第二节导数大题篇正文_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第三章

MST老唐说题26版一轮 第 2 节 导数大题篇 导数大题作为曾经高考压轴题天花板，一直被大家捧从神一样的存在，在新定义考题出现以前，导数似乎 比较平稳，但随着高考改革，2023年新一卷导数出现在解答题第三题，2024新高考二卷导数出现到了第二 题，但我们依旧要以不变应万变，毕竟2024年的高考，导数依旧占据着重要地位，如新高考1卷的导数在 18题位置，甲卷的导数在第20题位置，北京的导数在第20题位置，天津的导数在最后一题。 年份 新高考1 新高考2 甲卷 乙卷 北京 天津 浙江 2024 恒成立与端 极值计算 恒成立与端 零点个数 1.极点效应 点效应 点效应（理） 2.双变量同 恒成立与同 构构造 构（文） 2023 极值计算 极大值界定 端点效应 找 点 问 题 极值点个 飘带帕德+ （理） 数 裂项构造不 端 点 效 应 等式求和 （文） 2022 同构与等量 1.端点效应+ 理科： 零点问题 恒成立 1.零点找点 1.切线区域 关系 矛盾取点 1.同构 2.不等式放 界定. 2.数列求和+ 2.极值点偏 缩 2.多变量泰 飘带函数 移构造 勒加强构造 文科： 偏移不等式 三次函数 2021 1.极值点偏 1.显点效应 恒成立（理 极值最值 恒成立 1.零点个数 移 2.零点取点 零点问题 科） 与双变量 2.零点偏移 三 次 函 数 2.零点精度 与切割线放 （文科） 放缩 缩 2020 山东卷（新 全国I卷 II卷 III卷 北京 天津 浙江 高考1） 同构 理科： 恒成立 三次函数 面积最值 双变量比值 1.零点放缩 隐点效应 零点个数 换元 2.双变量主 文科： 元选取与放 零点取点 缩 通过近五年的高考题分析，我们发现看上去相对容易入手的就是恒成立问题，通过求导后单调区间分 析和极值最值的判断，以北京卷和新老高考II卷以及III卷为主，导数的基础题，就从这几个地区高考题来 看，导数题作为压轴题，难度较大的，参考天津卷和老浙江卷，难度适中的是新高考I卷和乙卷（乙卷2024 年取消），2024年第一次出现新定义高考压轴，导数的难度将会再接下来几年保持平稳，大家需要对恒成立 求参，零点个数与双变量的方向进行系统学习，对一些方法，比如同构，隐零点代换，端点效应和极点效 应探路，零点放缩取点，二次曲线拟合与转化同构函数调整单调性进行全面学习．MST老唐说题26版一轮 考向1 单调性讨论 题型1 不含参数单调性讨论 1．关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论， 从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）． 2．需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的 函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段． 3．利用草稿图像辅助说明． 【例1】（2020•新课标Ⅰ）已知函数 f (x)  ex a(x 2)． （1）当a1时，讨论 f(x)的单调性； 【例2】（2020•新课标Ⅰ）已知函数 f(x)ex ax2 x （1）当a1时，讨论 f(x)的单调性； x1 【例3】（2019•新课标Ⅱ）已知函数 f(x)lnx ． x1 （1）讨论 f(x)的单调性； 题型2 含参数单调性讨论 1.含参函数单调性讨论的分类标准 ①函数类型；②开口方向；③判别式；④导数等于0有根无根；⑤两根大小；⑥极值点是否在定义域内. 2.含参函数单调性讨论的过程 角度1 变号函数为一次函数 【例1】（2024•甲卷）已知函数 f(x)a(x1)lnx1． （1）求 f(x)的单调区间；MST老唐说题26版一轮 角度2 变号函数为准一次函数（指对） 【例1】（2023•新高考Ⅰ）已知函数 f(x)a(ex a)x． （1）讨论 f(x)的单调性； 【例2】已知函数 f(x)aex 2x1．（其中常数e2.71828，是自然对数的底数．） （1）讨论函数 f(x)的单调性； 角度3 变号函数为二次函数型 知识点讲解：变号函数为二次函数时，变号函数为0的方程一般有两个不同实数根x ，x (无根情况下二次 1 2 函数恒正或恒负，只有一根时情况类似，故不作为讨论重点)，理论上要分x x ，x x 进行讨论；若函 1 2 1 2 数 f(x)有定义域限制，则方程往往会涉及根的分布问题，需要结合定义域对根的分布进行分类讨论． ①可因式分解 【例1】（2019•新课标Ⅲ）已知函数 f(x)2x3 ax2 b． （1）讨论 f(x)的单调性； 【例2】（2017•新课标Ⅲ）已知函数 f(x)lnxax2 (2a1)x． （1）讨论函数 f(x)的单调性；MST老唐说题26版一轮 ②不可因式分解型 【例1】已知函数 f(x)(a1)lnxax2 1，讨论函数 f(x)的单调性． x1 【例2】（2014•山东）设函数 f(x)alnx ，其中a为常数． x1 （1）若a0，求曲线y f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； （2）讨论 f(x)的单调区间． 