第二节数量积_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第六章

MST老唐说题26版一轮 6.2 数量积 考向 1 利用内积公式求解问题 题型1 求模长、夹角和内积 1．基底的定义 如果e 、e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且仅有一对实数，， 1 2 1 2 使得ae e ．我们把不共线的向量e 、e 叫做表示这个平面内所有向量的一组基底． 1 1 2 2 1 2 2．平面向量的直角坐标运算 特殊基底的应用:非0基底向量垂直时，可利用平面直角坐标系坐标化解题，在平面直角坐标系内，分别取 与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对平面内任一向量a，有且仅有一个实数对(x，y)， 使得axi yj ，则实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，其中x，y分别叫做a在x轴、y轴 上的坐标，相等向量的坐标相同，坐标相同的向量是相等向量．   ①已知点A(x ，y )，B(x ，y )，则AB(x x ，y y)，|AB| (x x)2(y y)2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ②已知a(x ，y )，b(x ，y )，则ab (x x ，y  y )，a(x ，y )， 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 3．数量积的运算律 已知向量a、b、c 和实数，则： ①abba； ②(a)b=(ab)a(b) ； ③(ab)c=acbc ． 4．数量积的坐标运算 已知非零向量a(x ，y )，b(x ，y )，为向量a、b的夹角． 1 1 2 2 结论 几何表示 坐标表示 模 |a| aa |a| x2  y2 数量积 ab|a||b|cos abxx  y y 1 2 1 2 夹角 cos ab cos x 1 x 2 y 1 y 2 |a||b| x2y2 x2y2 1 1 2 2 ab的充要条件 ab0 xx  y y 0 1 2 1 2 a∥b的充要条件 a（b b0） x y x y 0 1 2 2 1 |ab||a||b|(当且仅当 |ab|与|a||b|的关系 |xx  y y |≤ x2  y2  x2  y2 a∥b时等号成立) 1 2 1 2 1 1 2 2MST老唐说题26版一轮          【例1】（2024•新高考Ⅱ）已知向量a，b 满足：|a|1，|a2b|2，且(b2a)b ，则|b|( ) 1 2 3 A． B． C． D．1 2 2 2          【例2】（2020•新课标Ⅲ）已知向量a，b 满足|a|5，|b|6，ab 6，则cosa，ab ( ) 31 19 17 19 A． B． C． D． 35 35 35 35         【例3】（2022•乙卷）已知向量a，b 满足|a|1，|b| 3，|a2b|3，则ab ( ) A．2 B．1 C．1 D．2 题型2 利用投影法求范围 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作ab，即 ab=|a||b|cos，规定：零向量与任一向量的数量积为0． （2）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：|a|cos叫做向量a在b方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时， 它是负数；当为直角时，它是0． ②ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos的乘积．   【例1】（2020•山东）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则APAB的取值范围是( ) A．(2,6) B．(6,2) C．(2,4) D．(4,6) 【例2】（2025•湖南模拟）邢台一中数学探索馆中“圆与非圆—搬运”的教具中出现的勒洛三角形是一种典 型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围 成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知AB2，P 为弧AC 上的一点，且   PBC ，则BPPC的最小值为( )MST老唐说题26版一轮 A．0 B．2 34 C．2 D．2 考向 2 利用坐标转换求解问题 题型1 利用向量平行垂直关系求解   ①已知点A(x ，y )，B(x ，y )，则AB(x x ，y y)，|AB| (x x)2(y y)2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ②已知a(x ，y )，b(x ，y )，则ab (x x ，y  y )，a(x ，y )， 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 ab= x x  y y ， a  x 2  y 2 ． a∥b  x y x y 0，ab xx y y 0 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2     【例1】（2024•上海）已知kR，a (2,5)，b (6,k),a//b ，则k的值为 ．      【例2】（2024•新高考Ⅰ）已知向量a(0,1)，b (2,x)，若b (b4a)，则x( ) A．2 B．1 C．1 D．