−BI LΔt =0−2mv
2 1
学科网（北京）股份有限公司BL2
即−Bq L=0−2mv ，可得q =
2 1 2 6R
BL2
所以这个过程通过P的电荷量q=q −q =
1 2 3R
BLx BLx
（3）P棒进入CD区域磁场x 后停下下来，由q =I Δt = 右 Δt = 右
右 2 2 2RΔt 2R
L
可得x =
右
3
绝缘棒Q第二次与导体棒P碰前速度大小为v =v ，方向水平向左，碰后速度为v ，导体棒的速度为
Q1 2 Q2
v ，弹性碰撞过程中根据动量守恒定律和能量守恒定律有mv =2mv +mv ，
P2 Q1 P2 Q2
1 1 1
mv2 = 2mv2 + mv2
2 Q1 2 P2 2 Q2
2B2L3 B2L3
解得v = ，v =−
P2 9mR Q2 9mR
对P棒分析，根据动量定理得∑−BI LΔt =0−2mv
3 P2
B2L2
即 x =2mv
2R 1 P2
8L
解得x =
1 9
同理可得当绝缘棒Q第三次与导体棒P碰前速度大小为v =v
Q3 Q2
1 1 1
根据mv =2mv +mv ， mv2 = 2mv2 + mv2
Q2 P3 Q3 2 Q2 2 P3 2 Q3
对P棒分析动量定理得∑−BI LΔt =0−2mv
4 P3
B2L2
即 x =2mv
2R 2 P3
8L
可得x =
2 27
1
根据数量关系有x = x
2 3 1
n−1
1
以此类推x = x
n 3 1
所以向左运动的位移为x =x +x +x
左 1 2 n
1 n
根据数学归纳法有
x =
x 1 1− 3 当n趋于无穷大时x
左
= 4L
左 1 3
1−
3
学科网（北京）股份有限公司13. 如图所示，MN、PQ为水平放置的足够长平行光滑导轨，导轨间距L＝1m，导轨上放置两根垂直导
轨的导体棒ab和cd，并与导轨接触良好，每根导体棒的质量均为m＝2kg，接入导轨间的部分电阻R＝
2Ω，整个装置处于垂直于导轨平面向下的匀强磁场中，磁感应强度大小 B＝2T，现对导体棒 ab施加向
右的 F＝10N 的水平恒力，经过一段时间两导体棒达到恒定的速度差，若某时刻导体棒 ab 的速度为
10m/s，且两导体棒距离d＝2m，此时撤去外力，最终两导体棒达到稳定状态，导轨电阻不计，试求：
（1）两导体棒达到恒定的速度差时，其加速度大小；
（2）撤去外力后回路中产生的热量；
（3）最终达到稳定状态时两导体棒间的距离.
答案 （1）2.5m/s2 （2）12.5J （3）7m
解析 （1）对两导体棒的运动状态进行分析，导体棒ab做加速度减小、速度增大的变加速运动，导体
棒cd做加速度增大、速度增大的变加速运动，最终两导体棒达到相同加速度，有恒定的速度差.
由牛顿第二定律可知，对导体棒ab有F－F ＝ma
安
对导体棒cd有F ＝ma
安
联立解得a＝ ＝2.5m/s2.
𝐹𝐹
（2）当导体棒2𝑚𝑚ab的速度v ＝10m/s时，设此时导体棒cd的速度为v ，
1 2
对导体棒cd由牛顿第二定律有
（ － ）
B L＝ma
𝐵𝐵𝐿𝐿 𝑣𝑣1 𝑣𝑣2
得v ＝2𝑚𝑚5m/s
2
撤去外力后，两导体棒在安培力作用下最终达到共同速度v，
由动量守恒定律可知mv ＋mv ＝2mv
1 2
得v＝7.5m/s
此过程回路产生的热量Q＝ m ＋ m － ×2mv2
1 2 1 2 1
得Q＝12.5J. 2 𝑣𝑣1 2 𝑣𝑣2 2
（3）设达到稳定状态时两导体棒间的距离为x，
对导体棒ab，由动量定理有－B Lt＝m（v－v ）
1
（ －）
此过程中通过回路的电荷量q＝𝐼𝐼t＝
𝐵𝐵𝐿𝐿 𝐵𝐵 𝑐𝑐
联立解得x＝7m. 𝐼𝐼 2𝑚𝑚
学科网（北京）股份有限公司
