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专题 11 三角函数的图象与性质（ω 的取值范围）
三角函数的图象与性质一直是高考的必考内容，也是高考热点内容，在三角函数图象中，w对整个
图象的性质影响巨大。因此近年高考中对ω的取值范围的考察就是高考的热门考点之一，这部分考题呈
现出综合性较强，对学生的逻辑推理，直观想象素养要求较高，所以对w的取值范围的系统研究，找到
解题的通性通法对提高学生的整体数学素养有巨大的帮助。
一、热点题型归纳
题型1、与函数平移相关的ω取值范围问题
题型2、与函数单调性相关的ω取值范围问题
题型3、与函数零点相关的ω取值范围问题
题型4、与函数最值相关的ω取值范围问题
题型5、与函数极值相关的ω取值范围问题
题型6、与函数对称性相关的ω取值范围问题
题型7、与零点、单调性、对称性等相关的综合性问题
二、最新模考题组练
三、十年高考真题练
【题型1】与函数平移相关的ω取值范围问题
【解题技巧】
1、平移后与原图象重合：1）平移长度即为原函数周期的整倍数；2）平移前的函数 =平移后的函数
.
2、平移后与新图象重合：平移后的函数 =新的函数 .
3、平移后的函数与原图象关于 轴对称：平移后的函数为偶函数；
4、平移后的函数与原函数关于 轴对称：平移前的函数 =平移后的函数- ；5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。
【典例分析】
1.（2022.辽宁高三模拟）已知函数 ，将 的图像向右平移 个单位长度后，
若所得图像与原图像重合，则 的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 , 的周期为 ,
将 的图像向右平移 个单位长度后，所得图像与原图像重合，
是周期的整数倍， ， ， ， 的最小值等于 .故选：B
2．（2022·全国·统考高考真题（甲））将函数 的图像向左平移 个单位长度后
得到曲线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由平移求出曲线 的解析式，再结合对称性得 ，即可求出 的最小值.
【详解】由题意知：曲线 为 ，
又 关于 轴对称，则 ，
解得 ，又 ，故当 时， 的最小值为 .故选：C.
3．（2022·河南·模拟预测）已知函数 的最小正周期为 ，若 ，
把 的图象向左平移 个单位长度，得到奇函数 的图象，则 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据平移得 的表达式，由 为奇函数以及 可得 ，进而由 可得
，由 代入即可求值.【详解】∴ ，
∵ 为奇函数，∴ ，即 ，∴ ．
又 ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ．故选:A．
【变式演练】
1.（2022.绵阳市高三校考期中）将函数 （ ）的图象向右平移 个单位长度，所得图象
经过点 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将 向右平移 个单位长度可得 ，
因为过点 ，所以 ，解得 ，又 ，所以 的最小值是2.故选：
B
2.（2022.江西高三期末）若将函数 的图像向右平移 个单位长度后，与函数
的图像重合，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由函数 的图像向右平移 个单位长度后，
可得 与函数 的图象重合，
，其中 ，即 ，
当 时，可得 ，即 的最小值为 .故选：B.
3．（2022·北京·人大附中校考模拟预测）将函数 的图象向左平移 个单位长度
后得到函数 的图象，则 ______；若 为偶函数，则 的最小值是______.【答案】
【分析】根据三角函数的图象变换关系求出 的解析式，从而可得 的值；再利用函数是偶函数
建立方程进行求解即可．
【详解】解：将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，
即 ，所以 ；
若函数 为偶函数，则 ， ，得 ，
， 当 时， 取得最小值为 ，故答案为： ； ．
【题型2】与函数单调性相关的ω取值范围问题
【解题技巧】
已知函数y=Asin(ωx+φ)在给定区间上的单调性，求ω的取值范围
已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)，在[x ,x ]上单调递增（或递减），求ω的取值范围
1 2
1 π π
1）根据区间[x ,x ]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x −x ≤ T= ，求得0<ω≤ .
1 2 2 1 2 ω x −x
2 1
π π
2）以单调递增为例，利用[ωx +φ,ωx +φ]⊆[− +2kπ, +2kπ]，解得ω的范围；
1 2 2 2
3）结合第一步求出的ω的范围对k进行赋值，从而求出ω（不含参数）的取值范围.
【典例分析】
1．（2022·湖南·长沙模拟预测）已知函数 ，若 在区间 内单调递减，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 在区间 内单调递减，所以 ， 在区间 内单调递
增，
由 ， ，得 ， ，
所以 的单调递增区间为 ， ，
依题意得 ， ，所以 ， ，所以 ，，
由 得 ，由 得 ，所以 且 ，所以 或 ，
当 时， ，又 ，所以 ， 当 时， .
