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专题 11 三角恒等与解三角形综合必刷大题 100 题
任务一:善良模式(基础)1-40题
1．在 ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列， ．
△
（1）若 ，求c的值；
（2）求 的最大值．
2．已知函数 ．
（1）求 的最小正周期；
（2）当 时，求 的值域．
3．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
（1）求角A；
（2）若 ， ，求 的面积.
4．在 中， ， ， 是 延长线上一点，且 .
（1）求 的值；（2）求 的长.
5．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求角C的值；
（2）若 ，当边c取最小值时，求 的面积．
6．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 .
（1）若 ， ，求 ；
（2）若角 ，求角 .
7．已知△ABC中， 为钝角，而且 ， ，AB边上的高为 .
（1）求 的大小；
（2）求 的值.
8．在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且 ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ， ，求 的面积．9．在 中，三内角 ， ， 对应的边分别是 ， ， ， ，且 .
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）若 的面积是 ，求 的周长.
10．已知函数 .
（1）求 的最小正周期和单调增区间；
（2）在 中，角 的对边分别为 .若 ， ，求 的面积的取值范围.
11．在 中，角 所对的边分别是 ，且 ， .
（1）若 ，求 的值；
（2）求 的最大值
12．在 中，已知 ，其中 为 的面积， ， ， 分别为角 ， ， 的对边.
（1）求角 的值；
（2）若 ，求 的值.13．已知 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 ， ，
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若边 上中线 ，求 的面积．
14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 ．
（1）求B；
（2）若△ABC的面积等于 ，求△ABC的周长的最小值．
15．已知平面向量 ， ，函数 ．
（1）求 的最小正周期及单调递减区间；
（2）若 ， ，求 的值．
16．在 中， ， 是边 上一点，且 ， .（1）求 的长；
（2）若 的面积为14，求 的长.
17． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求B；
（2）若 ，求 的面积的最大值．
18．如图，在 中， ， ，点 在线段 上.
（1）若 ，求 的长；
（2）若 ， ，求 的面积.
19．已知△ABC的内角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求角 ；
（2）在 中， 为 边上一点，且 ， ，求 面积的最大值．20．已知函数
（1）求 的最小正周期；
（2）求 在区间 上的最大值.
21． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
（1）求内角 的大小；
（2）若 的周长为 ，面积为 ，求边 的长度.
22． 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 .
(1)求角 的大小;
(2)若 ， 的面积为 ，求 的值.
23．已知函数 ， .
（1）求函数 的最小正周期;
（2）若 ， ，求 的值.24．在 中，内角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ，且满足 ，
.
（1）求角 的大小；
（2）求 的值.
25．在 中，内角A，B，C所对的边长分别为 .
(1)求角C；
(2)若 ，求 面积的最大值.
26．已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， 满足 ，且 边上一
点 使得 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的面积.
27．已知向量 , ,且 ．
(1)求 的单调递增区间；(2)先将函数 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的 倍 纵坐标不变 ，再将所得图象向左平移
个单位,得到函数 的图象,求方程 在区间 上所有根之和．
28．已知函数 .
（1）求 的最小正周期；
（2）求 在区间 上对称轴、对称中心及其最值.
29．函数 （ ， ， ），且 的最大值为 ，其图象相邻两
对称轴间的距离为 ，并过点 .
（1）求 ；
（2）计算 … .
30．设函数 ．
（Ⅰ）当 时，求函数 的值域；
（Ⅱ） 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， ， ，求 的面
积．31．已知通数 的图像经过点 ，图像与x轴两个相邻交点的距离
为 ．
（Ⅰ）求 的解析式：
（Ⅱ）若 ，求 的值．
32．已知向量 ， ，函数 ．
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）在 中，内角 、 、 所对边的长分别是 、 、 ，若 ， ， ，求
的面积
.
33．在 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且满足： .
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）若 ，求 的最大值.
34．在① 面积 ，② 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求 .如图，在平面四边形 中， ， ，______， ，求 .
