文档内容
专题 11 三角恒等与解三角形综合必刷大题 100 题
任务一:善良模式(基础)1-40题
1．在 ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列， ．
△
（1）若 ，求c的值；
（2）求 的最大值．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）利用等差数列以及三角形内角和，正弦定理以及余弦定理求解即可；
（2）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，结合三角函数的最值求解即可．
【详解】
（1）由角A、B、C的度数成等差数列，得2B＝A＋C．
又 ，∴ ．
由正弦定理，得 ，即 ．
由余弦定理，得 ，
即 ，解得 ．
（2）由正弦定理，得 ，
∴ ， ．
∴
．
由 ，得 ．所以当 时，即 时， ．
2．已知函数 ．
（1）求 的最小正周期；
（2）当 时，求 的值域．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）利用两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦公式以及辅助角公式，可化简 ，再利
用正弦型函数的周期公式，即得解；
（2）由 ，可得 ，结合正弦函数的图象和性质，即得解
【详解】
（1）由题意，
，
（2）∵
∴
∴
∴ 的值域为
3．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
（1）求角A；（2）若 ， ，求 的面积.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）由题意及余弦定理得 ，由此即可求出结果；
（2）由正切公式对 化简，再结合正弦定理得 ，再根据
，可得 ，可得 ，由此即可求出结果.
【详解】
（1）由题意及余弦定理得 ，
所以 ，从而 ，
因为 ，所以 .
（2）由 ，得 ，
所以由正弦定理得
又因为 ，
所以 ，
，所以
又 ，所以 ，所以 .
从而 是等边三角形.
因为 ，所以 .4．在 中， ， ， 是 延长线上一点，且 .
（1）求 的值；
（2）求 的长.
【答案】（1） （2）
【分析】
（1）首先利用同角三角函数的基本关系求出 ，根据三角形的内角和性质可得
，利用诱导公式以及两角差的正弦公式即可求解.
（2）在 中，利用正弦定理求出 ，在 中，利用余弦定理即可求解.
【详解】
解：（1）由 ，
得 ，
所以
.
（2）由正弦定理，得 ，
即 .
由余弦定理，得.
5．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求角C的值；
（2）若 ，当边c取最小值时，求 的面积．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）根据正弦定理，将角化为边的表达形式；结合余弦定理即可求得角C的值．
（2）由余弦定理求得 与 的关系，结合不等式即可求得c的最小值，即可得到 的值，进而求得三角
形面积．
【详解】
（1）由条件和正弦定理可得 ，
整理得 从而由余弦定理得 ．
又∵C是三角形的内角，
∴ ．
（2）由余弦定理得 ，
∵ ，∴ ，
∴ （当且仅当 时等号成立）．
∴c的最小值为2，
故 ．
6．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 .（1）若 ， ，求 ；
（2）若角 ，求角 .
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
(1)利用余弦定理 代入化简，并代入 和 的值，计算可得 ；
(2)利用正弦定理边化角,结合 ,解出关于 的方程，利用 的范围求出 的值．
【详解】
（1）由余弦定理得 ，
∴ ，即 ，
代入数值得 ，解得 ；
（2）∵ ，∴由正弦定理得 ，
由 可得 ， ，∴ ，
即 ，
解得 或 (舍去)，又∵ ，∴ .
7．已知△ABC中， 为钝角，而且 ， ，AB边上的高为 .
（1）求 的大小；
（2）求 的值.
【答案】（1） ；（2）8.
【分析】
（1）利用三角形ABC的面积相等，求出 的大小；
（2）由余弦定理得出 ，以及 ，可得 的值．
【详解】（1）由三角形面积可知 ，
，又因为 是锐角，所以 .
（2）由（1）可知 ，
所以 .
又因为 ，
因此 .
8．在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且 ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ， ，求 的面积．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）由 及正弦定理可得 ，进一步可得 ， ，又
，由正弦定理得 ，代入 即可得到答案；
（2）由余弦定理，得 ，由 ，可得 ，代入可得 ，再利用
面积公式 计算即可得到答案.
【详解】
由已知得 ，
根据正弦定理得 ，
∵ ∴ ，∴ ．（1）因为 ，所以 ，
，
所以 ，∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
（2）∵ ， ，由余弦定理，得
，
∵ ，∴ ，∴ ，即 ，
∵ ，∴ 的面积 ．
9．在 中，三内角 ， ， 对应的边分别是 ， ， ， ，且 .
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）若 的面积是 ，求 的周长.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）利用正弦定理的边角互化可得 ，再由两角和的正弦公式以及
三角形的内角和性质即可求解.
（Ⅱ）利用三角形的面积公式可得 ，解得 ，再根据余弦定理可得
，从而可得 ，进而求出 的周长.
【详解】
（Ⅰ）将 ， ， ，
代入 中，得到 ，即 .
因为 ，所以 ，
于是 ， .
（Ⅱ）因为 ，所以 ， .
由余弦定理 得， ，
即 ，所以 .
于是 的周长是 .
10．已知函数 .
（1）求 的最小正周期和单调增区间；
（2）在 中，角 的对边分别为 .若 ， ，求 的面积的取值范围.
【答案】（1） ，单调递增区间是 ， .（2）
【分析】
（1）由二倍角公式可得 ，结合正弦函数的性质可得 的周期以及单调递增区
间；
（2）由 可得 ，所以 ， ，结合 ，进一步可得 ，即可得到答案.
【详解】
（1）
∴ 的周期 ，
由 ，得
所以 的单调递增区间是 ， .
（2）∵ ，即 ，又 ，
∴ ，由正弦定理有
∴
∵ ，∴
∴ .
11．在 中，角 所对的边分别是 ，且 ， .
（1）若 ，求 的值；
（2）求 的最大值【答案】（1）4；（2） .
【分析】
（1）由已知，易得 ，由正弦定理可得 ，再由角B的余弦定理即可得到答案；
（2）正弦定理得 ，所以 ，
，再利用两角和的正弦公式以辅助角公式可得 ，即可得到
最大值.
【详解】
（1）因为 ，
又 ，得 .
又 ，由正弦定理得 ，即 ，
由余弦定理 ，
得 ，解得 或 （舍）.
（2）由正弦定理得 ，
，，
由 ，得 ，
当 ，即 时， .
12．在 中，已知 ，其中 为 的面积， ， ， 分别为角 ， ， 的对边.
（1）求角 的值；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1） .（2）
【分析】
（1）利用三角形的面积公式化简可得 ，从而可得 ，即可求得 的值.
（2）利用两角和的正切公式可得 ，再有 ，求出
，再利用二倍角公式 ，利用弦化切齐次式即可求解.
【详解】
解：（1）因为 ，所以 ，
则 ，
因为在 中， ，所以 ，
所以 ，
所以 .
（2）由（1）知 ，又因为 ，
所以 ，因为在 中， ，所以 ，
所以 .
13．已知 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 ， ，
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若边 上中线 ，求 的面积．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）6
【分析】
（1）利用正弦定理的边角互化可得 ，再利用三角形的内角和性质以及两角和的正弦公
式化简整理即可求解.
（2）由（Ⅰ）根据正弦定理求出 ，在 中，利用余弦定理可得 ，根据三角形的面积
公式即可求解.
【详解】
（Ⅰ）由正弦定理及 ，得
又 ，
所以
由 ，得 ，代入上式整理得 ,即 ，
所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，由正弦定理得 ①
在 中， ,将①代入上式得
，化简得所以 ，
14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 ．
（1）求B；
（2）若△ABC的面积等于 ，求△ABC的周长的最小值．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）先利用边角互化将 转化为关于B的方程，求出∠B．
（2）因为B已知，所以求面积的最小值即为求ac的最小值，结合余弦定理和基本不等式可以求得．
【详解】
（1）因为 ，
由正弦定理得 ．
因为 ，所以sinA＞0，所以 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，即 ．
（2）依题意 ，即ac＝4．
所以 当且仅当 时取等号．
又由余弦定理得
∴ ，当且仅当a＝c＝2时取等号．
所以△ABC的周长最小值为 ．15．已知平面向量 ， ，函数 ．
（1）求 的最小正周期及单调递减区间；
（2）若 ， ，求 的值．
【答案】（1） ； （2）
【分析】
（1） ，利用公式 计算周期，令 可得单调减
区间；
（2） ，通过分析易知 ，将 配成
，利用两角差的正弦公式展开即可得到答案.
【详解】
（1） ，
，
故 ，又令
解得 ，
所以 的单调递减区间为 .
（2） ，
又 ，又 ，故 ，
.
16．在 中， ， 是边 上一点，且 ， .
（1）求 的长；
（2）若 的面积为14，求 的长.
【答案】（1）1；（2）5.
【分析】
（1）由同角三角函数关系求得 ，再由两角差的正弦公式求得 ，最后由正弦定理构建方
程，求得答案.
（2）在 中，由正弦定理构建方程求得AB，再由任意三角形的面积公式构建方程求得BC，最后由
余弦定理构建方程求得AC.
【详解】
（1）据题意， ，且 ，
所以 .
所以
.
在 中，据正弦定理可知， ，所以 .
（2）在 中，据正弦定理可知 ，
所以 .
因为 的面积为14，所以 ，即 ，
得 .
在 中，据余弦定理可知， ，
所以 .
17． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求B；
（2）若 ，求 的面积的最大值．
【答案】（1） （2）
【分析】
(1)由正弦定理边化角化简已知条件可求得 ,即可求得 ;
(2)由余弦定理借助基本不等式可求得 ,即可求出 的面积的最大值.
【详解】
（1） ， ，
所以 ，
所以 ，
， ，
， ．
（2）由余弦定理得 . ，，当且仅当 时取等，
.
所以 的面积的最大值为 .
18．如图，在 中， ， ，点 在线段 上.
（1）若 ，求 的长；
（2）若 ， ，求 的面积.
【答案】（1） （2）
【分析】
（1）先根据平方关系求出 ,再根据正弦定理即可求出 ；
（2）分别在 和 中，根据正弦定理列出两个等式，两式相除，利用题目条件即可求出 ，再
根据余弦定理求出 ，即可根据 求出 的面积．
【详解】
（1）由 ，得 ，所以 .
由正弦定理得， ，即 ，得 .
