电磁感应+双棒模型（原卷版）高考重点考点解读与针对性训练_2024-2026高三（6-6月题库）_2026年02月高三试卷_260222电磁感应+双棒模型（解析版）高考重点考点解读与针对性训练

电磁感应+双棒模型 【考点解读】 电磁感应中的“双杆＋轨道”模型 类型 光滑平行导轨 光滑不等距导轨 示意图 两金属杆的质量分别为 两金属杆的质量分别为m 1 、m 2 ， 两金属杆的质量分别为 m 、m ，电 1 2 m 、m ，电阻分别为r 、 电阻分别为 r 1 、r 2 ，导轨间距为 1 2 1 阻分别为r 、r ，导轨间距L ＝2L ， 1 2 1 2 r ，导轨间距为 L，其他 L，其他电阻忽略不计 2 其他电阻忽略不计 电阻忽略不计 类型 光滑平行导轨 光滑不等距导轨 杆 MN 做加速度逐渐减 小的减速运动，杆PQ做杆 MN 做加速度逐渐减小的减速运 开始时，两杆做变加速运动；稳 力学 加速度逐渐减小的加速动，杆PQ做加速度逐渐减小的加速 定时，两杆以相同的加速度做匀 观点 运动，稳定时，两杆的加运动，稳定时，两杆的加速度均为零， 加速运动 速度均为零，以相等的速两杆的速度之比v ∶v ＝1∶2 MN PQ 度做匀速运动 类型 光滑平行导轨 光滑不等距导轨 动量观点 系统动量不守恒 系统动量守恒 外力做的功＝金属杆1增加的动 能量 能＋金属杆2增加的动能＋焦耳 杆MN动能的减少量＝杆PQ动能的增加量＋焦耳热 观点 热 【高考真题】 【典例1】. （2025高考海南卷）（16分）间距为L的金属导轨倾斜部分光滑，水平部分粗糙且平滑相 接，导轨上方接有电源和开关，倾斜导轨与水平面夹角θ=30°，处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场 中，水平导轨处于垂直竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小均为B，两相同导体棒ab、cd 与水平 学科网（北京）股份有限公司导轨的动摩擦因数µ=0.25，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两棒质量均m，接入电路中的电阻均为R， cd 棒仅在水平导轨上运动，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，且不互相碰撞，忽略 金属导轨的电阻，重力加速度为g。 （1）锁定水平导轨上的cd 棒，闭合开关，ab棒静止在倾斜导轨上，求通过ab棒的电流；断开开关， 同时解除cd 棒的锁定，当ab棒下滑距离为x 时，cd 棒开始运动，求cd 棒从解除锁定到开始运动过程 0 中，cd 棒产生的焦耳热； （2）此后ab棒在下滑过程中，电流达到稳定，求此时ab、cd 棒的速度大小之差； （3）ab棒中电流稳定之后继续下滑，从ab棒到达水平导轨开始计时，t 时刻cd 棒速度为零，加速度 1 不为零，此后某时刻，cd 棒的加速度为零，速度不为零，求从t 时刻到某时刻，ab、cd 的路程之差。 1 mg 1 m3g2R2 【答案】（1） ， mgx − 2BL 4 0 16B4L4 3mgR m2gR2 （2） （3）Δs = 4B2L2 4B4L4 【解析】（1）ab棒静止在倾斜导轨上，根据平衡条件可得 解得通过ab棒的电流 设当ab金属棒下滑距离x0时速度为v ，cd金属棒开始运动时回路中的电流为I ， 0 1 此时对cd金属棒有 同时 分析可知，解除cd 棒的锁定，当ab棒下滑距离为x 时，cd 棒开始运动，cd金属棒产生的焦耳热与 0 学科网（北京）股份有限公司ab金属棒产生的焦耳热相等，对整个过程由能量守恒定律可得 联立解得cd 棒产生的焦耳热 （5分） （2）分析可知，ab金属棒在下滑过程中产生的感应电动势与cd金属棒在向左运动的过程中产生的感应 电动势方向相反，故当电流达到稳定时，两金属棒的速度差恒定，故可知此时两金属棒的加速度相等。 由于两金属棒受到的安培力大小相等，对两金属棒 同时有 联立解得ab、cd 棒的速度大小之差 （4分） （3）分析可知，从开始到t1时刻，两金属棒整体所受的合外力为零，故该过程系统动量守恒， 解得 设某时刻时，ab金属棒的速度为v ’’，cd金属棒速度为v ，cd金属棒的加速度为零，可得 1 cd 其中 分析可知此时两导体棒产生的感应电动势方向相反，可得 从t3时刻到某时刻之间，对两金属棒分别根据动量定理， 注意到I△t=q，可得 两式相加得 同时有 联立解得①②③④可得从t 时刻到某时刻，ab、cd 的路程之差 （7分） 1 【典例 2】.[2023全国甲]如图，水平桌面上固定一光滑 U形金属导轨，其平行部分的间距为 l，导轨的 最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计.导轨所在区域有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度 大小为B.一质量为m、电阻为R、长度也为l的金属棒P静止在导轨上.导轨上质量为3m的绝缘棒Q位 学科网（北京）股份有限公司于 P的左侧，以大小为 v 的速度向 P运动并与 P发生弹性碰撞，碰撞时间极短.碰撞一次后，P和 Q先 0 后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点.P在导轨上运动时，两端与导轨接触良好，P与Q 始终平行.