35．在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，
补充在下面的问题中，并解答问题.在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足
________.
（1）求 ；
（2）若 的面积为 ， 的中点为 ，求 的最小值.
36．在① ，② sin（A+B）＝1+2 这两个条件中选一个，补充在下面的横线处，然
后解答问题．
在 ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设 ABC的面积为S，已知___．
（△1）求角C的值； △
（2）若b＝4，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线， CDB的面积为 ，求边长a的值．注：如果
△
选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
37．在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且________．
（1）求角 ；
（2）若 是 内一点， ， ， ， ，求 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
38．在① ，② ，③ 三个条件中任选一个补充在下面的
横线上，并加以解答
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且______，若 ， ，求 边上的垂线长.
39．在① ，② ，③ 三个条件中任选一个补充在下面的
横线上，并加以解答
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且______， ， ，求 的值.
40．记 的内角 的对边分别为 ．请在下列三个条件中任选一个作为已知条件，解答问题．
① ；② （其中 为 的面积）；③
．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 为锐角三角形，且 ，求 的取值范围．任务二:中立模式(中档)1-40题
1．在① ；② ；③ 三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
问题：已知 的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且 ，___________.
（1）求角A的大小；
（2）求 面积的最大值.
2．已知函数 ，直线 是函数 的图象的一条对称轴．
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）令 ，若 是函数 在 的零点，求 的值.
3． 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， 为 边上一点， ，且___________，求 的面积.（从① 为 的平
分线，② 为 的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答）
4．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 面积的大小为S，且 .
（1）求A的值；
（2）若 的外接圆直径为1，求 的取值范围.5．在 中， ， ．
（1）若边 ，求 的面积 ；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求出 ．
① ； ② ； ③
6．已知 ， ，令 其中 ，满足
.
（1）求 的解析式；
（2）在锐角 中，角 所对边分别为 ， 且 ，求 的面积的取值范围．
7．在① ，② ，③ 中任选一个，补充在
横线上，并回答下面问题．
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且________．
（1）求角 的大小；
（2）已知 ， 为 中点，且 ，求 面积．
8．如图，D是直角 斜边上一点（不含端点）， ，记 ， ．（1）求 的最大值；
（2）若 ，求角 的值．
9．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，点 在边 上，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 是角 的平分线，且 ，求 的面积的最小值．
10．1.已知 ， ， 分别是 的内角 ， ， 所对的边， ，
再从下面条件①与②中任选 个作为已知条件，完成以下问题．
（1）证明： 为锐角三角形；
（2）若 ， 为 的内角平分线，且与 边交于 ，求 的长．
① ；② ．
11．在① ，② 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，
并作答．问题：在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且________．（1）求角 ；
（2）若 是 内一点， ，求 ．
12．在“① ；② ， ， ”这两个条件中任选一个，补充在下面问
题中，并进行求解.
问题：在 中， ， ， 分别是三内角 ， ， 的对边，已知 ， 是 边上的点，且
， ，若_______________，求 的长度.
13．在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ， ，点
D在射线AC上，满足 .
（1）求 ；
（2）设 的角平分线与直线AC交于点E，求证： .
14．在 中，内角 所对边分别为 ，若 .
（1）求 ；
（2）若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
15．在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 且.
（1）求角 的大小；
（2）求 的取值范围.
16．已知 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， .
（1）求 ；
（2）若点 ， 是函数 的图象在某个周期内的最高点与最低点，求 面积
的最大值.
17．在平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝CD＝2，AD＝3．
（1）证明：3cosA－4cosC＝1；
（2）记 ABD与 BCD的面积分别为S，S，求S2＋S2的最大值．
1 2 1 2
△ △
18．在锐角 中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
（1）求角A的大小；
（2）若 ，求 周长的范围.
19．在① ，② ，③ 三个条件中任选一个补充在下面的横
线上，并加以解答
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且______，若 ， ， 边上的中垂线交 于点，求 的长.
20． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足 ， ．
（1）求角A的大小；
（2）求 周长的范围．
21．在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 的周长为 ，求 面积 的最大值．
22．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ， 为边 上一点，且 ，求 的值．
23．如图，在 中， ， 、 分别为 边上的高和中线， ，（1）若 ，求 的长；
（2）是否存在这样的 ，使得射线 和 三等分 ?
24．已知函数 为奇函数，且 图像相邻的对称
轴之间的距离为
（1）求函数 的解析式及其减区间；
（2）在 中，角A、B、C对应的边为a、b、c，且 ， ，求 的周长的取值
范围．
25．在 中，角 的对边分别为 ，满足 且 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的面积的最大值.
26．在 中， ， ， .（1）若 ，求BC；
（2）若 ，求 .
27．1.已知向量 ， ，设 ， .
（1）求 的值域；
（2）若方程 有两个不相等的实数根 ， ，求 ， 的值.
28．如图， 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，且 .（1）求角 的大小；
（2）在 内有点 ， ，且 ，直线 交 于点 ，求 .
29．已知 分别为 三个内角 的对边，且满足 记 的面积为S.
（1）求证： ；
（2）若 为锐角三角形， ，且 恒成立，求实数 的范围.
30．已知 ， ， 分别是 的内角 ， ， 所对的边，从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，
并完成下列问题：
（1）求 ；
（2）若 ，求 的周长的最大值．
条件①： ；条件②： ．
注：如果选择不同的条件分别解答，按照第一种选择的解答计分．
31．在① ，② ，③ 三个条件中任选一个补充在下面的
横线上，并加以解答在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且______， 是 的平分线交 于点 ，若
，求 的最小值.
32．在① ，② ，③ 三个条件中任选一个补充在下面的
横线上，并加以解答
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且______，作 ，使得四边形 满足
， ，求 的最值
33．在① ，② ，③ 三个条件中任选一个补充在下面的
横线上，并加以解答
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且______，若 ，求 的取值范围.
34．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， .
（1）求 的大小；
（2）若 ，求 的面积；（3）求 的最大值.
35．如图，在四边形 中， ， ， .
（1）若 ，求 的面积；
（2）若 ， ，求 的长.
36．在① ，② ，③ 三个条件中任选一个补充在下面的
横线上，并加以解答
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且______，求 的取值范围.
37．在 中， 、 、 分别为内角 、 、 的对边，且 ．
（1）求 的大小；
（2）若 ，试判断 的形状；
（3）若 ，求 周长的最大值．38．如图，在四边形 中， ，且 ， ， .
（1）求 的长；
（2）求四边形 面积的最大值.
39．现给出三个条件：①a sin ＝b sin A，②a cos C＋c cos A＝2b cos B，③2c－a＝2b cos A.
从中选出一个补充在下面的问题中，并解答问题．
设 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________．
（△1）求角B的大小；
（2）若b＝2，求 ABC周长的取值范围．
△
40．目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身
影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已知基站高 ，该同学眼
高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，
测得基站顶端A的仰角为45°．（1）求出山高BE（结果保留整数）；
（2）如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位
置）到基站AB所在直线的距离 ，且记在M处观测基站底部B的仰角为 ，观测基站顶端A的仰
角为 .试问当 多大时，观测基站的视角 最大?参考数据： ， ，
， ．
任务三:邪恶模式(困难)1-20题1. 中，D是BC上的点，AD平分 ， 面积是 面积的2倍．
（1）求 的值；
（2）从① ，② ，③ 这三个条件中选择两个条件作为已知，求BD和AC的长．
2．已知函数 （ ）图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ．
（1）求 的单调递增区间以及 图象的对称中心坐标；
（2）是否存在锐角 ， ，使 ， 同时成立？若存在，求出角 ，
的值；若不存在，请说明理由．
3．已知函数 为奇函数，且 图象的相邻两对称轴间
的距离为 .