（2）由正弦定理，在 中， ，①
在 中， ，②又 ， ， ，
由 得 ，
由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，
所以 的面积 .
19．已知△ABC的内角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求角 ；
（2）在 中， 为 边上一点，且 ， ，求 面积的最大值．
【答案】（1） （2）
【分析】
（1）由已知结合余弦定理可求 ，进而可求 ；
（2）由向量数量积的公式和性质及基本不等式可求 的范围，进而可求面积的最大值．
【详解】
(1)∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
(2)∵ ，
∴ 为 的中点，
∵ ，，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，当且仅当 时取等号，此时 面积的最大值 ．
20．已知函数
（1）求 的最小正周期；
（2）求 在区间 上的最大值.
【答案】（1） ；（2）1
【分析】
（1）利用诱导公式、二倍角公式、辅助角公式对 进行化简，然后利用 ，得到 的周期；
（2）利用正弦型函数的性质，得到 的最大值，以及此时 的取值.
【详解】
（1）因为
，
所以 的最小正周期为 ，
（2）因为 ，所以 ，
所以，当 即 时，
函数 取得最大值1.
21． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
（1）求内角 的大小；
（2）若 的周长为 ，面积为 ，求边 的长度.
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）由 ，将已知条件进行化简，从而得到 的值，再得到 ；（2）根据 的面
积，得到 的值，结合三角形周长和余弦定理，从而解出 的值.
【详解】
（1）由
在 中， ，所以
所以
整理得：
故 ，
而 ，从而
（2） 的面积为 ，
所以 ，得 ①
的周长为 ，得 ②
由余弦定理得： ③将①代入③得： ④
由②④得： .
22． 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 .
(1)求角 的大小;
(2)若 ， 的面积为 ，求 的值.
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）根据正弦定理将边化成角，再进行化简，得到 的值，从而得到 的值；（2）根据 的面积，
得到 ，根据余弦定理得到 关系，从而得到 的值.
【详解】
（1）在 中， ，
由正弦定理 ，
得 ，
所以 ，
即 ，
因为 为的内角，所以 ，
所以 ，
因为因为 为 的内角，所以 .
（2） ，即 ，
所以 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
所以得到 .23．已知函数 ， .
（1）求函数 的最小正周期;
（2）若 ， ，求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）对 进行化简，得到正弦型函数的形式，根据 ，得到答案；（2）先得到 ，
再将所求的 ，利用两角和的正弦公式，计算得到答案.
【详解】
（1）
所以 的最小正周期为 .
（2）由（1）得 ，
所以
由 得，所以
24．在 中，内角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ，且满足 ，
.
（1）求角 的大小；
（2）求 的值.
【答案】（1） （2）
【分析】
（1）根据正弦定理和余弦定理求出角 的大小；
（2）根据正弦定理求出 的值，再通过判断，利用同角的三角函数之间的关系求出 ，最后求出
的值，最后利用二角差的正弦公式求出 的值.
【详解】
解析：（1）由正弦定理得 ，∴ ，
又由余弦定理有 ，
又 ，∴ .（2）由正弦定理有 ，
∴ ，由 知 ，从而 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
，
∴ .
25．在 中，内角A，B，C所对的边长分别为 .
(1)求角C；
(2)若 ，求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
(1)利用二倍角的余弦公式、三角形内角和定理、对已知听等式进行化简，最后通过解方程可以得到角C的
余弦值，结合三角形的性质求出；
(2)利用余弦定理、重要不等式、三角形面积公式可以求出 面积的最大值.
【详解】
解：(1)由 ，可得 ， ，因为 ，所以
， .
(2)由 ，得 ， ， ，
所以 ，当 时，△ 面积的最大值为 .
26．已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， 满足 ，且 边上一
点 使得 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的面积.
【答案】（1） ；（2）
【分析】
根据正弦定理，将边化成角，然后整理化简，得到 的值，从而得到 的值；（2）根据条件得到
为等边三角形，从而得到 ，根据正弦定理，得到 的值，根据余弦定理，得到 的
长，根据三角形面积公式，得到答案.
【详解】
（1）因为
在 ，由正弦定理
所以得 .
所以 .
即
所以 ，
因为 ，所以
（2）由（1）知 ，而
为等边三角形.
由于 是 的外角，所以 .
在 中，由正弦定理得 ，
即 ，所以 .
所以由余弦定理得， ，
即 ，
所以 ，
故 ， ，
所以 .
27．已知向量 , ,且 ．
(1)求 的单调递增区间；
(2)先将函数 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的 倍 纵坐标不变 ，再将所得图象向左平移
个单位,得到函数 的图象,求方程 在区间 上所有根之和．
【答案】(1) ， ；(2) .
【分析】
化函数 为余弦型函数,再求它的单调增区间；
由三角函数图象平移法则,得出 的分析式,再求 在 内的实数解即可．
【详解】
解： 函数 ,
， ,， ；
的单调增区间为 , ；
由题意, ,
又 ,得 ,
解得： , ,
即 或 ， ,
,
，或 ，
故所有根之和为 ．
28．已知函数 .
（1）求 的最小正周期；
（2）求 在区间 上对称轴、对称中心及其最值.
【答案】(1)最小正周期为 (2)对称轴 ，对称中心为 ，最大值为 ，最小值为
【分析】
(1)根据同角三角函数关系式的平方和关系、降幂公式、辅助角公式把函数的解析式化简成正弦型函数解析
形式,最后根据最小正周期公式求出函数的最小正周期；
(2)利用正弦型函数的对称性和单调性,求出 在区间 上对称轴、对称中心及其最值
【详解】
解：(1)因为,
所以，函数 的最小正周期为 .
(2)由(1)知 ，
因为 ，所以 ，①
令 ，得 ，
所以 ，即为所求函数 在 上的对称轴；
令 ，得 ，所以 ，
所以函数 在 上的对称中心为 ；（＊）
易判断函数 在 上单调递增；在 上单调递增.
所以， ， ， ，
故函数 在区间 上最大值为 ，最小值为 .
【另解】
接（＊）式
由①得 ，所以 ，故函数 在区间 上最大值为 ，最小值为 .
29．函数 （ ， ， ），且 的最大值为 ，其图象相邻两
对称轴间的距离为 ，并过点 .
（1）求 ；
（2）计算 … .
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）先对函数 进行降幂，然后根据最大值为 ，得到 的值，再由相邻两对称轴间的距离为 ，得
到周期 ，从而求出 ，代入点 并结合 的范围，求出 的值；（2）对函数 进行整理，并得到
，根据函数的周期性，得到答案.
【详解】
（1） .
的最大值为 ， ，
， .
又 其图象相邻两对称轴间的距离为 ，
周期 ， ，
， ， .
过 点，，
， .
， ，
， ，
又 ， .
（2） ，
，
又 的周期为 ， ，
.
30．设函数 ．
（Ⅰ）当 时，求函数 的值域；
（Ⅱ） 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， ， ，求 的面
积．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）对 进行化简，得到正弦型函数，然后根据 的范围，求出 的范围，得到 的值域.
（Ⅱ）由 得到 的值，根据 和正弦定理得到 的值，再由 求出 ，根据 和正弦定理，得到 ，由面积公式求出 的面积.
【详解】
解：（Ⅰ）
，
∵ ，∴ ，
∴ ．
∴函数 的值域为
（Ⅱ）∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，即 ．
由 ，由正弦定理，∵ ∴ ，∴ ．
∵ ∴
∴ ，∵ ，∴
∴ ．
31．已知通数 的图像经过点 ，图像与x轴两个相邻交点的距离
为 ．
（Ⅰ）求 的解析式：（Ⅱ）若 ，求 的值．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 或
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由图像与x轴两个相邻交点的距离为 ，可以求出周期，利用周期公式可以求出 ，再由图像经过点
，结合 ，可以求出 ，也就能求出 的解析式：
（Ⅱ）由 ，可以求出 ，根据同角的三角函数关系，可求出 ，
分类讨论，运用两角差的正弦公式，求出 的值
【详解】
解：（Ⅰ）由已知得 ， ，则 ，所以 ．
又 ，所以 ，
又 ，所以 .
所以 ，即 ，
所以 .
（Ⅱ）因为 ，所以 ，
所以 ．
当 时， ；当 时， .
所以， 或 .
32．已知向量 ， ，函数 ．
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）在 中，内角 、 、 所对边的长分别是 、 、 ，若 ， ， ，求
的面积
.
【答案】（1） 的增区间是 ， （2）
【分析】
（1）利用平面向量数量积的坐标表示公式、二倍角的正弦公式、余弦二倍角的降幂公式、以及辅助角公
式可以函数的解析式化为正弦型函数解析式的形式，最后利用正弦型函数的单调性求出函数 的单调递
增区间；
（2）根据（1）所得的结论和 ，可以求出角 的值，利用三角形内角和定理可以求出角 的值，
再运用正弦定理可得出 的值，最后利用三角形面积公式可以求出 的面积
..
【详解】
（1）
令 ，
解得
∴ 的增区间是 ，（2）
∵
∴ 解得
又∵ ∴ 中，
由正弦定理 得
∴
33．在 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且满足： .
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）若 ，求 的最大值.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）2.
【分析】
（Ⅰ）运用正弦定理实现角边转化，然后利用余弦定理，求出角 的大小；
（Ⅱ）方法1：由（II）及 ，利用余弦定理，可得 ，再利用基本不等式，可求出 的
最大值；
方法2：利用正弦定理实现边角转化，利用两角和的正弦公式和辅助角公式，利用正弦型函数的单调性，
可求出 的最大值；
【详解】
（I）由正弦定理得： ，
因为 ，所以 ，
所以由余弦定理得： ，
又在 中， ，
所以 .（II）方法1：由（I）及 ，得
，即 ，
因为 ，（当且仅当 时等号成立）
所以 .
则 （当且仅当 时等号成立）
故 的最大值为2.
方法2：由正弦定理得 ， ，
则 ，
因为 ，所以 ，
故 的最大值为2（当 时）.
34．在① 面积 ，② 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求 .
如图，在平面四边形 中， ， ，______， ，求 .