综上所述： .故选：C.
2．（2022·河南·高三专题练习）已知函数 在区间 上单调递减，则
的取值范围为________.
【答案】
【解析】由题意可知 的单调递减区间为 ，
由 ，得 ， ，
即函数 的单调递减区间为 ，
因为 在区间 上单调递减，所以 ，解得 ， ，
只能取 ；当 时， ，即 ，所以 的取值范围是 ．故答案为: .
3．（2022·河北张家口·高三期末）已知函数 ， 且函数 在
区间 上单调递减，则 的最大值为___________.
【答案】
【分析】由 结合 的取值范围可求得 的值，由 可求得 的取值范围，根据已
知条件可得出关于 的不等式组，解出 的范围即可得解.
【详解】因为 ，又 ，所以 ，所以， ，当 且 时， ，
因为 在区间 上单调递减，则 ，
即 ，即 ，
因为 ，则 ，则 且 ，故 ，从而 ，
因此， 的最大值为 .故答案为： .
【变式演练】
1.（2022·河南·汝州市模拟预测）已知函数 在区间 上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意得，函数 ，令 ，
即 .因为函数 在区间 上单调递减，
则 且 ，且 ，
解得 ，且 ，又 ，所以 .故选：C.
2.（2022·广西·高三专题练习）将函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍 纵坐
标不变 ，再向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，若 在 上单调递减，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】将函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍 纵坐标不变 ，得到
，再向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，即 ，若 在 上单调递减，
则 的周期 ，即 ，得 ，
由 ， ，得 ， ，
即 ，即 的单调递减区间为 ， ，
若 在 上单调递减，则 ， ，
即 ， ，当 时， ，即 的取值范围是 .故选：D．
3．（2022秋·陕西西安·高三校考阶段练习）将函数 的图像向左平移 个单位长
度后，得到的图像关于 轴对称，且函数 在 上单调递增，则函数 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出平移后的解析式，根据对称性得到 ， ，再结合函数 在 上单调递
增，得到 ，求出 ，列出不等式，求出 ，得到最小正周期.
【详解】 的图像向左平移 个单位长度后，得到 ，
则 关于 轴对称，所以 ， ，解得： ， ，因为 ，故当 时， ，
因为函数 在 上单调递增，所以 ，解得： ，
故 ，解得： ，因为 ，所以 ，故 ，
则函数 的最小正周期为 .故选：B
【题型3】与函数零点相关的ω取值范围问题
【解题技巧】
已知三角函数的零点个数问题求ω的取值范围
对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和
周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值．
【典例分析】
1．（2022·河南·校联考模拟预测）已知函数 ， ，且
在 上恰有50个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 得出 ，再由余弦函数的性质列出不等式组，进而得出 的取值范围.
【详解】因为函数 ， ，所以
， ， .
所以 ，所以 的取值范围是 .故选：C.
2．（2022·安徽合肥·校考模拟预测）已知函数 在区间 上有且仅有4个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 的范围，求出 的范围，结合正弦函数 的性质即可得结果.
【详解】根据题意，函数 ，
若 ，即 ，必有 ，令 ，则 ，
设 ，则函数 和 在区间 内有4个交点，
又由于 ，必有 ，即 的取值范围是 ，故选：B.
3．（2022·四川宜宾·统考模拟预测）已知函数 ，方程 在区间 有且仅
有四个根，则正数 的取值范围是_________．
【答案】
【分析】由方程 得到 ， ，然后得到 的范围，根据原方程在区间
有且仅有四个根，列出不等式，求解即可得到结果.
【详解】由 ，可得 ，所以 ，
又因为当 时， ，所以 的可能取值为
因为原方程在区间 有且仅有四个根，所以 ，解得
即 的取值范围是 故答案为：
【变式演练】
1．（2022·河南南阳·高一期末）设函数 ，已知 在 上有且仅有 个
零点，则下列说法错误的是（ ）
A． 的取值范围是 B． 的图象与直线 在 上的交点恰有 个C． 的图象与直线 在 上的交点可能有 个 D． 在 上单调递减
【解析】对于A选项，因为 ，当 时， ，
因为函数 在 上有且仅有 个零点，
所以， ，解得 ，A对；
对于B选项，当 时， 且 ，
由 可得 或 ，
故 的图象与直线 在 上的交点恰有 个，B对；
对于C选项，若 ，即当 时，
由 ，可得 或 ，
所以， 的图象与直线 在 上的交点可能有 个，C对；
对于D选项，当 时， ，
因为 ，则 ， ，
所以，函数 在 不一定单调递减，D错.故选：D.