2       【例3】（2025•广东模拟）已知向量a(2,1)，a(a2b)7，则b 在a上的投影向量的坐标为 ．        【例4】（2025•福建模拟）已知a，b 是两个非零平面向量，a(3b2a)，则b 在a方向上的投影向量为( )  1  2  1  A．a B． a C． a D． a 2 3 3MST老唐说题26版一轮 题型2 特殊几何图形与建系法求解 1．常见特殊几何图形的建系处理 边长为a的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形 平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆 对于向量中的特殊几何图形的数量积问题，我们可以参考以上图形的建系方法来转换成坐标运算降低思维 难度，注意向量的代数问题也可以设坐标来表示，从而转化为函数或者不等式去求取值范围. 【例1】（2022•北京）在ABC中，AC 3，BC 4，C 90．P为ABC 所在平面内的动点，且PC 1，   则PAPB的取值范围是( ) A．[5，3] B．[3，5] C．[6，4] D．[4，6]      【例2】（2024•天津）已知正方形ABCD的边长为1，DE 2EC.若BE BABC，其中，为实数，   则 ；设F 是线段BE 上的动点，G为线段AF 的中点，则AFDG的最小值为 ．   【例3】已知点A，点B，点P都在单位圆上，且|AB| 3，则PAPB的取值范围是( ) 1 3 A．[ , ] B．[1，3] C．[2，3] D．[1，2] 2 2MST老唐说题26版一轮 题型3 极化恒等式 2．极化恒等式   1 (   )2 (   )2 a×b = a+b - a-b 4  1  在△ABC 中，若AM是△ABC 的BC边中线，有以下两个重要的向量关系：  AM  2 AC AB    B  M   1 A  C    A  B   2 定理1 平行四边形两条对角线的平分和等于两条邻边平分和的两倍.以此类推到三角形，若AM是ABC的 中线，则AB2 AC2 2  AM2 BM2. 定理2 在ABC 中，若M是BC的中点，则有  A  B    A  C    A  M  2  1 B  C  2   A  M  2   B  M  2 . 4 向量数量积问题中，夹角未知，向量动点变化，极化恒等式具有重要的作用.   【例1】（2025•吉林模拟）在△ABC中，BC 10，M 为BC中点，AM 4，则ABAC ( ) A．9 B．16 C．9 D．16 【例2】窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多 地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿 望．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形ABCDEF 的边长为2 3，   圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN 为圆的直径，则PM PN 的 取值范围是( ) 5 3 A．[5，8] B．[2，3] C．[ ,4] D．[ ,3] 2 2MST老唐说题26版一轮 考向 3 奔驰定理与向量四心 题型1 奔驰定理 1．奔驰定理---解决面积比例问题 重心定理：三角形三条中线的交点. x x x y  y  y 已知△ABC 的顶点A(x ，y )，B(x ，y )，C(x ，y )，则△ABC的重心坐标为G( 1 2 3 ，1 2 3). 1 1 2 2 3 3 3 3     注意：（1）在△ABC 中，若O为重心，则OA+OB +OC = 0． （2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．  1 1 重心的向量表示：AG= AB+ AC ． 3 3     奔驰定理：  1 OA   2 OB   3 OC  0，则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于 3 : 2 : 1 奔驰定理证明： 奔驰定理最直观的体现就是以中心O为起点引出的三个向量，每个向量与其对面的三角形面积 构成的向量数乘之和为0.     【例1】已知点O为ABC 内一点，且OA2OB3OC 0，则AOB、AOC、BOC 的面积之比等于（ ） A．9∶4∶1 B．1∶4∶9 C．3∶2∶1 D．1∶2∶3MST老唐说题26版一轮 题型2 外心向量定理 外心：三条边垂直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等，即 OA  OB  OC ；   1  2   1  2   1  2 （1）AOAB AB ，AOAC  AC ；BOBC  BC ； 2 2 2   1  2 1  2   1  2 1  2   1  2 1  2 （2）AOAF  AB  AC ，BOBE  AB  BC ，COCD BC  AC ； 4 4 4 4 4 4   1  2 1  2   1  2 1  2   1  2 1  2 （3）AOBC  AC  AB ，BOAC  BC  BA ，COAB BC  AC . 2 2 2 2 2 2 证明： 推论：   【例2】在ABC 中，AC 3，AB1，O是ABC 的外心，则BCAO的值为( ) A．8 B．6 C．4 D．3MST老唐说题26版一轮 题型3 垂心定理     若AD为三角形ABC底边BC上的高，P为高AD上任意一点，则一定有 AP×PB = AP×PC 证明： 垂心定理：三角形三边上的高相交于一点（如图右），故点O是ABC的垂心，       则一定有OAOBOBOC OCOA．            OA OB OC OB OB (OA OC) = 0 OB CA= 0，即OB ^CA，以此类推即可证明． 