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易错点 11 球
球是最常见的一种几何体,在近几年高考题中与球有关的问题频繁出现。在此类问题中,
既可以考查球的表面积、体积及距离等基本量的计算,又可以考查球与多面体的相切接,同时
也能很好地考查同学们的画图能力、空间想象能力、推理论证能力。考查形式多以选择题
和填空题出现。
易错点1：公式记忆错误更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺
易错点2：多面体与几何体的结构特征不清楚导致计算错误
易错点3：简单的组合体画不出适当的截面图致误
题组一：以三视图为背景
1．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆
中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是 ，则它的表面积是 ( )
A. B. C. D.
2．(2015高考数学新课标1理科)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 )组成一个
几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为
，则 =
A．1 B．2 C．4 D．8
题组二，以棱（圆）柱为载体
3.(2010)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 ，顶点都在一个球面上，则该球的
表面积为________.
4．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的
同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 ( )
3π π π
A． B． 4 C．2 D．4
题组三：以棱（圆）锥为载体
5．(2021年高考全国甲卷理科)已如A．B．C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥 的体积为 ( )
A． B． C． D．
6.（2021天津卷）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体
积为 ，两个圆锥的高之比为 ，则这两个圆锥的体积之和为
A. B. C. D.
7.（2020年全国1卷）已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，
若⊙ 的面积为 ， ，则球 的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知△ABC是面积为 等边三角形，且其顶点都
的
在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为( )
A． B． C．1 D．
9．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半
径最大的球的体积为_________．
题组四：与最值相关
10．(2015高考数学新课标2理科)已知 是球 的球面上两点， , 为该
球面上的动点，若三棱锥 体积的最大值为36，则球 的表面积为 ( )
A． B． C． D．
11．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)设 是同一个半径为 的球的球面上四点，
为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为 ( )
A． B． C． D．
12．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)在封闭的直三棱柱 内有一个体积为 的
球,若 , , , ,则 的最大值是 ( )A． B． C． D．
1．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何
模型.如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方
体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图2）.已知这
个牟合方盖与正方体内切球的体釈之比为 ，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积
为（ ）更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺
A． B． C． D．
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A．200π B．100π C． D．50
3．已知 是以 为斜边的直角三角形， 为平面 外一点，且平面 平面
， ， ， ，则三棱锥 外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．4．如图所示，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多
面体的所有顶点都在球 的表面上，则球 的表面积是（ ）
A． B． C． D．
5．已知边长为2的等边三角形 ， 为 的中点，以 为折痕进行折叠，使折后的
，则过 ， ， ， 四点的球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．在四边型 中（如图1所示）， ， ， ，将
四边形 沿对角线 折成四面体 （如图2所示），使得 ，则四面
体 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上， ， 是边长为
的正三角形，三棱锥 的体积为 ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．在体积为 的直三棱柱 中， 为等边三角形，且 的外接圆半
径为 ，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．9．在三棱锥 中， ， ，若该三棱锥的体积为 ，则其外接球表面
积的最小值为（ ）更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺
A． B． C． D．
10．已知三棱锥 的顶点 在底面的射影 为 的垂心，若 的面积为
的面积为 的面积为 ，满足 ，当
的面积之和的最大值为8时，则三棱锥 外接球的体积为（
）
A． B． C． D．
