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高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章综合检测卷（基础A卷）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知直线 的倾斜角为 ，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得直线 的斜率为 ，解方程即可得出答案.
【详解】已知直线 的倾斜角为 ，
则直线 的斜率为 ，
则 .
故选：B.
2．已知直线 的方程为 ，则直线 （ ）
A．恒过点 且不垂直 轴 B．恒过点 且不垂直 轴
C．恒过点 且不垂直 轴 D．恒过点 且不垂直 轴
【答案】D
【分析】令 求出 ，即可求出直线过定点坐标，再分 和 两种情况讨论，判断直线与坐标轴
的关系，即可得解.
【详解】解：直线 的方程为 ，令 ，可得 ，所以直线恒过点 ，
当 时直线方程为 ，此时直线垂直 轴，
当 时直线方程为 ， ，显然直线不与 轴垂直.
故选：D3．已知圆 和直线 .若圆 与圆 关于直线l对称，则圆 的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据对称性求得圆 的圆心和半径，进而求得圆 的方程.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
关于直线 的对称点是 ，
所以圆 的圆心是 ，半径是 ，
所以圆 的方程为 .
故选：B
4．已知 到直线 的距离等于3，则a的值为（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
【答案】C
【分析】由距离公式，解方程得出a的值.
【详解】由距离公式可得， ，即 解得 或 .
故选：C
5．已知直线 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．直线 过定点
B．当 时，C．当 时，
D．当 时，两直线 、 之间的距离为
【答案】B
【分析】求出直线 所过定点的坐标，可判断A选项；根据两直线垂直求出 的值，可判断B选项；根据
两直线平行求出实数 的值，可判断C选项；根据平行线间的距离公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，由 可得 ，所以，直线 过定点 ，A错；
对于B选项，当 时， ，解得 ，B对；
对于C选项，当 时， ，解得 ，C错；
对于D选项，当 时， ，直线 的方程为 ，即 ，
直线 的方程为 ，
此时，直线 、 之间的距离为 ，D错.
故选：B.
6．若圆 与圆 外切，则实数 （ ）
A．－1 B．1 C．1或4 D．4
【答案】D
【分析】由两圆的位置关系计算即可.
【详解】由条件化简得 ，即两圆圆心为 ，
设其半径分别为 ， ，所以有 .
故选：D7．过点 且倾斜角为 的直线 交圆 于 两点，则弦 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】写出直线 的方程，求圆心到直线 的距离，再利用弦长公式进行求解即可.
【详解】过点 且倾斜角为 的直线 的方程为
即
又圆 即 ，
所以圆心 ，半径
则圆心 到直线 的距离
直线被圆截得的弦
故选：
8．圆 上到直线 距离为1的点恰有一个，则 （ ）
A．3 B．8 C．3或 D． 或8
【答案】D
【分析】圆上到直线 距离为1的点只有一个，直线与圆相离，转化为圆心到直线距离而得解.
【详解】圆 的圆心C(1,1)，半径r=2，过C作直线AB： 交圆C于点
A，B，如图：则直线AB垂直于动直线 ，因圆C上到直线 距离为1的点恰有一个，
则直线 与圆C相离，且点A或B到该直线距离为1，即 ，
所以圆心C到直线 距离为3，即 ，解得c=-22或c=8.
故选：D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．下列说法中正确的是（ ）
A．若直线斜率为 ，则它的倾斜角为
B．若 ， ，则直线 的倾斜角为
C．若直线过点 ，且它的倾斜角为 ，则这条直线必过点
D．若直线的斜率为 ，则这条直线必过 与 两点
【答案】ABC
【分析】根据斜率与倾斜角关系以及两点间斜率公式，结合直线的点斜式方程可判断ABC；举反例可排除
D.
【详解】对于A，设直线的倾斜角为 ，则由题意得 ，所以 ，故A正确；
对于B，因为 ， ，所以直线 与 轴垂直，则其斜率不存在，故其倾斜角为 ，故B正确；
对于C，因为直线过定点 ，且斜率为 ，所以直线的方程为 ，即 ，
易知 ，故直线必过 ，故C正确；
对于D，不妨取 ，满足直线的斜率为 ，但显然该直线 不过 与 两点，故D错误．故选：ABC.
