文档内容
易错点 18 抛物线
易错点1：主观认为抛物线的顶点就是原点;
易错点2：忽视抛物线的变化趋势,只从图形的局部,乱下结论;
易错点3：在使用抛物线的焦半径公式时,错把纵坐标写成横坐标;
易错点4：解决直线与抛物线综合题时,忽略对直线斜率不存在情况的讨论;
易错点5：在解有关直线与抛物线的位置关系的问题
必记结论
直线AB过抛物线 的焦点，交抛物线于A(x，y)，B(x，y)两
1 1 2 2
点，如图：
（1）yy＝－p2，xx＝.
1 2 1 2
（2）|AB|＝x＋x＋p，x＋x≥ ＝p，即当x＝x
1 2 1 2 1 2
时，弦长最短为2p.
（3）＋为定值.
（4）弦长AB＝(α为AB的倾斜角)．
（5）以AB为直径的圆与准线相切。
（6）以AF为直径的圆与y轴相切．
（7）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.
题组一：定义和标准方程
1.（2021新高考2卷）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则
（ ）
A.1 B.2 C. D.4
【答案】B
【 解 析 】 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 为 ， 其 到 直 线 的 距 离 ：
，解得： ( 舍去).故选：B.
x2 y2
1
y2 2px(p0) 3p p
2.(2019年高考全国Ⅱ卷理数)若抛物线 的焦点是椭圆 的一个焦
点，则p=( ）
A．2 B．3 C．4 D．8
2
p
【解析】由题意可得：3p p ，解得 ．故选D．
2 p 8
3．（2021北京）已知抛物线 ， 的焦点为 ，点 在曲线 上，且
，则 的横坐标是________；作 轴于 ， =________．【答案】 ；
【解析】根据抛物线定义，抛物线准线为 ， 到准线距离等于到焦点距离6， 横
坐标为 ，根据抛物线方程 到 轴距离为 ，三角形底为 ，所以面积为
．
4．（2021新高考1卷）已知 O 为坐标原点，抛物线 C:y2 =2px(p>0) 的焦点为F，P
为 C 上一点， PF 与x轴垂直， Q 为x轴上一点，且 PQ⊥OP ．若 |FQ|=6 ，则 C 的准
线方程为 .
【答案】
p
P( ,p)
2 PQ
【解析】由已知可设 ，所以 ， ，因此直线 的方程为：
1 p 5 5 p
y−p=− (x− ) x= p |FQ|= p− =2p=6
2 2 y=0 2 2 2
，令 得 ，因此 ．
p 3
x=− =−
C 2 2
所以 的准线方程为 ．
题组二：抛物线的简单几何性质及其应用
5．【2020全国Ⅰ卷】已知 为抛物线 上一点，点 到 的焦点的
距离为 ，到 轴的距离为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解
得 ，故选C．
6．（2020北京卷）设抛物线的顶点为 ，焦点为 ，准线为 ． 是抛物线上异于 的
一点，过 作 于 ，则线段 的垂直平分线（ ）
A．经过点 B．经过点
C．平行于直线 D．垂直于直线【答案】B
【解析】如图所示，因为线段 的垂直平分线上的点到 的距离相等，又点 在抛物
线上，根据定义可知， ，所以线段 的垂直平分线经过点 ．
7.(2018全国1卷)设抛物线 ： 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线与
交于 ， 两点，则 =( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】通解 过点 且斜率为 的直线的方程为 ，
由 ，得 ，解得 或 ，所以 ，或
，不妨设 ， ，易知 ，所以 ， ，所以
．故选D．
8.（2017新课标Ⅱ）已知F是抛物线 ： 的焦点，M是 上一点，FM的延长线交
轴于点N．若M为FN的中点，则 ．
【答案】6
【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与 轴交于点 ，作
与点 ， 与点 ，由抛物线的解析式可得准线方程为 ，则
，在直角梯形 中，中位线
y
A N
， 由 抛 物 线 的 定 义 有 ：
B M
，结合题意，有 ，
x
F' O F
故 ．
题组三：焦点弦问题
9.（2018全国2卷）设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于
A，B两点，|AB|=8．则 的方程是______________.