不计空气阻力.求 （1）金属棒P滑出导轨时的速度大小； （2）金属棒P在导轨上运动过程中产生的热量； （3）与P碰撞后，绝缘棒Q在导轨上运动的时间. 答案 （1） v （2）m （3） 0 1 2 2𝑚𝑚𝑚𝑚 解析 （1）2Q与P发生弹𝑣𝑣0性碰撞，𝐵𝐵由2 𝑙𝑙动2 量守恒定律有 3mv ＝mv ＋3mv 0 P Q 由机械能守恒定律有 ×3m ＝ m ＋ ×3m 1 2 1 2 1 2 2联立解𝑣𝑣得0 v2＝𝑣𝑣𝑃𝑃 v ，2v ＝ 𝑣𝑣v 𝑄𝑄 Q 0 P 0 1 3 根据题述，P、2Q落到地2面上同一地点，结合平抛运动规律可知，金属棒P滑出导轨时的速度大小为 v' ＝v ＝ v P Q 0 1 （2）由能2量守恒定律可得，金属棒P在导轨上运动过程中产生的热量为 Q＝ m － mv' ＝m 1 2 1 2 2 （3）2 P𝑣𝑣在𝑃𝑃 导2轨上𝑃𝑃做变𝑣𝑣速0 运动，设速度大小为v时金属棒中产生的感应电动势大小为e，电流大小为i， 在Δt时间内速度变化Δv，则由法拉第电磁感应定律有e＝Blv 由闭合电路欧姆定律有i＝ 𝒆𝒆 金属棒P所受的安培力F＝𝑚𝑚Bil＝ 2 2 𝐵𝐵 𝑙𝑙 𝑣𝑣 由动量定理有－FΔt＝mΔv 𝑚𝑚 即－ Δt＝mΔv 2 2 𝐵𝐵 𝑙𝑙 𝑣𝑣 方程两𝑚𝑚侧求和得∑－ Δt＝∑mΔv 2 2 𝐵𝐵 𝑙𝑙 𝑣𝑣 即－ ∑vΔt＝m∑Δv 𝑚𝑚 2 2 𝐵𝐵 𝑙𝑙 注意到𝑚𝑚∑vΔt＝x，∑Δv＝v' －v ＝－v P P 0 联立解得x＝ 𝑚𝑚𝑣𝑣0𝑚𝑚 对绝缘棒Q有𝐵𝐵 2 x𝑙𝑙＝2 v t Q 解得与P碰撞后，绝缘棒Q在导轨上运动的时间为 学科网（北京）股份有限公司t＝ . 2𝑚𝑚𝑚𝑚 【典𝐵𝐵 2例𝑙𝑙 2 3】.[2023湖南]如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为 L，两导轨及其所构 成的平面均与水平面成θ角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B. 现将质量均为m的金属棒a、b垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为R.运动过程中金属 棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为g. （1）先保持棒b静止，将棒a由静止释放，求棒a匀速运动时的速度大小v ； 0 （2）在（1）问中，当棒a匀速运动时，再将棒b由静止释放，求释放瞬间棒b的加速度大小a ； 0 （3）在（2）问中，从棒 b释放瞬间开始计时，经过时间 t ，两棒恰好达到相同的速度 v，求速度 v的 0 大小，以及时间t 内棒a相对于棒b运动的距离Δx. 0 答案 （1）v ＝ （2）a ＝2gsinθ （3）v＝gt sinθ＋ Δx＝ 0 0 0 2 2 2𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚sin𝜃𝜃 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚sin𝜃𝜃 2𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 sin𝜃𝜃 解析 （1）棒a匀𝐵𝐵速2 𝐿𝐿运2 动时，对棒a受力分析，由平衡条件有 𝐵𝐵 2 𝐿𝐿 2 𝐵𝐵 4 𝐿𝐿 4 mgsinθ＝BI L 1 由法拉第电磁感应定律有E ＝BLv 1 0 由闭合电路欧姆定律有I ＝ 1 𝐸𝐸1 联立解得v ＝ 2𝑚𝑚 0 2𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚sin𝜃𝜃 （2）当棒a匀速𝐵𝐵运2 𝐿𝐿 2动时，由静止释放棒b，分析可知，棒b受到沿导轨向下的安培力，则释放棒b的瞬 间，对棒b，由牛顿第二定律有 mgsinθ＋BI L＝ma 1 0 又BI L＝mgsinθ 1 解得a ＝2gsinθ 0 （3）释放棒b后，由于棒b中产生的感应电动势对于回路来说，与棒a中产生的感应电动势方向相反， 所以两棒所受安培力均减小，对棒a，由动量定理有 （mgsinθ－B L）t ＝mv－mv 0 0 对棒b，由动 𝐼𝐼 量定理有 （mgsinθ＋B L）t ＝mv 0 联立解得v＝𝐼𝐼gt sinθ＋ 0 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚sin𝜃𝜃 设棒a速度为v 时产生的𝐵𝐵 2感𝐿𝐿 2应电动势为E，则E＝BLv i i i i 同理设棒b速度为v 时产生的感应电动势为E，则 j j E＝BLv j j 学科网（北京）股份有限公司－ （ － ） 棒中电流为I＝ ＝ 𝐸𝐸𝑖𝑖 𝐸𝐸𝑗𝑗 𝐵𝐵𝐿𝐿 𝑣𝑣𝑖𝑖 𝑣𝑣𝑗𝑗 两棒所受安培力的2𝑚𝑚大小均为2𝑚𝑚 F＝BIL＝ （ － ） 2 2 𝐵𝐵 𝐿𝐿 𝑣𝑣𝑖𝑖 𝑣𝑣𝑗𝑗 对棒b，由动量定理有[mgsinθ＋ （ － ）2𝑚𝑚 ]Δt＝mΔv 2 2 𝐵𝐵 𝐿𝐿 𝑣𝑣𝑖𝑖 𝑣𝑣𝑗𝑗 对方程两侧求和，即Σ[mgsinθ＋ （2𝑚𝑚－ ） ]Δt＝ΣmΔv 2 2 𝐵𝐵 𝐿𝐿 𝑣𝑣𝑖𝑖 𝑣𝑣𝑗𝑗 注意到ΣΔt＝t ，Σ（v－v）Δt＝Δx，2Σ𝑚𝑚Δv＝v 0 i j 解得Δx＝ . 