2．（2022·安徽·铜陵高三阶段练习）已知函数 ，若方程 在
上有且只有五个实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】辅助角公式化简后解方程，由第五个正根小于 ，第六个正根大于等于 可得.
【详解】由 ，得： 或
，即 ，或 ，易知由小到大第5、6个正根分别
为 ， .因为方程 在 上有且只有五个实数根，所以有 且 ，解得 .故选：
C.
3．（2022·重庆江北·校考一模）函数 在 上有 个零点，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】函数 得 或 ，解方程即可求函数 在 上的从小到
大的七个零点，根据 在 上有 个零点，列不等式，即可求得 的取值范围.
【详解】解： 得 或
解得 或 或
即 或 或
因为 ，函数 在 上的七个零点依次为：
由于 在 上有 个零点，所以 ，解得 ，
则 的取值范围是 .故选：B.
【题型4】与函数最值相关的ω取值范围问题
【典例分析】
1．（2022·安徽马鞍山·三模）函数 在区间 上恰有两个最小值点，则 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 ，因为 ，所以 ，
问题转化为函数 在 时恰有两个最小值点，所以有 ，因为 ，所以 ，故选：A
2．（2022·河南·宝丰县模拟预测）已知函数 在区间 上的值域为 ，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时， ，
因为函数 在区间 上的值域为 ，所以 ，解得 .故选： .
3．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数 ，若 ，且 在
上有最大值，没有最小值，则 的最大值为______．
【答案】17
【分析】利用三角函数的零点以及函数的单调性可知， ，再结合函数的周期列式，
即可求解.
【详解】由 ，且 在 上有最大值，没有最小值，
可得 ， 所以 .
由 在 上有最大值，没有最小值，可得 ，解得 ，
又 ，当 时， ，则 的最大值为17，,故答案为：17
【变式演练】
1.（2022·河南·高三期中）若函数 在区间 内不存在最小值，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】函数 ，由 ，有 ，由正弦函数的单调性可知：
当 ，即 时， 在 上单调递增，最小值为 ，不合题意；
当 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
由 ， 最小值为 ，不合题意；
当 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
由 ，此时 最小值不存在，符合题意；
当 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
有最小值为 ，不合题意；
综上可知， 时， 在区间 内不存在最小值.故选：D
2.（2022·广东·广州市高三阶段练习）已知定义在 上的函数 （ ）的最大值
为 ，则正实数 的取值个数最多为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】换元，令 ，讨论 与 的大小关系，由单调性即可求出函数
的最大值，再根据函数零点的判断方法，即可判断出正实数 的取值个数．
【详解】令 ，
①当 时，即 ，根据正弦函数的单调性可知， ，解得 ；
②当 时，即 ，根据正弦函数的单调性可知， 在 上单调递增，
所以 ．设 ， ，
，因为 ， 在 上递减，
所以 在 上递减，存在 ，使得 ，因此 在 上递增，在 上递减，而 ， ， ，由零点存在性定理可知，存在唯一的
，使得 ，即说明 只有一个实根，综上可知，正实数 的取值
个数最多为2.故选：C．
3．（2022春•瑶海区月考）将函数 ， ， 图象上每点的横坐标变为原来
的2倍，得到函数 ，函数 的部分图象如图所示，且 在 ， 上恰有一个最大值和一个最
小值（其中最大值为1，最小值为 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解析】解：将函数 ， ， 图象上每点的横坐标变为原来的2倍，
得函数 ，由 图象过点 以及点在图象上的位置，
知 ， ， ， ，
由 在 ， 上恰有一个最大值和一个最小值， ， ，故选： ．
【题型5】与函数极值相关的ω取值范围问题
【典例分析】
1．（2022·湖北武汉·统考模拟预测）已知偶函数 （ ， ）在
上恰有2个极大值点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简函数 ，根据偶函数的性质结合 的取值范围，求解 的值，最后化简得
到 ，再根据函数 在 上恰有2个极大值，代入 ，即可求解 的取值范围.
【详解】解： ，因为 ，则 ，故 ，
又函数 为偶函数，故 ，解得 ，故 ，
因为函数 在 上恰有2个极大值，故当 时， ，即 .故选：D.