【答案】【解析】由题意得 ， 的方程为 ．设 ，
由 得 ．
，故 ．
所以 ．
由题设知 ，解得 （舍去）， ．
因此 的方程为 ．
10.（2019全国1卷）已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 与 的交点
为 ， ，与 轴的交点为 , ，则 的方程是_______________.
【答案】
【解析】由题意得 ， 的方程为 ．设 ，
由焦半径公式知
由 得 ．
，故 ．
所以 ．
所以 的方程是 ，即
.
11．（2018全国3卷）已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与
C交于A,B两点．若∠AMB=900，则k=________．
【答案】2
【解析】法1: 由题意知抛物线的焦点为 ，则过 的焦点且斜率为 的直线方程为
，由 ，消去 得 ，
即 ，设 ， ，
则 ， ．由 ，消去 得 ，
即 ，则 ， ，
由 ，得，
将 ， 与 ， 代入，得 ．
法2: 设抛物线的焦点为 ， ， ，则 ，
所以 ，则 ，
取 的中点 ，分别过点 ， 做准线 的垂线，垂足分别为 ，
，又 ，点 在准线 上，
所以 ．
又 为 的中点，所以 平行于 轴，且 ，所以 ，所以
．
12.（2014全国2卷）设F为抛物线C: 的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于
A,B两点，O为坐标原点，则 的面积为______.
【答案】
【解析】法1：易知抛物线中 ，焦点 ，直线 的斜率 ，故直线
的方程为 ，代人抛物线方程 ，整理得
．
设 ，则 ，由物线的定义可得弦长
，结合图象可得 到直线 的距离 ，
所以 的面积 ．
法2：秒杀公式的应用
小结：设F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F且倾斜角为θ的直线交C于A，B两点，O为坐标
原点， .
题组四：抛物线中的最值问题
13.（2017全国1卷）已知 为抛物线 的焦点，过 作两条互相垂直的直线
，直线 与 交于A、B两点，直线 与 交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值
为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】16【解析】由已知 垂直于 轴是不符合题意，所以 的斜率存在设为 ， 的斜率为 ，
由题意有 ，设 ， ， ，
此时直线 方程为 ，
取方程 ，得 ，
∴
同理得
由抛物线定义可知
当且仅当 （或 ）时，取得等号．
14.（2021 全国乙卷理）已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆
上的点的最短距离为4.
（1）求 ；
（2）若点 在 上， 为 的切线，切点为 ，求 面积的最大值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】(1)因为 到圆 上点的最短距离为 ，所以
（2）解法一：由（1）知抛物线 所以
设切点 ，则易得 ，
从而得 .
设 ，联立抛物线 消去 得 ，
所以 ，
且 , ，
因为 ， ，
所以 ，又 在圆 ，所以 ，代入
得 ,而 ，
所以 时，面积最大值 .
解法二：由（1）知抛物线 所以
设切点 ，圆 上任意一点 ，
则易得 ，联立可得 ，
所以 ，又线段 中点 ，所以
.
又 在圆 ，所以 ，代入
得 ，而 ，
所以 时，面积最大值 .
15. （2021全国乙卷文）已知抛物线 : 的焦点 到准线的距离为2.