2 2 2𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 sin𝜃𝜃 4 4 𝐵𝐵 𝐿𝐿 【典例 4】.[ 2021福建]如图，P、Q是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，间距为 L，导轨足够 长且电阻可忽略不计.图中 EFHG矩形区域内有方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为 B的匀强磁 场.在t＝t 时刻，两均匀金属棒a、b分别从磁场边界EF、GH进入磁场，速度大小均为v ；一段时间后， 1 0 流经a棒的电流为0，此时t＝t ，b棒仍位于磁场区域内.已知金属棒a、b由相同材料制成，长度均为L， 2 电阻分别为 R和 2R，a棒的质量为 m.在运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，a、b棒没有 相碰，则（ AD ） A.t 时刻a棒的加速度大小为 1 2 2 2𝐵𝐵 𝐿𝐿 𝑣𝑣0 B.t 时刻b棒的速度为0 3𝑚𝑚𝑚𝑚 2 C.t ～t 时间内，通过a棒横截面的电荷量是b棒的2倍 1 2 D.t ～t 时间内，a棒产生的焦耳热为 m 1 2 2 2 答案 AD 9 𝑣𝑣0 解析 在t＝t 时刻，两均匀金属棒a、b分别从磁场边界EF、GH进入磁场，速度大小均为v ，由右手 1 0 定则可判断出两金属棒产生的感应电流方向都是逆时针方向，产生的感应电动势都是BLv ，由闭合电路 0 欧姆定律可得，t 时刻 a 金属棒中的感应电流 I＝ ＝ ，受到的安培力 F＝BIL＝ ，由牛顿 1 2 2 2𝐵𝐵𝐿𝐿𝑣𝑣0 2𝐵𝐵𝐿𝐿𝑣𝑣0 2𝐵𝐵 𝐿𝐿 𝑣𝑣0 第二定律 F＝ma 可得，t 时刻 a 棒的加速度大小为𝑚𝑚+2a𝑚𝑚＝ 3𝑚𝑚 ，选项 A 正确；由于金属棒3𝑚𝑚a、b 串联构 1 2 2 2𝐵𝐵 𝐿𝐿 𝑣𝑣0 成回路，所以在t ～t 时间内，通过a棒横截面的电荷量与3𝑚𝑚b𝑚𝑚棒的相同，选项C错误；由于金属棒a、b 1 2 电阻分别为 R 和 2R，金属棒 a、b串联构成回路，二者电流相等，由焦耳定律可知金属棒 a、b产生的 焦耳热之比为1∶2，设t ～t 时间内，a棒产生的焦耳热为Q，则b棒产生的焦耳热为2Q，又两者材料 1 2 相同，由电阻定律可知，金属棒a的横截面积为b的2倍，故体积为b的2倍，质量为b的2倍，即b 的质量为 0.5m，t＝t 时刻流经 a棒的电流为 0，且b 棒仍位于磁场区域内，说明金属棒 a、b具有共同 2 速度，由动量守恒定律有 mv －0.5mv ＝1.5mv，解得 v＝ ，由能量守恒定律有 m ＋ ×0.5m ＝Q＋ 0 0 𝑣𝑣0 1 2 1 2 3 2 𝑣𝑣0 2 𝑣𝑣0 学科网（北京）股份有限公司2Q＋ ×1.5m ，解得Q＝ m ，选项B错误，D正确. 1 2 2 2 2 v 9 𝑣𝑣0 【针对性训练】 1.（2025·安徽黄山模拟）如图所示，空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，足够长的光 滑平行金属导轨水平放置，导轨左右两部分的间距分别为 l、2l；质量分别为 m、2m 的导体棒 a、b 均 垂直导轨放置，导体棒 a 接入电路的电阻为 R，其余电阻均忽略不计；a、b 两棒分别以 v 、2v 的初速 0 0 度同时向右运动，两棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持良好接触，a 总在窄轨上运动，b 总在宽轨 上运动，直到两棒达到稳定状态，从开始运动到两棒稳定的过程中，下列说法正确的是（ ） A.a棒加速度的大小始终等于b棒加速度的大小 B.稳定时a棒的速度为1.5v 0 C.电路中产生的焦耳热为 m 3 2 D.通过a棒的某一横截面2的电𝑣𝑣0荷量为 𝑚𝑚𝑣𝑣0 答案 AC 2𝐵𝐵𝑙𝑙 解析： 由F ＝ILB＝ma，可得a＝ ，a、b两棒串联，电流相等，a、b两棒长度分别为l、2l，质量 安 𝐼𝐼𝐿𝐿𝐵𝐵 分别为m、2m，则a、b两棒加速度大𝑚𝑚小相等，故A正确；因为导轨光滑，水平方向导体棒只受到安培 力作用，对a棒，根据动量定理有F t＝ lBt＝mv －mv ，同理，对b棒有－F t＝－B ×2l·t＝2mv －2m·2v ， a a 0 b b 0 稳定时无电流，即 Blv a ＝B·2lv b ，得 v a ＝ 𝐼𝐼 2v b ，联立解得 v a ＝2v 0 ，v b ＝v 0 ，故 B 错 𝐼𝐼 误；由能量守恒定律可 知，动能的损失等于电路中产生的焦耳热，初动能E ＝ m ＋ ×2m×（2v ）2，末动能E ＝ m×（2v ） k0 0 k 0 1 2 1 1 2＋ ×2m× ，则电路中产生的焦耳热为E －E ＝ m2 𝑣𝑣，0 故2C正确；对a棒应用动量定理2有 lB·Δt＝ k0 k 1 2 3 2 mv2－mv ，𝑣𝑣又0 q＝ ·Δt， v ＝2v ，联立解得q＝ ，2故𝑣𝑣0 D错误。 𝐼𝐼 a 0 a 0 𝑚𝑚𝑣𝑣0 𝐼𝐼 𝐵𝐵𝑙𝑙 2. 如图所示，光滑水平导轨置于匀强磁场中，磁场方向竖直向下，磁感应强度大小为B.左侧导轨间距 为L，右侧导轨间距为2L，导轨均足够长.质量为m的导体棒ab和质量为2m的导体棒cd均垂直于导轨 放置，处于静止状态.