【答案】见解析
【分析】
选择①：利用三角形面积公式和余弦定理可以求接求出 的长；
选择②：在 ， 中，分别运用正弦定理，可以求接求出 的长；
【详解】
解：选择①：所以 ；
由余弦定理可得
所以
选择②
设 ，则 ， ，
在 中 ，即
所以
在 中， ，即
所以 .
所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，
所以 .
35．在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，
补充在下面的问题中，并解答问题.在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足
________.
（1）求 ；（2）若 的面积为 ， 的中点为 ，求 的最小值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）选①，利用正弦定理的边角互化以及诱导公式可求解；选②，利用正弦定理的边角互化即可求解；
选③，利用正弦定理的边角互化以及两角差的正弦公式即可求解.
（2）利用三角形的面积公式可得 ，再由余弦定理以及基本不等式即可求解.
（1）
选① ，
由正弦定理可得 ，
又因为 ，可得 ，
即 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，解得 .
② ，
由正弦定理可得 ，
即 ，
整理可得 ，
又因为 ，解得 ，
因为 ，所以 .③ ，
由正弦定理可得 ，
整理可得 ，
即 ，
即 ，
所以 或 （舍），
即 ，即 ，解得 .
（2）
，
解得 ，
由余弦定理可得
，
所以 ，当且仅当 时，即 取等号，
所以 的最小值为 .
36．在① ，② sin（A+B）＝1+2 这两个条件中选一个，补充在下面的横线处，然
后解答问题．
在 ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设 ABC的面积为S，已知___．
（△1）求角C的值； △
（2）若b＝4，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线， CDB的面积为 ，求边长a的值．注：如
△
果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】
（1）答案不唯一，见解析
（2）2【分析】
（1）选①，由 可得 ，然后结合余弦定理可得答案；选②，由条件可
得 ，然后可求出答案；
（2）由 可得 ，然后结合S ＝ a×CD＝ 可解出答案.
CDB
△
（1）
选①，由 可得： ，整理可得a2+b2﹣c2＝ab，
可得 ＝ ，因为C∈（0，π），所以C＝ ．
选②，由 sin（A+B）＝1+2sin2 可得 ，可得2sin（C+ ）＝2，
可得：sin（C+ ）＝1，因为C∈（0，π），C+ ∈（ ， ），所以C+ ＝ ，可得C＝ ．
（2）
在 ABC中，
△
可得
可得 ，①
又S ＝ a×CD＝ ，②
CDB
△
由①②可得： ＝ ，解得a＝2，或a＝﹣ （舍去），所以边长a的值为2．
37．在① ，② ，③ 这三
个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且________．
（1）求角 ；
（2）若 是 内一点， ， ， ， ，求 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）选条件①：利用正弦定理的边角互化即可求解；选条件②：利用正弦定理的边角互化以及余弦定理
即可求解；选条件③：利用正弦定理的边角互化以及三角形的内角和性质即可求解.
（2）由题意可得 ，在 与 中，分别利用正弦定理得出 与
，两式相等计算求解即可.
【详解】
解：（1）方案一：选条件①
，
，
， ，又 .
方案二：选条件②
又 .
方案三：选条件③
整理得
， ，又 ， .
（2） ，
在 中， ，在 中，
，
整理得 ， .
38．在① ，② ，③ 三个条件中任选一个补充在下面的
横线上，并加以解答
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且______，若 ， ，求 边上的垂线长.
【答案】
【分析】
根据题意，选择①②③求得 ，利用余弦定理求得 ，结合面积相等列出方程，即可求得
边上的垂线长.
【详解】
若选①：由 ，根据正弦定理可得 ，
即 ，
即 ，
可得 ，因为 ，所以 ，
因为 ， ，
由余弦定理可得 ，所以 ，
设 边上的垂线长为 ，可得 ，解得 ，
即 边上的垂线长为 .
选②：由 ，根据正弦定理可得 ，
可得 ，即 ，又由余弦定理，可得 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ， ，
由余弦定理可得 ，所以 ，
设 边上的垂线长为 ，可得 ，解得 ，
即 边上的垂线长为 .
若选③：由 ，可得 ，
即 ，可得 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ， ，
由余弦定理可得 ，所以 ，
设 边上的垂线长为 ，可得 ，解得 ，
即 边上的垂线长为 .
39．在① ，② ，③ 三个条件中任选一个补充在下面的
横线上，并加以解答
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且______， ， ，求 的值.
【答案】3
【分析】
选①利用正弦定理，可得 ，进而可得 ，选②利用正弦定理，可得 ，
进而可得 ，选③利用三角形面积公式可得 ，进而由余弦定理直接可得解.
【详解】选①，由 得 ，
∴ ，
又 ， ，
∴ 又 ，
∴ ；
选②，由 得 ，
∴ 即 ，
∴ 又 ，
∴ ；
选③，由 得 又 ，
∴ 即 ，又 ，
∴ ；
由 ，解得 或 （舍）.
所以
40．记 的内角 的对边分别为 ．请在下列三个条件中任选一个作为已知条件，解答问题．
① ；② （其中 为 的面积）；③
．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 为锐角三角形，且 ，求 的取值范围．
【答案】条件选择见解析，（1） ；（2） ．【分析】
选择①②③结合正余弦定理均得到 ，（1）利用余弦定理即可求解；
（2）由正弦定理得 ， ，结合角 的范围即可求解．
【详解】
选择①
由正弦定理得 ，所以 ， ，则 ；
选择② ，则 ，所以 ，又 ，则 ；
选择③ ，由正弦定理得
又因为 ，
所以 ，则所以 ，又 ，则 ；
故选择①②③均得到 ；
（1）若 ，由余弦定理得 ，
即 ，∴ ．
（2）由 为锐角三角形及 ，
得 且 ,∴ ，
由正弦定理得 ，
∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，即所求 的取值范围是 ．任务二:中立模式(中档)1-40题
1．在① ；② ；③ 三个条件中任选一
个，补充在下面问题中，并作答.
问题：已知 的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且 ，___________.
（1）求角A的大小；
（2）求 面积的最大值.
【答案】
（1）选①： ；选②： ；选③： ；
（2）选①： ；选②： ；选③：
【分析】
（1）选①：由正弦定理边角互化得 ，进而得 ；
选②：由正弦定理边角互化得 ，进而得 ，故 ；
选③：由余弦定理得 ，再根据正弦定理边角互化结合和角公式得 ，
故
（2）选①：结合（1）和余弦定理得 ，再根据基本不等式得 ，进而根据三角形面积
公式得 面积的最大值为 .
选②：结合（1）和余弦定理得 ，再根据基本不等式得 ，进而根据三角形面积公式得 面积的最大值为 .
选③：结合（1）和余弦定理得 ，再根据基本不等式得 ，进而根据三角形
面积公式得 面积的最大值为 .
（1）
解：选①：因为 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以
选②：因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以
选③：因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以
（2）解：选①：因为由（1）得 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，当且仅当 时等号成立，
所以 面积
所以 面积的最大值为 .
选②：因为由（1）得 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，当且仅当 时等号成立，
所以
所以 面积
所以 面积的最大值为 .
选③：因为由（1）得 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，当且仅当 时等号成立，
所以
所以 面积
所以 面积的最大值为 .
2．已知函数 ，直线 是函数 的图象的一条对称轴．
（1）求函数 的单调递增区间；（2）令 ，若 是函数 在 的零点，求 的值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由二倍角公式、两角和的正弦公式化函数式为一个角的一个三角函数形式，由对称轴求得 ，然后
利用正弦函数的单调性求解；
（2）先求出 的表达式，利用正弦函数的对称性（注意变量的范围）可得 ，从而求得 ．
（1）
函数 ，
直线 是函数 的图象的一条对称轴，
， ， ，故 ．
令 ，求得 ，
可得函数的增区间为 ， ， ．
（2）
∴ ，
（满足 ， 取锐角）
函数 的图像在 内只有一条对称轴，满足 ，， 得： ，
．
3． 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， 为 边上一点， ，且___________，求 的面积.（从① 为 的平
分线，② 为 的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答）
【答案】
（1）
（2）条件选择见解析，
【分析】
（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式，两角和的正弦公式展开后可求得 角；
（2）选①，由 ，用面积公式得出 ，然后由余弦定理得出一等式，两者结合可
得 ，从而由面积公式得面积；
选②，利用向量的线性运算，得 ，平方后由数量积运算可得 ，再结合余弦
定理，求得 ，从而得三角形面积．
（1）
由题意得 ，
得： ，
中， ，所以 ，又 ， 所以
（2）选①由BD平分 得：
，①
在 中，由余弦定理得： ， ，
所以 ，②，
① ② 联立得 解得 ，解得 ，
所以 ，
选②得 ， ，
，得 ，
中，由余弦定理得 ， ，
相减即可得 得 ．
4．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 面积的大小为S，且 .
（1）求A的值；
（2）若 的外接圆直径为1，求 的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用数量积的运算及三角形面积公式对 进行化简，即可求出A的值；
（2）利用正弦定理结合已知条件将问题中的边化为角，再根据三角恒等变换及二倍角公式进行化简，最
后结合角的范围即可求解.
（1）解：由
得：
化简得：
当 时， ， ，等式不成立
所以 ，即
又
所以
（2）
解： 的外接圆直径为1，
由正弦定理得： ，的取值范围为： .
5．在 中， ， ．
（1）若边 ，求 的面积 ；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求出 ．
① ； ② ； ③
【答案】
（1）
（2）选①， 不存在；选②， ；选③，
【分析】
（1）由余弦定理求得 ，再由同角三角函数间的关系求得 ，根据三角形的面积公式可求得答案；
（2）若选①，由正弦定理和正弦的二倍角公式得 ，与 相矛盾，所以 不存在；
若选②，由正弦定理和两角差的正弦公式得 ，再根据同角三角函数间的关系可得解；
若选③，由正弦定理和正弦的二倍角公式得 ，再由余弦定理得 ，结合两角和的正弦公式可
得解..
（1）
解：由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
所以 的面积 .（2）
解：若选① ，由正弦定理得 ，所以 ，因为 ，所以
不存在；
若选② ，由正弦定理得 ，整理得 ，又
，且 ，所以 ，因为 ，所以 有两解，
又 ，所以角B为锐角，所以 唯一；
若选③ ，由正弦定理得 ，所以 ，
由余弦定理得 ，即 ，解得 ，又 ，所
以角B为锐角，即 ， ，所以 ， ，
所以 .
