易错点07数列-备战2023年高考数学考试易错题（解析版）（全国通用）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_专项复习_备战2023年高考数学考试易错题（全国通用）

易错点 07 数列 易错点1：已知数列{a }的前n项和S 与通项a 的关系式，求a 时应注意分类讨论的应用， n n n n 特别是在利用a ＝S －S 进行转化时，要注意分n＝1和n≥2两种情况进行讨论，学生 n n n－1 特别是容易忽视要检验n＝1是否也适合a . n 易错点2已知数列{a }的前n项和S 与通项a 的关系式，求a 时应注意分类讨论的应用， n n n n 特别是在利用a ＝S －S 进行转化时，要注意分n＝1和n≥2两种情况进行讨论，学生 n n n－1 特别是容易忽视要检验n＝1是否也适合a . n 易错点3：用裂项相消法求和时,注意裂项后的系数以及搞清未消去的项 易错点4：利用错位相减法求解数列的前n项和时，应注意两边乘以公比后，对应项的幂 指数会发生变化，为避免出错，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项 另外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的 n－1项是 一个等比数列． 易错点5：含有字母的数列求和,常伴随着分类讨论. 易错点6：数列中的最值错误。 数列的通项公式、前n项和公式都是关于正整数的函数，要善于从函数的观点认识和 理解数列问题。但是考生很容易忽视n为正整数的特点，或即使考虑了n为正整数，但对 于n取何值时，能够取到最值求解出错。在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根 据正整数距离二次函数的对称轴远近而定。 1．已知等比数列 的公比 ，则 等于（ ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】解：因为等比数列 的公比 ， 所以 ． 故选：D 2．已知等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 （ ） A．－10 B．－20 C．－120 D．－110 【答案】C 【详解】 ，，则 . 故选：C 3．已知等比数列 的前 项和为 ，则实数 的值是（ ） A． B．3 C． D．1 【答案】C 【详解】等比数列 的前 项和为 ， 当 时，可得 ，可得 ， 当 时， ，则 所以 因为 为等比数列， 所以 ，即 解得 ，经检验符合题意. 故选：C． 4．(多选)已知 为数列 的前 项之和，且满足 ，则下列说法正确的是 （ ） A． 为等差数列 B．若 为等差数列，则公差为2 C． 可能为等比数列 D． 的最小值为0，最大值为20 【答案】BCD 【详解】当 时， ，解得 或 ，当 时， ， ， 整理得 ，当 时，若 ，可得 ，若 ， ， 可得数列 为等比数列， ；当 时，可得 ，数列 为等差数列， 若 ，可得 ，若 ，可得 ；故A错误；B正确；C正确；当 时， ； 当 时， ；当 时， ；当 时， ；故D正确.故选：BCD. 5．(多选)已知两个等差数列 和 ，其公差分别为 和 ，其前 项和分别为 和 ， 则下列说法正确的是（ ） A．若 为等差数列，则 B．若 为等差数列，则 C．若 为等差数列，则 D．若 ，则 也为等差数列，且公 差为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为 为等差数列，所以 ， 即 ，所以 ， 化简得 ，所以 ，故A正确； 对于B，因为 为等差数列，所以 ， 所以 ， 所以 ，故B正确； 对于C，因为 为等差数列，所以 ， 所以 ， 化简得 ，所以 或 ，故C不正确； 对于D，因为 ，且 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 也为等差数列，且公差为 ，故D正确. 故选：ABD 1．设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C 【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，记 为不超过 的最大整数. 若 为单调递增数列，则 ， 若 ，则当 时， ；若 ，则 ， 由 可得 ，取 ，则当 时， ， 所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”； 若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ， 假设 ，令 可得 ，且 ， 当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数 列. 所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”. 所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件. 故选：C. 2．已知等比数列 的前3项和为168， ，则 （ ） A．14 B．12 C．6 D．3 【答案】D 【详解】解：设等比数列 的公比为 ， 若 ，则 ，与题意矛盾， 所以 ， 则 ，解得 ， 所以 . 故选：D. 3．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的 人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ： ， ， ，…，依此类推，其中 ．则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为 ， 所以 ， ，得到 ， 同理 ，可得 ， 又因为 ， 故 ， ； 以此类推，可得 ， ，故A错误； ，故B错误； ，得 ，故C错误； ，得 ，故D正确. 故选：D. 4．图1是中国古代建筑中的举架结构， 是桁，相邻桁的水平距离称为步， 垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中 是举， 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ．已知 成公差为0.1的等差数列，且直线 的斜率为0.725，则 （ ）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9 【答案】D 【详解】设 ，则 ， 依题意，有 ，且 ， 所以 ，故 ， 故选：D 5．已知数列 满足 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵ ，易得 ，依次类推可得 由题意， ，即 ， ∴ ， 即 ， ， ，…， ， 累加可得 ，即 ， ∴ ，即 ， , 又 ，∴ ， ， ，…， ， 累加可得 ， ∴ ， 即 ，∴ ，即 ； 综上： ． 故选：B． 一、单选题 1．