现瞬间给导体棒 cd一水平向右的初速度 v ，在此后的运动过程中，两棒始终在对 0 应的导轨部分运动，始终与导轨垂直且接触良好.已知导体棒ab的电阻为R，cd的电阻为2R，导轨电阻 不计.下列说法正确的是（ AC ） 学科网（北京）股份有限公司A.导体棒ab和cd组成的系统动量不守恒 B.两棒最终以相同的速度做匀速直线运动 C.导体棒ab最终的速度为 v 0 2 D.从导体棒cd获得初速度到3 二者稳定运动的过程中，系统产生的焦耳热为 m 8 2 答案 AC 9 𝑣𝑣0 解析 导体棒cd获得速度后，回路中产生感应电流，根据左手定则知导体棒cd减速，导体棒ab加速， 当 BLv ＝2BLv 时，回路中磁通量不变，没有感应电流，最终两棒做匀速直线运动，分别对两棒运用 ab cd 动量定理得－2B Lt＝2mv －2mv ，B Lt＝mv ，联立解得v ＝ v ，v ＝ v ，故B错误，C正确；两导 cd 0 ab ab 0 cd 0 2 1 体棒受到的安培力𝐼𝐼 大小不相等，系统受𝐼𝐼 到的合力不为零，动量不3守恒，A3正确；从导体棒 cd 获得初速 度到二者稳定运动的过程中，系统产生的焦耳热为Q＝ ·2m － m － ·2m ，解得Q＝ m ，故D 1 2 1 2 1 2 2 2 错误. 2 𝑣𝑣0 2 𝑣𝑣𝑎𝑎𝑎𝑎 2 𝑣𝑣𝑐𝑐𝑐𝑐 3 𝑣𝑣0 3.[2024山东青岛调研/多选]如图，两平行金属导轨ABC和A'B'C'的间距为0.5m，其中AB、A'B'段光滑， 长度为1.2m、与水平方向的夹角为30°，BC、B'C'段水平.空间中存在方向分别与两导轨平面垂直的磁场， 磁感应强度大小均为2T.现将导体棒b放置于水平导轨某处，导体棒a自最高端AA'由静止释放，当a棒 开始匀速运动时，b棒刚好能保持静止.a棒到达BB'后再经过0.36s恰好不与b棒发生碰撞.已知导体棒a、 b的质量均为 0.1kg，接入电路中的电阻分别为 4Ω和 1Ω，两导体棒与水平导轨的动摩擦因数相同，运 动过程中导体棒始终与导轨接触良好且垂直，导轨电阻不计，重力加速度g＝10m/s2.下列说法正确的是 （ BC ） A.a棒匀速运动时的速度大小为2m/s B.棒与水平导轨间的动摩擦因数为0.5 C.b棒初始位置与BB'相距0.35m D.a棒下滑过程中，系统损失的机械能为0.4J 【答案】BC 解析 a棒匀速运动时，由平衡条件有mg sin 30°＝BIL，又I＝ ，E＝BLv，联立并代入数据解得v ＋ 𝐸𝐸 ＝2.5 m/s，A错误；经分析可知，b棒所受的安培力大小与a棒𝑚𝑚𝑎𝑎的相𝑚𝑚𝑏𝑏等，又a棒匀速运动时，b棒恰能 保持静止，对b棒由平衡条件有BIL＝μmg，解得μ＝0.5，B正确；对a棒从BB'运动到b棒位置的过程 中，根据动量定理有－B Lt－μmgt＝0－mv，又 t＝q＝ ＝ ，联立解得x＝0.35 m，C正确；a ＋ ＋ Δ𝛷𝛷 𝐵𝐵𝐿𝐿𝐵𝐵 棒下滑过程中，系统损失𝐼𝐼的机械能ΔE＝mgs sin 𝐼𝐼 30°－ m𝑚𝑚v 𝑎𝑎2，𝑚𝑚𝑏𝑏代入𝑚𝑚𝑎𝑎数𝑚𝑚据𝑏𝑏 解得ΔE＝0.287 5 J，D错误. 1 2 学科网（北京）股份有限公司4.（2025·河南郑州模拟）如图所示，在方向竖直向上、磁感应强度大小为 B 的匀强磁场中有两条光滑 固定的平行金属导轨MN、PQ，导轨足够长，间距为L，其电阻不计，导轨平面与磁场垂直，ab、cd为 两根垂直于导轨水平放置的金属棒，其接入回路中的电阻均为R，质量均为m，与金属导轨平行的水平 轻质细线一端固定，另一端与 cd棒的中点连接。一开始细线处于伸直状态，ab棒在平行于导轨的拉力 F的作用下从静止开始以恒定加速度a 向右做匀加速直线运动，经时间t 细线被拉断，两根金属棒运动 0 0 时始终与导轨接触良好且与导轨相垂直。 （1）求细线能承受的最大拉力F ； 0 （2）求细线被拉断前的过程中通过金属棒ab中间横截面的电荷量q； （3）若在细线被拉断瞬间撤去拉力F，求从此刻起两根金属棒之间距离增加量的最大值及细线断后回路 中产生的总焦耳热。 答案：（1） （2） （3） m 2 2 2 𝐵𝐵 𝐿𝐿 𝑎𝑎0𝑡𝑡0 𝐵𝐵𝐿𝐿𝑎𝑎0𝑡𝑡0 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎0𝑡𝑡0 1 2 2 解析：（1）ab2棒𝑚𝑚 以加速度a 4向𝑚𝑚右做匀加速𝐵𝐵运2 𝐿𝐿动2 ，4当细𝑎𝑎0线𝑡𝑡被0 拉断时，ab棒运动的速度v＝a t 0 0 0 回路中的感应电动势E＝BLv 回路中的感应电流为I＝ 𝐸𝐸 cd棒受到的安培力为F ＝2𝑚𝑚BIL＝F A 0 联立解得最大拉力F ＝ 。 0 2 2 𝐵𝐵 𝐿𝐿 𝑎𝑎0𝑡𝑡0 （2）在Δt时间内平均感应2𝑚𝑚电动势 ＝ Δ𝛷𝛷 回路中的平均电流为 ＝ 𝐸𝐸 Δ𝑡𝑡 𝐸𝐸 细线被拉断前的过程中𝐼𝐼 通2𝑚𝑚过ab棒中间横截面的电荷量为q＝ ·Δt＝ Δ𝛷𝛷 ab棒在t 时间内的位移x ＝ a 𝐼𝐼 2𝑚𝑚 0 0 0 1 2 t 时间内回路中磁通量变化量2Δ𝑡𝑡Φ0＝BLx 0 0 联立解得q＝ 。 