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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题6.6第6章平行四边形单元测试（能力过关卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2020春•新疆期末）下列条件中能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．一组对边相等的四边形
B．一组对边平行的四边形
C．对角线相等的四边形
D．对角线互相平分的四边形
【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的
四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，分别进行判断即可．
【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形为平行四边形，故此选项错误；
B、两组对边分别平行的四边形为平行四边形，故此选项错误；
C、两条对角线互相平分的四边形为平行四边形，故此选项错误；
D、对角线互相平分的四边形为平行四边形，故此选项正确；
故选：D．
2．（2021春•市南区期末）已知平行四边形 ABCD周长为26cm，对角线AC、BD相交于点O，已知
△BOC的周长比△AOB的周长多3cm，则BC的长度为（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
【分析】由 ABCD的周长为26cm，对角线AC、BD相交于点O，若△AOD的周长比△AOB的周长多
3cm，可得A▱B+BC＝13cm，BC﹣AB＝3cm，得出BC的长即可．
【解答】解：∵ ABCD的周长为26cm，
∴AB+BC＝13cm▱，OA＝OC，
∵△BOC的周长比△AOB的周长多3cm，
∴（OB+OC+BC）﹣（OA+OB+AB）＝BC﹣AB＝3cm，
∴AB＝5cm，BC＝8cm．
故选：D．3．（2020春•南岗区校级月考）如图，已知 ABCD的面积为48，E为AB的中点，连接DE，则△ODE的
面积为（ ） ▱
A．8 B．6 C．4 D．3
【分析】由平行四边形的性质得 OB＝OD，OA＝OC，△AOB的面积12，△ODE的面积＝△OBE的面
积，由E为AB的中点，得△OBE的面积＝△OAB面积的一半，即可得出结果．
【解答】解：∵E为AB的中点，
∴S△AOE ＝ S△AOB ，
∵平行四边形ABCD的面积为48，
∴OB＝OD，OA＝OC，S△AOB ＝ S
ABCD
＝ ×48＝12，
▱
∴S△AOE ＝6，
∴S△ODE ＝S△AOE ＝6．
故选：B．
4．（2021 秋•杜尔伯特县期末）如图，在 ABCD 中，DE 平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则 CD＝
（ ） ▱
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】首先由在 ABCD中，AD＝8，BE＝3，求得CE的长，然后由DE平分∠ADC，证得△CED是
等腰三角形，继而求▱得CD的长．
【解答】解：在 ABCD中，AD＝8，
∴BC＝AD＝8，▱AD∥BC，
∴CE＝BC﹣BE＝8﹣3＝5，∠ADE＝∠CED，∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CD＝CE＝5，
故选：B．
5．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则BC的
长为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【分析】由平行四边形 ABCD，根据平行四边形的对角线互相平分，可得 OA＝OC，OB＝OD，又由
∠ODA＝90°，根据勾股定理，即可求得BC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝10cm，BD＝6cm，
∴OA＝OC＝ AC＝5（cm），OB＝OD＝ BD＝3（cm），
∵∠ODA＝90°，
∴AD＝ ＝ ＝4（cm），
∴BC＝AD＝4（cm），
故选：A．
6．（2021•曹县二模）如图， ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，AE＝3，BE＝5，DE＝4，则CE
的长为（ ） ▱
A． B． C． D．
【分析】由勾股定理的逆定理可证∠AED＝90°，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵AE＝3，BE＝5，∴AB＝8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，AD＝BC，
∴∠DCE＝∠CEB，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴BC＝BE＝5＝AD，
∵AE2+DE2＝9+16＝25，AD2＝25，
∴AE2+DE2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∵DC∥CD，
∴∠CDE＝90°，
在△DCE中，由勾股定理可得：CE＝ ＝ ＝4 ，
故选：A．
7．（2021春•红安县期中）如图， ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AC交CD于点E，连接
AE，若 ABCD的周长为28，则▱△ADE的周长为（ ）
▱
A．28 B．24 C．21 D．14
【分析】先判断出 EO是BD的中垂线，得出 BE＝ED，从而可得出△ABE的周长＝AB+AD，再由
ABCD的周长为28，即可得出答案．
▱【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，
∵ ABCD的周长为28，
∴▱AB+AD＝14，
∵OE⊥BD，
∴OE是线段BD的中垂线，∴BE＝ED，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+AD＝14，
故选：D．