角度4 变号函数为准二次函数型 【例1】（2017•新课标Ⅰ） 已知函数 f(x)ex(ex a)a2x． （1）讨论 f(x)的单调性． 【例2】已知函数 f(x)(1ax2)ex 1，当a0时，讨论函数 f(x)的单调性． 题型3 三角函数型单调性讨论 1．关于三角要注意定义域，定正负；   2．常见放缩记心里：如xsinx(x0)，xsinx(x0)，tanx x(0 x )，tanx x(  x0)． 2 2MST老唐说题26版一轮 sinx  【例1】（2023•甲卷）已知 f(x)ax ，x(0, )． cos3x 2 （1）若a8，讨论 f(x)的单调性； 【例2】（2017•山东）已知函数 f(x)x2 2cosx，g(x)ex(cosxsinx2x2)，其中e2.71828是自 然对数的底数． （1）求曲线y f(x)在点(， f())处的切线方程； （2）令h(x)g (x)a f(x)(aR)，讨论h(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 考向2 隐零点代换 考点一 过渡型 即零点x （零点存在性定理得出）只是作为一个桥梁，用来辅助讨论单调区间和极值最值． 0 【例1】（2019•新课标Ⅰ）已知函数 f(x)2sinxxcosxx， f(x)为 f(x)的导数． （1）证明： f(x)在区间(0,)存在唯一零点； （2）若x[0，]时， f(x)ax，求a的取值范围．MST老唐说题26版一轮 【例2】（2019•新课标Ⅰ）已知函数 f(x)sinxln(1x)， f(x)为 f(x)的导数．证明：  （1） f(x)在区间(1, )存在唯一极大值点； 2 （2） f(x)有且仅有2个零点． 考点二 代换型 即得出关于隐零点x 的方程后，需往回代换，利用x 的式子进行变形或者化简，从而求解问题． 0 0 【例1】（2013•新课标Ⅱ）已知函数 f(x)ex ln(xm)． （1）设x0是 f(x)的极值点，求m，并讨论 f(x)的单调性； （2）当m2时，证明： f(x)0．MST老唐说题26版一轮 【例2】已知函数 f(x)(xa)ex(aR)． （1）讨论 f(x)的单调性； 1 （2）当a2时，设函数g(x) f(x)lnxxb ，bZ ，若g(x)0对任意的x( ,1)恒成立，求b的最小 3 值． 【例3】已知函数 f(x)2mlnxx2,g(x)ex 2mlnxmR,ln20.693． （1）讨论 f(x)的单调性; e （2）若 f(x)存在最大值M ,g  x 存在最小值N,且M  N ,求证:m ． 2 考向3 恒成立问题 考点一 同一变量型（构造函数） （1）xD，f(x)M  f(x) M min （2）xD，f(x)M  f(x) M max （3）xD，f(x) g(x)[f(x)g(x)] 0 min （4）xD，f(x) g(x)[f(x)g(x)] 0 max （5）xD，f(x)M  f(x) M max （6）xD，f(x)M  f(x) M min （7）xD，f(x) g(x)[f(x)g(x)] 0 max （8）xD，f(x) g(x)[f(x)g(x)] 0 minMST老唐说题26版一轮 【例1】已知函数 f(x)ex x2 a，xR的图象在点x0处的切线为ybx． （1）求函数 f(x)的解析式； f(x) （2）若 k 对任意的x(0,)恒成立，求实数k的取值范围． x 【例2】已知函数 f(x)  x2 ax  lnx，aR. （1）若 f(x)的图像在x1处的切线经过点(0,2)，求a的值； （2）当1 xe2时，不等式 f(x) x2恒成立，求a的取值范围. 考点二 不同变量等号型（值域包裹性定理） （9）若x D ，x D ，使f(x ) g(x ) f(x)在D 上的值域A是g(x)在D 上的值域B 1 1 2 2 1 2 1 2 的子集 AB  （10）若x D ，x D ，使f(x ) g(x ) f(x)在D 上的值域A与g(x)在D 上的值域B 1 1 2 2 1 2 1 2 的交集不空 AB （两个函数有相等的函数值，即它们的值域有公共部分） 【例1】已知函数f(x)＝1 x2＋x，g(x)＝ln(x＋1)－a ，若存在x ，x ∈[0，2]，使得f(x )＝g(x ) ， 1 2 1 2 2 求实数a的取值范围.MST老唐说题26版一轮 【例2】已知 f(2x)x2 2x3． （1）求 f(x)的解析式； x2 (a2)x5a （2）函数g(x) ，若对任意x [2，4]，总存在x [2，4]，使g(x ) f(x )成立，求a的 x1 1 2 1 2 取值范围． 