第二节圆锥曲线小题篇_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第九章

MST老唐说题26版一轮 9.2 圆锥曲线小题篇 考向 1 椭圆双曲线的第一定义 椭圆的第一定义 平面内与两个定点F 、F 的距离的和等于常数2a（2a大于 FF ）的点的轨迹；其中，两个定点称 1 2 1 2 做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 设M(x, y)是椭圆上任意一点，焦点F(c,0)和F (c,0)，由上述椭圆的定义可得： 1 2 (xc)2  y2  (xc)2  y2 2a，将这个方程移项，两边平方得：a2 cxa (xc)2  y2 ，两边再平方， x2 y2 整理得：  1ab0 a2 b2 x2 y2   1ab0中心在原点，焦点在x轴上； a2 b2 注意：1.椭圆的标准方程  y2  x2 1ab0中心在原点，焦点在y轴上． a2 b2 x2 y2 后面我们仅以  1ab0展开性质介绍分析． a2 b2 A(a,0) A (a,0) B(0,b) B (0,b) 2.顶点 1 ， 2 ， 1 ， 2 ． 3. 长轴和短轴 长轴为2a，短轴为2b，注意区分长半轴为a，短半轴为b． 4. 焦点 F(c,0)，F (c,0)． 1 2 5. 焦距 FF 2c(c0)，同时：c2 a2 b2． 1 2 c 6. 离心率 e 0e1；离心率越大，椭圆越扁． a 椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据．因为ac0，所以e的取值范围是0e1； ①e越接近1，则c就越接近a，从而b a2 c2 越小，因此椭圆越扁； ②e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆． 7.P为椭圆上一点，则PF PF |PO|2 c2[b2 c2，b2](利用极化恒等式证明). 1 2 【例1】两个焦点的坐标分别为(3,0)，(3,0)的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准 方程为( ) x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A．  1 B．  1 C．  1 D．  1 16 9 16 7 9 16 7 16 x2 y2 【例2】（2021•新高考Ⅰ）已知F ，F 是椭圆C:  1的两个焦点，点M 在C上，则|MF ||MF |的 1 2 9 4 1 2 最大值为( ) A．13 B．12 C．9 D．6MST老唐说题26版一轮 【例3】（2024新课标Ⅱ）已知曲线C：x2  y2 16（ y  0），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP， P为垂足，则线段PP的中点M的轨迹方程为（ ） x2 y2 x2 y2 A.  1（ y  0） B.  1（ y  0） 16 4 16 8 y2 x2 y2 x2 C.  1（ y  0） D.  1（ y  0） 16 4 16 8 题型2椭圆最值问题： 1.若Q在椭圆外，求 PQ  PF 最小值，则构造 PQ 2a PF 2a PQ  PF 2a,利用三点共线求最值 1 1 2 （如左图所示），当且仅当P、Q、F 三点共线时等号成立.此类型的题目叫做声东击西，即问左焦点，则连 2 接右焦点，问右焦点则连左焦点，三点共线是关键． 2.若Q为椭圆外一定点（如右图所示），则 QF  PQ  PF 2a QF ，当且仅当P 、F 、Q三点共线时， 1 1 2 1 1 左边等号成立，当且仅当Q、F、P 三点共线时（P 位于QF 延长线上），等号成立. 2 2 2 2 3.若Q为椭圆内一定点（如下图所示），则2a QF  PQ  PF 2a QF ，当且仅当P 、Q、F 三点共 2 1 2 1 2 线时，左边等号成立，当且仅当P 、F、Q三点共线时（P 位于QF 延长线上），右边等号成立， 2 2 2 2 x2 y2 【例3】已知椭圆C:  1的左、右焦点分别为F ，F ，M 为C上任意一点，N为圆 4 3 1 2 E:(x5)2 (y4)2 1上任意一点，则|MN||MF |的最小值为 ． 1MST老唐说题26版一轮 x2 y2 【例4】已知F 是椭圆C:  1的左焦点，P为椭圆C 上任意一点，点Q坐标为(4,4)，则|PQ||PF| 16 15 的最大值为( ) A． 41 B．13 C．3 D．5 题型3 双曲线第一定义 双曲线的第一定义 平面内与两个定点F 、F 的距离的差的绝对值等于常数且小于 FF 的点的轨迹；其中，两个定点叫 1 2 1 2 做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距． 注意： PF  PF 2a与 PF  PF 2a（a 0）分别表示双曲线的一支．若有“绝对值”，点的轨迹表 1 2 2 1 示双曲线的两支；若无“绝对值”，点的轨迹仅为双曲线的一支； 根据 xc2  y2  xc2  y2 2a，化简得： x2  y2 1a,b0. a2 b2 x2 y2   1a,b0中心在原点，焦点在x轴上； a2 b2  注意：1.