垂心的向量乘积定理： 如下图，若O是ABC的垂心，G是边BC所在直线上的一点，则ABAC  AOAC  AOAB AOAG 证明： 推论：         3 【例3】在ABC 中，OAOBOBOC OCOA，D为BC边上一点（不含端点），ABAC  ， 2   则AOAD( ) 3 A．1 B． 3 C． D．2 2MST老唐说题26版一轮 题型4 角平分线向量定理         若OAa，OBb，则AOB平分线上的向量OM 为 ( a   b  )，由OM 决定 |a | |b |         角平分线定理证明： a  和 b  分别为OA和OB方向上的单位向量， a   b  是以 a  和 b  为一组邻边的 |a| |b| |a| |b| |a| |b|   平行四边形过O点的的一条对角线，而此平行四边形为菱形，故 a   b  在AOB平分线上，但AOB平 |a| |b|   分线上的向量OM 终点的位置由OM 决定.当1时，四边形OAMB构成以AOB120的菱形． 内心定理 （1）角平分线的交点，到三条边的距离相等； （2） OAaOBbOCc0； 证明： 推论： 【例4】（多选）如图．P为ABC 内任意一点，角 A，B ，C的对边分别为a，b，c ，总有优美等式     S PAS PBS PC 0成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理．则以下命题是真 PBC PAC PAB 命题的有( )     A．若P是ABC 的重心，则有PAPBPC 0     B．若aPAbPBcPC 0成立，则P是ABC 的内心  2 1 C．若AP AB AC，则S :S 2:5 5 5 ABP ABC     D．若P是ABC的外心，A ，PAmPBnPC ，则mn[ 2,1) 4MST老唐说题26版一轮 题型2 向量四心的轨迹问题     |AB|AB |AC|AC 【例1】已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足OPOA(  )，R， sinC sinB 则P点的轨迹一定通过三角形ABC的 心． 【例2】已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足     AB AC OPOA(    )，(0，)，则动点P的轨迹一定通过ABC 的 心． |AB|cosB |AC|cosC 【例3】已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足      OBOC AB AC OP (    )，[0，)，则动点P的轨迹一定通过ABC 的 心． 2 |AB|cosB |AC|cosC 【例4】已知O是锐角ABC所在平面内的一定点，动点P满足：     AB AC OPOA(   )，(0，)，则动点P的轨迹一定通过ABC 的 心． |AB 2 |sinABC |AC|2 sinACB 【例5】（多选）在ABC 中，AB AC 3，BC 4，O为ABC 内的一点，    设AOABAC ，则下列说法正确的是( ) 2 2 A．若O为ABC的重心，则 B．若O为ABC 的内心，则 3 5 9 1 C．若O为ABC 的外心，则 D．若O为ABC的垂心，则 10 5MST老唐说题26版一轮 拓展思维 拓展1 矩形大法 如图，在矩形ABCD中，若对角线AC 和BD交于点O，P为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：     ①PA2 +PC2 =PB2 +PD2 ；② PA×PC = PB×PD. 证明： 【例1】（2013•重庆卷）在平面内，  A  B    A  B  ， O  B   O  B  1，  A  P    A  B    A  B  若 O  P  < 1，则 O  A  的取值 1 2 1 2 1 2 2 范围是（ ）  5  5 7  5   7  A．0,  B.  ,  C.  , 2 D.  , 2      2   2 2   2   2  PA 2  PB 2 【例2】（2012•江西卷）在Rt△ABC 中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则 等 PC2 于（ ） A．2 B．4 C． 5 D． 10MST老唐说题26版一轮 拓展2 隐圆问题   极化恒等式向量乘积型：PAPB   1 平面内，若A，B为定点，且PAPB,则P的轨迹是以AB中点M 为圆心，  AB2 为半径的圆． 4 证明： 【例1】（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，A(12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2  y2 50上，若   PAPB20，则P的横坐标范围是 ． 与向量模和向量数量积构成隐圆            【例2】已知平面向量a，b ，c满足对任意xR都有|axb||ab|，|axc||ac|成立，        |ac||bc|1，|ab| 3，则|a|的值为（ ） A．1 B． 3 C．2 D． 7   【例3】（2008•浙江卷）已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则  |c|的最大值是（ ） 2 A．1 B．2 C． 2 D． 2         【例4】（2018•浙江）已知a，b ，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为 ，向量b 满 3      足b2 4eb 30，则|ab|的最小值是( ) A． 31 B． 31 C．2 D．2 3