2．（2022·陕西咸阳·统考一模）已知函数 ， ， 向右平移 个单位长度后的图象
与原函数图象重合， 的极大值与极小值的差大于15，则a的最小值为（ ）
A．6 B．7.5 C．12 D．18
【答案】C
【分析】写出平移后解析式，由它与原函数相同，结合周期性得 的表达式，再由极大值与极小值的差大
于15得 的范围，从而可得结论．
【详解】平移后函数式为 ，它与原函数一样，则 ，
，
是正弦型函数，极大值与极小值的差是 ，由题意 ， ，
所以 的最小值是12．故选：C．
3．（2022·青海·校联考模拟预测）若 ， 分别是函数 的零点和极
值点，且在区间 上，函数 存在唯一的极大值点 ，使得 ，则下列数值中， 的
可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函数的零点和极值点的概念结合正弦函数图象的性质对各个选项进行判断即可.
【详解】设函数 的最小正周期为T,由题意得 则 其中在区间 上，函数 存在唯一的极大值点 ，使得 ，
所以 解得 即 解得
对于D.若 ，则 由
且 可知 可使 成立，
当 时 当 或 时， 都成立，故不符合；
对于C. 若 ，则 ， 且 可知
可使 成立，当 时 ，当
时，存在唯一的极大值点 ，使得 ，故符合条件；
对于B. 若 ，则 由 且 可知
可使 成立，当 时 ，
当 或 时， 都成立，故不符合；
对于A. 若 ，则 由 且 可知
可使 成立，当 时， ，当 或 时， 都成立，故不符合；故选：C
【变式演练】
1．（2022·辽宁丹东·统考二模）关于函数 ，有下述四个结论：
①若 在 内单调递增，则 .②若 在 内单调递减，则 .
③若 在 内有且仅有一个极大值点，则 .
④若 在 内有且仅有一个极小值点，则 .其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．③④
【答案】A
【分析】根据三角函数的单调性判断①②的正确性；根据三角函数的极值点判断③④的正确性.
【详解】依题意函数 ，
由 ，解得 （ ），
若 在 内单调递增，则 .所以①正确.
由 ，解得 （ ），
若 在 内单调递减，则 ，此不等式组无解.所以②错误.对于③，由 ，解得 （ ），依题意 在 内有且仅有一个
解，即 且 ，即 且 ，即 且 ，
所以 的取值范围是 ，所以③正确.
对于④，由 ，解得 （ ），
依题意 在 内有且仅有一个解，即 且 ，
即 且 ，即 且 ，所以 的取值范围是 ，所以④错误.
故正确的为①③.故选：A
【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性和极值点，属于中档题.
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数 （ ）在 上单调，且在 上存
在极值点，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依据函数在 上单调，可知 ，计算出函数的对称轴，然后根据函数在所给区间存在极
值点可知 ，最后计算可知结果.
【详解】因为 在 上单调，所以 ，则 ，由此可得 .因为当 ，即 时，函数取得极值，
欲满足在 上存在极值点，因为周期 ，故在 上有且只有一个极值，
故第一个极值点 ，得 ，又第二个极值点 ，
要使 在 上单调，必须 ，得 .综上可得， 的取值范围是 .故选：C
【点睛】第一步：先根据函数在所给区间单调判断 ；第二步：计算对称轴；第三步：依据函数在所给区
间存在极值点可得 ， 即可.
3．（2022·安徽·安庆高三阶段练习）已知函数 在区间 不存在极值点，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意区间 夹在相邻的两条对称轴之间，列式即可求解
【详解】 ， 函数 在区间 上不存在极值点，
，且 对任意的 都成立，
，且 ， ，且 ， 或 ．故选：D．
【题型6】与函数对称性相关的ω取值范围问题
【解题技巧】
已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为 ，
则 ．【典例分析】
1．（2022·四川绵阳·校考模拟预测）若存在实数 ， 使得函数 的图象的
一个对称中心为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得 ，则 ，再根据 ， ，即可得出答案.
【详解】解：由題意知，存在 在 使得 的一个对称中心为 ，
即存在 使得 时， ，代入 ， 则 ，即 ，即 ，
因为 ， ，所以 ，则 ，
由不等式性质知 时， 取到最小值 ，
又由于 无法取到 ，故 ，所以 的取值范围为 .故选：C.
2．（2022·重庆·高三专题练习）已知函数 在区间 上有且仅有4条对称轴，
给出下列四个结论：① 在区间 上有且仅有3个不同的零点；② 的最小正周期可能是 ；
③ 的取值范围是 ；④ 在区间 上单调递增．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④
【答案】B
【分析】令 ，则 ，由函数 在区间 上有且仅有4条对称轴，即 有4个整数 符合，可求出 判断③，再利用三角函数的性质可依次判断
①②④.