10．设点 ，若直线 与线段 没有交点，则a的取值可能是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】AC
【分析】直线 过定点 ，求出直线 的斜率，由图形可得直线与线段 有公共点
时 的范围，从而可得无交点时 的范围，由此可得正确选项．
【详解】易知直线 过定点 ，
， ，
直线 的斜率为 ，由图知 或 ，
所以 或 时有交点，
因此当 时，直线 与线段 无交点，
故选：AC．
11．下列说法错误的是（ ）
A．直线 的倾斜角 的取值范围是
B．“ ”是“直线 与直线 互相垂直”的充要条件
C．若直线 与直线 相交，且交点的横坐标的范围为 ，则实数 的取
值范围是D．经过点 且在 轴和 轴上截距都相等的直线方程为
【答案】BD
【分析】根据斜率为 求得 的范围可判断A；根据两直线垂直的等价条件和充分条
件必要条件的定义可判断B；由两直线相交得出 ，因为 ，所以 ，解不
等式可判断C；分为两种情况讨论，当在 轴和 轴上截距都为 时；当过点 且在 轴和 轴上截距相
等不为 时，求出直线方程可判断D.
【详解】对于A：直线 的倾斜角为 ，则 ，
因为 ，所以 ，故选项A正确；
对于B：当 时， 与直线 斜率乘积等于 ，两直线互相垂直，所以充分性成立；
若“直线 与直线 互相垂直”，则 可得 或 ，所以不一定有
，故必要性不成立，
所以“ ”是“直线 与直线 互相垂直”的充分不必要条件，故选项B错误；
对于C：因为直线 与直线 相交，
所以两直线的斜率不相等，即 ，即 ，
由 与 消去 得 ，
因为 ，所以 ，整理得 且 ，
解得 或 ，故选项C正确；
对于D：当过点 且在 轴和 轴上截距都为 时，所求直线方程为 ，当过点 且在 轴和 轴上截距相等不为 时，设所求直线方程为 ，即 ，可得 ，
所求直线的方程为 ，
综上，所求直线方程为 或 ，故选项D错误.
故选：BD.
12．已知圆O： 和圆M： 相交于A，B两点，点C是圆M上的动点，定
点P的坐标为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．圆M的圆心为 ，半径为1
B．直线AB的方程为
C．线段AB的长为
D． 的最大值为6
【答案】BCD
【分析】化圆M的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径即可判断选项A的正误；联立两圆的方程求
得 的方程可判断选项B的正误；由点到直线的距离公式及垂径定理求得 的长判断选项C的正误，利
用圆上动点到定点距离最大值为定点到圆心距离和半径和，可判断出选项D的正误.
【详解】选项A，因为圆M的标准方程为 ，
所以圆心为圆心为 ，半径为1，故选项A错误；
选项B，因为圆O： 和圆M： 相交于A，B两点，
两圆相减得到 ，即 ，故选B正确；
选项C，由选项B知，圆心 到直线 的距离为 ，所以 ，故选项C正确；
选项D，因为 , ，所以 ，又圆 的半径为1，
故 的最大值为 ，故选项D正确.
故选项：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线 ，当 变化时，直线 总是经过定点，则定点坐标为 .
【答案】
【分析】把直线方程化为 ，令 ，求出 ， 的值即可.
【详解】因为直线 可化为 ，
令 ，解得 ，
所以直线 过定点 ，
故答案为： .
14．若 ， ， ，则 的外接圆面积为 ．
【答案】
【分析】由斜率得 ，从而可得 是直角三角形的斜边，也是 的外接圆的直径，求得
长后得圆半径，从而得圆面积．
【详解】 ， ， ，∴ ， 是直角三角形的斜边，也是
的外接圆的直径，，外接圆半径为 ，
圆表面积为 ．
故答案为： ．
15．若点 在圆 内，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【分析】由关于 的二次方程表示圆可得 或 ，又由点 在圆内可得 ，取交集即可.
【详解】解：由题可知 ，解得 或 ，
又因为点 在圆内，所以 ，解得 .
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
16．已知直线 与圆 相交于A､B两点，且 ，则直线l的倾斜角为
.
【答案】0或
【分析】求出圆心到直线的距离，再由圆的半径，圆心到直线的距离和弦长之间的关系求出k的值，进而
求出直线l的倾斜角．
【详解】直线 ，即 ，
可得圆心到直线l的距离 ，
圆的半径r＝2，
所以弦长 ，由题意
整理可得： ，
解得 或
所以倾斜角为0或 ；
故答案为：0或 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知 是 的三个顶点， 分别是边 的中点.