6．已知 ， ，令 其中 ，满足
.
（1）求 的解析式；
（2）在锐角 中，角 所对边分别为 ， 且 ，求 的面积的取值范围．
【答案】
（1）（2）
【分析】
（1）利用向量的坐标运算及三角公式求出 ，再根据 求出 即可；
（2）先通过 求出B，再根据三角形为锐角三角形求出 的范围，最后通过面积公式可得计算面积
的范围.
（1）
又 ，
则
即
，又 ，
，
即 ；
（2）
由（1）知 ，又 ，
，即
如图，当点C在线段MN之间运动（不含端点）时，可使 为锐角三角形，即
，
即 的面积的取值范围是 .
7．在① ，② ，③ 中任选一个，补充在
横线上，并回答下面问题．
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且________．
（1）求角 的大小；
（2）已知 ， 为 中点，且 ，求 面积．
【答案】
（1）选① ；选② ；选③
（2）选① ；选② ；选③
【分析】
（1）根据正弦定理边角互化，并结合余弦定理和恒等变换公式计算，求出角 的大小；
（2）根据余弦定理，三角形面积公式的计算，求出 面积．
（1）
解：选①： ，
由正弦定理可得： ， ， ，由余弦定理可得 ，所以 ，
选②： ，
由正弦定理得： ，
所以 ，
，
所以 ， ， ，
选③： ，
由正弦定理可得： ，
可得：
可得： ，
， ，解得 ，
， ．
（2）
解： ， 为 的中点， ，， ，
，即 ，
， ，
（另一值不符合题意，舍去 ， ，
在 中，由余弦定理有 ，解得 ，
．
8．如图，D是直角 斜边上一点（不含端点）， ，记 ， ．
（1）求 的最大值；
（2）若 ，求角 的值．
【答案】
（1）2
（2）
【分析】
（1）由等腰三角形和三角形外角定理得出 的关系，这样求值式可化二元函数为一元函数，然后利用
两角和的正弦公式，正弦函数性质得最大值；（2）由正弦定理得出 的三角函数的关系式，再结合（1）中函数关系式利用二倍角公式可求得 的
值，从而得 ．
（1）
设 ，
∵ ， ，①
∴ ， ，②
①②联立得，
∴ ，∴ ，
∴ ，③
，④
∴
∵ ， ，
故当 ，即 时，取得最大值2
（2）
在 中，由正弦定理得， ，
∴ ，∴ ，①
由（1）知， ，
∴
所以 ，
解得 或 （舍去）．
因为 为钝角，所以
9．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，点 在边 上，已知 ．（1）求 ；
（2）若 是角 的平分线，且 ，求 的面积的最小值．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
(1)根据正弦定理和两角和的正弦公式化简 即可；
(2)如图，根据相似三角形的性质可得 ，设 ，过 作 平行于 交
于 可得三角形 为正三角形，利用三角形面积公式列出三角形面积，结合基本不等式即可求出面积
的最小值.
（1）
，由正弦定理得 ，
，
， ， ，
， ．
（2）
由 是角 的平分线， ，设 ，
过 作 平行于 交 于 ，则三角形 为正三角形，
， ， ， ，，
当且仅当 时等号成立．即 的面积的最小值为 ．
10．1.已知 ， ， 分别是 的内角 ， ， 所对的边， ，
再从下面条件①与②中任选 个作为已知条件，完成以下问题．
（1）证明： 为锐角三角形；
（2）若 ， 为 的内角平分线，且与 边交于 ，求 的长．
① ；② ．
【答案】
（1）证明见解析
（2）选择①②结果相同，
【分析】
（1）利用正弦定理得到 ，结合① 或者② ，均可以得到 ，大边对大角，
故只要证明 ，即可证明出 为锐角三角形；（2）由 ，结合第一问中的 ，可
以求出 ， ，接下来可以用两种方法求解，一种是利用 ，另一种是利用角平
分线定理， ，均可以求出 的长
（1）
方案一：选条件①
由正弦定理，又 ， ， ，
令 ，（ ），从而 ，
由 ，解得： 或 （舍去）
从而 最大，又
为锐角三角形
方案二：选条件②
由正弦定理，
又 ， ， ，
令 ，（ ），从而 ，
解得： 或 （舍去）
从而 最大，又
为锐角三角形
（2）
方案一：选条件①
由 ，
∴
又由第一问可知： ，∴ ，
法一：由 ，
∴ ，由面积公式得：
由 ，从而 ，
解得： ．
法二： ，解得：
由角平分线定理， ，
从而
在 中，由余弦定理， ，
解得：
方案二：选条件②
由 ，
又由第一问可知： ， ， ，
由 ，解得： 或 （舍去）
法一：故 ，由 ，
∴ ，
由面积公式得：
由 ，从而 ，
解得： ．
法二：由角平分线定理， ，
从而在 中，由余弦定理， ，
解得：
11．在① ，② 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，
并作答．问题：在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且________．
（1）求角 ；
（2）若 是 内一点， ，求 ．
【答案】
（1） ；
（2） .
【分析】
（1）若选条件①，利用正弦定理边化角公式以及两角和的正弦公式进行化简，即可求出 的值；
若选条件②，利用利用正弦定理边化角公式以及两角和的正弦公式进行化简，得 ，再利
用辅助角公式得 ，结合三角形中 ，从而可求出 的值；
（2）结合题中条件及三角形内角和得出 ，利用正弦定理、两角和与差的正弦公式和同角三
角函数关系，即可求出 的值.
（1）
解：若选条件①： ，
整理得： ，
则 ，即 ，
又 ， ，所以 ，
所以 ；
若选条件②： ，整理得： ，
所以 ，
化简得： ，
又 ， ，所以 ，
故 ，由于 ，
所以 ．
（2）
解：由于 ，
，
所以 ，
在 中， ，
所以 ，
在 中， ，
所以 ，
，
整理得： ，
故 ．
12．在“① ；② ， ， ”这两个条件中任选一个，补充在下面问
题中，并进行求解.
问题：在 中， ， ， 分别是三内角 ， ， 的对边，已知 ， 是 边上的点，且
， ，若_______________，求 的长度.
【答案】答案见解析.【分析】
选①可得 ，再结合条件可得 ，可求 ，然后利用余弦定理即求；选②可得 ，
由条件得 ，再利用辅助角公式可得 ，得 ，进而可求 ，然后利用
余弦定理即求.
【详解】
若选择条件①
由 ，根据正弦定理得 ，
所以 ，
即 ，也即 ，
因为 ，所以 （1）式
又因为 ，
即 ，
所以 ，
又由（1）式， ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ， ，
在 中，
，
所以 .若选择条件②
因为 ， ，且 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，又 ，
所以 （1）式，
又因为 ，
即 ，
所以 （2）式，又 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，也即 ，
所以 ，
即 ，又 ，
∴ ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
又 ，所以 ， ，在 中，
，
所以 .
13．在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ， ，点
D在射线AC上，满足 .
（1）求 ；
（2）设 的角平分线与直线AC交于点E，求证： .
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）利用正弦定理化角为边由 表示 ，利用余弦定理求出 即可求出；
（2）分别在 和 中利用正弦定理表示 ，化简整理可得.
（1）
因为 ，由正弦定理得 ，
因为 ，由正弦定理得 ，即 ，则 ，
由余弦定理得 ，
则 ，因为 ，所以 ；
（2）
如图， ，
在 中， ， ，在 中， ，则 ，
， ，
所以 ,
，
所以 .
14．在 中，内角 所对边分别为 ，若 .
（1）求 ；
（2）若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】（1）先用同角三角函数的平方关系将式子进行化简，进而用正弦定理进行角化边，最后用余弦定理解得
答案；
（2）用面积公式，结合正弦定理即可得到答案.
（1）
∵ ，∴ ，∴
，由正弦定理得 ，
又由余弦定理得 ，∴ ，
由于 ，所以 .
（2）
∵ 是锐角三角形， 得到 .
由正弦定理可知， ，
由三角形面积公式有：
又因 故
故 取值范围是
15．在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 且
.
（1）求角 的大小；
（2）求 的取值范围.
【答案】
（1）（2）
【分析】
（1）根据三角恒等变换化简可得 ，即可求解；
（2）利用正弦定理及三角恒等变换可得 ，再根据三角函数的值域求解.
（1）
∵ ，
∴ .
即 ，
，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
（2）
由正弦定理可得 ，
，
其中 ， ， ，
为锐角∵ 为锐角三角形，则 ，
从而 ，
得 ，
，
∴ ，
，
∴ ，
从而 的取值范围为 .
16．已知 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， .
（1）求 ；
（2）若点 ， 是函数 的图象在某个周期内的最高点与最低点，求 面积
的最大值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）先由余弦定理结合条件可得 ，再由余弦定理可得答案.
（2）由（1）先求出 的值，由函数解析式得出周期，求出 边长，由余弦定理结合均值不等式得出
，从而得出面积的最大值.（1）
由 及余弦定理得 ，
整理得 ，所以 .
（2）
的最大值与最小值之差为 ，最小正周期 ，
所以 ，
由余弦定理得 ，所以 ，
又 ，
所以 面积 ，
所以 面积的最大值为 .
17．在平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝CD＝2，AD＝3．
（1）证明：3cosA－4cosC＝1；
（2）记 ABD与 BCD的面积分别为S，S，求S2＋S2的最大值．
1 2 1 2
【答案】△ △
（1）证明见解析
（2）
【分析】
(1)在 和 中分别利用余弦定理表示出 ，列出方程整理即可；
(2)根据三角形的面积公式分别求出 的表达式，结合二次函数的性质求出函数的最大值即可.
（1）
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，所以 ．
（2）
，
则 ，
由（1）知： ，代入上式得
，
配方得 ，因为 ，
∴当 时， 取到最大值 ．
18．在锐角 中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
（1）求角A的大小；
（2）若 ，求 周长的范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用正弦定理和和差角公式转化为 ，即可求出角A；
（2）利用正弦定理表示出 ， ，得到 周长为
利用三角函数求最值，即可求出 周长.
（1）
由正弦定理得： ，，
，
，
，
， ，
.