【详解】由函数 ， 令 ，则
函数 在区间 上有且仅有4条对称轴，即 有4个整数 符合，
由 ，得 ，则 ，
即 ， ，故③正确；
对于①， ， ，
当 时， 在区间 上有且仅有3个不同的零点；
当 时， 在区间 上有且仅有4个不同的零点；故①错误；
对于②，周期 ，由 ，则 ， ，
又 ，所以 的最小正周期可能是 ，故②正确；
对于④， ， ，又 ，
又 ，所以 在区间 上不一定单调递增，故④错误．故正确结论的序号是：②③故选：B
【点睛】函数 的性质：(1) .(2)周期
(3)由 求对称轴，由 求对称中心.
(4)由 求增区间；由 求减区间.【变式演练】
1．（2022·四川遂宁·校考模拟预测）将函数 的图象向右平移 个周期后，所得
图象恰有 个对称中心在区间 内，则 的取值范围为______.
【答案】
【分析】先利用平移变换得到 ，再根据所得图象恰有 个对称中心在区间 内，
由 求解.
【详解】解：函数 的周期为 ，则 ，
则将函数 的图象向右平移 个周期后得到 ，
因为 ，所以 ，因为所得图象恰有 个对称中心在区间 内，
所以 ，解得 ，所以 的取值范围为 .故答案为：
2.（2022·福建龙岩·模拟预测）若存在唯一的实数 ，使得曲线 关于直线
对称，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ， ，得 ， ， ，
因为存在唯一的实数 ，使得曲线 关于直线 对称，
所以 只有唯一的值落在 （ ）中，
所以 ，解得 ，故选：C．
3.（2022·山东·模拟预测）已知函数 ，在 上恰有3条对称轴，3个对称中心，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时， ，因为此时 对应3条对称轴，3个对称中心，
画出 函数图象，如图：
故必满足 ，解得 .故选：A
【题型7】与零点、单调性、对称性等相关的综合性问题
【典例分析】
1．（2022·新疆·统考一模）已知函数 在 上是增函数，且在 上恰有一
个极大值点与一个极小值点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 ， ， ，可得 ，在 ， 上仅有一个极大值点与一个极小值点，故
有 ，求解即可．
【详解】由 ， ， ，所以 ，解得 ，
由 在 ， 上仅有一个极大值点与一个极小值点，
则有 ，所以 ，又 ，所以 的取值范围为 ， ．故选： ．2．（2022•成都高三期末）已知 ， ，在函数 ， 的图象的
交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为 ，当 ， 时，函数 的图象恒在 轴的上
方，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． D．
【解析】解：由 ，得 ，即 ，即 ，
则 ， ，当 时， ，当 时， ，
相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为 ，
，即 ，则 ，
当 ， 时，函数 的图象恒在 轴的上方，即此时 ，恒成立，
由 ，得 ， ，
得 ，
则 ，得 ，得 ，
当 时，得 ，得 ，则 的取值范围是 ， ，故选： ．
3．（2022·陕西西安·二模（理））已知函数 ，若函数 的一
个零点为 ．其图像的一条对称轴为直线 ，且 在 上单调，则 的最大值为（ ）
A．2 B．6 C．10 D．14
【答案】B
【分析】根据题意，由 表示T，再由 是 的一个单调区间，确定T的范围，从而得到 范围，再逐一验证.
【详解】解：由题意得： ，所以 ， ，
又 ，所以 ，因为 在 上单调，所以 ，则 ，
所以 ，即 ，解得 ，所以 ，
当 时， ，因为函数 的一个零点为 ，所以 ，
则 ，即 ，因为 ，则 ，所以 ，
若 ，则 ，因为 在 上不单调，不符合题意；
当 时， ，因为函数 的一个零点为 ，所以 ，
则 ，即 ，因为 ，无解；
当 时， ，
因为函数 的一个零点为 ，所以 ，则 ，即
，
因为 ，则 ，所以 ，若 ，则 ，
因为 在 上不单调，不符合题意；
当 时， ，因为函数 的一个零点为 ，所以 ，
则 ，即 ，因为 ，则 ，所以 ，
若 ，则 ，因为 在 上不单调，不符合题意；
当 时， ，因为函数 的一个零点为 ，
所以 ，则 ，即 ，
因为 ，则 ，所以 ，若 ，则 ，
因为 在 上单调，符合题意；所以 的最大值为6，故选：B
【变式演练】
1．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））若函数 在 上有且仅有3个零点和2
个极小值点，则 的取值范围为______．
【答案】
【分析】找到临界位置，再根据条件建立不等式求解即可.