8．（2021 春•綦江区期末）如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于点 O，且 AD＞CD，过点 O 作
OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为7.5，那么平行四边形ABCD的周长是（ ）
A．7.5 B．15 C．17 D．19
【分析】由线段垂直平分线的性质可得AM＝MC，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，
∵OM⊥AC，
∴AM＝MC，
∵△CDM的周长为7.5，
∴CM+DM+CD＝7.5＝AM+DM+CD，
∴AD+CD＝7.5，
∴平行四边形ABCD的周长＝2×7.5＝15，
故选：B．
9．（2021秋•丛台区校级月考）如图，将 DEBF的对角线EF向两端延长，分别至点A和点C，且使AE
＝CF，连接AB，BC，AD，CD．求证：▱四边形ABCD为平行四边形．以下是证明过程，其顺序已被打
乱，①∴四边形ABCD为平行四边形；②∵四边形DEBF为平行四边形，∴OD＝OB，OE＝OF；③
连接 BD，交 AC 于点 O；④又∵AE＝CF，∴AE+OE＝CF+OF，即 OA＝OC．正确的证明步骤是
（ ）
A．①②③④ B．③④②① C．③②④① D．④③②①
【分析】连接BD，交AC于点O，由平行四边形的性质得OD＝OB，OE＝OF，再证OA＝OC，即可得出结论．
【解答】解：连接BD，交AC于点O，如图所示：
∵四边形DEBF为平行四边形，
∴OD＝OB，OE＝OF，
又∵AE＝CF，
∴AE+OE＝CF+OF，
即OA＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
即正确的证明步骤是③②④①，
故选：C．
10．（2021秋•肇源县期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分
别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°， ，则下列结论：①∠CAD＝30°②
③S平行四边形ABCD ＝AB•AC④ ，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①先根据角平分线和平行得：∠BAE＝∠BEA，则AB＝BE＝1，由有一个角是60度的等腰三
角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE＝30°，最
后由平行线的性质可作判断；
②先根据三角形中位线定理得：OE＝ AB＝ ，OE∥AB，根据勾股定理计算 OC＝
和OD的长，可得BD的长；③因为∠BAC＝90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；
④根据三角形中位线定理可作判断．
【解答】解：①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝1，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝1，
∵BC＝2，
∴EC＝1，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACE＝30°，
故①正确；
②∵BE＝EC，OA＝OC，
∴OE＝ AB＝ ，OE∥AB，
∴∠EOC＝∠BAC＝60°+30°＝90°，
Rt△EOC中，OC＝ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠BAD＝120°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠ACD＝90°，
Rt△OCD中，OD＝ ，∴BD＝2OD＝ ，
故②正确；
③由②知：∠BAC＝90°，
∴S平行四边形ABCD ＝AB•AC，
故③正确；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
∴OE＝ AB，
∵AB＝ BC，
∴OE＝ BC＝ AD，
故④正确；
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019春•荔湾区校级期中）平行四边形ABCD中，∠A﹣∠B＝20°，则∠A＝ 100 ° ．
【分析】根据平行四边形对角相等，邻角互补即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
又∵∠A﹣∠B＝20°，
∴∠A＝100°，∠B＝80°．
故答案为100°．
12．（2021春•昆明期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC．则BD＝ 4
．
【分析】由BC⊥AC，AB＝10，BC＝AD＝6，由勾股定理求得AC的长，得出OA长，然后由勾股定理
求得OB的长即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6，OB＝OD，OA＝OC，
∵AC⊥BC，
∴AC＝ ＝ ＝8，
∴OC＝4，
∴OB＝ ＝ ＝2 ，
∴BD＝2OB＝4 ，
故答案为：4 ．
13．（2021•沙市区三模）如图，点A是直线l外一点，在1上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、
AB长为半径画弧，两弧交于点 D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD是平行四边形，理由是
两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ．
【分析】利用平行四边形的判定方法可以判定四边形ABCD是平行四边形．
【解答】解：∵分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，
∴AD＝BC AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
14．（2020秋•安丘市期末）下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ABD ．
A．AB∥CD，AD∥BC
B．AD＝BC，AB＝CD
C．AB∥CD，AD＝BC
D．∠A＝∠C，∠B＝∠D