考点三 不同变量不等号型（最值比较） （11）x D ，x D ，f(x ) g(x ) f(x)  g(x) 1 1 2 2 1 2 min max （12）x D ，x D ，f(x ) g(x ) f(x)  g(x) 1 1 2 2 1 2 min min （13）x D ，x D ，f(x ) g(x ) f(x)  g(x) 1 1 2 2 1 2 max max （14）x D ，x D ，f(x ) g(x ) f(x)  g(x) 1 1 2 2 1 2 max min a3 【例1】已知函数 f(x)4lnxax (a0)． x 1 （1）当a ，求 f(x)的极值． 2 1 （2）当a1时，设g(x)2ex 4x2a，若存在x ，x [ ，2]，使 f(x )g(x )，求实数a的取值范围． 1 2 2 1 2 【例2】已知函数 f(x)满足x2f(x)xf(x)elnx，且 f （e）1，函数g(x)x2 2ax4． （1）求 f(x)的图象在xe处的切线方程； （2）若对任意x (1，e]，存在x [1，2]，使得 f(x )g(x )，求a的取值范围． 1 2 1 2MST老唐说题26版一轮 题型4 同构大题的写法（內值外定与保值同构） 角度1 指对同构中的“內值外定” “内值外定”原则，其实是复合函数思定义域问题，即内层函数的值域范围为外层函数定义域的子集， 用同构解大题时，内层值域需满足外层函数单调区间的子集，这样才能比较内层大小，如果构造的函数是R 上递增，则无需考虑． m 1 【例1】已知函数 f(x)2x3lnx(mx)ex ，当xe时，f(x)0恒成立，则实数m的取值范围为 ． 【例2】（2020•新高考）已知函数 f(x)aex1lnxlna． （1）当ae时，求曲线y f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若 f(x)1，求a的取值范围． 【例3】(2024・甲卷文)已知函数 f  x a  x1 lnx1．   （1）求 f x 的单调区间； （2）若a2时，证明：当x1时， f  x ex1恒成立． 【例4】（2013•新课标Ⅱ）已知函数 f(x)ex ln(xm)． （1）设x0是 f(x)的极值点，求m，并讨论 f(x)的单调性； （2）当m2时，证明 f(x)0．MST老唐说题26版一轮 【例5】（2023•新高考Ⅰ卷）已知函数 f(x)a(ex a)x． （1）讨论 f(x)的单调性； 3 （2）证明：当a0时， f(x)2lna ． 2 【例6】（2015•新课标Ⅰ）设函数 f(x)e2x alnx． （1）讨论 f(x)的导函数 f(x)零点的个数； 2 （2）证明：当a0时， f(x)2aaln ． a 考向4 指对三角放缩 题型1 指数常用放缩式 0线放缩 ①xex  x(x0，xR)； ②ex  x1(x0，xR)；（小题篇八大函数已证） ③ex  x2 1(x0，x0)； 1 ④ex  x2 x1(x0，x0)； 2 ⑤ex ex 2(x0，xR)； ⑥ex ex 2x(x0，x0)； ⑦ex+ex x2 2(x0，xR)； 1 ⑧(x1)ex  x2 1(x0，x0)； 2MST老唐说题26版一轮 1线放缩 ①ex1 x（x1，xR）； ②ex ex（x1，xR）； e e ③ex  x2  （x1，x1）； 2 2 ④ex ex(x1)2(x1，x0，x0)； 【例1】（2024•利哥每日一题） （1）函数 f(x)=xex -x-lnx的最小值为 ； ex （2）函数g(x)= -x+lnx的最小值为 ． x 【例2】（2024•利哥每日一题） （1）已知x³0，若ex ax2 x10恒成立，求实数a的取值范围为 ． （2）已知xÎR，若ex ax2 x10恒成立，求实数a的取值范围为 ． 【例3】若当x>0时，函数 f(x)=2-ex +mx2有两个极值点，则实数m的取值范围为 ． 【例4】 求证：当x[0，)时, cosx x2ex． 【例5】已知函数 f(x)aex 2x1． 证明：对任意的a1，当x0时， f(x)(xae)x．MST老唐说题26版一轮 考点二 对数常见放缩及推导 0线放缩 ①xln(x1)(x0，x1)； x 证明：令 f(x) xln(x1)(x1)， f(x) ，易证． x1 1 ②ln(x1)x x2(x0，x0)； 2 1 x2 证明：令 f(x)ln(x1) x2 x(x0)， f(x) 0，即证． 