【详解】如下图，作出简图，由题意知， ，设函数 的最小正周期为 ，
因为 ，则 ， ，
结合 有 且 ，解得 ．故答案为：
2．（2022秋•温州期末）若函数 能够在某个长度为3的闭区间上至少三次出现最大
值3，且在 上是单调函数，则整数 的值是A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】解：函数 能够在某个长度为3的区间上至少三次出现最大值3，
如果起点为最高点，到下一个最高点，刚好一个周期，可两次获得最大值3，
由三角函数的图象与性质可知：即： ；解得： ；
又 ， 上为单调函数， ，且 ，解得 ；
综上可得，正整数 ．故选： ．
3．（2022•浙江模拟）已知函数 ， 在 ， 上单调，其图象经过点 ，
，且有一条对称轴为直线 ，则 的最大值是 ．
【解析】解：因为函数图象经过点 ，所以 ， ，①
因为直线 为函数的一条对称轴，所以 ， ，②
① ②可得 ，即 ，由 ， ，可得 ，3，5， ，
因为函数 在 上单调，所以 ，即 ，解得 ，
所以 的最大值是5．故答案为：5．
【方法总结】
求ω取值范围的基本解题思路
1、依托于三角函数的周期性：
2π 2π
因为f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期是T= ，所以ω= ，只要确定周期T，就可以确定ω的取值.
|ω| T
2、利用三角函数的对称性
T
（1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为 ，相邻的对称轴和对称中心
2
T
之间的“水平间隔”为 ，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω
4
的取值。
（2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x轴的交点（零
点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值.
3、结合三角函数的单调性T
函数f (x)=Asin(ωx+φ)的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于 ，据此可
2
用来求ω的值或范围。反之，从函数变换的角度来看ω的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数
f (x)=Asin(ωx+φ)在指定区间上具有单调性，我们忘完可以通过调整周期长度来实现，犹如通过弹簧的
伸缩来抬举三角函数在区间上的单调性和最值等。
1．（2022·四川成都·双流中学校考模拟预测）设 ，若函数 的图象向左平移 个单位
长度后与函数 的图象重合，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出平移后函数的解析，再根据两个图象重合可求 的解析式，从而可求其最值.
【详解】函数 的图象向左平移 个单位长度后对应的解析式为：
，
但该函数图象与 的图象重合，故 ，
故 ，但 ，故 ，故选：B.
2．（2022·四川·校联考模拟预测）将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的
2倍，再向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，若 为奇函数，则ω的最小值为
（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C【分析】根据伸缩及平移变换得到函数 ，结合奇偶性得到 ，从而得到结果.
【详解】由题意， ，
因为 为奇函数，所以 ，解得 ，
又 ，所以当k＝0时，ω取得最小值2．故选：C
3．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测）函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数
的图象， 的零点到 轴的最近距离小于 ，且 在 上单调递增，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 的最小正周期为 ，依题意 为 的一个零点，且 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，因为 的零点到 轴的最近距离小于 ，
所以 ，化简得 ，即 的取值范围是 . 故选：D
4．（2022·陕西榆林·三模（理））已知 ，函数 在 上单调递增，且对任意
，都有 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 ，得 ，
则 ，解得 ．又 ，
∴ ，故 ，即 ． 由 ，得 ，
则 ，解得 ，因为 ，故 ，即 ，综上所述， 的取值范围为 ．故选：A.
5．（2022·广东·三模）已知函数 ，且f（x）在[0， ]有且仅有3个零点，则
的取值范围是（ ）
A．[ ， ） B．[ ， ） C．[ ， ） D．[ ， ）
【解析】因为 ，当 时， ，
因为函数 在 上有且只有3个零点，
由余弦函数性质可知 ，解得 .故选：D．
6．（2022·山东省潍坊高三开学考试）函数 在 有且仅有3个零点，则下列说
法正确的是（ ）
A．在 不存在 ， 使得 B．函数 在 仅有1个最大值点
C．函数 在 上单调进增 D．实数 的取值范围是
【答案】D
【分析】可根据题意作出函数的大致图像，可判断B错；根据函数有三个零点，可判断函数一定能取到
最大和最小值，由此可判断A的正误；判断D时，可求出y轴右侧的四个零点，根据题意列出相应的不
等式组，求得 的范围，进而判断出D的正误，由此求出 的范围，判断函数的单调性，可知C的
正误.
【详解】对于A, 在 上有且仅有3个零点，则函数的最小正周期 ，
所以在 上存在 ，且 ，使得 ，故A错误；
由图象可知，函数在 可能有两个最大值，故B错误;
对于选项D,令 ，则函数的零点为 ,所以函数在y轴右侧的四个零点分别是： ，
函数 在 有且仅有3个零点，
所以 ，解得 ，故D正确；
由对选项D的分析可知， 的最小值为 ，当 时， ，
但 不是 的子集，所以函数 在 上不是单调进增的，故C错，故选：D.
