第二节条件概率与全概率公式_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_十一章

MST老唐说题 26版一轮 第 2 节 条件概率与全概率公式 知识点1、条件概率 （一）定义 P(AB) 一般地，设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A) 为在事件A发生的条件下， P(A) 事件B发生的条件概率． 注意：（1）条件概率P(B|A)中“|”后面就是条件；（2）若P(A)0，表示条件A不可能发生， 此时用条件概率公式计算P(B|A)就没有意义了，所以条件概率计算必须在P(A)0的情况下进行． （二）性质 （1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即0P(B|A)1． （2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0． （3）如果B与C互斥，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A) ． 注意：（1）如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率，那么P(B)P(B|A)； （2）已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的 nAB nAB n PAB 基本事件空间计算AB发生的概率，即P(B|A)   ． nA nA PA n 知识点2、相互独立与条件概率的关系 （一）相互独立事件的概念及性质 （1）相互独立事件的概念 对于两个事件A，B，如果P(B|A)P(B)，则意味着事件A的发生不影响事件B发生的概率．设 P(AB) P(A)0，根据条件概率的计算公式，P(B)P(B|A) ，从而P(AB)P(A)P(B) ． P(A) 由此我们可得：设A，B为两个事件，若P(AB)P(A)P(B) ，则称事件A与事件B相互独立． （2）概率的乘法公式 由条件概率的定义，对于任意两个事件A与B，若P(A)0，则P(AB)P(A)P(B|A) ．我们称 上式为概率的乘法公式． （3）相互独立事件的性质 如果事件A，B互相独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立． （4）两个事件的相互独立性的推广 1 学科网（北京）股份有限公司MST老唐说题 26版一轮 两个事件的相互独立性可以推广到n(n2，nN*)个事件的相互独立性，即若事件A，A ，…， 1 2 A 相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(AA A )P(A)(A )P(A )． n 1 2 n 1 2 n （二）事件的独立性 （1）事件A与B相互独立的充要条件是P(AB)P(A)P(B)． （2）当P(B)0时，A与B独立的充要条件是P(A|B)P(A)． P(AB) P(A)P(B) （3）如果P(A)0，A与B独立，则P(B|A)  P(B) 成立． P(A) P(A) 知识点3、全概率公式 （一）全概率公式 （1）P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B |A)； （2）定理1若样本空间中的事件A，A ，…，A 满足： 1 2 n ①任意两个事件均互斥，即AA ，i，j1，2，，n，i j； i j ②A A A ； 1 2 n ③PA0，i1，2，，n． i 则对中的任意事件B，都有BBA BA BA ，且 1 2 n n n P(B)P(BA)P(A)P(B|A)． i i i i1 i1 注意：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事 件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题． （2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在 这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． （二）贝叶斯公式 （1）一般地，当0P(A)1且P(B)0时，有 P(A)P(B|A) P(A)P(B|A) P(AB)  P(B) P(A)P(B|A)P(A)P(B|A) （2）定理2若样本空间中的事件A ，A ，，A 满足： 1 2 n ①任意两个事件均互斥，即AA ，i，j1，2，，n，i j； i j ②A A A ； 1 2 n ③0PA1，i1，2，，n． i 则对中的任意概率非零的事件B，都有BBA BA BA ， 1 2 n 2 学科网（北京）股份有限公司MST老唐说题 26版一轮 P(A )P(B|A ) P(A )P(B|A ) 且P(A B) j j  j j j P(B) n P(A)P(B|A) i i i1 注意：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因， 看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯 公式．贝叶斯公式的意义是导致事件B发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率． （2）贝叶斯公式充分体现了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|A)，P(AB)之间的转 P(AB) 关系，即P(A|B) ，P(AB)P(A|B)P(B)P(B|A)P(A) ，P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B |A) P(B) 之间的内在联系． 考向一 条件概率 题型一 求条件概率 【例1】（2024•天津）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项 目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目．假 设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为 ；已知乙同学 参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 ． 【例2】投壶是中国古代士大夫宴饮时做的一种投掷游戏，游戏方式是把箭向壶里投．《醉翁亭记》 中的“射”指的就是“投壶”这个游戏．为弘扬传统文化，某单位开展投壶游戏，现甲、乙两人为一组 玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中，则此人继续投壶，若未投中，则换为对方 1 1 投壶，无论之前投壶的情况如何，甲每次投壶的命中率均为 ，乙每次投壶的命中率均为 ，由抽 3 2 1 签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为 ．第3次投壶的人是乙的概率 2 为 ，已知在第2次投壶的人是甲的情况下，第1次投壶的人是乙的概率为 ． 3 学科网（北京）股份有限公司MST老唐说题 26版一轮 题型二 条件概率的乘法公式 乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P  AB ＝P  A  P  B |A  ． 【例1】某厂产品的废品率为4%，而合格品中有75%是一等品，求一等品率． 【例2】已知0PA1，且PB|APB，若P  A  0.6,P  B| A  0.3， 则PAB ． 【例2】多选题是新高考中的一种题型，其规则如下：有多项符合题目要求，全部选对的得5分， 部分选对的得2分，有选错的或一个都不选的得0分．