2 𝐵𝐵𝐿𝐿𝑎𝑎0𝑡𝑡0 （3）细线被拉断4𝑚𝑚瞬间撤去拉力F后，ab棒做减速运动，cd棒做加速运动，两棒之间的距离增大，设经 过t时间两棒达到相同速度v'而稳定运动时，两棒之间的距离增加量达到最大值Δx，两棒所受安培力等 大反向，水平方向动量守恒，由动量守恒定律得mv＝2mv' 对于ab棒，由动量定理得－BL t＝mv'－mv ＝ 𝐼𝐼1 𝐸𝐸 𝐼𝐼1＝2𝑚𝑚 𝐵𝐵𝐿𝐿Δ𝐵𝐵 𝐸𝐸 𝑡𝑡 学科网（北京）股份有限公司联立解得Δx＝ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎0𝑡𝑡0 由能量守恒定律𝐵𝐵得2 𝐿𝐿细2 线断后回路中产生的总焦耳热 Q ＝ mv2－ mv'2×2＝ m 。 总 1 1 1 2 2 2 2 4 𝑎𝑎0 𝑡𝑡0 1 5 （2025 学年湖北省百师联盟高三下二轮复习联考（二）） 如图所示，半径为 r、间距为 2L 的 光滑 4 圆弧导轨与水平光滑导轨在M、N处相切且平滑连接，水平导轨由两个足够长的宽窄导轨组成，宽导轨 的间距为2L，窄导轨的宽度为L，虚线MN 右侧存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两根 粗细相同、材质相同的均匀金属棒a、b分别放在宽窄导轨上，长度与导轨宽度相同，a棒的质量为m， 1 电阻为R。a棒从 圆弧导轨顶端由静止沿圆弧导轨滑下，到a、b棒运动稳定的整个过程中，两棒始终 4 与导轨接触良好且垂直于导轨，不计导轨的电阻，重力加速度为g。在a、b棒整个运动过程中，下列说 法正确的是（ ） A. a棒克服安培力做的功大于安培力对b棒做的功 8B2L2 2gr B. b棒的最大加速度大小为 3mR 2 C. b棒上产生的焦耳热为 mgr 3 m 2gr D. 流过b棒的电荷量为 3BL 【答案】ABD 【解析】a棒克服安培力做功，使得a棒的动能转化为电能，安培力对b棒做正功，使得b棒的动能增 加，同时电流流过整个回路还要转化为焦耳热，故A正确； B．由于金属棒 a、b 粗细相同、材质相同，则 a、b 棒质量之比为2:1，电阻之比为2:1，b 棒加速度最 E 1 I = 大时，回路中感应电流最大，对应a棒刚进入磁场时，根据mgr = mv2，E=2BLv ， 1 2 0 0 R+ R 2 1 对b棒，由牛顿第二定律得BIL= ma 2 学科网（北京）股份有限公司8B2L2 2gr 解得a = 3mR 故B正确； C．当a、b棒运动稳定后，回路中没有感应电流，设此时a棒的速度为v ，b棒的速度为v ，则2BLv = BLv 1 2 1 2 即2v =v 1 2 对a棒，根据动量定理有−2BILt =mv −mv 1 0 1 对b棒，根据动量定理有BILt = mv 2 2 1 2 解得v = v ，v = v 1 3 0 2 3 0 1 1 1 1 1 2 2 回路中产生的总焦耳热Q= mv2 − m( v )2 − ⋅ m( v )2 = mgr 2 0 2 3 0 2 2 3 0 3 2 由于a、b棒电阻之比为2:1，所以b棒产生的焦耳热为 mgr，故C错误； 9 1 2 D．对b，根据动量定理得BILt = BqL= m⋅ v 2 3 0 m 2gr 电荷量q = 3BL 故D正确。 6. ( 2025年5月山西青桐鸣大联考)如图所示，两足够长且间距为L的光滑平行金属导轨固定在水平面上， 导轨处在垂直于导轨平面向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B．质量均为m的金属棒a、b 1 垂直放在导轨上，给金属棒a水平向右、大小为v 的初速度，同时给金属棒b水平向左、大小为 v 的 0 2 0 初速度，两金属棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，两金属棒接入电路的有效电阻均为R，导轨 的电阻不计，则下列说法正确的是（ ） 3B2L2v A. 开始运动的一瞬间，金属棒a的加速度大小为 0 2mR 学科网（北京）股份有限公司1 B. 当金属棒b的速度为零时，金属棒a的速度大小为 v 2 0 mv C. 最终通过金属棒b的电荷量为 0 4BL 9 D. 最终金属棒a中产生的焦耳热为 mv 2 32 0 【答案】BD 3 BLv 【解析】．开始运动的一瞬间，电路中的电流 2 0 3BLv I = = 0 2R 4R BIL 3B2L2v 此时金属棒a的加速度大小为a= = 0 ，故A错误； m 4mR 由于 a、b 组成的系统合外力总是为零，因此系统动量守恒，设 b 的速度为零时 a 的速度大小为v ，则 1 1 mv −m× v =mv 0 2 0 1 1 解得v = v ，故B正确： 1 2 0 1 1 设最终a、b的共同速度为v，则mv −m× v =2mv，解得v= v 。 0 2 0 4 0 1 1  3mv 对金属棒b研究，根据动量定理可得BqL=m v + v ，解得q= 0 ，故C错误； 2 0 4 0  4BL 2 1 1 1  1 设金属棒a中产生的焦耳热为Q，则2Q= mv2 + m v  − ×2mv2 2 0 2 2 0  2 9 解得Q= mv2，故D正确。 32 0 7. （山西吕梁市2025年高三年级第三次模拟考试）如图所示，足够长的光滑水平轨道左侧bb～cc 部 1 2 1 2 分的轨道间距为3L，右侧cc ～d d 部分的轨道间距为L，两部分轨道通过导线连通。整个区域存在竖 1 2 1 2 直向下的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小B =0.1T。质量m =0.1kg的金属棒P和质量 M =0.2kg的金属棒Q垂直于导轨分别静止放置在左、右两侧轨道上。