2 x1 1线对数不等式链条 1 lnx ①x2 xxlnxx1lnx1  (x1，x0) x x 证明：令 f(x) xlnxx1(x0)， f(x)lnx，易证； x1lnx两边同乘xx2 xxlnx；xlnxx1两边同除xlnx1 1 ；x1lnx两边同除x1 1  lnx ． x x x 飘带函数（小题篇已证） 1 1 2(x1) ① (x )lnx ，x(0，1)； 2 x x1 2(x1) 1 1 ② lnx (x )，x[1，)． x1 2 x 【例1】已知函数 f(x)=x(lnx-ax)+a，对任意的x³1，都有 f(x)£0，则实数a的取值范围是为 ． 【例2】已知函数 f(x)= x-ln(x+1)对任意xÎ[0，+¥)有 f(x)£kx2成立，则k的最小值为 ． 【例3】已知函数 f(x)=ax-axlnx+1(a R，a 0)．MST老唐说题26版一轮 【例4】已知函数 f(x)aex xa，当a1时，证明 f(x) x(lnx1)cosx． 考点三 三角常见放缩及推导 x3 ①xsinxx (x0，x0)； 6 证明：左边令 f(x) xsinx(x0)， f(x)1cosx0，即证． x3 1 证明：右边令 f(x)sinxx (x0)， f(x)cosx x2 10，即证． 6 2 x2 ② 1 cosx1(x0，xR)； 2 1 证明：令 f(x)cosx x2 1， f(x) xsinx，易证． 2  ③tanx x(x0，x[0， ))； 2  1 证明：令 f(x)tanxx(0 x )， f(x) 10，即证． 2 cos2x x3  ④tanx x (x0，x[0， ))； 3 2 x3  1 证明：令 f(x)tanx x(0 x )， f(x) 1x2 tan2xx2 0，即证． 3 2 cos2x 【例1】（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当0 x1时，xx2 sinxx； 【例2】已知函数 f(x)a(ex 1)x2 x． 若a1，证明：当x0时， f(x)cosx1． 【例3】（2023•利哥每日一题）e2x (12a)ex a2 cosx x2，x0，aR．MST老唐说题26版一轮 【例4】已知x为正实数． 1 （1）比较cosx与1 x2的大小； 2 （2）求证：ex cosxsinx2． 1 【例5】当x0时，证明：xex  sin2x2sinxsin2x. 2 【例6】（2021•乙卷）已知函数 f(x)ln(ax) ，已知x0是函数yxf (x)的极值点． （1）求a； x f(x) （2）设函数g(x) ．证明：g(x)1． xf(x) 附表：常见泰勒公式 1 1 ①ex 1x x2  x3 (x3)； 2 6 1 1 ②ln(x1) x x2  x3 (x3)； 2 3 1 ③sinx x x3 (x3)； 6 1 1 ④cosx1 x2  x4 (x4)； 2 24 1 ⑤tanx x x3 (x3)； 3 1 1 ⑥ 1x 1 x x2 (x2)； 2 8MST老唐说题26版一轮 考向 5 导数放缩与数列构造 题型一 不等式的累加VS数列和式代换 通常利用题目给定的不等式，形如ln(1x)x(x0)利用这种式子构造n个不等式累加，得到一个结果， 我们也可以考虑和式代换逆推. 【例1】已知：若ln(1x)x(x0)，a  n ，S 是数列 a 前n项和，求证：S nln n2 . n n1 n n n 2 【例2】（2022•新高考Ⅱ）已知函数 f(x)xeax ex． （1）当a1时，讨论 f(x)的单调性； （2）当x0时， f(x)1，求a的取值范围； 1 1 1 （3）设nN*，证明：   ln(n1)． 12 1 22 2 n2 n 由飘带函数这种高考重量级函数能出现一些什么样的构造模型呢？ n1 1 1 n1 1 n1 n 令x ，这是最常见的构造，根据x1时，lnx (x )，则ln  (  )， n 2 x n 2 n n1 1 (n1)2 n2 1 1 1 即ln(n1)lnn [ ] (  )，进行累加， 2 n(n1) 2 n n1  1 1 1 ln(n1)lnn (  ) 2 n n1   1 1 1 ln(n2)ln(n1) (  ) 3 1 1 1 即 2 n1 n2 ln2    ，  4n n1 n2 2n1    1 1 1 ln2nln(2n1) (  )   2 2n1 2n 2 1 1 1 5 1 1 1 或者ln3    ，ln4    ，以此类推. 3n n1 n2 3n1 8n n1 n2 4n1 lnx aex 1 【例3】已知函数 f(x)1 aex  ，a ． x x2 2 （1）当xlnx0时，求证 f(x)0； 1 1 1 3 e （2）求证：    ln (nN*)． n1 n2 2n1 4n 2MST老唐说题26版一轮 题型二 不等式的累乘VS数列积式代换 1 1 通常求导后得到一个不等式，形如1xex(x0)，利用这种式子构造n个不等式累乘，如1 en, n 得到一个结果如 2  3  n1 e 11 2 1 n ，某些时候还需要用到糖水不等式. 