第二节恒等变换_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第四章

MST老唐说题26版一轮 4.2 恒等变换 考向 1 基本公式 题型1 和差公式的应用 1．两角和与差的正余弦与正切 ①sin()sincoscossin； ②cos()coscossinsin； tantan ③tan() ； 1tantan cos  【例1】（2024•甲卷）已知  3，则tan( )( ) cossin 4 3 A．2 31 B．2 31 C． D．1 3 2 【例2】（2024•新高考Ⅰ）已知cos()m，tantan2 ，则cos()( ) m m A．3m B． C． D．3m 3 3 sin() tan 【例3】（2025•深圳一模）已知 3，则 ( ) sin() tan 1 1 A． B． C．2 D．3 3 2 题型2 二倍角公式的应用 2．二倍角公式 2tan ①sin22sincos；②cos2cos2sin22cos2112sin2；③tan2 ； 1tan2 其他常用变式 2sincos 2tan cos2sin2 1tan2  sin 1cos sin2  ；cos2  ；tan   ． sin2cos2 1tan2 sin2cos2 1tan2 2 1cos sinMST老唐说题26版一轮 1 5  【例1】（2023•新高考Ⅱ）已知为锐角，cos ，则sin ( ) 4 2 3 5 1 5 3 5 1 5 A． B． C． D． 8 8 4 4  5 【例2】（2021•乙卷）cos2 cos2 ( ) 12 12 1 3 2 3 A． B． C． D． 2 3 2 2 题型3 辅助角公式的应用 3．辅助角公式 b a b （1）一次辅助角：asinbcos a2 b2 sin()（其中sin ，cos ，tan ， a2 b2 a2 b2 a      ）．常见形式：sinxcosx 2sin(x )，sinx 3cosx2sin(x )， 3sinxcosx2sin(x ) ． 2 4 3 6 a2 b2 b （2）二次辅助角：asinωxcosωxbcos2ωx  sin(2x) ，tan b ． 2 2 a 【例1】（2016•上海）若函数 f(x)4sinxacosx的最大值为5，则常数a ． 【例2】（2016•浙江）已知2cos2xsin2x Asin(x)b(A0)，则A ，b ． 考向 2 三角恒等变换求值 题型1 利用角的拆分求值  1 1．拆分角问题：①=2 ；②=(+)-；()；③ [()()]； 2 2 1     [()()]；④2()()；⑤  ( )． 注意 特殊的角也看成已知 2 4 2 4   角，如 ( )． 4 4MST老唐说题26版一轮 2．(coscos)2(sinsin)2 22coscos 2sinsin22cos()  12 3 【例1】已知0 ，且cos() ，cos2 ，则cos()( ) 2 13 5 16 33 56 63 A． B． C． D． 65 65 65 65    1   3  【例2】（2011•浙江）若0 ， 0，cos( ) ，cos(  ) ，则cos( )( ) 2 2 4 3 4 2 3 2 3 3 5 3 6 A． B． C． D． 3 3 9 9 5 10  3 【例3】若sin2 ，sin() ，且[ ，]，[， ]，则的值是( ) 5 10 4 2 7 9 5 7 5 9 A． B． C． 或 D． 或 4 4 4 4 4 4 题型2 利用升降幂求值 1cos2 1cos2 1 3．降幂公式与升幂公式sin2 ；cos2 ；sincos sin2； 2 2 2 1cos22cos2；1cos22sin2；1sin2(sincos)2；1sin2(sincos)2． x x x 8 【例1】设 f (x)cosxcos cos cos ，则 f ( )( ) n 2 4 2n1 5 3 3 3 3 1 3 A． B． C． D． 32 16 16 16 【例2】公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割比 约为0.618，这一数值恰好等于m2sin18，则m(2m2)( ) 1 1 A．tan18 B． C． D．1 tan18 2MST老唐说题26版一轮 题型3 统一函数名换元求值 4．若遇到sin2，利用基本公式sin21cos2进行函数名的统一，采取换元的思想转化为二次函数的问 题． 【例1】（2021•北京）函数 f(x)cosxcos2x是( ) A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2 9 9 C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为 8 8 【例2】函数 f(x)2cos2xsinx1的最大值是 ． 题型4 综合求值问题 3 1 【例1】（2025•福建模拟）  ( ) sin20 cos20 A．4 B．2 C．2 D．4 【例2】（2018•新课标Ⅱ）已知sincos1，cossin0，则sin() ． x 2cos2 1 【例3】设 f(x) 2 ，则 f(1) f(2) f(59) ． sin(60x)MST老唐说题26版一轮 拓展思维 拓展1 和差化积与积化和差 1.和化积公式 + − + − sinα+sinβ=2sin cos sinα−sinβ=2cos sin 2 2 2 2 + − + − (由和差公式可得co)sα+cosβ=2cos cos cosα−cosβ=−2sin sin 2 2 2 2 2.积化和公式 1 sinα∙cosβ= sin + +sin − 2 1 cosα∙cosβ= [cos + +cos − ] 2 1 (由和差公式可得) sinα∙sinβ= [cos − −cos + ] 2 【例1】计算sin215cos245sin15cos45的值是( ) 3 1 1 A．1 B． C． D． 4 2 4 【例2】已知角A，B，C满足ABC ，且cosAcosBcosC 1，则(1cosA)(1cosB)(1cosC)( ) A．0 B．1 C． 2 D． 3 拓展2 正切恒等式 tanAtanBtanC tanAtanBtanC 当ABC k时 【证明】 A B 1 A B 1 【推论】tan tan  tan tan  （当ABC 时） 2 2 C 2 2 C tan tan 2 2MST老唐说题26版一轮 【例3】已知(0,)，，且2sintantan2sintantan，则( )    2 A． B． C． D． 6 4 3 3 【例4】在锐角ABC 中，tanAt1，tanBt1，则实数t的取值范围是( ) A．( 2 ，) B．(1,) C．(1, 2) D．(1,1)