（2）
由正弦定理： ，
则 ， ，
， ，
周长为
，
又锐角 ， ，结合
，
，
，
，∴ 周长的范围是 .
19．在① ，② ，③ 三个条件中任选一个补充在下面的横
线上，并加以解答
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且______，若 ， ， 边上的中垂线交 于
点，求 的长.
【答案】
【分析】
选①，利用正弦定理化边为角，结合三角形内角的关系及两角和的正弦公式求得角 ，利用余弦定理求得
边 ，证明 ，求出 ，即可得解；
选②，利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求得角 ，利用余弦定理求得边 ，证明 ，
求出 ，即可得解；
选③，利用向量数量积的定义及三角形的面积公式求得角 ，利用余弦定理求得边 ，证明 ，
求出 ，即可得解.
【详解】
解：选①，由 ，可得 ，
即 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
则 ，所以 ，
所以 ，
如图，设 边上的中垂线垂足为点 ，
因为 垂直平分 ，所以 ，又 ，
所以 ，在 中， ，
所以 ，
即 .
选②，由 ，可得 ，
即 ，所以 ，
所以 ，又因 ，所以 ，
则 ，所以 ，
所以 ，
如图，设 边上的中垂线垂足为点 ，
因为 垂直平分 ，所以 ，又 ，
所以 ，
在 中， ，
所以 ，
即 .
选③，因为 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
则 ，所以 ，
所以 ，如图，设 边上的中垂线垂足为点 ，
因为 垂直平分 ，所以 ，又 ，
所以 ，
在 中， ，
所以 ，
即 .
20． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足 ， ．
（1）求角A的大小；
（2）求 周长的范围．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用余弦定理化角为边，再根据余弦定理即可的解；
（2）利用正弦定理求得边 ，再利用三角恒等变换化简，结合正弦函数的性质即可得出答案.
（1）
解：由余弦定理 ，即 ，所以 ，因为 ，所以 ．
（2）
由正弦定理： ，则 ， ，
由（1） ，故
因为 ，则 ，
所以 ，即周长范围是 ．
21．在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 的周长为 ，求 面积 的最大值．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）在 中，利用余弦定理化角为边，可得 ，再结合 ，即得
解；
（2）由余弦定理 以及 可得 ，再利用面积公式 即得解
（1）
由余弦定理，得 ，
即 ，则 ，所以
又 ，所以 ．
（2）
由题意， ，
根据余弦定理，得 ，
则 ，
所以 ，
当且仅当 时取“＝”．
所以， 面积 ，
故 面积 的最大值为 ．
22．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ， 为边 上一点，且 ，求 的值．
【答案】
（1）
（2） 或1
【分析】
（1）根据 ，结合 ， 利用正弦定理得到 ，再利用二
倍角公式求解；
（2）根据 ，得到进而得到 ， ，然后由正弦定理求得a，再利用余弦定理求解.
（1）因为 ，
在 ABC中， ，
△
所以 ．
在 ABC中，由正弦定理得：
△
又 ， ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
即 ．
（2）
因为 ，
所以 ，
，
，
在 ABC中，由正弦定理得 ，
所以 ，
在 ABC中，由余弦定理得： ，即 ，
故 ，
所以 或 ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
所以 的值为 或1．
23．如图，在 中， ， 、 分别为 边上的高和中线， ，
（1）若 ，求 的长；
（2）是否存在这样的 ，使得射线 和 三等分 ?
【答案】
（1）
（2）不存在，理由见解析
【分析】
（1）由勾股定理先求出 ，再由 结合已知条件求出 和 ，然后利用余弦定理即可
求出 的长；
（2）先假设存在，结合已知条件求出 和 ，然后即可判断是否存在.
（1）
解： 、 分别为 边上的高和中线， ，
又 ，
所以 ，，
在 中， ，
即
所以
（2）
解：假设存在这样的 ，不妨设 ，则 ，
易得 ， ，
而 ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，即
而在 中， ，所以 ，故 ，
即 不可能是 的中点.
因此，不存在这样的 ，使得射线 和 三等分
24．已知函数 为奇函数，且 图像相邻的对称
轴之间的距离为
（1）求函数 的解析式及其减区间；
（2）在 中，角A、B、C对应的边为a、b、c，且 ， ，求 的周长的取值
范围．
【答案】
（1） ；（2）
【分析】
（1）由二倍角公式，两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由对称轴间距离求得
周期得 ，由奇函数性质得 ，从而得解析式，然后利用正弦函数的单调性得减区间；
（2）由（1）求得 角，利用正弦定理把 表示为 的函数，再由三角恒等变换得取值范围，也即得周
长范围．
（1）
，
由函数 相邻的对称轴之间的距离为 ，得 ，
∴ ，
又∵ 为奇函数，∴ ，即 ，
得 ，即 ，而 ，故 ，
令 ，得 ，
∴ 的减区间为 ；
（2）
由（1）可知 ，得 ，即 ，
∵ ，∴ ，∴ ，即 ，
∵ ，∴
∴，
而 ，故 ；∵ ，故 ；
∴ ，即 的周长的取值范围为 .
25．在 中，角 的对边分别为 ，满足 且 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的面积的最大值.
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）由已知可得 ，将 展开化简可求得
，由正弦定理化角为边即可求证；
（2）由余弦定理求得 ，再由三角形面积公式计算 转化为关于 的函数，
再利用二次函数的性质可求得最大值，开方即可求解.
（1）
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
由正弦定理化角为边可得： .
（2）在 中，由余弦定理可得： ，
的面积为：
，
所以当 时， 取得最大值 ，
所以 的面积的最大值为 .
26．在 中， ， ， .
（1）若 ，求BC；
（2）若 ，求 .
【答案】
（1）（2）
【分析】
（1）先利用同角三角函数基本关系求得 ，再利用三角形的面积公式求出 ，再利用余弦
定理进行求解；
（2）先构造 ，利用同角三角函数基本关系、诱导公式、两角和的正弦公式得到
，再利用正弦定理、余弦定理求出边长，进而利用三角形的面积公式进行求解.
（1）
解：由 ，
得： .
由 ，
得： ，
则
，
所以 .
（2）
解：在AC上取点D，使得 ，于是 ，
则 ，
，
由 和正弦定理，
知： ，
于是
，
所以 .
由 知： ，
所以 ，
所以
.
27．1.已知向量 ， ，设 ， .
（1）求 的值域；
（2）若方程 有两个不相等的实数根 ， ，求 ， 的值.
【答案】
（1）（2）
【分析】
（1）根据平面向量的数量积和三角变换求出函数 的解析式，进而结合三角函数的图象和性质求得答
案；
（2）由方程 有两个不相等的实数根 ， ，求出 ，再计算出 ， 的
值.
（1）
解：
，
因为 ，所以 ，则 ，即函数 的值域为 .
（2）
解：由方程 有两个不相等的实数根 ， ，由（1）， ， ，如图：
则 ， 关于 对称，所以 ，
由 ，得 .28．如图， 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）在 内有点 ， ，且 ，直线 交 于点 ，求 .
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）将已知条件利用正弦定理化边为角，结合 整理可得 ，即可得角 的大小；
（2）求出 ，由已知可得 ，在 和 中，由正弦定理可得
，可求出 ， ，由余弦定理即可求解.
（1）
在 中，由正弦定理化边为角可得： ，
因为 ，
所以 ，
可得 ，即 ，所以 或 ，
由 可得 ，所以 不成立，
所以 ，因为 可得 ，
（2）
在 中，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，
在 中，由正弦定理可得： ，
在 中，由正弦定理可得： ，
两式相除可得： ，
所以 ， ，
在 中，由余弦定理可得：
，
所以 ，所以 .
29．已知 分别为 三个内角 的对边，且满足 记 的面积为S.
（1）求证： ；
（2）若 为锐角三角形， ，且 恒成立，求实数 的范围.
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）由正弦定理和余弦定理，结合两角和的正弦公式，可得证明；（2）由余弦定理可得 的范围，再由三角形的面积公式可得 关于 的函数，由二次函数的值域可得 的
范围，再由不等式恒成立思想可得所求范围．
（1）
证明：由 ， ， ， ，
， ， ，
，
， .
（2）
解： ， ， .
且 ， ，
，
为锐角三角形， ， ， ，
设 则 ，则 故 在 为增函数， 又
恒成立，所以
30．已知 ， ， 分别是 的内角 ， ， 所对的边，从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，
并完成下列问题：
（1）求 ；
（2）若 ，求 的周长的最大值．
条件①： ；条件②： ．注：如果选择不同的条件分别解答，按照第一种选择的解答计分．
【答案】选择见解析；（1） ；（2）12．
【分析】
（1）选定条件分别使用正弦定理和余弦定理求得 .
（2）根据（1）的条件利用余弦定理与基本不等式计算出 ，简单计算即可.
【详解】
解：（1）若选条件①：
，
由正弦定理得： ，
则 ．
即 ， ，
又 ， ．
，
若选条件②：
，
由正弦定理得：
即 ， ，
由余弦定理得： ，故 ，
， ．
（2）由余弦定理得： ，即 ，
，
即 ，当且仅当 取等号，
故 的周长的最大值为12．
31．在① ，② ，③ 三个条件中任选一个补充在下面的
横线上，并加以解答在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且______， 是 的平分线交 于点 ，若
，求 的最小值.
【答案】9
【分析】
若选①：根据正弦定理得 ，再由正弦和角公式求得 ，继而有 ，分
别在 和 中，运用正弦、余弦定理可得 ， ，整理 ，再由基
本不等式可求得 的最小值；
若选②：根据正弦定理得 ，再由余弦定理得 ，又 ，所以 ，
，继而有 ，分别在 和 中，运用正弦、余弦定理可得 ，
，整理 ，再由基本不等式可求得 的最小值；
若选③：由三角形的面积公式和向量的数量积运算得 ，继而有 ，分别在 和
中，运用正弦、余弦定理可得 ， ，整理 ，再由基本不等式可求
得 的最小值.