（1）求 的方程；
（2）已知 为坐标原点，点 在 上，点 满足 ，求直线 斜率的最大值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）在抛物线中，焦点 到准线的距离为 ，故 ，
（2）设点 ， ，
则 ，
因为 ，所以 ，
那么 ，
又因为点在 抛物线上， ，所以 ，则点 的轨迹方程，
设直线 方程为 ，当直线 和曲线 相切时，斜率最大，
联立直线与曲线方程，此时 ，得 ，
相切时， ， ，解得 ，
所以直线 斜率的最大值为 .
y2 =2px(p≥0)
1.设抛物线 的焦点为 ，点M在C上，｜MF｜＝5，若以MF为直径的圆
过点（0,2），则C的方程为（ ）
y2 =4x y2 =8x y2 =2x y2 =8x
A. 或 B. 或
y2 =4x y2 =16x y2 =2x y2 =16x
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】设点M的坐标为(x，y)，由抛物线的定义，得|MF|＝x＋ ＝5，
0 0 0
则x＝5－ .又点F的坐标为 ，所以以MF为直径的圆的方程为
0
(x－x) ＋(y－y)y＝0.
0 0
将x＝0，y＝2代入得px＋8－4y＝0，即 －4y＋8＝0，所以y＝4.
0 0 0 0
由 ＝2px，得 ，解之得p＝2，或p＝8.
0
所以C的方程为y2＝4x或y2＝16x.故选C.
2.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=
，|DE|= ，则C的焦点到准线的距离为（ ）.A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】由题意，不妨设抛物线方程为 ，由 ，
，可取 ， ，设 为坐标原点，
由 ，得 ，得 ，所以选B．
3.已知直线 过抛物线 的焦点，且与 的对称轴垂直， 与 交于 ， 两点，
， 为 的准线上一点，则 的面积为（ ）
A．18 B．24 C．36 D．48
【答案】C
【解析】设抛物线的方程为 ，易知 ，即 ，
∵点 在准线上，∴ 到 的距离为 ，所以 面积为36，故选C．
4．过抛物线 的焦点 ，且斜率为 的直线交 于点 （ 在 的轴上
方）， 为 的准线，点 在 上且 ，则 到直线 的距离为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题知 ，与抛物线 联立得 ，解得
，所以 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以
．
所以 到直线 的距离为 ．故选C．
5．已知 ，抛物线 ： 的焦点为 ， 与抛物线 在第一象限的交
点为 ，且 ，则 （ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】抛物线 ： 的准线方程是 ，焦点为F(2p,0),
由 ，所以 ，解得
小结：P为抛物线 的任意一点，F为焦点，以PF为直径的圆与y轴相切．6.已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与 的
一个交点，若 ，则 =_______.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】过点 作 交 于点 ，因为 ，所以 ，又焦
点 到准线 的距离为4，所以 ．故选C．
7.设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， ，已知以 为圆心，
为半径的圆 交 于
两点；若∠BFD=900 ，ΔABD
的面积为
4√2
；则 的值为
________.
【答案】2
【解析】由对称性知： 是等腰直角 ，斜边
点 到准线 的距离
8．斜率为 的直线过抛物线 的焦点，且与 交于 ， 两点，则
__________．
【答案】
【解析】由题抛物线 ，可知其焦点为 ，准线为 ，如图所示．
作 ， ，直线 准线交于点 ，由 ，∴倾斜角 ，∴
，
由抛物线定义知： ， ，
又∵ ，∴ 为 中点，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴
．9.已知A、B是抛物线 上的两点，直线AB垂直于 轴，F为抛物线的焦
点，射线BF交抛物线的准线于点C，且 的面积为 ，则p
的值为____.
【答案】2
【解析】法1：设A点的坐标为(m,n),且点A在第一象限内，
则B(m,-n),所以 ①，由
所以
因为 所以 ②
因为 的面积为 ，又
所以
所以 ③，联立①②③解得p=2.
法2：如图，过A作AH垂直准线于H，作CG垂直AB于G，
根据抛物线的定义，|AH|=|A|F,CE//AB,因此|DE|=|AH|=|CG|=|AF|,
由 `
因为|EF|正好是焦点到准线的距离，即p=2.
10.已知点 及抛物线 上的动点 ,则 的最小值是
___.
【解析】动点P到准线的距离为 ，
Q(2√2,0)
所以 ，又
所以