【分析】根据平行四边形的判定逐个判断即可．
【解答】解：A．根据AB∥CD，AD∥BC能推出四边形ABCD是平行四边形，
B．根据AD＝BC，AB＝CD能推出四边形ABCD是平行四边形，
C．根据AB∥CD，AD＝BC能得出四边形是等腰梯形，不能推出四边形ABCD是平行四边形
D．根据∠A＝∠C，∠B＝∠D能推出四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：ABD．15．（2021秋•桓台县期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝2，BC＝
3，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积是 ．
【分析】作AM⊥BC于M，如图所示：根据直角三角形的性质得到 BM＝ AB＝ ×2＝1，根据勾股定
理得到AM＝ ＝ ＝ ，得到S平行四边形ABCD ＝BC•AM＝3 ，根据平行四边形的
性质得到AD∥BC，BO＝DO，根据全等三角形的性质得到S△BOE ＝S△DOF ，于是得到结论．
【解答】解：作AM⊥BC于M，如图所示：
则∠AMB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝ AB＝ ×2＝1，
在Rt△ABM中，AB2＝AM2+BM2，
∴AM＝ ＝ ＝ ，
∴S平行四边形ABCD ＝BC•AM＝3 ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BO＝DO，
∴∠OBE＝∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴S△BOE ＝S△DOF ，∴图中阴影部分的面积＝ ABCD的面积＝ ，
▱
故答案为： ．
16．（2021春•西湖区校级期末）如图，在 ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别
交AD于点E、F，若BE＝6，则CF＝ ▱ 8 ．
【分析】过点A作AM∥FC，交BE与点O，由平行线的性质和角平分线的性质可证∠BHC＝90°，由平
行线的性质可求∠AOE＝∠BHC＝90°，由平行线的性质和角平分线的性质可证AE＝AB＝5，由勾股定
理可求AO的长，由“ASA”可证△ABO≌△MBO，可得AO＝OM＝4，通过证明四边形AMCF是平行
四边形，可得CF＝AM＝8．
【解答】解：如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB+180°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，
∴∠CBE+∠BCF＝90°，∴∠BHC＝90°，
∵AM∥CF，
∴∠AOE＝∠BHC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，
∴AB＝AE＝5，
又∵∠AOE＝90°，
∴BO＝OE＝3，
∴AO＝ ＝ ＝4，
在△ABO和△MBO中，
，
∴△ABO≌△MBO（ASA），
∴AO＝OM＝4，
∴AM＝8，
∵AD∥BC，AM∥CF，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴CF＝AM＝8，
故答案为：8．
17．（2021秋•苏州期中）如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的位置用数对分别表示为（4，6），
（1，3），（5，3），则顶点D的位置用数对表示为 （ 8 ， 6 ） ．
【分析】根据平行四边形的性质：对边平行且相等，解答即可．
【解答】解：∵平行四边形ABCD的顶点A，B，C的位置用数对分别表示为（4，6），（1，3），
（5，3），
∴点D坐标为（8，6）；故答案为：（8，6）．
18．（2021春•余姚市校级期中）在如图的网格中，以格点 A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点，你能
画出平行四边形的个数为 3 个．
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合网格结构的特点找出平行四边形即可得
解．
【解答】解：如图所示：
图中平行四边形有 ABEC， BDEC， BEFC共3个．
故答案为：3． ▱ ▱ ▱
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022•海曙区校级开学）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点．
（1）求证：AF＝CE；
（2）若四边形AECF的周长为10，AF＝3，AB＝2，求平行四边形ABCD的周长．
【分析】（1）根据平行四边形ABCD的对边平行得出AD∥BC，又AE＝CF，利用有一组对边平行且相
等的四边形为平行四边形证得四边形AECF为平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证得结论；（2）根据平行四边形的性质和平行四边形的周长公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AE∥CF，
又∵点E，F分别是边AD，BC的中点，
∴AE＝ AD，CF＝ BC，
∴AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF＝CE；
（2）解：∵四边形AECF的周长为10，AF＝3，
∴AE+CF＝10﹣2×3＝4，
∵点E，F分别是边AD，BC的中点，
∴AD+BC＝2（AE+CF）＝8，
∵AB＝2，
∴平行四边形ABCD的周长＝8+2×2＝12．
20．（2021•黄石模拟）如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF．
（1）求证：AF＝CE；
（2）若AC＝10，BC＝6，∠ACB＝30°，求平行四边形ABCD的面积．
【分析】（1）先证∠ACB＝∠CAD，再证出△BEC≌△DFA，从而得出CE＝AF．
（2）过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，根据含30°角的直角三角形的性质得出AG，进而利用平
