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易错点 08 立体几何
易错点1：平行和垂直的判定
在立体几何中，点、线、面之间的位置关系，特别是线面、面面的平行和垂直关系，
是高中立体几何的理论基础，是高考命题的热点与重点之一，一般考查形式为小题(位置关
系基本定理判定)或解答题(平行、垂直位置关系的证明)，难度不大。
立体几何中平行与垂直的易错点
易错点1：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为
一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一
个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大。
易错点2：有关线面平行的证明问题中，对定理的理解不够准确，往往忽视
三个条件中的某一个。
易错点3：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为
一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个
平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大；
易错点2：异面直线所成的角
1.求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，
进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一找二证三求。
2.求异面直线所成角的步骤：
①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位
置斩点。
②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。 ③因为异面直线所成的角
的范围是0°＜θ≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直
线所成的角。
3.“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何
体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
4.利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。
易错点3：直线与平面所成的角
1.传统几何方法：
①转化为求斜线与它在平面内的射影所成的角，通过直角三角形求解。
②利用三面角定理（即最小角定理）
cosθ=cosθ ⋅cosθ
求
θ
。
1 2 1
2.向量方法：设⃗n
为平面α 的法向量，直线a与平面α 所成的角为θ，则
π π
{
θ=¿ −¿⃗a,⃗n>,<⃗a,⃗n>∈(0, ]¿¿¿¿
2 2
易错点4：二面角
用向量求二面角大小的基本步骤
1.建立坐标系，写出点与所需向量的坐标；
⃗n
β
⃗n
2.求出平面α 的法向量 1，平面 的法向量 2
3.进行向量运算求出法向量的夹角 ；
4.通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果：→ → → →
当二面角为锐角时cosθ=| cos ⟨n ,n ⟩| ，为钝角时cosθ=−| cos ⟨n ,n ⟩|
1 2 1 2
1．已知 是两条不同的直线， 是平面，且 ，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
2．已知直三棱柱 各棱长均相等，点D，E分别是棱 ， 的中点，则异
面直线AD与BE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，正方体 中， 是 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 与直线 垂直，直线 平面
B．直线 与直线 平行，直线 平面
C．直线 与直线 异面，直线 平面
D．直线 与直线 相交，直线 平面
4．平行六面体 中， ，则
与底面 所成的线面角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列结论一定成立的是（
）
A．若m⊥n，m⊥α，则n∥α B．若m∥α，α∥β，则m∥βC．若m⊥α，α⊥β，则m∥β D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
1．在长方体 中，已知 与平面 和平面 所成的角均为 ，
则（ ）
A． B．AB与平面 所成的角为
C． D． 与平面 所成的角为
2．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该
水库水位为海拔 时，相应水面的面积为 ；水位为海拔 时，相应水面
的面积为 ，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔
上升到 时，增加的水量约为（ ）（ ）
A． B． C． D．
3．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和 ，其顶点都在同一球面上，
则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知正三棱柱 ，E，F分别是棱 上的点．记 与
所成的角为 ， 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
5．如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱
柱的底面是顶角为 ，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）A．23 B．24 C．26 D．27
一、单选题
1．已知正三棱锥 的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为 ，则此三棱锥的外接球的
表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．设 ， 是不同的直线， ， ， 是不同的平面，则下面说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
3．足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、
内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”
的表面上有四个点 ，满足 面ABC， ，若 ，则该
“鞠”的体积的最小值为（ ）A． B． C． D．
4．在三棱柱 中，D，E分别为 ､ 的中点，若 ， ，
则 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知在菱形 中， ，把 沿 折起到 位置，若二面
角 大小为 ，则四面体 的外接球体积是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在直三棱柱 中， 面 ， ，则直线 与
直线 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．四面体 中， ，则二面角 的平面角
的余弦值为（ ）
A． B． C． D．8．如图，三棱锥 中，平面 平面ABC， ， ，
．三棱锥 的四个顶点都在球O的球面上，则球心O到平面ABC的距离为
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知 ， 是两个不重合的平面， ， 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是
A．若 ， ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则 与 所成的角和 与 所成的角相等
10．在正四面体A－BCD中， ，点O为 的重心，过点O的截面平行于AB和
CD，分别交BC，BD，AD，AC于E，F，G，H，则 （ ）
A．四边形EFGH的周长为8
B．四边形EFGH的面积为2
C．直线AB和平面EFGH的距离为
D．直线AC与平面EFGH所成的角为三、解答题
11．如图，三棱柱 中，点 在平面 内的射影 在 上， ，
.
(1)证明: ；
(2)若 ，求二面角 的余弦值.
12．如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯形， ∥
， ，平面 平面 ， ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若二面角 的余弦值为 ，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．
