易错点9平面向量答案-备战2023年高考数学易错题_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习易错题（含解析）

易错点 09 平面向量 平面向量是高中数学的重要内容，是解决实际问题强有力的工具，是近年来高考的热 点之一．对向量问题的考查，往往与不等式、解析几何、数列、平面几何等知识结合起来． 本文通过对近十年全国新课标卷试题进行分析、汇总，希望同学们能够对平面向量的考向、 考法、考试题型、难易程度有更加清晰的认识，避免走弯路，错路，以提高复习的效率． 易错点1：忽略零向量； ⃗a⋅ ⃗b 易错点2：利用向量的数量积计算时，要认真区别向量 与实数a·b； 易错点3：利用向量的数量积计算时，判断向量夹角的大小时要牢记“起点相同”； (1)求夹角的大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得 (夹 角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题． （2）确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说 明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角. ⃗a⋅ ⃗b | ⃗b| cosθ ⃗b ⃗a 易错点4：向量数量积 的几何意义中 的叫做 在 方向上的正射影的数量，它 是一个数量，它可正，可负，也可以为0，要注意区分. ⃗a⋅ ⃗b ⃗a ⃗b 易错点5：向量数量积 >0并不等价于向量 与 的夹角为锐角； 易错点6：三点共线问题 O⃗A=λO⃗B+μO⃗C λ+μ=1 1.若A、B、C三点共线，且 ,则 2. 中 确定方法 （1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定 （2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程 ，可考虑两边 对同一向量作数量积运算，从而得到关于 的方程，再进行求解 （3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到 关于 的方程，再进行求解 3.(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a=λb，则a与b共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使 ，则A，B，C三点共线． 【注】证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点. 易错点7：向量与三角形的综合 (1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、 相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量 表示出来． (2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、 提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用． (3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的 三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果. 题组1：线性运算 1（2018年新课标1卷）在ΔABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=( ) A．AB - AC B． AB - AC C．AB + AC D． AB + AC 【答案】A 【解析】 故选A 2．(2015高考数学新课标1理科)设D为 ABC所在平面内一点 ，则 ( )A． B． C． D． 【答案】A 解 析 ： 由 题 知 = ，故选A． D,E,F ΔABC BC,CA,AB 3.（2014新课标1）设 分别为 的三边 的中点， ⃗EB+ ⃗FC= 则 1 1 ⃗AD ⃗BC A． ⃗AD B． 2 C． 2 D． ⃗BC 【答案】A 故选A 【解析】 ,   4.(2013新课标2理科)已知正方形 ABCD 的边长为2 , E为 CD 的中点,则AEBD ． 【答案】2   1 AE  AD DC      【解析】在正方形中， 2 , BD BA AD ADDC ,    1   2 12 1 AEBD(AD DC)(ADDC) AD  DC 22  22 2 所以 2 2 2 题组2：共线定理的应用 5．（2021 新高考 1 卷）在正三棱柱 中， ，点 满足 ，其中 ， ，则 A．当 时， 的周长为定值 B．当 时，三棱锥 的体积为定值 C．当 时，有且仅有一个点 ，使得 D．当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面 【答案】BD 【解析】由点 满足 ，可知点 在正方形 内．B C 1 1 P B C A选项，当 时，可知点 在线段 （包括端点）上运动． C A 1 1 B 1 P A C B 中， ， ， ，因此周长 不 为定值，所以选项A错误； B选项，当 时，可知点 在线段 （包括端点）上运动． C A 1 1 P B 1 A C B 由图可知，线段 //平面 ，即点 到平面 的距离处处相等， 的面积是 定值，所以三棱锥 的体积为定值，所以选项B正确； C选项，当 时，分别取线段 ， 中点为 ， ，可知点 在线段 （包括 端点）上运动．很显然若点 与 或 重合时，均满足题意，所以选项C错误．C 1 A 1 D 1 B 1 P A C D B D选项，当 时，分别取线段 ， 中点为 ， ，可知点 在线段 （包括端点）上运动．