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易错点 14 立体几何中的角
易错点1：异面直线所成的角
1.求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，
进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一找二证三求。
2.求异面直线所成角的步骤：
①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位
置斩点。
②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。 ③因为异面直线所成的角
的范围是0°＜θ≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直
线所成的角。
3.“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何
体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
4.利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。
易错点2：直线与平面所成的角
1.传统几何方法：
①转化为求斜线与它在平面内的射影所成的角，通过直角三角形求解。
②利用三面角定理（即最小角定理）
cosθ=cosθ ⋅cosθ
求
θ
。
1 2 1
2.向量方法：设⃗n
为平面α 的法向量，直线a与平面α 所成的角为θ，则
π π
{
θ=¿ −¿⃗a,⃗n>,<⃗a,⃗n>∈(0, ]¿¿¿¿
2 2
易错点3：二面角
用向量求二面角大小的基本步骤
1.建立坐标系，写出点与所需向量的坐标；
⃗n
β
⃗n
2.求出平面α 的法向量 1，平面 的法向量 2
3.进行向量运算求出法向量的夹角 ；
4.通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果：
→ → → →
当二面角为锐角时cosθ=| cos ⟨n ,n ⟩| ，为钝角时cosθ=−| cos ⟨n ,n ⟩|
1 2 1 2
题组一：异面直线所成的角
1．（2021年全国高考乙卷数学（文理）试题）在正方体 中，P为
的中点，则直线 与 所成的角为（ ）
A． B． C． D．
2.(2018全国卷Ⅱ)在长方体 中， ， ，则异面直
线 与 所成角的余弦值为A． B． C． D．
3．(2017新课标Ⅱ)已知直三棱柱 中， ， ，
，则异面直线 与 所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
4.（2015浙江）如图，三棱锥 中， ， ，
点 分别是 的中点，则异面直线 所成的角的余弦值是 ．
题组二：直线与平面所成的角
5. 【2021年浙江卷】如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，
，M，N分别为 的中点，
.
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
6.（2020•北京卷）如图，在正方体 中，E为 的中点．（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
7.（2020年全国2卷）如图，已知三棱柱ABC－ABC 的底面是正三角形，侧面BBC C是
1 1 1 1 1
矩形，M，N分别为BC，BC 的中点，P为AM上一点，过BC 和P的平面交AB于E，交
1 1 1 1
AC于F.
（1）证明：AA∥MN，且平面AAMN⊥EBC F；
1 1 1 1
（2）设O为△ABC 的中心，若AO∥平面EBC F，且AO＝AB，求直线BE与平面
1 1 1 1 1 1
AAMN所成角的正弦值.
1
8.（2020年新全国1山东）如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．
设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
题组三：二面角
9. 【2021年乙卷】如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，
， 为 的中点，且 ．（1）求 ；
（2）求二面角 的正弦值．
10. 【2021年甲卷】已知直三棱柱 中，侧面 为正方形，
，E，F分别为 和 的中点，D为棱 上的点．
（1）证明： ；
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小?
11.（2020•全国1卷）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径，
． 是底面的内接正三角形， 为 上一点， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．12.（2020•全国3卷）如图，在长方体 中，点 分别在棱
上，且 ， ．
（1）证明：点 在平面 内；
（2）若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
1．如图在直三棱柱 中， 为等腰直角三角形，且 ，
则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，圆锥的底面直径 ，其侧面展开图为半圆，底面圆的弦 ， 则异面直
线 与 所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
3．在长方体 中， 和 与底面所成的角分别为30°和45°，异面直线
和 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．（多选题）已知正方体 ，P是棱 的中点，以下说法正确的是（
）
A．过点P有且只有一条直线与直线AB， 都相交
B．过点P有且只有一条直线与直线AB， 都平行
C．过点P有且只有一条直线与直线AB， 都垂直
D．过点P有且只有一条直线与直线AB， 所成角均为45°
5．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.
在如图所示的“阳马” 中，侧棱 底面 ， ，点 是 的中
点，作 交 于点 .(1)求证： 平面 ；
(2)若平面 与平面 所成的二面角为 ，求 .
6．在矩形ABCD中，AB=2，AD= ，E是DC中点，连接AE，将△ADE沿AE折起，使
得点D移动至点P，满足平面PAE⊥平面ABCE.
(1)求证：AE⊥BP；
(2)求二面角E-CP-B的余弦值.
7．如图所示，在四棱锥 中， 底面 ， ， ，
， 是 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的余弦值．
8．已知三棱锥 （如图一）及其展开图（如图二），四边形ABCD为边长等于的正方形， 和 均为正三角形.
(1)证明：平面 平面ABC；
(2)若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求点M到平面PBC的
距离.
9．如图，四棱锥 的底面是平行四边形， 平面 ， ， 是
的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的大小．
10．如图，在直三棱柱 中， ， ， ，M是 的中点，
.(1)求 的长；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