行四边形的面积解答即可．
【解答】（1）证明：平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ACB＝∠CAD．
又∵BE∥DF，
∴∠BEC＝∠DFA，
∴△BEC≌△DFA（AAS），
∴CE＝AF．（2）过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，
在Rt△AGC中，AC＝10，∠ACB＝30°，
∴AG＝5，
∴平行四边形ABCD的面积＝BC•AG＝5×6＝30．
21．（2021•碑林区校级模拟）在 ABCD中，对角线AC⊥AB，BE平分∠ABC交AD于点E，交AC于点
F． ▱
（1）求证：AE＝AB；
（2）若AB＝3，BC＝5，求AF的长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，再由平行线的性质可得∠AEB＝∠EBC，由角平分
线的定义可得∠ABE＝∠EBC，即可得∠ABE＝∠AEB，由此可得AE＝AB；
（2）由勾股定理求得AC＝4，过点F作FH⊥BC于点H，根据角平分线的性质定理可得AF＝FH，再
由S△ABC ＝S△ABF +S△BFC ，即可得 AB•AC＝ AB•AF+ BC•FH，由此即可求得AF＝ ．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB；
（2）解：AC⊥AB，AB＝3，BC＝5，
∴AC＝ ，过F点作FH⊥BC，垂足为H，
∵BE平分∠ABC，AC⊥AB，
∴AF＝FH，
∵S△ABC ＝S△ABF +S△BFC ，
∴ AB•AC＝ AB•AF+ BC•FH，
即 ，
∴AF＝ ．
22．（2021•五峰县模拟）如图，点B、C、E、F在同一直线上，BE＝CF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点
F，AC＝DF．求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）四边形ABED是平行四边形．
【分析】（1）根据BC＝EF求出BC＝EF，根据垂直定义得出∠ACB＝∠DFE＝90°，再根据全等三角
形的判定定理SAS推出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，根据平行线的判定得出AB∥DE，再根据
平行四边形的判定定理推出即可．
【解答】证明：（1）∵BE＝CF，
∴BE﹣CE＝CF﹣CE，
即BC＝EF，
又∵AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，∴∠ACB＝∠DFE＝90°，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
（2）由（1）知△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，
∴AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
23．（2021•江州区模拟）如图，在等边△ABC中，D是BC的中点，以AD为边向左侧作等边△ADE，边
ED与AB交于点G．
（1）求∠CAE的度数；
（2）取AB的中点F，连接CF，EF，求证：四边形CDEF是平行四边形．
【分析】（1）由等边三角形的性质得出 AD⊥BC，∠BAC＝60°，求出∠DAC＝ ∠BAC＝30°，则
∠EAD＝60°，可求出答案；
（2）证出CF∥ED，由平行四边形的判定方法可得出结论．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝ ∠BAC＝30°，
∵△AED是等边三角形，
∴∠EAD＝60°，
∴∠CAE＝∠EAD+∠DAC＝90°；
（2）证明：∵F是等边△ABC边AB的中点，D是边BC的中点，
∴CF＝AD，CF⊥AB，∵△AED是等边三角形，
∴AD＝ED，
∴CF＝ED，
∵∠BAD＝ ∠BAC＝30°，∠EAG＝ ∠EAD＝30°，
∴∠BAD＝∠EAG，
∴ED⊥AB，
∴CF∥ED，
∵CF＝ED，
∴四边形CDEF是平行四边形．
24．（2021春•富平县期末）在 ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与
边AD交于点F，连接BF、DE▱如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长；
②求证：CD＝CH．
【分析】（1）通过ASA证明△BOE≌△DOF，得DF＝BE，又DF∥BE，即可证明四边形BEDF是平行
四边形；
（2）①过点D作DN⊥EC于点N，先根据勾股定理求出DN＝4 ，由∠DBC＝45°得BN＝DN，即可
求出答案；
②根据DN⊥EC，CG⊥DE，得∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，则有∠EDN＝∠ECG，再
证∠CDH＝∠CHD，得出CD＝CH．
【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，
∴AD∥BC，BO＝DO，
∴∠ADB＝∠CBD，在△BOE与△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴DF＝BE且DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）①解：如图，过点D作DN⊥EC于点N，
∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，CE＝4，
∴EN＝CN＝2，
∴DN＝ ＝ ＝4 ，
∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，
∴∠DBC＝∠BDN＝45°，
∴DN＝BN＝4 ，
∴BE＝BN﹣EN＝4 ，
②证明：∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，
∴∠EDN＝∠ECG，
∵DE＝DC，DN⊥EC，
∴∠EDN＝∠CDN，
∴∠ECG＝∠CDN，
∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，
∴∠CDB＝∠DHC，
