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易错点 12 复数
易错点1.复数的有关概念
(1)定义：一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数.复数一般用小写字母z
表示，即 z ＝ a ＋ b i (a，b∈R)，其中a称为z的实部，b 称为z的虚部.
(2)分类：
满足条件(a，b为实数)
a＋bi为实数⇔ b ＝ 0
复数的
a＋bi为虚数⇔ b ≠ 0
分类
a＋bi为纯虚数⇔ a ＝ 0 且 b ≠ 0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di a ＝ c 且 b ＝ d (a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数
⇔
互为共轭复数，复数z的共轭复数用z 表示.
(5)复数的模：向量OZ＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模(或绝对
值)，复数z的模用|z|表示，因此|z|＝ .当 b＝0时，|z|＝＝ | a |.
易错点2.复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点 Z ( a ， b ) 及平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)是一一
对应关系.
易错点3.复数的运算
(1)运算法则：设z ＝a＋bi，z ＝c＋di，a，b，c，d∈R.
1 2
(2)几何意义：
复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ ZZ 可以直观地反映出复数加、
1 2减法的几何意义，即OZ＝OZ1＋OZ2，Z1Z2＝OZ2－OZ1.
(3)由复数加、减法的几何意义可得 | | z | － | z ||≤|z ±z |≤ | z | ＋ | z |.
1 2 1 2 1 2
1．已知复数z的共轭复数 满足关系式 ，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【详解】解：因为 ，所以 ，
所以 ，在复平面内所对应的点为 ，位于第一象限；
故选：A
2．复数 的共轭复数 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵ ，则 ，
∴ .
故选：D.
3．设复数 (其中 为虚数单位)，则 =（ ）
A． B．3 C．5 D．
【答案】A
【详解】 ，
，
故选：A
4．已知 ，若 是纯虚数（ 是虚数单位），则 （ ）
A．－1或1 B．0 C．－1 D．0或1
【答案】C
【详解】 是纯虚数，
且 ，
解得 ，故选：C
5．已知复数z的共轭复数为 ，若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】 ， ，
故选：B
1．已知 ，且 ，其中a，b为实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由 ,得 ,即
故选:
2．已知 （ 为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ，而 为实数，故 ，
故选：B.
3．若复数z满足 ，则 （ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
【答案】B
【详解】由题意有 ，故 ．
故选：B．4．设 ，其中 为实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 R， ，所以 ，解得： ．
故选：A.
5．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
故选 ：C
一、单选题
1．已知 为复数 的共轭复数，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【详解】 ．
故选：D．
2．复数 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】所以虚部为
故选：A
3．已知 为虚数单位，则复数 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】 .
故选：B.
4．已知 （其中 为虚数单位），则复数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】又条件可知 .
故选：A
5．复数 （i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】因为 ，
所以复数 在复平面内对应的点 位于第二象限，
故选：B
6．已知复数z在复平面内对应的点为 ， 是z的共轭复数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵复数z在复平面内对应的点为 ，
∴ ， ，.
故选：B．
7．已知 （ 为虚数单位），则复数 在复平面上对应的点一定在（ ）
A．实轴上 B．虚轴上
C．第一、三象限的角平分线上 D．第二、四象限的角平分线上
【答案】D
【详解】设 ，则 ，则 ，即 ，
，
∴ ，复数 在复平面上对应的点为 ，一定在第二、四象限的角平分
线上，
故选：D
8．在复平面内，复数 对应的点为M，复数 对应的点为N，则向量 的模为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ， ，
，
.
故选：B
二、多选题
9．若复数z满足： ，则（ ）
A．z的实部为3 B．z的虚部为1
C． D．z在复平面上对应的点位于第一象限
【答案】ABD
【详解】设 ，因为 ，所以 ，所以
，所以 ， ，所以 ， ，所以 ，
所以z的实部为3，虚部为1，故A，B正确； ，故C不正确；z在复平面上对
应的点 位于第一象限，故D正确．故选:ABD．
10．已知复数 满足方程 ，则（ ）
A． 可能为纯虚数 B．该方程共有两个虚根
C． 可能为 D．该方程的各根之和为2
【答案】ACD
【详解】解：由 ，得 或 ，即 或
，
解得 或 ，
即方程的根分别为 、 、 、 ，
所以
故选：ACD.
三、解答题
11．已知 ， ， ，求 .
【详解】设复数 对应的向量分别为 ，
因为 ，可得 ，
且 ，
解得 ，
所以 ，所以 .
故答案为： .
12．设复数 、 满足 .
(1)若 、 满足 ，求 、 ；
(2)若 ，则是否存在常数 ，使得等式 恒成立？若存在，试求出 的值；
若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
由 可得： ，代入已知方程得 ，
即 ，
令 （ ），∴ ，即 ，∴ ，解得 或 ，
∴ 、 或 、 ；
（2）
由已知得 ，又 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
整理得 即 ，
所以 ，故 ，∴ ，
即 ，∴存在常数 ，使得等式 恒成立.