【详解】
解：若选①：根据正弦定理由 ，得 ，即
，
又因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，
因为 是 的平分线交 于点 ， ，所以 ，
在 中， ，所以 ， ，在 中， ，所以 ，所以 ，
，
所以 ，整理得 ，即 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
故 的最小值9；
若选②：根据正弦定理由 ，得 ，即 ，所以由余弦定理得
，即 ，又 ，所以 ，因为 是 的平分线交 于
点 ， ，所以 ，
在 中， ，所以 ， ，
在 中， ，所以 ，所以 ，
，
所以 ，整理得 ，即 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
故 的最小值9；
若选③：由 得 ，即 ，所以 ，又
，所以 ，因为 是 的平分线交 于点 ， ，所以 ，
在 中， ，所以 ， ，
在 中， ，所以 ，所以 ，
，所以 ，整理得 ，即 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
故 的最小值9；
32．在① ，② ，③ 三个条件中任选一个补充在下面的
横线上，并加以解答
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且______，作 ，使得四边形 满足
， ，求 的最值
【答案】①或②或③， 有最大值 ，无最小值.
【分析】
选①利用正弦定理，可得 ，进而可得 ，选②利用正弦定理，可得 ，
进而可得 ，选③利用三角形面积公式可得 ；再利用正弦定理及面积公式可得
，然后利用辅助角公式及三角函数的性质可求最值.
【详解】
选①，由 得 ，
∴ ，
又 ， ，∴ 又 ，
∴ ；
选②，由 得 ，
∴ 即 ，
∴ 又 ，
∴ ；
选③，由 得 又 ，
∴ 即 ，又 ，
∴ ；
在△ACD中， ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
，
∴，
，
∵ ，
∴ ，又在△ABC中， ，
∴ ， ，
∴ ，当 即 时 ，
∴ ，
即 有最大值 ，无最小值.
33．在① ，② ，③ 三个条件中任选一个补充在下面的
横线上，并加以解答
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且______，若 ，求 的取值范围.
【答案】
【分析】
根据题意，选择①②③求得 ，利用正弦定理求得外接圆的直径 ，进而化简
，其中 ， ，且 ，结合余弦函数的性质，即可求解.
【详解】
若选①：由 ，根据正弦定理可得 ，
即 ，
即 ，可得 ，因为 ，所以 ;
选②：由 ，根据正弦定理可得 ，
可得 ，即 ，
又由余弦定理，可得 ，
因为 ，所以 ;
若选③：由 ，可得 ，
即 ，可得 ，
因为 ，所以 ;
又由 ，可得 外接圆的直径为 ，
所以
，
其中 ， ，且 ，
因为 ，可得 ，
根据余弦函数的性质，当 时， ，
当 时， ，
所以 的取值范围为 .
34．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， .
（1）求 的大小；
（2）若 ，求 的面积；（3）求 的最大值.
【答案】（1） ；（2） ；（3）最大值为 .
【分析】
（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式进行求解即可；
（2）根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可；
（3）根据余弦定理，结合基本不等式、函数的单调性进行求解即可.
【详解】
（1）因为 ，又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ， ，所以 ，可得 .
（2）因为 ，所以 ，所以 ，
所以 的面积为 .
（3）由 ，得 ，
因为 ，所以 ，所以 （当且仅当 时取等号）.
设 ，则 ，所以 ，
设 ，
则 在区间 上单调递增，所以 的最大值为 ，
所以， 的最大值为 .
35．如图，在四边形 中， ， ， .（1）若 ，求 的面积；
（2）若 ， ，求 的长.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）由余弦定理求出BC，由此能求出△ABC的面积．
（2）设∠BAC＝θ，AC=x，由正弦定理得 从而 ，在 中，由正弦
定理得 ，建立关于θ的方程，由此利用正弦定理能求出sin∠CAD．再利用余弦定理可得结果.
【详解】
（1）因为 ， ， ，
所以 ，即 ，
所以 .
所以 .
（2）设 ， ，则 ，
在 中，由正弦定理得： ，
所以 ；
在 中， ，所以 .即 ，化简得： ，
所以 ，
所以 ， ，
所以在 中， .
即 ，解得 或 （舍）.
36．在① ，② ，③ 三个条件中任选一个补充在下面的
横线上，并加以解答
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且______，求 的取值范围.
【答案】
【分析】
选①，利用正弦定理边化角，得出角 ，再结合基本不等式即可求出取值范围；
选②，利用正弦定理角化边，得出角 ，再结合基本不等式即可求出取值范围；
选③，将三角形面积公式和数量积公式代入化简得出角 ，再结合基本不等式即可求出取值范围.
【详解】
选①， 由正弦定理得
即
整理得
即即 （当且仅当 时取等号）
又
即 的取值范围为 ；
选②， ，由正弦定理得
，即
即 （当且仅当 时取等号）
，即
又
即 的取值范围为 ；选③，
由 ，
即 （当且仅当 时取等号）
，即
又
即 的取值范围为 .
37．在 中， 、 、 分别为内角 、 、 的对边，且 ．
（1）求 的大小；
（2）若 ，试判断 的形状；
（3）若 ，求 周长的最大值．
【答案】（1） ；（2） 为等腰钝角三角形；（3） .
【分析】
（1）根据正弦定理结合余弦公式求出 的值，结合角 的取值范围可求得角 的值；
（2）利用三角恒等变换化简得出 ，结合角 的取值范围可求得角 的值，由此可得出结论；
（3）利用余弦定理结合基本不等式可求得 的最大值，即可得出 周长的最大值．
【详解】（1）因为 ，
根据正弦定理得 ，所以， ，
由余弦定理可得 ，
又 ，所以， ；
（2）由（1）知 ，又 得 ，
即 ，
因为 ，则 ，所以， ，所以， ， ，
则 为等腰钝角三角形；
（3）由 ， 及 余弦定理知
，
则 ，知 ，当且仅当 时，等号成立，
所以， ，因此， 周长的最大值为 .
38．如图，在四边形 中， ，且 ， ， .（1）求 的长；
（2）求四边形 面积的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）由二倍角公式得 ，进而在 中，利用余弦定理求解即可；
（2）设四边形 面积为 ，则 ，进而根据三角形面积公式，并结合余弦定理和基本
不等式求解即可.
【详解】
解：（1）∵ ， ，
∴ ，
∵在 中， ， ， ，
∵ ，
∴ ；
（2）设四边形 面积为 ，则 ，
∵ ，所以 ，
在 中， ， ，由余弦定理可得： ，
又 则 ，
，当且仅当 时，等号成立，
，
∴ .
39．现给出三个条件：①a sin ＝b sin A，②a cos C＋c cos A＝2b cos B，③2c－a＝2b cos A.
从中选出一个补充在下面的问题中，并解答问题．
设 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________．
（△1）求角B的大小；
（2）若b＝2，求 ABC周长的取值范围．
△
【答案】（1）条件选择见解析， ；（2）(4，6].
【分析】
（1）选①：利用正弦定理边化角，同时结合三角形内的隐含条件及变名的诱导公式即可求出sin ＝ ，
从而求出Β＝ ；
选②：利用余弦定理角化边，同时结合三角形内的隐含条件即可求出；
选③：利用正弦定理边化角，同时结合三角形内的隐含条件及和差公式即可求出 ，从而求出Β＝
；
（2）利用余弦定理求出 ，再根据基本不等式即可求出 ，同时结合三角形内边之间
的关系可得到2＜a＋c≤4，从而求出 ABC周长的取值范围．
△【详解】
（1） 若选①，由正弦定理与三角形内角和定理可得sin A·sin ＝sin B sin A，
因为 ，所以 ，
所以cos ＝2sin cos ，所以sin ＝ ，
又因为0＜ ＜ ，所以 ＝ ，即Β＝ .
若选②，由余弦定理得a· ＋c· ＝2b cos B，
即 ＋ ＝2b cos B，所以 ，
即 ，又0＜B＜π，所以B＝ .
若选③，由正弦定理，得2sin C－sin A＝2sin B cos A，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即2sin A cos B＋2cos A sin B－sin A＝2sin B cos A，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，又0＜B＜π，所以B＝ .
（2）由(1)可得B＝ ，若b＝2，
则由余弦定理得 ，
所以 ，即 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
又a＋c＞b＝2，所以2＜a＋c≤4，即4＜a＋b＋c≤6，所以△ABC周长的取值范围为(4，6].
40．目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身
影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已知基站高 ，该同学眼
高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°．
（1）求出山高BE（结果保留整数）；
（2）如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在
位置）到基站AB所在直线的距离 ，且记在M处观测基站底部B的仰角为 ，观测基站顶端A的
仰角为 .试问当 多大时，观测基站的视角 最大?参考数据： ， ，
， ．
【答案】（1） m；（2） m.
【分析】
（1）在 中，由正弦定理求出 ，即可求出 ，进而求出；
（2）根据题意得出 ，列出关于 的式子，利用基本不等式可求出.