1 2 n f(n) 形如：a a a  f(n)类型，可以用积式代换证明，即证a  ，且a  f(1) 1 2 n n f(n1) 1 【例1】（2015•安徽）设nN*，x 是曲线yx2n2 1在点(1，2)处的切线与x轴交点的横坐标． n （1）求数列{x }的通项公式； n 1 （2）记T n x 1 2x 3 2x 2 2 n1 ，证明：T n  4n . 【例2】（2020•新课标Ⅱ）已知函数 f(x)sin2xsin2x． （1）讨论 f(x)在区间(0，)的单调性； 3 3 （2）证明：| f(x)| ； 8 3n （3）设nN*，证明：sin2 xsin22xsin24xsin22 nx ． 4n 题型三 不等式的累加VS数列放缩 裂项相消放缩与证明（S m或a a a m），以下模块数列部分也有介绍． n 1 2 n 模型一：等差数列的裂项相消放缩： 1 1 1 n 1 3 1 2n2 n1 1 1(  )(n2) 1 n   ； n2 n n1 i2 2 n1 2  n1  i2 1  1 ( 1  1 )  n2  n 1  1 [ 3  1  1 ] 3n2 n2 ． n2 1 2 n1 n1 i2 1 2 2 n n1 4n  n1  i2 模型二：等比数列的裂项相消放缩： 设 a 是以a 为首项，且公比为q的等比数列，关于 n a i ： n 1  a 1  a 1  i1 i i1MST老唐说题26版一轮 a 1 1 1 n a 1 1 1 1 1 n  (  )  i = (  )  ． (a 1)a +1 q1 a 1 a +1 a 1a 1 q1 a 1 a +1 q1 a 1 n n1 n n1 i1 i i1 1 n1 1 模型三：平方递推放缩： 已知数列 a 满足：a a (a 1)： n n1 n n 1 1 1 1 1 1 1 n 1 1 1 1 则  =  ，   ，    ． a a (a 1) a 1a 1a a a 1a a a a n1 n n n n n n n1 i1 i 1 n1 1 【例1】（2017•新课标Ⅲ）已知函数 f(x)x1alnx ． （1）若 f(x)0，求a的值； 1 1 1 （2）设m为整数，且对于任意正整数n，(1 )(1 )(1 )m，求m的最小值． 2 22 2n 1 【例2】设函数g(x) x3ax2的图象在x1处的切线平行于直线2x y0，记g(x)的导函数为 f(x)， 3 1 数列a 满足：a  ,a  f(a ). n 1 2 n1 n （1）求函数 f(x)的解析式; （2）试判断数列a 的增减性,并给出证明; n 1 1 1 （3）当n2，nN*时，求证：1   2. 1a 1a 1a 1 2 nMST老唐说题26版一轮 考向6 极值点偏移 解题方法 1.对称化构造 常见题设：若函数 f(x)存在两个零点，且满足 f(x ) f(x )，x 为函数 f(x)的极值点，求证x x 2x ． 1 2 0 1 2 0 （1）求导讨论 f(x)单调性，并求出极值点x 以及x ，x 的范围； 0 1 2 （2）构造函数F(x) f(x) f(2x x)； 0 （3）对F(x)求导，讨论F(x)单调性，从而判断F(x)在极值点单侧的正负，得出 f(x)与 f(2x x)的大小 0 关系； （4）代入x 或x ，得出 f(x)与 f(2x x)的大小关系，借助 f(x ) f(x )将自变量统一到极值点同侧， 1 2 0 1 2 再通过 f(x)单调性得出结论． lnx 2.对数平均不等式（适用于和型或商型，如xlnxa， a，积型不适用xlnxa ） x  ab  (ab) ab 对数平均不等式：两个正数a，b的对数平均L(a，b)lnalnb ，有如下关系 ab  ，  a(ab) 2 即几何平均数对数平均数算术平均数．证明如下： ab ab a b(t1) b(t1) 比值代换 不妨设ab， ab   ，令t  1，则b t   ，下面可以对不等 lnalnb 2 b lnt 2 (t1) (t1) 2(t1) 1 式进行整理和化简得到 t   ，所以 lnt t  ，可以继续构造飘带函数求证． lnt 2 t1 t 考虑到实际应用中常常使用指数，为计算方便，我们引入ALG不等式的拓展——指数形式的不等式． 下简称指数平均不等式．ALG不等式的证明(指数)  em en (mn) mn em en 设aem，ben，则E(a，b) mn ，有如下关系：e 2 E(a，b) ．  