7．（2022·河南·校联考模拟预测）已知函数 的图象与直线 有两个相邻的交点
P，Q， 的图象在P，Q之间有一个极大值点A，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 ，结合正弦函数图象的对称性可得 ，由 的图象在P，Q之间有一个极
大值点A，即 的图象在P，Q之间有一个最大值，从而可得 时， 的值，从而可求
得 ，即可得解.
【详解】因为 的图象在P，Q之间有一个极大值点A，所以 的图象在P，Q之间有一个最大值，
令 ，则 或 ，
所以 或 ，所以 ，
因为 ，由正弦函数图象的对称性可知 ，故 为等腰直角三角形，如图，取 的中点 ，连接 ，则 ，故 ，所以 ，解得 .选：C.
8．（2022·重庆八中高三阶段练习）函数 在 上的值域是 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ， ，则 ，
要使f(x)在 上的值域是 ，则 .故选：C.
9．（2022·陕西·武功县高三阶段练习）函数 在 内恰有两个最小值点，
则 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时，即 时，函数有最小值，
令 时，有 ， ， ， ，
因为函数 在 内恰有两个最小值点， ，所以有： ，故选：B
10.（2022•儋州高三期中）将函数 的图象向右平移 个单位长度，向下
平移 个单位长度后，得到 的图象，如果对于区间 上任意的实数 ，都有
，则正数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意
向右平移 个单位长度，向下平移 个单位长度得到 ，
故 ，如果对于区间 上任意的实数 ，
都有 ，则函数 在区间 上单调递增，
而函数 的单调递增区间满足： ， ，
∴函数 的单调递增区间是 ， ，
∴ ， ，∴ ， ，
当 时， ，当 且 时，无解，∴ .故选：B.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在区间 上无极值，则 的取
值范围是（ ）
A．（0，5] B．（0，5） C．（0， ） D．（0， ]
【答案】A【分析】利用导数求解，将问题转化为
或 在区间 上恒成立，然后利用正弦函数的图象求解即可.
【详解】由已知条件得 ，
∵函数 在区间 上无极值，
∴函数 在区间 上单调，
∴ 或 在区间 上恒成立，
当 时， ，
∵ ，∴ ，在此范围内 不成立；
当 时， ，
∵ ，∴ ，即 ，解得 ，则 的取值范围是 ，故选： .
12．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知偶函数 （ ， ）在
上恰有2个极大值点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简函数 ，根据偶函数的性质结合 的取值范围，求解 的值，最后化简得
到 ，再根据函数 在 上恰有2个极大值，代入 ，即可求解 的取值范围.
【详解】解： ，
因为 ，则 ，故 ，
又函数 为偶函数，故 ，解得 ，故 ，因为函数 在 上恰有2个极大值，故当 时， ，即 .故选：D.
13.若存在实数 ， 使得函数 的图象的一个对称中心为 ，则 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意知，存在 在 使得 的一个对称中心为 ，
即存在 使得 时， ，
代入 ， 则 ，即 ，即 ，
因为 ， ，所以 ，则 ，
由不等式性质知 时， 取到最小值 ，
又由于 无法取到 ，故 ，所以 的取值范围为 .故选：C.
14．（2022·安徽·高三阶段练习）已知函数 在区间[0， ]上有且仅有3条对称
轴，则 的取值范围是（ ）
A．（ ， ] B．（ ， ] C．[ ， ） D．[ ， ）
【解析】 ，令 ， ，则 ， ，
函数f（x）在区间[0， ]上有且仅有3条对称轴，即 有3个整数k符合，
，得 ，则 ，
即 ，∴ .故选：C.