【详解】
解：（1）由题知 ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
所以 ，
在 中， ，即 ，所以 ，
所以山高 m.（2）由题知 ， ，则在 中， ，
在 中， ，由题知 ，
则
，
当且仅当 即 m时， 取得最大值，即视角最大.任务三:邪恶模式(困难)1-20题
1. 中，D是BC上的点，AD平分 ， 面积是 面积的2倍．
（1）求 的值；
（2）从① ，② ，③ 这三个条件中选择两个条件作为已知，求BD和AC的长．
【答案】
（1）
（2）选①②: BD= ，AC=1；选②③: BD= ，AC=1；选①③：BD= ，AC=1或BD= ，AC=
．
【分析】
（1）过A作 于E，由已知及面积公式可得 ，由AD平分 及正弦定理可得
， ，从而得解 ．
（2）若选①②，由（1）可求 ，过D作 于M，作 于N，由AD平分 ，可
求 ，令 ，则 ，利用余弦定理即可解得BD和AC的长；
若选②③，由（1）知BD的值，在 中，由正弦定理可得 ，由余弦定理可得 ，解得b的值，即可得解；
若选①③，由正弦定理可得 ，由余弦定理可得 ，又 ，整理可得
，可得 ，解得x的值，进而可求b的值，即可得解．
（1）
如图，过A作 于E，
∵ ，∴ ，∵AD平分 ，∴ ，
在 中， ，∴ ，
在 中， ，∴ ；
∴ ．
（2）
若选① ，② ，由（1）知， ，
过D作 于M，作 于N，∵AD平分 ，∴ ，
∴ ，∴ ，令 ，则 ，
∵ ，∴ ，∴由余弦定理可得： ，∴ ，∴ ，
∴BD的长为 ，AC的长为1．
若选② ，③ ，由（1）知， ，
因为 ，所以在 中，由正弦定理可得 ，即 ，
由余弦定理 ，整理可得 ，解得 ， （负值舍去）
∴BD的长为 ，AC的长为1．
若选① ，③ ，
因为 ，所以在 中，由正弦定理可得 ，即 ，
因为 ，可得 ，设 ， ，
所以由余弦定理可得： ，整理可得 ，①
又 ，整理可得 ，②
由①②可得 ，解得 ，或 ，解得 或 ，
由①可得 ，可得BD的长为 ，AC的长为1．或 ，可得BD的长为 ，AC的长为 ．
2．已知函数 （ ）图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ．
（1）求 的单调递增区间以及 图象的对称中心坐标；（2）是否存在锐角 ， ，使 ， 同时成立？若存在，求出角 ，
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）递增区间为 （ ）；对称中心的坐标为 （ ）
（2）存在； ，
【分析】
（1）根据三角恒等变换化简解析式，再根据正弦型函数图象性质求解即可；
（2）由诱导公式可得 ，又 ，代入化简可得 ，
。
（1）
解：
，
由 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，得 的最小正周期 ，解得 ．
所以 ，
由 （ ），得 （ ），
所以 的递增区间为 （ ），
由 （ ），得 （ ）；
所以 图象的对称中心的坐标为 （ ）．（2）
解：存在．
因为 ， ，
所以 ，
所以 ．
又 ， ，所以 ，
即 ，即 ，
即 ，即 ，
所以 ，由 为锐角，得 ，所以 ， ，从而 ．
故存在 ， 符合题意．
3．已知函数 为奇函数，且 图象的相邻两对称轴间
的距离为 .
（1）求 的解析式与单调递减区间；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），得到函数
的图象，当 时，求方程 的所有根的和.
【答案】
（1） ，递减区间为 ，（2）
【分析】
（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；
（2）利用图象变换法则求得g(x)的函数表达式，解方程求得g(x)的值，利用换元思想，结合三角函数的图
象和性质分析求得.
（1）
由题意，
图象的相邻两对称轴间的距离为 ，
的最小正周期为 ，即可得 ，
又 为奇函数，则 ， ，
又 ， ，故 ，
令 ，得
函数 的递减区间为 ，
（2）
将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得 的图象，
再把横坐标缩小为原来的 ，得到函数 的图象，
又 ，则 或 ，
即 或 .
令 ，当 时， ，
画出 的图象如图所示：有两个根 ,关于 对称，即 ,
有 ,
在 上有两个不同的根 ， , ；
又 的根为 ，
所以方程 在 内所有根的和为 .
4．已知函数 .
（1）当 时，函数 的图象关于直线 对称，求 在 上的单调递增区
间；
（2）若 的图像向右平移 个单位得到的函数 在 上仅有一个零点，求ω的取值范围．
【答案】
（1） 和
（2）
【分析】
（1）化简函数 ，得到 ，结合三角函数的性质，求得，得到 ，得出 ，进而求得 的单调增区间.
（2）令 ，求得 ，根据 在 上仅有一个零点，列出不等式组，即可求
解.
（1）
解：因为 ，
所以
，
由 的图象关于直线 对称，可得 ，
所以 解得 ，
又因为 ，所以当 时， .
所以 ，令 ，
解得 ，
又由 ，所以， 或 ，
即 在 上的单调递增区间为 和 .
（2）
解：由已知得 ，令 得 ，
即 ，因为 在 上仅有一个零点，所以 ，
由于 ，所以 得 ，
解得 因为 ，所以 ，所以 .
5．在平面四边形 中， ， ， ，
（1）求 的长；
（2）求 的最大值．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）在三角形ABD中，利用余弦定理求出 的长；
（2）先推出A、B、C、D四点共圆，然后求出 ，问题归结为求 的最大值.，
显然当 为外接圆的直径时最大，再用正弦定理求出外接圆直径即可.
【详解】
（1）∵在 中， ， ，
∴利用余弦定理得：
∵
∴
（2）∵ ，
∴
∴A、B、C、D四点共圆
如图所示：在AC上取点E，使得∠CBE=∠DBA，
又∵∠BCE=∠BDA
∴
∴ ，即 ①
同理可得：
∴ ，即 ②
①+②得：
由（1）可知，
∴
∴求 的最大值即求 的最大值.
当AC为圆的直径时， 最大
由正弦定理得：
∴ 最大值为 ，此时
的最大值为
6．在① ，② ，③ 三个条件中任选一个补充在下面的横
线上，并加以解答.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且______，作 ，使得四边形 满足
， ， 求 的取值范围.
【答案】 .
【分析】
根据题意，选择①②③求得 ，设 ，则 ，在 中，由正
弦定理求得 ，在 中，由正弦定理求得可得
，结合 和三角函数的性质，即可求解.
【详解】
若选①：由 ，根据正弦定理可得 ，
即 ，
即 ，
可得 ，因为 ，所以 ，
设 ，则 ，
在 中，由正弦定理得 ，可得 ，
在 中，由正弦定理得 ，
可得
，
因为 ，可得 ，
当 时，即 ，可得 ，
当 时，即 ，可得 ，
所以 的取值范围是 .
选②：由 ，根据正弦定理可得 ，
可得 ，即 ，
又由余弦定理，可得 ，
因为 ，所以 ，
设 ，则 ，
在 中，由正弦定理得 ，可得 ，
在 中，由正弦定理得 ，
可得
，
因为 ，可得 ，
当 时，即 ，可得 ，
当 时，即 ，可得 ，
所以 的取值范围是 .
若选③：由 ，可得 ，
即 ，可得 ，
因为 ，所以 ，
设 ，则 ，
在 中，由正弦定理得 ，
可得 ，在 中，由正弦定理得 ，
可得
，
因为 ，可得 ，
当 时，即 ，可得 ，
当 时，即 ，可得 ，
所以 的取值范围是 .
7．已知 是 的内角，函数 的最大值为 ．
（1）求 的大小；
（2）若 ，关于 的方程 在 内有两个不同的解，
求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）利用两角和差、二倍角和辅助角公式化简得到 ，结合最大值可求得 ，由此可得 ；
（2）根据 的范围可求得 的范围，将问题转化为 在 内有两个不同的解，设 ， ，利用导数可得 的大致图象，采用数形结合的方式，分别在 不同的取值范
围情况下，结合 的范围得到对应的解的个数，由此可求得结果.
【详解】
（1）
的最大值为 ， ，解得： ，
， ；
（2）由（1）得： ， ，
， ， ；
当 ，即 时，方程 无解， ，
在 内有两个不同的解，
令 ，则 ， ，
设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减；
又 ， ， ， ，
的大致图象如下图所示，设 对应的根分别为 ，
当 时， ， ，则 对应的 ， 对应的 ，满
足题意；
当 时， ，此时 ，即 ，方程有唯一解，不合题意；
当 时， ，此时 ，即 ，方程有唯一解，不合题意；
当 时， ， ，则 对应的 ， 对应的 ， ，方
程有三个不同的解，不合题意；
当 时， 或 ，此时 ，符合题意；
综上所述： 的取值范围为 .
8．如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径 的长为 ，C，D两点在半圆弧上，
且 ，设 ；
（1）当 时，求四边形 的面积.
（2）若要在景区内铺设一条由线段 ， ， 和 组成的观光道路，则当 为何值时，观光道路的
总长l最长，并求出l的最大值.【答案】（1） ；（2）5
【分析】
（1）把四边形 分解为三个等腰三角形： ，利用三角形的面积公式即得解；
（2）利用 表示（1）中三个等腰三角形的顶角，利用正弦定理分别表示 ， 和 ，令 ，
转化为二次函数的最值问题，即得解.
【详解】
（1）连结 ，则
四边形 的面积为
（2）由题意，在 中， ，由正弦定理
同理在 中， ，由正弦定理
令
时，即 ， 的最大值为5
9．某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示， 为地面， ， 为路灯灯杆，， ，在 处安装路灯，且路灯的照明张角 ，已知 m， m．
（1）当 ， 重合时，求路灯在路面的照明宽度 ；
（2）求此路灯在路面上的照明宽度 的最小值．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）先由余弦定理求出ME，再求出 ，进而求出 ，最后根据正弦定理求出答案；
（2）先用等面积法求出 间的关系，进而运用余弦定理结合基本不等式建立 之间
的不等式，两者结合即可得到答案 .
【详解】
（1）当 ， 重合时，
由余弦定理知，
所以 ，
因为 ，所以
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
∴在 中，由正弦定理可知， ，解得 m.（2）易知 到地面的距离 ，
所以 ，所以
又由余弦定理可知， ，
当且仅当 时“=”成立.
所以 ，解得 m．
答：（1）路灯在路面的照明宽度为 ；（2）照明宽度 的最小值为 ．
10．已知向量 ．令函数 ．
（1）求函数 的最小正周期和单调递增区间；
（2） 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的角平分线交 于D．其中，函数 恰
好为函数 的最大值，且此时 ，求 的最小值．
【答案】（1） 的最小正周期为 ，单调递增区间为 ；（2）
【分析】
（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简可得 ，即可求出最小正周期，令
可解出单调递增区间；
（2）可得 ，解得 ，再根据正弦定理解得 ，进而表示出
，利用基本不等式可求解.
【详解】（1） ，
，
则 的最小正周期为 ，
令 ，解得 ，
故 的单调递增区间为 ；
（2）由 恰好为函数 的最大值可得 ，
即 ， ，则可解得 ，则 ，
在 中，由 ，可得 ，
在 中，由 ，可得 ，
，
在 中， ，
则可得 ， ，则 ，
，
，
当且仅当 等号成立，故 的最小值为 .
11．如图，在四边形 中， ， ， .
（1）求 ；
（2）若 ，求 周长的最大值.
【答案】（1） ；（2）12
【分析】
（1）在 中，利用正弦定理可求得结果；
（2）在 中，由余弦定理可求得 ，在 中， ，设 ，由余弦定理得
，即 ，利用基本不等式求得 ，进而求出 周长的最大
值.