现给金属棒P一大小为 v =2m/s、方向沿轨道向右的初速度，已知两金属棒接入电路的有效电阻均为R=0.2Ω，轨道电阻 0 不计，L=0.2m，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，P棒总在宽轨上运动， Q棒总在窄轨上运动。下列说法正确的是（ ） 学科网（北京）股份有限公司A. 整个过程金属棒P、Q动量守恒 2 B. 金属棒P匀速运动的速度大小为 m/s 19 60 C. 整个过程通过金属棒Q某横截面的电荷量为 C 19 120 D. 整个运动过程金属棒P、Q扫过的面积之差为 m2 19 【答案】BC 【解析】．因为P、Q受到的安培力大小不相等，合力不为零，所以整个过程金属棒P、Q动量不守恒， A错误； B．选取水平向右为正方向，对P、Q分别应用动量定理，对P有−F P安 ·t =mv P −mv 0 对Q有F ·t =Mv Q安 Q 其中F =3F P安 Q安 整理得mv −mv =3Mv 0 P Q 两棒最后匀速时，电路中无电流，此时回路总电动势为零，必有3BLv = BLv P Q 即v =3v Q P 2 联立解得v = m/s，B正确； P 19 在Q加速过程中根据动量定理有∑BiLΔt =Mv −0 Q 又电荷量q=∑iΔt 60 解得q= C，C正确； 19 ∆Φ B∆S 根据q= = 2R 2R 240 代入数据解得ΔS = m2，D错误。 19 8. （山东省临沂2025年普通高中学业水平等级测评试题三模）如图所示的光滑金属轨道由左、右两段 足够长的轨道拼接而成，整个轨道固定在水平面内，左侧两平行导轨间距为2L，在上面搁置导体棒2 学科网（北京）股份有限公司（长度为2L，质量为2m，电阻为2R），右侧两平行导轨间距为L，在上面搁置导体棒1（长度为L， 质量为m，电阻为R），导轨电阻不计，整个轨道所在的空间中有垂直于轨道平面的匀强磁场。现在给 棒1一个初速度v ，它通过安培力带动棒2向右运动，运动过程中棒1、棒2均与导轨良好接触。下列 0 说法正确的是（ ） A. 两棒一直做减速运动，最终速度为0 2 1 B. 棒1和棒2的最终速度分别为 v 和 v 3 0 3 0 C. 两棒在运动过程中的同一时刻加速度大小不相等 1 D. 整个过程中两棒上产生的焦耳热为 mv2 6 0 【答案】BD 【解析】．根据题意，安培力会带动棒 2 向右加速运动，安培力使得棒 1 向右减速，最终两棒均做匀速 直线运动，故A错误； 当两棒做匀速直线运动时有BLv = B2Lv ，此时回路中无电流，此即为两棒最终稳定状态，此时v =2v ； 1 2 1 2 对棒1应用动量定理，得−BIL∆t =mv −mv 1 0 对棒2应用动量定理，得BI2L∆t =2mv 2 2v v 解得v = 0 ，v = 0 ，故B正确； 1 3 2 3 对棒1，由牛顿第二定律有BI L=ma 1 1 对棒2，由牛顿第二定律有BI 2L=2ma 2 2 其中，因为两棒串联，所以每时每刻I =I ,所以解得a =a ，故C错误； 1 2 1 2 1 1 1  由能量关系有Q= mv2 −  mv2 + 2mv2  2 0 2 1 2 2  1 解得Q= mv2，故D正确。 6 0 学科网（北京）股份有限公司9. （宁夏白银市一中、八中、银光中学2025年5月高三适应性）如图所示，光滑平行水平导轨ab、cd 之间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，导轨间距为L，金属棒A、B置于导轨上，与导轨垂 直且接触良好。现给金属棒B一个瞬时冲量使其获得沿导轨向右的初速度v，已知金属棒A、B的电阻 均为R、质量均为m，初始时A、B之间的距离为s，导轨电阻不计且足够长，则下列说法中正确的是（ ） v A. 金属棒A、B的最终速度大小为 2 mv2 B. 金属棒A上产生的焦耳热为 4 mv C. 流过金属棒A上的电荷量为 BL mRv D. 最终金属棒A、B之间距离为s+ B2L2 【答案】AD 【解析】．规定向右为正方向，由动量守恒有mv=2mv 共 v 解得A、B的最终速度大小为v = ，故A正确； 共 2 1 1 由能量守恒可知，整个回路产生热量Q= mv2 − ×2mv2 共 2 2 1 联立解得Q= mv2 4 Q 1 则金属棒A上产生的焦耳热为Q = = mv2，故B错误； A 2 8 对A，动量定理有BLIt =mv 共 mv 联立解得It = =q，故C错误； 2BL ∆Φ 根据 E t ∆Φ BL∆x q= It = t = t = = 2R 2R 2R 2R Rmv 联立解得∆x= B2L2 Rmv 则最终金属棒A、B之间距离为x=s+∆x=s+ ，故D正确。 B2L2 学科网（北京）股份有限公司10. （2025年5月山西三模）如图所示，两根足够长的光滑金属导轨平行，间距为L固定在同一水平面 上。虚线 PQ 为与导轨垂直的边界，其左侧区域有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度的大小为 B。两根 质量分别为2m和m、电阻分别为R 和2R的金属棒a和b垂直导轨放置。某时刻，给a以初速度v 使 0 其沿导轨开始向b运动，当回路的电流为零时，b正好到达PQ处。最终，a恰能到达PQ处。