2 em(mn) ab ab 证明如下:由对数平均不等式 ab   (ab)，令aem，ben (mn)， lnalnb 2 emen emen mn em en em en 所以 emen   ，即e 2   ． mn 2 mn 2MST老唐说题26版一轮 题型1对称化构造与对数平均不等式 【例1】（2010•天津理）已知函数 f(x)xex(xR) （1）求函数 f(x)的单调区间及极值； （2）求证：当x1时， f(x) f(2x)； （3）如果x  x ，且 f(x ) f(x )，求证：x x 2． 1 2 1 2 1 2 ex 【例2】（2022•甲卷）已知函数 f(x) lnxxa． x （1）若 f(x)0，求a的取值范围； （2）证明：若 f(x)有两个零点x ，x ，则xx 1． 1 2 1 2 【例3】已知函数 f(x)x2ex． （1）求 f(x)的单调区间． （2）已知直线l:ykx(kR)与曲线y f(x)交于A(x ，kx )，B(x ，kx )，C(x ，kx )三点，且x  x  x ． 1 1 2 2 3 3 1 2 3 ①若x ，x ，x 成等差数列，求k的值； 1 2 3 ②证明：x x 2． 1 2 【例4】（2021•新高考Ⅰ）已知函数 f(x)x(1lnx)． （1）讨论 f(x)的单调性； 1 1 （2）设a，b为两个不相等的正数，且blnaalnbab，证明：2  e． a bMST老唐说题26版一轮 题型2 韦达消参 1 【例1】已知函数 f(x) x2 bx2alnx． 2 若b2，且 f(x)有两个极值点x ，x ，证明： f(x ) f(x )3． 1 2 1 2 1 【例2】（2018•新课标Ⅰ）已知函数 f(x) xalnx． x （1）讨论 f(x)的单调性； f(x ) f(x ) （2）若 f(x)存在两个极值点x ，x ，证明： 1 2 a2． 1 2 x x 1 2 拓展思维 拓展1 对数单身狗 指数找基友 考点三 指对的处理技巧（简化运算） 角度1 指数找朋友 【例1】求证下列式子： （1）（2018•新课标II）ex  x2 1(x0)； （2）（2016•新课标Ⅱ）当x0时，求证：(2x)ex  x2． 1 （3）（2020•新课标I）当x0时，求证：ex  x2 x1． 2 （4）当x0时，求证：ex ex(x1)2；MST老唐说题26版一轮 【例2】已知函数 f(x)xln(ax1)(a0) ． 证明：当x0时，ex (2e)xxln(x1)1． a 1 【例3】已知函数 f(x) x  (sinxcosx)． ex 2 （1）当a0时，判断函数 f(x)的单调性； （2）已知 f(x)1对任意xR恒成立，求a的取值范围． 角度2 对数独行侠 【例1】（2018•新课标Ⅲ卷）已知函数 f(x)(2xax2)ln(1x)2x．若a0， 证明：当1 x0时， f(x)0；当x0时， f(x)0． 1 【例2】已知函数 f(x)(1x)lnx ． x 求证： f(x)x．MST老唐说题26版一轮 拓展2 凹凸反转在高考中的应用 常见模型有三种 ① 高人一等，即上函数的最小值大于下函数的最大值；不取等；（ f(x)g(x)） ② 亲密接触，即上函数的最小值等于下函数的最大值，且取等条件一致；（ f(x)g(x)） ③ 错位时空，即上函数的最小值等于下函数的最大值，但取等条件不一致．（ f(x)g(x)） ① ② ③ aex 2 【例1】设函数 f(x) ，若a ，证明：lnx f(x)0． x e2 【例2】已知函数 f(x)axlnx1． 对任意的x0，不等式 f(x)ex恒成立，求实数a的取值范围． 【例3】已知函数 f(x)aexm，其中a，mR. 当a4，m2时，证明： f(x) x(1lnx).MST老唐说题26版一轮 拓展 3 新高考背景下的万能找点法 考向一 万能找点法 找点原理：增反减同 增函数满足“增反”，即增函数找大点构造小函数，找小点构造大函数；减函数则满足“减同”，即减 函数找大点构造大函数，找小点构造小函数(图右)，这类“增反减同”的找点法原理我们叫做楞次找点原 理. 同理，我们来研究有极值点的函数找点原理，当函数极大值大于零或者极小值小于零，通常会有两个 零点，高考中一旦需要我们去找这两个零点时，我们也可以根据楞次找点法进行分析，两边都构造放缩函 数，得到可解方程；我们通常将零点当中的较小零点用x （小点）表示，较大零点用x （大点）表示，由 1 2 于放缩的h(x)和g(x)不是唯一的，我们有多种构造方法和构造选择，故我们把这类型极小值小于零的两个 零点问题的放缩找点类型称为“众星捧月”． 同样，在极大值大于零的两个零点问题时，则需要构造“仙女散花”的模型(如下图) 题型一 单调函数单零点问题 在指数函数中，我们通常利用e0 1来锁定一个界限，对数函数中，我们通常利用ln10来锁定一个界 限，我们可以先参考例题. 【例1】当a0时，讨论函数 f(x)ex ax的零点个数． 【例2】当a0时，讨论函数 f(x)lnxax的零点个数．MST老唐说题26版一轮 题型二 单峰函数零点问题 【例1】(2016・新课标I)已知函数 f(x)(x2)ex a(x1)2. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)有两个零点，求a的取值范围. 【例2】（2022•天津）已知a，bR，函数 f(x)ex asinx，g(x)b x． （1）求函数y f(x)在(0， f(0))处的切线方程； （2）若y f(x)和yg(x)有公共点． （ⅰ）当a0时，求b的取值范围； （ⅱ）求证：a2 b2 e． 【例3】(2017•新课标I)已知函数 f(x)ae2x (a2)ex x. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)有两个零点，求a的取值范围.MST老唐说题26版一轮 题型三 双峰函数零点问题 f(x)不单调，且有两个极值时，m(a，b)，n(a，b)使 f(m)0 f(n)0且 f(m) f(n)0， ， 此时y f(x)在区间(a，b)有唯一零点. 【例1】(2021•新高考II)已知函数 f(x)(x1)exax2b. (1)讨论 f(x)的单调性; 1 e2 1 (2)从以下（1）和（2）中选择一项证明 f(x)恰有一个零点:(1) a ，b2a;(2)0a ，b2a. 2 2 2MST老唐说题26版一轮 拓展4 显点效应（端点效应与极点效应） 必要探路体系只有两种：显点效应（包括端点效应与极点效应）与隐点效应（即特殊点效应，拓展5介绍）． 显点效应即此点显而易见，①端点效应：在端点处取得最值，如左图，x0，f(x) f(0)0； ②极点效应：非端点处的天生零点，如右图，xR，f(x) f(x )0． 0 注意：连续函数，端点处的最值不一定是极值，但非端点处的最值一定是极值，就是两者的区别． 题型一 端点效应 很多地区使用洛必达会被扣分，所以端点效应也是洛必达的满分书写平替，属高考恒成立中最重要的 题型，是属于必要探路的一种，考试需要证矛盾，即证反面不成立（极点效应和隐点效应不需证反面，但 都需要证充要）．一般主要有四种题型：①符合泰勒展开（如2010新课标1卷，2024新1卷）或或帕德[1，1] 阶（如2016新课标2卷、2024甲卷理）；②单调含参（如2017新课标2卷）；③利用参数值反推单调（如 2022新高考2卷）；④双端点效应（2019新课标1卷）； 一般解题步骤：①满足端点处取得最值；②依次求导并代入端点值，使得参数有意义为止；③由单调的 导函数分析，往回推；④证明反面矛盾． 注意一个细节：由端点值代入分析的导函数需满足单调，或者通过讨论参数范围确定单调（反推）． 【例1】（2010•课标Ⅰ）设函数 f(x)=ex -1-x-ax2． （2）若当x³0时 f(x)³0，求a得取值范围．MST老唐说题26版一轮 【例2】（2016•新课标II卷）已知函数 f(x)=(x+1)lnx-a(x-1)． （2）当xÎ(1，+¥)时， f(x)>0，求a的取值范围． 【例3】（2024•甲卷理）已知函数 f(x)(1ax)ln(1x)x． （1）当a2时，求 f(x)的极值； （2）当x0时， f(x)0，求a的取值范围． 【例4】（2017•新课标II卷）设函数 f(x)=(1-x2)ex． （2）当x³0时， f(x)£1+ax，求实数a的取值范围． 【例5】（2022•新高考Ⅱ）已知函数 f(x)xeax ex． （1）当a1时，讨论 f(x)的单调性； （2）当x0时， f(x)1，求a的取值范围； 1 1 1 （3）设nN*，证明：   ln(n1)． 12 1 22 2 n2 nMST老唐说题26版一轮 【例6】（2019•新课标ⅠI）已知函数 f(x)=2sinx-xcosx-x ， f ¢ (x)为 f(x)的导数． （2）若xÎ[0，p]时， f(x)³ax，求a的取值范围． x 【例7】（2024•新高考1卷）已知函数 f(x)ln axb(x1)3． 2x （1）若b0，且 f(x)0，求a的最小值； （2）证明：曲线y f(x)是中心对称图形； （3）若 f(x)2，当且仅当1 x2，求b的取值范围． x2 x3 xn 此题背景分析：由对数的泰勒展开ln(1x) x  (1)n1 o(xn)，我们能得到 2 3 n  x2 x2 x3 x4 x5   ln(1x) x 2 (x0) 1x ln(1x)x    ， 即 ，两式相减得：ln 2x(x0)， 2 3 4 5  x2 1x ln(1x)x (x0)  2 1x t1 2(t1) 2(t1) 令 t(t 1)，则有x ，故lnt  (t 1)，同理也能证明lnt (0t1)，这就是我们 1x t1 t1 t1  x2 x3 x4 ln(1x) x +  (x0)  2 3 4 经常用来放缩估值的帕德逼近R 1，1 (x)，我们可以进行泰勒加强， 即  x2 x3 x4 ， ln(1x)x   (0 x1)  2 3 4 1x 2x3 两式相减得：ln 2x (0 x1)，即2015年北京卷原题. 