此时，有且只有点 与 点重合时，满足题意. 所以选项D正确． C C 1 1 A A 1 1 B B 1 N 1 N(P) P M M A C A C B B 因此，答案为BD. 6．（2020年江苏卷）在△ABC中， D在边BC上，延长AD 到P，使得AP＝9，若 （m为常数），则CD的长度是________． 【答案】0或 . 【解析】∵ 三点共线，∴可设 ，∵ ， ∴ ，即 ， 若 且 ，则 三点共线，∴ ，即 ，∵ ，∴ ，∵ , , ，∴ ， 设 ， ，则 ， . ∴根据余弦定理可得 ， ， ∵ ，∴ ，解得 ，∴ 的长度为 . 当 时， ， 重合，此时 的长度为 ， 当 时， ， 重合，此时 ，不合题意，舍去.故答案为：0或 . 7．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)在矩形 ABCD 中，AB1，AD2，动点P在以点    C 为圆心且与BD相切的圆上，若 APABAD ，则  的最大值为 ( ) A． 3 B． 2 2 C． 5 D．2 【答案】A 【解析】法一：以A为坐标原点，AB所在直线为 x 轴，AD所在直线为 y 轴建立平面直 角坐标系，如下图 A0,0 B1,0 D0,2 C1,2 则 ， ， ， ，连结BD，过点 C 作 CE  BD 于点E RtBDC BD AB2  AD2  5 在 中，有 1 1 1 1 2 5 S  BCCD BDCE 12  5CECE  △ACD 2 2 即2 2 5 4 x12 y22  所以圆 C 的方程为 5  2 5 2 5  P1 cos,2 sin   5 5   可设 2 5 2 5  1 cos,2 sin,2      APABAD  5 5  由 可得  2 5 1 cos  5   5 2 5 5  1 sin 2 cos sin 2sin 所以  5 ，所以 5 5 2 5 5 sin cos 其中 5 ， 5  3 所以 的最大值为 ，故选A． 法 二 ： 通 过 点 C 作 CE  BD 于 E点 ， 由 AB1， AD2， 可 求 得 BD 12 22  5 1 1 2 5 S  CDCB  BDCE CE  又由 △ACD 2 2 ，可求得 5 由等和线定理可知，当点P的切线（即FH ）与DB平行时，  取得最大值 2 5 又点A到BD的距离与点 C 到直线BD的距离相等，均为 5 2 5 2 5 2 5 6 5 2r  2  而此时点A到直线FH 的距离为 5 5 5 5 6 5 AF 5  3 AB 2 5 5  3 所以 ，所以 的最大值为 ，故选A． 另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当P点在如图所示位置时，  最    AG  xAB yAD  x y 大，且此时若 ，则有 ，由三角形全等可得 AD DF  FG 2 x3,y 0 ，知 ，所以选A．法三：如图，建立平面直角坐标系 A0,1,B0,0,D2,1,Px,y 设 2 4 x22  y2  根据等面积公式可得圆的半径是 5 ，即圆的方程是 5  A  P  x,y1,  A  B  0,1,  A  D  2,0  A  P    A  B    A  D  ，若满足 x2 x x x   ,1 y   y1 z   y1 即 y1 ， 2 ，所以 2 ，设 2 ，即 x 4  y1z 0 Px,y x22  y2  2 ，点 在圆 5上，所以圆心到直线的距离 2z 2  1 5 1 d r ，即 4 ，解得 1 z 3 ，所以z的最大值是 3 ，即  的最大值 3 是 ，故选A． 法四：由题意，画出右图． 设BD与 C 切于点E，连接 CE ．以A为原点，AD为 x 轴正半轴，AB为 y 轴正 半轴建立直角坐标系 则 C 点坐标为 (2,1) ．∵ |CD|1 ， |BC|2 ．∴ BD 12 22  5 ． BD切  C 于点E． ∴ CE ⊥ BD． ∴ CE 是 Rt△BCD 中 斜 边 BD上 的 高 ．1 2 |BC||CD| 2S 2 2 2 |EC| △BCD    5 |BD| |BD| 5 5 2 4 即 的半径为 5 ．∵ 在 上．∴ 点的轨迹方程为(x2)2 (y1)2  ．  C 5 P  C P 5  2 x 2 5cos   0 5  2  y 1 5sin 设P点坐标 (x 0 ,y 0 ) ，可以设出P点坐标满足的参数方程如下：  0 5    AP(x ,y ) AB(0,1) AD(2,0) 而 0 0 ， ， ．    ∵APABAD(0,1)(2,0)(2,) 1 5 2 ∴ x 1 cos， y 1 5sin． 2 0 5 0 5 两式相加得： 2 5 1 5sin1 cos 5 5 2 5 5 2 ( )2 ( )2 sin() 5 5 2sin()≤3 5 2 5 (其中sin ，cos ) 5 5 π 当且仅当 2kπ， 时， 取得最大值3． 2 kZ  题组3:共线向量的坐标运算 8．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知向量 ， ， ，若 ，则 ． 【答案】 【解析】依题意可得 ，又 ， 所以 ，解得 ． 9．(2015高考数学新课标2理科)设向量 ， 不平行，向量 与 平行，则实 数 _________．【答案】 【解析】因为向量 与 平行，所以 ，则 所以 ． 题组4：垂直向量 10．(2021年高考全国乙卷理科)已知向量 ，若 ，则 __________． 【答案】 【解析】因为 ，所以由 可得， ，解得 ． 故答案为： ． 11．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知单位向量 , 的夹角为45°， 与 垂直， 则k=__________． 【答案】 【解析】由题意可得： ， 由向量垂直的充分必要条件可得： ， 即： ，解得： ． 故答案为： ． 题组5：向量的数量积运算 11．