某同学正在参加西昌市半期考试，当其做到 1 多项选择题11题和12题时，发现自己不会，在这两个多项选择题中，他选择一个选项的概率是 ， 3 1 1 选择两个选项的概率是 ，选择三个选项的概率是 ，若该同学猜答案时题目与题目之间互不影响， 3 3 且第11题和第12题的正确答案都是两个选项． (1)求该同学11题得2分的概率； (2)求该同学第11，12题两个题总共得分为7分的概率． 4 学科网（北京）股份有限公司MST老唐说题 26版一轮 题型三 条件概率的性质 常用性质：设P(A)0，则 （1）P| A1； （2）如果B和C是两个互斥事件，则PBC | A PB| APC | A； （3）设B和B互为对立事件，则P  B| A  1P  B| A  1 1 【例1】（多选）已知P(A) ，P(B|A) .若随机事件A，B相互独立，则（ ） 5 4 1 1 4 4 A．P(B) B．P(AB) C．P(A|B) D．P(AB) 3 20 5 5 【例2】已知随机事件A，B，若PA 1 ，PB|A 3 ，P  A|B   4 ，则PB . 3 5 7 考向二 相互独立与条件概率的关系 A,B同时发生的概率表示为PAB，若A,B相互独立，则P  AB P  A P  B ． 【例1】（多选）若PA 1 ，PB 1 ，P  B A  3 则下列说法正确的是（ ） 3 2 4 1 A．PAB B．事件A与B相互独立 4 C．PAB 7 D．P  B A   3 12 8 【例2】将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派 1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”； B表示事件“医生乙派往①村庄”； C表示事件“医生 乙派往②村庄”，则（ ） A．事件A与B相互独立 B．事件A与C相互独立 5 C． PB|A 12 5 学科网（北京）股份有限公司MST老唐说题 26版一轮 5 D． PC|A 12 考向三 全概率公式与贝叶斯公式 题型一 全概率公式 某一事件 A的发生可能有各种的原因,如果 A是由原因B(i 1,2,,n)所引起,则 A发生的 i 概率是P  AB  P  B  P  A|B ,每一原因都可能导致A发生,故A发生的概率是各原因引起 A i i i 发生概率的总和． 【例1】设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占45%、35%、20%，甲、丙车间生 产的产品的次品率分别为2%和5%．现从中任取一件，若取到的是次品的概率为2.95%，则推测乙 车间的次品率为 ． 【例2】盒中装有5个产品，其中3个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个， 取两次．求： (1)两个都取得一等品的概率； (2)第二次取得一等品的概率； (3)已知在第二次取得一等品的条件下，第一次取得二等品的概率． 6 学科网（北京）股份有限公司MST老唐说题 26版一轮 题型二 贝叶斯公式 若随机试验可以看成分两个阶段进行,且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知,那么如果 第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,一般用 贝叶斯公式,类似于求条件概率. 【例1】英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存 PAP  B A    在如下关系：P A B  .若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验 PB 被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的 可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的 可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为 （ ） 495 995 10 21 A． B． C． D． 1000 1000 11 22 【例2】随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员 工小明上班出行方式有自驾、坐公交车、骑共享单车三种，某天早上他选择自驾、坐公交车、骑 共享单车的概率分别为 ， ， ，而他自驾、坐公交车、骑共享单车迟到的概率分别为 ， ， ， 1 1 1 1 1 1 则小明这一天迟到的概率为 ；若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率为 ． 3 3 3 4 5 6 【例3】在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1 有可能被错误地接收为1或0，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信 号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.假设发送信号0和1是等可能的.若已知接收的信号 为0，求发送的信号为1的概率. 7 学科网（北京）股份有限公司MST老唐说题 26版一轮 题型三 全概率公式与递推数列 【例1】中国农业大学被网评为“京城高校第一食堂”，“食堂届的天花板”仅东区食堂就有六个，大 一新生每天在“公寓食堂”、“风味餐厅”、“清真食堂”三个方向艰难选择，某同学决定从“公寓食堂” 开始就餐，下一次就餐再等可能地随机选择另外2个食堂中的1个，如此不停地品尝各个食堂的美 食，记第n次就餐去“公寓食堂”的概率为 p ，第n次就餐去“风味餐厅”的概率为q ，显然 p 1， n n 1 q 0．下列判断正确的是（ ） 1 1 1 A． p p 的最大值为 B．p p 的最小值为 n1 n 12 n1 n 12 1 1 C． p p 的最大值为 D． p p 的最小值为 n1 n 8 n1 n 8 【例2】近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一逆亮丽的风景线、 某外卖小哥每天来往于4个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，3，4），约定：每天他首先从1号 外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余3个外卖店中的任何一个店取单叫做第 2次取单，依此类推，假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的3个外卖店取单， 设事件A {第k次取单恰好是从1号店取单}，PA 是事件A 发生的概率，显然PA1， k k k 1 PA 0，则PA ，PA  ． 2 3 5 8 学科网（北京）股份有限公司MST老唐说题 26版一轮 【例3】某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有 2 一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为 ；从第二次摸球开始，若前一次没 7 1 1 抽中奖品，则这次抽中的概率为 ，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为 ．记该顾客第n次 2 3 摸球抽中奖品的概率为P ． n (1)求P 的值，并探究数列P的通项公式； 2 n (2)求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程． 9 学科网（北京）股份有限公司