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专题 13.12 轴对称（全章知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】轴对称
1.轴对称图形和轴对称
（1）轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，
这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直
平分线.
（2）轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于
这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：
①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两
个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么
这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
2.线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条
线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
【知识点二】作轴对称图形
（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，
就可以得到原图形的轴对称图形；
（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对
称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
【知识点三】等腰三角形
1.等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.
特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
2.等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
3.直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】利用轴对称的性质求值
【例1】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点P在四边形 的内部，且点P与点M关于
对称， 交 于点G，点P与点N关于 对称， 交 于点H， 分别交 于点 ．
（1）连接 ，若 求 的周长；
（2）若 ，求 的度数．【变式1】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，四边形 中， ，将 沿着 折
叠，使点 恰好落在 上的点 处，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图， 与 关于直线 对称，
，延长 交 于点F，当 时， ．
【题型2】利用折叠的特征求值
【例2】（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图，在长方形纸片 中，点E在边 上，点F在边
上，四边形 沿 翻折得到四边形 且点 恰好落在边 上；将 沿 折叠得
到 且点 恰好落在边 上．
（1）若 则 ．
（2）若 ，求 的度数．
【变式1】（23-24九年级上·山东枣庄·开学考试）如图，四边形 为一矩形纸带，点 分别在边 上，将纸带沿 折叠，点 的对应点分别为 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在 和 中， 相交
于点E， ．将 沿 折叠，点D落在点 处，若 ，则 的大小为 ．
【题型3】线段垂直平分线的性质与判定求值
【例3】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图， 是 的角平分线， 分别是 和
的高．
（1）试说明 垂直平分 ；
（2）若 ，求 的长．
【变式1】（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于
长为半径画弧，两弧相交于点 、 ，作直线 ，交 于点 ，连接 ．若 ， ，则
的周长为（ ）A．12 B．14 C．19 D．26
【变式2】（23-24九年级上·重庆·期末）如图在 中，D为 中点， ，
， 交 于F， ， ， 则 的长为 ．
【题型4】利用等腰三角形的性质与判定求值或证明
【例4】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在 中， ， ， 是 边
上的中线， 的垂直平分线 交 于点E，交 于点F， ．
（1）求证： ；
（2）试判断 的形状，并说明理由．
【变式1】（23-24八年级上·湖南株洲·期末）在 中， ， ，则 是（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【变式2】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在 中， ， ， 于
点E，若 ， 的周长为10，则 的长为 ．【题型5】利用等边三角形的性质与判定求值或证明
【例5】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知 中， ， 于D，
的平分线分别交 ， 于E、F．
（1）试说明 是等腰三角形．
（2）若点E恰好在线段 的垂直平分线上，试说明线段 与线段 之间的数量关系．
【变式1】（23-24八年级上·福建福州·期末）如果 为三角形的三边长，且满足
，那么该三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．无法确定
【变式2】（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图1， 和 是等边三角形，连接 ， 交
于点F．
（1） 的值为 ；
（2） 的度数为 .【题型6】利用30度所对的直角边等于斜边一半求值或证明
【例6】（2024八年级上·江苏·专题练习）在 中， ， 是边 的中点，
于点 ， 平分 ．
（1）求证： 平分 ；
（2）过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，求证： ；
（3） 是什么三角形？证明你的猜想．
【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图， 中， ， 于点
D，若 ，则 的长度为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在 中， ， 是 的平
分线， 垂直平分 ，若 ，则 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考
【例1】（2024·四川巴中·中考真题）如图，在 中， 是 的中点， ， 与 交于
点 ，且 ．下列说法错误的是（ ）
A． 的垂直平分线一定与 相交于点 B．
C．当 为 中点时， 是等边三角形 D．当 为 中点时，
【例2】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在 中， ，AD是高，以点A为圆
心，AB长为半径画弧，交 于点E，再分别以B、E为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在
的内部交于点F，作射线 ，则 ．
2、拓展延伸
【例】（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）在等腰 中， ， ，将一块足够大的
直角三角尺 （ 、 ）按如图所示放置，顶点 在线段 上滑动，三角尺的直
角边 始终经过点 ，并且与 的夹角 ，斜边 交 于点 ．
（1）当 运动到 中点时， __________度；
（2）当 时，请写出图中所有的等腰三角形（ 除外）__________．
（3）在点 的滑动过程中，当 的形状是以 为底的等腰三角形时，请在指定位置画出此时形成的图形，并指出此时图中的所有直角三角形（ 除外）．不用说明理由．