（2021上海卷）如图，正方形 的边长为3，求 ________．D C A B 【答案】9 【解析】由题意得: . 12. （2021 新高考 2 卷）已知向量 满足 ， ，则 ________. 【答案】 【解析】因为 ，平方可得 ， 所以 . 题组6：求夹角 13．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量a，b满足 ， ， ，则 ( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， ， ， ． ， 因此， ． 故选：D． 14．(2019 年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为 ( ) ． B． C． D． A 【答案】B【 解 析 】 ： ， 所 以 ，所以 ． 15．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知 ， 为单位向量，且 ，若 ， 则 ___________． 【答案】 ． 【解析】因为 ， ，所以 ， ，所以 ，所以 ． 16．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量 , ,则 ( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意,得 ,所以 , 故选A. 题组6：求向量的模 17．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设 为单位向量，且 ，则 ______________． 【答案】 【解析】因为 为单位向量，所以 所以 解得： 所以 故答案为：    a 2 b 1 a b 60 18．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知向量 , 的夹角为 , , ,则   a2b __________． 2 3 【答案】       |a2b|2|a|2 4ab4|b|24421cos60412 【解析】法一:   |a2b|2 3 所以 ．   法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出 a2b 的模长是以2为边长的菱形对角线 2 3 的长度,则为 ． 法三:坐标法  1 3 a  2,0 b  2 , 2   a  2b  2,0  1, 3    3, 3    依题意,可设 , ,所以    2 a2b  32  3 2 3 所以 ． 题组8：求最值 19.（2020•新全国1山东）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到 在 方向上的投影的取值范围是 ， 结合向量数量积的定义式，可知 等于 的模与 在 方向上的投影的乘积， 所以 的取值范围是 ，故选：A. 20.（2017新课标2卷）已知 是边长为2的等边三角形， 为平面 内一点， 则 的最小是_____. 【答案】【解析】 以BC为x轴，以BC边上的高为y轴建立坐标系，则 ,设 1．在平行四边形 中， ，则 （ ） A．-5 B．-4 C．-3 D．-2 【答案】A 【解析】 ， ， ， ， ， ， 故选：A 2．正方形 中，P，Q分别是边 的中点， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意 ，即 ，解得 ， ∴ ，又 ， ∴ ，则 故选：C．3．如图，平面四边形 中 ， ， ．则 （ ） A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】因为 ，所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 所以 ， 故选：C. 4．已知向量 、 满足 ， ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 ，则 ，解得 . 故选：B. 5．已知向量 ， 满足 ， ，且 与 的夹角为 ，则 （ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B【解析】由题设， .故选：B. 6．如图，在 中， ， ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， 所以 ， ，故选：D 7．已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ） A．5 B．7 C． D． 【答案】D 【解析】因为 ， ， ，， 所以 .故选：D． 8．已知向量 ，向量 ，则 与 的夹角大小为（ ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】D 【解析】 向量 ，向量 ， ， ，且 ， 的夹角为 . 故选：D.9．已知 ， ， ， ，则 _______ 【答案】 【解析】 ， ，即 ， ，又 ， 故答案为：0. 10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别为边BC，CD上的动点，以MN为 边作等边 ，使得点A，P位于直线MN的两侧，则 的最小值为______． 【答案】 【解析】如图，连接BN，设BN，MN中点分别为E，F，连接PE，PF，EF． 设 ， ， ， 在 中，由勾股定理得 ，则 ， BN，MN中点分别为E，F，则EF为 的中位线， ∴ 且 ，∴ ， 在 中，由勾股定理得 ， ∴ ， 在等边 中，F为MN中点，则 ， ，， 在 中，由余弦定理得 ， 当N与C重合时， ， ， 不存在，但可验证上述等式依然成立， 当且仅当 时等号成立． ∵关于b的函数 在 上单调递增， ∴ ，当且仅当 时等号成立． ∴ ，当且仅当 ， 时等号成立. 故答案为： ．