15．（2022·辽宁·大连高三期中）已知函数 在区间 上是增函数，若函数
在 上的图像与直线 有且仅有一个交点，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．1
【解析】因为函数 的图像关于原点对称，并且在区间 上是增函数，
所以 ，又 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上的图像与直线 的第一个交点的横坐标为 ，第二个交点的横坐标为 ，
所以 ，解得 ，综上所述， ，故 的最小值为 故选：D
16．（2022春•湖北期中）已知 ．给出下列判断：
①若 ， ，且 ，则 ；
②若 在 ， 上恰有9个零点，则 的取值范围为 ；
③存在 ，使得 的图象向右平移 个单位长度后得到的图象关于 轴对称；
④若 在 上单调递增，则 的取值范围为 ．
其中，判断正确的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】解： ．
①由题可知，最小正周期 ， ，即①错误；
②设函数 在 轴右侧与 轴的第9个交点的横坐标为 ，第10个交点的横坐标为 ，
则 ， ，解得 ， ，
若 在 ， 上恰有9个零点，则 ，解得 ，即②正确；
③ 的图象向右平移 个单位得到函数 ，函数 的图象关于 轴对称， ， ， ，
若存在 ，则 ，解得 ，与 相矛盾，即③错误；
④令 ，得 ， ，
在 上单调递增， 当 时，有 ，解得 ，
， ，故 的取值范围为 ，即④错误． 正确的只有②，故选： ．
17.（2022•福建高三模拟）已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤ ），x=- 为f（x）的零点，x=
为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（ ， ）上单调，则ω的最大值为______．
【答案】
【分析】先根据 是 的零点， 是 图像的对称轴可转化为周期的关系，从而求得
的取值范围，又根据所求值为最大值，所以从大到小对 赋值验证找到适合的最大值即可．
【详解】由题意可得 ，即 ，解得 ，
又因为 在 上单调，所以 ，即 ，
因为要求 的最大值，令 ，因为 是 的对称轴，所以 ，
又 ，解得 ，所以此时 ，
在 上单调递减，即 在 上单调递减，在 上单调递增，故 在
不单调，同理，令 ， ， 在 上单调递减，因为
，
所以 在 单调递减，满足题意，所以 的最大值为5.
18．（2022·重庆·高三专题练习）已知函数 为 的零点，为 图像的对称轴，且 在 单调，则 的最大值是______ .
【答案】9
【分析】先根据正弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断 为奇数，由 在 单调，分
在 单调递增、单调递减两种情况，分别求得 的最大值，综合可得它的最大值．
【详解】 函数 ， ， 为 的零点， 为 图象的对称轴，
， ，且 ， ，
相减可得 ， ，即 ，即 为奇数．
在 单调，
（1）若 在 单调递增，则 ，且 ， ，
即 ①，且 ， ②，
把①②可得： ， ，故有奇数 的最大值为9．
当 时， ， ， ， ．
此时 在 单调递减，不满足题意．
当 时， ， ， ， ，
此时 在 不单调，不满足题意；故此时 无解．
（2）若 在 单调递减，则 ，且 ， ，即 ③，且 ， ④，
把③④可得： ， ，故有奇数 的最大值为9．
当 时， ， ， ， ．
此时 在 单调递减，满足题意．故 的最大值为9．故答案为：9．
1．（2019全国3卷）设函数 =sin（ ）( ＞0)，已知 在 有且仅有5个零点，下
述四个结论：① 在（ ）有且仅有3个极大值点 ② 在（ ）有且仅有2个极小值点
③ 在（ ）单调递增 ④ 的取值范围是[ )
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【详解】当 时， ，
∵f（x）在 有且仅有5个零点，∴ ，∴ ，故④正确，
由 ，知 时，令 时取得极大值，①正确；
极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
当 时， ，若f（x）在 单调递增，
则 ，即 ，∵ ，故③正确．故选D
2．（2022·全国·统考高考真题（乙））记函数 的最小正周期为T．若，且 的图象关于点 中心对称，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T满足 ，得 ，解得 ，
又因为函数图象关于点 对称，所以 ，且 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 .故选：A
3．（2022·全国·统考高考真题）设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 的取值范围得到 的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】解：依题意可得 ，因为 ，所以 ，
要使函数在区间 恰有三个极值点、两个零点，又 ， 的图象如下所示：
则 ，解得 ，即 ．故选：C．4．（2016·天津·高考真题）已知函数 ， .若 在区间
内没有零点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ， ，
所以 ，
因此 ，选D.
【名师点睛】对于三角函数来说，常常是先化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式，再利用三角函数的性质
求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化
弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式．
5．（全国·高考真题）已知 ，函数 在 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可得, ， ，
， ．故A正确．
6．（福建·高考真题）已知函数 在区间 上的最小值是 ，则 的最小值等
于
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【详解】函数 在区间 上的最小值是 ，则ωx的取值范围是
， ∴ 或 ，∴ 的最小值等于 ，选B.
7．（2022·全国·统考高考真题）记函数 的最小正周期为T，若
， 为 的零点，则 的最小值为____________．【答案】
【分析】先表示出 ，根据 求出 ，再根据 为函数的零点，即可求出 的取值，从而得
解；
【详解】解： 因为 ，（ ， ）
所以最小正周期 ，因为 ，
又 ，所以 ，即 ，
又 为 的零点，所以 ，解得 ，
因为 ，所以当 时 ；故答案为：