已知a、b 始终没有发生碰撞，且与导轨垂直并保持接触良好，不计导轨电阻，求： （1）b开始运动时加速度的大小。 （2）b在磁场内运动过程中通过回路截面的电荷量及a、b的相对位移。 （3）整个过程中a产生的热量。 B2L2v 【答案】（1） 0 3mR 2mv 2mRv （2） 0 ， 0 3BL B2L2 7 （3） mv2 27 0 【解析】（1）设b开始运动时回路电动势的大小为E，电流为I，b加速度的大小为a，则由E = BLv ， 0 E I = ，BIL=ma R+2R B2L2v 联立解得a= 0 3mR （2）回路电流为零时a、b速度大小恰好相等，设为v，由动量守恒得2mv =(2m+m)v 0 设到达PQ的过程中，b运动的时间为t，回路电流的平均值为I ，通过截面的电荷量为q ，则由动量 定理BILt =mv 又q=It 2mv 解得q= 0 3BL 学科网（北京）股份有限公司BL∆x b在磁场中运动过程中，设a、b间缩小的距离为∆x，回路的平均感应电动势为E，则E = t E 又I = R+2R 2mRv 解得∆x= 0 B2L2 （3）设整个过程中回路产生的总热量为Q ，a产生的热量为Q ，则由能量守恒得 总 a 1 1 Q = (2m)v2 − mv2 总 2 0 2 R 又Q = Q a R+2R 总 7 解得Q = mv2 a 27 0 11. （重庆高2025届学业质量调研第三次抽测）如图，平行光滑金属导轨固定在绝缘水平桌面上，右端 连接光滑倾斜轨道，导轨间距为L。导轨左侧接有电阻，aa'b'b与cc'd'd区域间存在竖直向上与竖直 向下的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，aa'与bb'、cc'与dd'的距离均为2L。M导体棒质量为3m、 N 绝缘棒质量为2m，两棒垂直导轨放置。现N 棒静止于bb'与cc'之间某位置，M棒在aa'边界静止， B4L5 某时刻 M 棒受到水平向右的恒力F 作用开始运动。已知F = ，当运动到bb′边界时撤去F ， 12mR2 此时M棒已达到匀速运动。已知整个过程中两棒与导轨始终垂直且接触良好，导轨左侧电阻和M棒接 入导轨的电阻均为R，其他导体电阻不计，所有碰撞均为弹性碰撞，首次碰撞之后 N 与 M 每次碰撞前 M均已静止，且碰撞时间极短，M、N始终与导轨垂直且接触良好，求： （1）撤去F 时M棒的速度大小v以及M棒穿过aa'b'b区域过程中系统产生的热量Q； （2）从M棒开始进入cc'd'd区域到M棒第一次静止，通过电阻R的电荷量q； （3）自发生第一次碰撞后到最终两棒都静止，导体棒M在磁场中运动的总位移大小x。 B2L3 B2L6 【答案】（1）v= ，Q= 6mR 8mR2 学科网（北京）股份有限公司BL2 （2）q= 10R （3）x= L 【解析】（1）由于撤去F 时M棒已经达到匀速运动，则有F = F = BIL A E 又E = BLv，I = 2R B2L2 则F = v 2R 2FR 整理得v= B2L2 B4L5 其中F = 12mR2 B2L3 解得v= 6mR 1 对M棒，由能量守恒有F×2L=Q+ ×3mv2 2 B2L6 解得Q= 8mR2 （2）两棒发生完全弹性碰撞，根据动量守恒及机械能守恒可得 1 1 1 3mv =3mv +2mv，×3mv2 = ×3mv2 + ×2mv2 0 1 2 2 2 1 2 2 1 6 解得v = v，v = v 1 5 0 2 5 0 M棒进入cc′d′d区域磁场中到停下，由动量定理得−BI L∆t =−BLq =0−3mv 2 1 1 BL2 解得通过电阻R的电荷量q= 10R ∆Φ BLx （3）M棒进入cc′d′d区域磁场运动x 后停下，则q = = 右 右 2R 2R 解得x =0.2L 右 绝缘棒N第二次与导体棒M碰前速度大小为v ，碰后速度为v ，方向水平向右，导体棒M的速度为 2 N2 学科网（北京）股份有限公司1 1 1 v ，由弹性碰撞可得2mv =2mv +3mv ，×2mv2 = 2mv2 + mv2 M2 2 N2 M2 2 2 2 N2 2 M2 1 4 解得v =− v，v = v N2 5 2 M2 5 2 B2L2 B2L2x 对导体棒M，由动量定理有− v ∆t =− 1 =0−3mv 2R M2 2 2R M2 24 解得x = L 1 25 同理可得绝缘棒N第三次与导体棒M碰前速度大小为v ，碰后的速度为v ，方向水平向右，导体棒 N2 N3 1 1 1 M的速度为v ，由弹性碰撞可得2mv =2mv +3mv ，×2mv2 = 2mv2 + mv2 M3 N2 N3 M3 2 N2 2 N3 2 M2 1 4 解得v =− v ，v = v N3 5 N2 M3 5 N2 B2L2 B2L2x 对导体棒M，由动量定理有− v ∆t =− 2 =0−3mv 2R M3 3 2R M3 24 1 解得x = L= x 2 125 5 1 n−1 1 依次类推x =   x n 5 1  n 1 1−    解得 x =  5  x = 6 L 左 1 1 5 1− 5 所以导体棒在磁场中的运动位移为x= x −x = L 左 右 12 （湖南长郡中学2025年高考物理科目预测试卷）如图所示，光滑金属导轨固定在绝缘水平桌面上， 1 中间部分水平且左端与 圆弧轨道完美连接（且圆弧左端水平连接一电阻R）、右端连接有光滑倾斜轨 4 道，水平轨道和圆弧部分平滑连接，导轨间的距离为L。