（1）求 的解析式与单调递减区间；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），得到函数
的图象，当 时，求方程 的所有根的和.
4．已知函数 .（1）当 时，函数 的图象关于直线 对称，求 在 上的单调递增区
间；
（2）若 的图像向右平移 个单位得到的函数 在 上仅有一个零点，求ω的取值范围．
5．在平面四边形 中， ， ， ，
（1）求 的长；
（2）求 的最大值．
6．在① ，② ，③ 三个条件中任选一个补充在下面的横
线上，并加以解答.
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且______，作 ，使得四边形 满足
， ， 求 的取值范围.7．已知 是 的内角，函数 的最大值为 ．
（1）求 的大小；
（2）若 ，关于 的方程 在 内有两个不同的解，
求实数 的取值范围．
8．如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径 的长为 ，C，D两点在半圆弧上，
且 ，设 ；
（1）当 时，求四边形 的面积.
（2）若要在景区内铺设一条由线段 ， ， 和 组成的观光道路，则当 为何值时，观光道路的
总长l最长，并求出l的最大值.
9．某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示， 为地面， ， 为路灯灯杆，
， ，在 处安装路灯，且路灯的照明张角 ，已知 m， m．
（1）当 ， 重合时，求路灯在路面的照明宽度 ；
（2）求此路灯在路面上的照明宽度 的最小值．10．已知向量 ．令函数 ．
（1）求函数 的最小正周期和单调递增区间；
（2） 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的角平分线交 于D．其中，函数 恰
好为函数 的最大值，且此时 ，求 的最小值．
11．如图，在四边形 中， ， ， .
（1）求 ；
（2）若 ，求 周长的最大值.
12．已知函数 .
（1）当 时，求 的值域；
（2）是否同时存在实数 和正整数 ，使得函数 在 上恰有2021个零点？若存在，请求出所有符合条件的 和 的值；若不存在，请说明理由.
13．如图，在半径为 ，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA
上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y.
（1）按下列要求写出函数的关系式：
①设PN＝x，将y表示成x的函数关系式；
②设∠POB＝θ，将y表示成θ的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y的最大值.
14．如图，在梯形 中， ， ， ， ．
(1)若 ，求梯形 的面积；
(2)若 ，求 ．15．已知a，b，c是 的内角A，B，C的对边，且 的面积 .
（1）记 ， ，若 .
（i）求角C，
（ii）求 的值；
（2）求 的取值范围.
16．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池 的池底水平铺设污水净化管道（ 三条边，
是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口 是 的中点， 分别落
在线段 上，已知 米， 米，记 .
(1)试将污水净化管道的总长度 （即 的周长）表示为 的函数，并求出定义域；
(2)问 取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.
17．某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖．如图，该弓形所在的圆是以 为直径
的圆，且 米，景观湖边界 与 平行且它们间的距离为 米．开发商计划从 点出发建一
座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行），桥面在湖面上的部分记作 ．设．
（1）用 表示线段 并确定 的范围；
（2）为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将 的长度设计到最长，求 的最大值．
18．随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼，“日行一万步，健康一辈子”.通过“小步
道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图， 为某市的一条
健康步道， ， 为线段， 是以 为直径的半圆， ， ， .
（1）求 的长度；
（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新增健康步道 （ ，
在 两侧）， ， 为线段.若 ， 到健康步道 的最短距离为 ，求 到直
线 距离的取值范围.19．已知函数 （ ）在一个周期内的图象如图所示，A为 图
象的最高点，B，C为 图象与x轴的交点，且 为等腰直角三角形.
（1）求 的值及函数 的值域；
（2）若 ，且 ，求 的值；
（3）已知函数 的图象是由 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍，然后再向左平移1
个单位长度得到的，若存在 ，使 成立，求a的取值范围.
20．已知△ABC中，函数 的最大值为 .
（1）求∠A的大小；
（2）若 ，方程 在 内有两个不同的解，求实数m取值范围.
