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易错点 06 求数列的通项公式
求数列通项公式主要以考查由递推公式求通项公式与已知前 n项和或前n项和与第n
S a
项的关系式求通项为重点，特别是数列前n项和 n与 n关系的应用，难度为中档题，题
型为选择填空小题或解答题第1小题，同时要注意对数列单调性与周期性问题的复习与训
练.
易错点1：已知数列{a }的前n项和S 与通项a 的关系式，求a 时应注意分类讨论的应用，
n n n n
特别是在利用a ＝S －S 进行转化时，要注意分n＝1和n≥2两种情况进行讨论，学生
n n n－1
特别是容易忽视要检验n＝1是否也适合a .
n
易错点2：在等比数列求和公式中要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论.
易错点3：在解答数列问题时，及时准确地“数清”数列的项数是必不可少的，在数项数
时，要把握数列的项的构成规律，找准数列的通项公式的特点并找准项数．如果把数列的
项数弄错了，将会前功尽弃．
易错点4：对等差、等比数列的性质理解错误。
等差数列的前n项和在公差不为0时是关于n的常数项为0的二次函数。一般地，有
结论“若数列{a }的前n项和S =a 2+bn+c(a，b，c∈R)，则数列{a }为等差数列的充要条件是
n n n n
c=0”;在等差数列中，S ，S -S ，S -S (m∈N*)是等差数列。解决这类题目的一个基本出
m 2m m 3m 2m
发点就是考虑问题要全面，把各种可能性都考虑进去，认为正确的命题给以证明，认为不
正确的命题举出反例予以驳斥。在等比数列中公比等于-1时是一个很特殊的情况，在解决
有关问题时要注意这个特殊情况。
题组一:公式法
{a }
已知或根据题目的条件能够推出数列 n 为等差或等比数列，根据通项公式
a =a +(n−1)d a =a qn−1
n 1 或 n 1 进行求解.
S
a>0,b>0, a>0,b>0,
1.（2019全国1理9）记 n为等差数列 的前n项和．已知 ，则
a>0,b>0,
a>0,b>0, a>0,b>0, a>0,b>0,
A． B． C． D．
2．(2018北京)设 是等差数列，且 ， ，则 的通项公式为___．
a>0,b>0, 1 + 1 =√ab a3 +b3 a , b
3．（2014新课标1）已知 是递增的等差数列，ab ， 是方程 的根．
a
则 n=_________.
{a } n S S 0 S 5 a
4.（2013新课标1）已知等差数列 n 的前 项和 n满足 3 ， 5 ．则 n
=_________.
{a } s a
题组二:已知数列 n 的前n项和 n的解析式，求 n.
{a } S =n2 −2n+3 a =
5.数列 n 的前n项和为 n ，则 n .
_________________
{a } a +2a +3a +⋯+na=n(n+1)(n+2) a =
6.数列 n 满足 1 2 3 n ，则 n __________.题组三:S 与a 的关系式法
n n
{a } s a a
已知数列 n 的前n项和 n与通项 n的关系式，求 n.
7.(2015新课标Ⅰ) 为数列 的前 项和，若 ，
a
则 n=________.
8.(2014新课标1)已知数列 的前n项和，
S
n
=1+λa
n，其中
λ≠0
，
a
则 n=__________.
9．(2018全国卷Ⅰ)记 为数列 的前 项和，若 ，则 _____．
题组四:累加法
当数列 {a n } 中有 a n −a n−1 =f (n) ，即第n项与第 n−1 项的差是个有“规律”的数时，
就可以用这种方法.
a =0,a =a +2(n−1) a
10.已知 1 n+1 n ，求通项 n
.
a
11.设数列 满足 ，则 n=_______；
S
a
a 1 a S S S
12.（2015新课标Ⅱ）设 n是数列 n 的前n项和，且 1 ， n1 n n1，则 n
________．
1．在等差数列 中，已知 ，则 （ ）
A．4 B．8 C．3 D．6
2．已知等差数列 ，公差为 ，且 、 、 成等比数列，则 （ ）
A． B． C． D．
3．若数列 是等差数列，a=1， ，则a=（ ）
1 5A． B． C． D．
4．已知数列 是公比为正数的等比数列， 是其前 项和， ， ，则 （
）
A．31 B．63 C．127 D．255
5．设数列 为等比数列，若 ， ，则数列 的前 项和为
（ ）
A． B． C． D．
6．已知等比数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．设数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．若数列 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．若数列 的前n项和 (n∈N*)，则 =（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
10．已知数列 的前n项和 ，若 ，则数列 的前n项和
是（ ）
A． B． C． D．