(1)求直线 的方程；
(2)求 边上的高所在直线的方程.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）根据中点坐标公式求出两点坐标，已知两点求出直线方程.
（2）求出直线BC的斜率，根据两条直线的位置关系得出垂线的斜率，利用点斜式解出直线方程.
【详解】（1）由题知D（ ， ），F（ ， ），
故直线DF的方程为： ，即
（2）由已知
所以BC边上的高所在直线的斜率为－3
BC边上的高所在直线的方程为： ，即
18．已知直线l经过点 ，且与直线x＋y＝0垂直.(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与直线l平行且点P到直线m的距离为 ，求直线m的方程.
【答案】(1) ；(2) 或 .
【分析】(1)根据直线垂直的性质设出直线 的方程为 ，将点 代入即可求解；
（2）设直线 的方程为 ，利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】（1）设直线 的方程为 ，
因为直线l经过点 ，所以 ，解得： ，
所以直线 的方程为 .
（2）结合（1）设直线 的方程为 ，
因为点 到直线m的距离为 ，由点到直线的距离公式可得：
，解得： 或 ，
直线 的方程为： 或 .
故答案为： 或 .
19．已知两直线 ，
（1）求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程；
（2）若直线 与 ， 不能构成三角形，求实数 的值.
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】（1）求出交点坐标，分直线过原点和不过原点两类情况求直线方程；
（2）三条直线不能构成三角形分类：某两条直线斜率相等或者三条直线交于一点.【详解】（1）联立直线方程 解得 ，交点坐标 ，
当直线过原点时，在两坐标轴上截距相等均为0，直线方程 ，
当直线不过原点时，设其方程为 ，过 得 ，
所以直线方程
综上：满足题意的直线方程为 ，
（2）直线 与 ， 不能构成三角形
当 与 平行时：
当 与 平行时：
当三条直线交于一点，即 过点 ，则
综上所述实数 的值为
【点睛】此题考查求直线交点坐标，截距问题，两条直线位置关系的应用，易错点在于截距相等时忽略掉
截距为0，三条直线不能构成三角形情况讨论不全面导致漏解.
20．圆 经过点 ，和直线 相切，且圆心在直线 上．
(1)求圆 的方程；
(2)求圆 在 轴截得的弦长．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）设出圆心坐标，用几何法求解圆的方程即可；
（2）利用直线与圆相交的弦长公式求解即可.
【详解】（1）设圆心的坐标为 ,
则 .
化简得 ，解得 ,所以 点坐标为 ，
半径 ，
故圆 的方程为 .
（2）圆心 到 轴的距离为 ，
所以圆 在 轴截得的弦长为 .
21．（1）已知两定点 ，若动点P满足 ，则P的轨迹方程．
（2）已知线段 的中点C的坐标是 ，端点A在圆 上运动，则线段 的端点B的轨
迹方程．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）设 ，应用两点距离公式列方程求P的轨迹方程；
（2）设 ，由中点公式可得 ，根据A在圆上代入求B的轨迹方程．
【详解】（1）设 ，又 ，则 ，
所以 .
（2）设 ，则 ， ，可得 ，
由A在圆 上，则 ，
所以B的轨迹方程为 .
22．已知圆 内有一点 ，过点P作直线l交圆C于A、B两点.
(1)当l经过圆心C时，求直线l的方程；(2)当弦AB被点P平分时，求直线l的方程；
(3)当直线l的倾斜角为 时，求弦AB的长.
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【分析】（1）由 的坐标求出斜率，再根据点斜式求出直线方程可得解；
（2）根据垂直得斜率，再根据点斜式可得直线方程；
（3）根据倾斜角得斜率，根据点斜式得直线方程，再求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求出弦长.
【详解】（1）由已知，直线l经过圆C的圆心 与点 ，则l的斜率为2，得直线l的方程为
，即 .
（2）当弦AB被点P平分时， ，由（1）知l的斜率为 ，得直线l的方程为 ，即
.
（3）当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，得直线l的方程为 ，即 .
因为圆心 到直线l的距离为 ，圆的半径为3，
所以弦AB的长为 .