设数列 满足 且 ，则 （ ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】由题意可得： ， ， ， ， 据此可得数列 是周期为4的周期数列， 则 . 故选：D 2．已知数列 满足 ，若 的前n项积的最大值为3， 则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】数列 中， ， ，则有 ， 因此， ， ， 因数列 的前n项积的最大值为3，则当 ， 的前n项积 ， 当 ， 的前n项积 ， 当 ， 的前n项积 ，解得 ， 当 ， 的前n项积 ， 当 ， 的前n项积 ， 当 ， 的前n项积 ，解得 ， 显然 ，综上得 或 ， 所以 的取值范围为 . 故选：A 3．设数列 的前n项和为 ，满足 ，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为数列 的前n项和为 ，满足 ， 所以当 时， ，解得 或 ， 当 时， ，整理得 ， 所以数列 是以1为公差的等差数列， 当 时， ，所以 或 所以 ，首项 满足此式，或 首项 满足此式， 所以 或 ， 所以CD错误， 当 时，， 当 时， ， 所以A正确，B错误， 故选：A 4．已知数列 满足： ，点 在函数 的图象上，记 为 的前n项和，则 （ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】由题得 ，解得 ，故 ，所以 故选：A． 5．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的，明万历十二年(公元1584 年)，他写成《律学新说》提出了十二平均律的理论十二平均律的数学意义是：在1和2之 间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为 M，插入11个数后这13个数之和为N，则依此规则，下列说法错误的是（ ） A．插入的第8个数为 B．插入的第5个数是插入的第1个数的 倍 C． D． 【答案】D 【详解】设该等比数列为 ,公比为q,则 ,故 . 对于A：插入的第8个数为 .故A正确； 对于B：插入的第5个数为 ，插入的第1个数为 ，所以 .故B正确； 对于C： .要证 ，即证 ，即证 ，即证 ，即证 ， 而 成立，故C正确； 对于D： . 因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，即 ，所以 故D错误. 故选：D 6．已知等差数列 的前n项和为 ，且满足 ， ，则下列结论正确的是（ ） A． ，且 B． ，且 C． ，且 D． ，且 【答案】C 【详解】设函数 ，则 为奇函数，且 ，所以 在 R上递减，由已知可得 ， ，有 ， ，所以 ，且 ， 所以 ，且 ，所以 ， . 故选：C. 二、多选题 7．已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ，则下列结论正确的 是（ ） A．数列 为等差数列 B．对任意正整数 ， C．数列 一定是等差数列 D．数列 一定是等比数列 【答案】ABC 【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，所以， .对于A选项， ，所以， 为等差数列，A对； 对于B选项，对任意的 ， ，由等比中项的性质可得 ， 由基本不等式可得 ，B对； 对于C选项，令 ， 所以， ， 故数列 一定是等差数列，C对； 对于D选项，设等比数列 的公比为 ， 当 时， ， 此时，数列 不是等比数列，D错. 故选：ABC. 8．已知等比数列 的公比为 ，且 ，记 的前 项和为 ，前 项积为 ， 则下列说法正确的是（ ） A．当 时， 递减 B．当 时， C．当 时， D．当 时， 【答案】BCD 【详解】对于A中，因为0q1，a 1，所以a 0，所以 S  递增，所以A错误. 2022 n n 1 1 1 对于B中，当 时， S   L  1qL q2020q2021 q0 4043 q2021 q2020 q  1   1  1   q2021  q2020 L  q1 q2021  q2020  q  1 1 1 2 q2021 2 q2020 L 2 q14043， q2021 q2020 q 当且仅当q1时等号成立，所以B正确. 对于C中，当q1时， a n  递增，因为a 2022 1，所以当n2021时，a n 1； 当n2022时，a 1，所以当n2021或n2022时，T 最小， n n 所以T T ，故C正确. n 2022 对于D中，当1q0时， a  是摆动数列，偶数项为正，奇数项为负， a  递减， n n 因为a 2022 1，所以当n2021或n2022时，T n 最大， a n  的前2022项中有1011项为正， 1011项为负，所以T T 0，所以T T 恒成立，所以D正确. 2021 2022 n 2022故选：BCD. 三、解答题 9．设等差数列 a  的前n项和为S ，已知a 1,S 15. n n 2 5 (1)求数列 a  的通项公式; n b a 3 log n  n (2)若 2 a 2 ，求数列b 的前 n 项和 T . n n n 【答案】（1）  a d 1, a 1 设数列 的公差为 ，由题设可得 1 解得 1 a n  d 5a 1 10d 15 d 2, 所以a 1(n1)22n3. n （2） b b 由（1）知log n n，所以 n 2n 2 2n3 2n3 可得 b (2n3)2n， n 所以T n 12122323  (2n5)2n1(2n3)2n① 2T n 122123324  (2n5)2n(2n3)2n1② ②减①可得: T 122324 2n1(2n3)2n1 n  8(12n1) (2n3)2n12 12 (2n5)2n110 10．在数列 a n  中，a 1 1,a 2 3，且对任意的nN*，都有a n2 3a n1 2a n . (1)证明：数列a a 是等比数列，并求数列 a  的通项公式； n1 n n 2n (2)设b  2n1，求数列 的前 项和 . n a a b  n S n n1 n n 【答案】 （1）由a 3a 2a ，可得a a 2a a .又a 1，a 3，所以a a 2. n2 n1 n n2 n1 n1 n 1 2 2 1 所以a n1 a n 首项为2，公比为2的等比数列.所以a n1 a n 2n.所以 12n a n a 1 a 2 a 1   a n a n1  1222  2n1 12 2n1n2.又 a 1 1 满足上 式，所以a 2n1 n2n  2n11    2n1  （2）由（1）得b n   2n 1  2n11  2n1  2n1  2n11  2n1 1 1   2n1，所以 2n 1 2n11 S n b 1 b 2   b n  1 1   1 1  1 1       (  )[(1)(3)(2n1)] 21 221 221 231 2n1 2n11 1 n(112n) 1 1  1 n2 2n11 2 2n11