【详解】（1）在 中， ，
利用正弦定理得： ，
又 为钝角， 为锐角，
（2）在 中，由余弦定理得
解得： 或 （舍去）
在 中， ，设
由余弦定理得 ，即
整理得： ，又
利用基本不等式得： ，即 ，
即 ，当且仅当 时，等号成立，即 ，
所以
所以 周长的最大值为12
12．已知函数 .
（1）当 时，求 的值域；
（2）是否同时存在实数 和正整数 ，使得函数 在 上恰有2021个零点？若存在，请求出所有符合条件的 和 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）答案见解析.
【分析】
（1）利用三角恒等变换得出 ，根据正弦型函数的值域求解；
（2）由题意可知，函数 与直线 在 上恰有 个交点，然后对实数 的取值进行分类
讨论，考查实数 在不同取值下两个函数的交点个数，由此可得出结论.
【详解】
（1）
，
当 时， ，
∴ ，则 .
（2）假设同时存在实数 和正整数 满足条件，函数 在 上恰有2021个零点，即
函数 与直线 在 上恰有2021个交点.
当 时， ，作出函数 在区间 上的图象如下图所示：①当 或 时，函数 与直线 在 上无交点，
②当 或 时，函数 与直线 在 上有一个交点，
此时要使函数 与直线 在 上恰有2021个交点，
则 ；
③当 或 时，函数 与直线 在 上有两个交点，
此时函数 与直线 在 上有偶数个交点，不符合题意；
④当 时，函数 与直线 在 上有三个交点，
此时要使函数 与直线 在 上恰有2021个交点，则 ；
综上所述，存在实数 和 满足题设条件：
时， ；
时， ；
时， .
13．如图，在半径为 ，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA
上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y.
（1）按下列要求写出函数的关系式：
①设PN＝x，将y表示成x的函数关系式；
②设∠POB＝θ，将y表示成θ的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y的最大值.
【答案】（1）① .② ；（2）选择②
时，函数取得最大值 .
【分析】
（1）①根据PN＝QM=x，结合半径为 ，圆心角为60°，分别求得 ， ，进而得
到MN求解；②根据∠POB＝θ，结合半径为 ，圆心角为60°，求得 ，再由
，进而得到MN求解.
（2）选择②利用二倍角公式和辅助角公式，将函数转化 ，利用直线函数的性质求
解.
【详解】
（1）①因为PN＝QM=x，
所以 ，
而 ，
所以 ，
所以 .
因为点P在扇形的弧上，
所以 ，所以
②因为∠POB＝θ，
所以 ，
而 ，
所以 ，
所以 .
因为点P在扇形的弧上，
所以 ，
所以 .
（2）选择② ，
，
，
因为 ，
所以 ，
当 时，函数取得最大值 .
14．如图，在梯形 中， ， ， ， ．(1)若 ，求梯形 的面积；
(2)若 ，求 ．
【答案】(1) ；(2) ．
【分析】
(1) 中，利用含 的余弦定理表达式建立BC的方程，求出BC而得 面积，再利用面积关系
求 的面积得解；
(2)由题设中角的信息用 表示出 与 中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦定理建立
两个方程，联立整理得 的方程，解之即得.
【详解】
(1)设 ，在 中，由余弦定理 得：
，即 ，而x>0，解得 ，
所以 ，则 的面积 ，
梯形 中， ， 与 等高，且 ，
所以 的面积 ，
则梯形 的面积 ；
(2)在梯形 中，设 ，而 ，
则 ， ， ， ，
在 中，由正弦定理 得： ，在 中，由正弦定理 得： ，
两式相除得： ，
整理得 ，
即
解得 或 ，
因为 ，则 ，即 ．
15．已知a，b，c是 的内角A，B，C的对边，且 的面积 .
（1）记 ， ，若 .
（i）求角C，
（ii）求 的值；
（2）求 的取值范围.
【答案】（1） ； 或 .（2）
【分析】
（1）（i）由 ，利用向量共线的坐标运算可得 ，再利用正弦定理边化角得
，借助 ，即可求得角C
（ii）由 ，得 ，由余弦定理得： ，两边同除以 可得， ，
解方程即可求解.
（2）由 ，得 ，由余弦定理得： ，两边同除以 可得，，分离取值范围已知的量：
由 ，则 ，即 ，解不等式即可得到答案.
【详解】
（1）（i） ， ， ，
，即
利用正弦定理得： ，
即 ，化简得
又 ， ，
又 ，
（ii）由 ，得 ，即 ，化简得
由余弦定理得： ，
即 ，两边同除以 可得，
令 ，得 ，解得
所以 的值为 或
（2）由 ，得 ，即
由余弦定理得： ，
即 ，两边同除以 可得，令 ，得 ， 即
由 ，则 ，即 ，
解不等式得：
所以 的取值范围为：
16．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池 的池底水平铺设污水净化管道（ 三条边，
是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口 是 的中点， 分别落
在线段 上，已知 米， 米，记 .
(1)试将污水净化管道的总长度 （即 的周长）表示为 的函数，并求出定义域；
(2)问 取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.
【答案】（1） ， ； （2） 或 时，L取得最大值为
米．.
【分析】
（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数
解析式，并注明θ的范围．
（2）设sinθ+cosθ=t，根据函数 L= 在[ ， ]上是单调减函数，可求得L的最大值．
所以当 时，即 或 时，L取得最大值为 米．
【详解】由题意可得 ， ， ，由于 ， ，
所以 ， ，
，
即 ，
设 ，则 ，由于 ，
由于 在 上是单调减函数，
当 时，即 或 时，L取得最大值为 米．
17．某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖．如图，该弓形所在的圆是以 为直径
的圆，且 米，景观湖边界 与 平行且它们间的距离为 米．开发商计划从 点出发建一
座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行），桥面在湖面上的部分记作 ．设
．
（1）用 表示线段 并确定 的范围；
（2）为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将 的长度设计到最长，求 的最大值．
【答案】（1） ， ；（2） 米.
【分析】
(1) 过点 作 于点 再在 中利用正弦定理求解 ,再根据 求解 ,进而求得 .再根据 确定 的范围即可.
(2)根据(1)有 ,再设 ,求导分析函数的单调性与最值即可.
【详解】
解：
过点 作 于点
则 ,
在 中, ,
,
由正弦定理得： ,
,
,
,
,因为 ,
化简得
,令 , ,且 ,
因为 ,故
令
即 ,
记 ,
当 时, 单调递增；
当 时, 单调递减,
又 ,
当 时, 取最大值,
此时 ,
的最大值为 米．
18．随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼，“日行一万步，健康一辈子”.通过“小步
道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图， 为某市的一条
健康步道， ， 为线段， 是以 为直径的半圆， ， ， .（1）求 的长度；
（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新增健康步道 （ ，
在 两侧）， ， 为线段.若 ， 到健康步道 的最短距离为 ，求 到直
线 距离的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）利用余弦定理求出半径，利用圆的周长公式可得结果；
（2）先求出 点的大致轨迹，再结合正弦定理、圆的几何性质求最 点到直线 距离的最值即可求解．
【详解】
（1）在 中，由余弦定理可得，
，
．
（2） 的轨迹为 外接圆的一部分，设 外接圆的半径为 ，
由正弦定理 ，且满足 ，
由（1）得： ，所以 为直角，
过 作 于 ，设所求距离为 ，
①当 通过圆心 时， 达到最大，由几何关系得，四边形 为矩形，所以 ，此时满足 ，
②当 无限接近 时，此时 ，
综上：所求 到直线 距离 的取值范围为 ．
19．已知函数 （ ）在一个周期内的图象如图所示，A为 图
象的最高点，B，C为 图象与x轴的交点，且 为等腰直角三角形.
（1）求 的值及函数 的值域；
（2）若 ，且 ，求 的值；
（3）已知函数 的图象是由 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍，然后再向左平移1个单位长度得到的，若存在 ，使 成立，求a的取值范围.
【答案】（1） ， ；（2） ；（3） .
【分析】
（1）先将原式整理，得到 ，得出值域，求出 点纵坐标为 ，推出周期，进而
可求出 ；
（2）先由题中条件，和（1）的结果，得到 ，求出 ，再由两角和的正弦
公式，即可求出结果；
（3）先根据函数平移，得到 ，根据正弦函数的性质，求出 时，
，令 ，将问题转为存在 使 成立，
根据二次函数的性质，即可得出结果.
【详解】
（1）因为
，即 的值域为 ；
所以 点纵坐标为 ，
又 为等腰直角三角形，所以 ，因此最小正周期为 ；
所以 ；
（2）由（1）知 ，
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
因此 ，
所以
；
（3）由题意，可得 ，
若 ，则 ，所以 ，
令 ，则 可化为 ，
即 ，
因为函数 是开口向上，对称轴为 的二次函数，
所以 时，函数 单调递减； 时，函数 单调递增，
所以 ，
又当 时， ；当 时， ，
所以 ；
因为存在 ，使 成立，
所以存在 使 成立，
因此只需 .20．已知△ABC中，函数 的最大值为 .
（1）求∠A的大小；
（2）若 ，方程 在 内有两个不同的解，求实数m取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）利用诱导公式、两角差的正弦和二倍角正弦余弦公式化简 ，最后利用余弦函数的性质可得
，结合最大值可求 .
（2）令 ， ，画出该函数的图象，考虑方程 在 上的解的情况，结合前
者进一步加强解的范围，利用根分布可求实数 的取值范围.
【详解】
（1）
，
故 ，故 .
因为 ，故 .
（2）
故 ，令 ， ，
则 的图象如图所示：又 ，考虑 在 上的解.
若 ，则 或
当 时，方程的解为 ，此时 有两解 或 ，
故方程 在 内有两个不同的解，符合.
当 时，方程的解为 ，此时 仅有一解，
故方程 在 内有一个解，舍.
若 ，则 或 ，
此时 在 有两个不同的实数根 （ ），
当 时，则 ，
要使得方程 在 内有两个不同的解，
则 .
令 ，则 ，解得 .当 时，则 且 ，故 ， ，
要使得方程 在 内有两个不同的解，
则 ， ，故 ，此时 ，符合.
综上， 的取值范围为： .