AB区域与CD区域间存在竖直向下与竖直向上 的匀强磁场，磁感应强度的大小均为B，AB的距离、CD的距离均为L。电阻为R导体棒P的质量为2m、 绝缘棒Q的质量为m，两棒垂直导轨放置，绝缘棒Q静止于B与C之间的某位置，现将P棒由左侧圆 B2L3 弧的E处由静止释放，当P棒运动到B处时的速度为v= 、P进入水平磁场后P产生的热量为Q 。 1 4mR 学科网（北京）股份有限公司已知整个过程中两棒与导轨始终垂直且接触良好，其他导体电阻不计，所有碰撞均为弹性碰撞，首次碰 撞之后P与Q每次碰撞前P均已静止，且碰撞时间极短，P、Q始终与导轨垂直且接触良好，求： (1)左侧圆弧轨道的半径r； (2)从P棒开始运动到P棒第一次静止，整个过程中通过P的电荷量q； (3)自发生第一次碰撞后到最终两棒都静止，导体棒P在磁场中运动的总位移大小x。 B2L3 BL2 【答案】(1)v= (2)q= (3)x=L 4mR 3R 【解析】（1）P进入磁场后与左侧电阻R形成串联回路， 即：Q =Q =Q ， R P 1 1 整个过程中能量守恒可得：mgr =2Q + mv2 1 2 B2L3 2Q 解得：r = + 1 8mgR mg （2）P棒在AB区域在磁场通过R的电荷量q =IΔt 1 1 BL2 BL2 平均电流I = ，联立可得 q = 2RΔt 1 2R 1 两棒发生完全弹性碰撞，根据动量守恒定律及机械能守恒定律可得2mv=2mv +mv ， 1 2 1 1 1 2mv2= 2mv 2+ mv 2 2 2 1 2 2 B2L3 B2L3 解得v = ，v = 1 12mR 2 3mR P棒进入CD区域磁场中停下由动量定理得∑−BI LΔt =0−2mv 2 1 学科网（北京）股份有限公司BL2 即−Bq L=0−2mv ，可得q = 2 1 2 6R BL2 所以这个过程通过P的电荷量q=q −q = 1 2 3R BLx BLx （3）P棒进入CD区域磁场x 后停下下来，由q =I Δt = 右 Δt = 右 右 2 2 2RΔt 2R L 可得x = 右 3 绝缘棒Q第二次与导体棒P碰前速度大小为v =v ，方向水平向左，碰后速度为v ，导体棒的速度为 Q1 2 Q2 v ，弹性碰撞过程中根据动量守恒定律和能量守恒定律有mv =2mv +mv ， P2 Q1 P2 Q2 1 1 1 mv2 = 2mv2 + mv2 2 Q1 2 P2 2 Q2 2B2L3 B2L3 解得v = ，v =− P2 9mR Q2 9mR 对P棒分析，根据动量定理得∑−BI LΔt =0−2mv 3 P2 B2L2 即 x =2mv 2R 1 P2 8L 解得x = 1 9 同理可得当绝缘棒Q第三次与导体棒P碰前速度大小为v =v Q3 Q2 1 1 1 根据mv =2mv +mv ， mv2 = 2mv2 + mv2 Q2 P3 Q3 2 Q2 2 P3 2 Q3 对P棒分析动量定理得∑−BI LΔt =0−2mv 4 P3 B2L2 即 x =2mv 2R 2 P3 8L 可得x = 2 27 1 根据数量关系有x = x 2 3 1 n−1 1 以此类推x =  x n 3 1 所以向左运动的位移为x =x +x +x 左 1 2 n  1 n 根据数学归纳法有 x = x 1    1− 3      当n趋于无穷大时x 左 = 4L 左 1 3 1− 3 学科网（北京）股份有限公司13. 如图所示，MN、PQ为水平放置的足够长平行光滑导轨，导轨间距L＝1m，导轨上放置两根垂直导 轨的导体棒ab和cd，并与导轨接触良好，每根导体棒的质量均为m＝2kg，接入导轨间的部分电阻R＝ 2Ω，整个装置处于垂直于导轨平面向下的匀强磁场中，磁感应强度大小 B＝2T，现对导体棒 ab施加向 右的 F＝10N 的水平恒力，经过一段时间两导体棒达到恒定的速度差，若某时刻导体棒 ab 的速度为 10m/s，且两导体棒距离d＝2m，此时撤去外力，最终两导体棒达到稳定状态，导轨电阻不计，试求： （1）两导体棒达到恒定的速度差时，其加速度大小； （2）撤去外力后回路中产生的热量； （3）最终达到稳定状态时两导体棒间的距离. 答案 （1）2.5m/s2 （2）12.5J （3）7m 解析 （1）对两导体棒的运动状态进行分析，导体棒ab做加速度减小、速度增大的变加速运动，导体 棒cd做加速度增大、速度增大的变加速运动，最终两导体棒达到相同加速度，有恒定的速度差. 由牛顿第二定律可知，对导体棒ab有F－F ＝ma 安 对导体棒cd有F ＝ma 安 联立解得a＝ ＝2.5m/s2. 𝐹𝐹 （2）当导体棒2𝑚𝑚ab的速度v ＝10m/s时，设此时导体棒cd的速度为v ， 1 2 对导体棒cd由牛顿第二定律有 （ － ） B L＝ma 𝐵𝐵𝐿𝐿 𝑣𝑣1 𝑣𝑣2 得v ＝2𝑚𝑚5m/s 2 撤去外力后，两导体棒在安培力作用下最终达到共同速度v， 由动量守恒定律可知mv ＋mv ＝2mv 1 2 得v＝7.5m/s 此过程回路产生的热量Q＝ m ＋ m － ×2mv2 1 2 1 2 1 得Q＝12.5J. 2 𝑣𝑣1 2 𝑣𝑣2 2 （3）设达到稳定状态时两导体棒间的距离为x， 对导体棒ab，由动量定理有－B Lt＝m（v－v ） 1 （ －） 此过程中通过回路的电荷量q＝𝐼𝐼t＝ 𝐵𝐵𝐿𝐿 𝐵𝐵 𝑐𝑐 联立解得x＝7m. 𝐼𝐼 2𝑚𝑚 学科网（北京）股份有限公司