1x 3 此题：即g(x)lnxln(2x)2xb(x1)3 20，1 x2，令xt1，t  x1，则t(0，1)， 1t t3 2 2 即h(t)ln(t1)ln(1t)2(t1)bt3 2ln 2(t )(b )t3 0，可探出b . 1t 3 3 3MST老唐说题26版一轮 题型二 极点效应 极点效应即非端点处的天生零点，可以直接观察出来，即该点既是零点，也是极值点，在利用极点效 应解题时，我们先得到参数值，在证明充分性，即证明满足题意（确认是极大值还是极小值）． 【例1】（2017•新课标Ⅱ）已知函数 f(x)ax2 axxlnx，且 f(x)0． （1）求a； 【例2】（2024•天津）设函数 f(x) xlnx． （2）若 f(x)a(x x)在x(0，)时恒成立，求a的值； 【例4】（八省联考）已知函数 f(x)ex sinxcosx，g(x)ex sinxcosx ． 5 （1）证明：当x 时， f(x)0； 4 （2）若g(x)2ax，求a． 拓展5 隐点效应 隐点效应也是我们常说的特殊点效应，但是很多学生在探路代点的时候，靠猜靠蒙，也不证明矛盾， 容易出错，但这个特殊点是可以通过分析确定的，这样再用必要探路解题才能确保万无一失，如我们用参 变分离解答，也可帮助我们找到最值点x ． 0 f(x )0 若 f(x)0恒成立，则一定存在一点x ，使得 f(x) f(x )恒成立，所以利用 0 探路，此时x 0 0 f(x )0 0 0 可以通过解方程或者观察出来，探出与a有关的方程来进行最值锁定，注意我们尽量保证 f(x )单调，这样 0 的x 才能唯一确定，在使用隐点效应（特殊点效应），不需要证反面矛盾． 0MST老唐说题26版一轮 【例1】（2020•新高考山东卷）已知函数 f(x)aex1lnxlna．若 f(x)1，求a的取值范围． 【例2】（2020•全国Ⅰ卷）已知函数 f(x)ex ax2 x． 1 （2）当x0时， f(x) x3 1，求a的取值范围． 2 【例3】已知函数 f(x)exa  2cosx(a0)．  （2）当x时， f(x)2sin(x )，求实数a的取值范围． 4MST老唐说题26版一轮 拓展6 切线夹与割线夹 角度1 切线夹 切线夹这种方法只适用于具有凹凸性的函数，切线夹的大体表现形式为x x m，对于这类单峰函数， 1 2 我们可以在极值点的左右找点做切线，一般题目会在条件（或问题）中提示一条切线，另一条切线则在另 一侧零点处求得（当然也有零点与切点不统一的情况，这里不做展示），设ym与曲线和切线的交点分别 为x ，x ，x ，x ，从而利用x x  x x m进行放缩求解． 1 2 3 4 2 1 4 3 一 双零点切线夹构造 【例1】（2015•天津）已知函数 f(x)4xx4，xR． （1）求 f(x)的单调区间； （2）设曲线y f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为yg(x)，求证：对于任意的 实数x，都有 f(x) g(x)； 1 a （3）若方程 f(x)a(a为实数）有两个实数根x ，x ，且x x ，求证：x x  43． 1 2 1 2 2 1 3 二 单零点处和拐点外切线夹构造 1x2 【例2】（2023•安徽模拟）已知函数 f(x) （e为自然对数的底数）． ex （1）求函数 f(x)的零点x ，以及曲线y f(x)在xx 处的切线方程； 0 0 1 （2）设方程 f(x)m(m0)有两个实数根x ，x ，求证：|x x |2m(1 )． 1 2 1 2 2eMST老唐说题26版一轮 角度2 割线夹 割线夹与切线夹类似，切线夹描述的差值小于什么，割线夹一般表现为x x m，对于这类单峰函数， 1 2 我们可以在极值点做左右割线，如图所示，设平口单峰函数为 f(x)，极值点为点P(x ，y )，引两条切线l ，l ， 0 0 1 2 设ym与曲线和切线的交点分别为x ，x ，x ，x ，从而利用x x  x x m进行放缩求解． 1 2 3 4 2 1 4 3 【例1】已知函数 与 有两个交点 , 且 . ln ( )= = 1, 2 1 < 2 （1）求 的取值范围; （2）证明: ; 2− 1 >−2 e+2 【例2】已知函数 f(x) xlnx． （1）若a 2，证明： f(x)axe3在(0,)上恒成立； e3 23b （2）若方程． f(x)b有两个实数根x ，x ，且x x ，求证：be1x x  ． 1 2 1 2 2 1 2MST老唐说题26版一轮 角度3 切线夹与割线夹结合 【例1】已知函数 f(x)x(tlnx)，tR． （1）讨论函数 f(x)的单调区间； 1 （2）当t 1时，设x ，x 为两个不相等的正数，且 f(x ) f(x )a，证明：x x a(2e)e ． 1 2 1 2 1 2 e