双曲线的标准方程： y2  x2 1a,b0中心在原点，焦点在y轴上． a2 b2 2．顶点：A(a,0)，A (a,0)． 1 2 3．实轴和虚轴 实轴长为2a，虚轴长为2b； 4．焦点 F(c,0)，F (c,0)． 1 2 5．焦距 FF 2c(c0)，满足关系式：c2 a2 b2． 1 2 yy B 2 F A O A F x 1 1 2 2 B 1 c 6. 离心率 e e1，离心率越大，开口越大； a 7. P为双曲线上一点，则PF PF |PO|2 c2[b2，)(利用极化恒等式证明). 1 2MST老唐说题26版一轮 (0,4),(0,4) (6,4) 【例1】（2024甲卷）已知双曲线的两个焦点分别为 ，点 在该双曲线上，则该双曲线 的离心率为（ ） A.4 B.3 C.2 D. 2 x2   【例 2】（2024 北京卷）已知双曲线  y2 1，则过 3,0 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为 4 ________． 题型4 双曲线最值问题：求 PQ  PF 最值，则构造 PQ 2a PF 2a PQ  PF 2a，当且仅当 1 2 2 P、Q、F 三点共线时等号成立.（如下图所示）． 2 1 注意：由于椭圆和双曲线的第二定义已经不在高考范围内，形如“ PM  PF ”的最值已经不是考试的 e 常考范围，关于问焦点则连接准线的类型题目只适合抛物线，这里不做详述．其它双曲线最值类比椭圆， 画图仔细分析即可. y2 【例2】已知A(1,4)，F 是双曲线x2  1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，则|PF||PA|的最 3 小值为 ． x2 【例 3】已知F 、F 分别是双曲线C: y2 1的左、右焦点，动点P 在双曲线的左支上，点Q为圆 1 2 4 G:x2 (y2)2 1上一动点，则|PQ||PF |的最小值为 ． 2MST老唐说题26版一轮 考向 2 椭圆双曲线的第二定义 题型1 椭圆第二定义与焦半径公式 1．椭圆的第二定义 平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e(0e1)的点的轨迹，其中，定点为焦 点，定直线叫做准线，常数e叫做离心率． a2 c 设M(x, y)是椭圆上任意一点，定点为F(c,0)，定直线为x ，常数e ，由上述椭圆的定义可 1 c a (xc)2  y2 c 得：  ，变形即可． a2 a x c 焦半径 椭圆上的点到焦点的距离；设P(x , y )为椭圆上的一点， 0 0 PF aex PF aey ① 焦点在x轴：焦半径 1 0 (左加右减)；② 焦点在y轴：焦半径 1 0 (上加下减)． PF aex PF aey 2 0 2 0 注意：利用第二定义快速进行证明，结合图像，长的加，短的减。 注意：焦半径公式，在大题中不能直接使用，大题建议使用余弦定理推导。 25 4 【例1】点M 与定点F(4,0)的距离和它到定直线x 的距离之比是常数 ，则M 的轨迹方程为( ) 4 5 x2 y2 x2 y2 A．  1 B．  1 4 9 9 3 x2 y2 x2 y2 C．  1 D．  1 25 9 25 16 x2 y2 【例2】已知P(x,y)是椭圆  1上一点，F ，F 为椭圆的两个焦点，则PFPF 的最大值与最小值 4 3 1 2 1 2 的差是 ． 16 【例3】平面内到定点F(5,0)及到定直线x 的距离之比为5:4的点的轨迹方程是( ) 5 x2 y2 x2 y2 y2 x2 y2 x2 A．  1 B．  1 C．  1 D．  1 16 9 9 16 16 9 9 16 x2 y2 【例4】设F 、F 为椭圆:  1的两个焦点，P为上一点且在第二象限．若|PF ||FF |，则点P 1 2 25 21 1 1 2 的坐标为 ．MST老唐说题26版一轮 考向 3 椭圆双曲线的第三定义 题型1 椭圆双曲线第三定义与点差法 1．椭圆的第三定义 b2 已知关于原点对称的两个定点，那么到这两定点连线的斜率之积为定值 或e2 1(0e1)的点的轨 a2 迹是椭圆，通常这两个定点分别为长轴或者短轴顶点． c 另一方面，设M(x, y)是椭圆上任意一点，两个定点为A(x , y )、A (x , y ) 常数e ， 1 1 1 2 1 1 ， a y y y y y2 y2 x2 y2 b2x2 k k  1 1  1 ，根据椭圆方程：将  1ab0，变形成y2 b2  ，所以 MA1 MA2 xx xx x2x2 a2 b2 a2 1 1 1 b2 k k  ，椭圆上动点到关于原点对称的两个定点的连线的斜率之积等于常数． MA1 MA2 a2 若椭圆与直线l交于AB两点，其中A(x ，y )，B(x ，y )，M(x ，y )，为AB中点， 1 1 2 2 0 0 b2 定理1：k k  （椭圆）； AB OM a2 2．双曲线的第三定义 b2 到关于原点对称的两个定点连线的斜率之积为定值 或e2 1(e1)的点的轨迹是双曲线；通常定点为 a2 实轴或虚轴顶点，定值为正值． c 另一方面，设M(x, y)是双曲线上任意一点，两个定点为 A(x , y )、 A (x , y )，常数e ， 1 1 1 2 1 1 a y y y y y2  y2 x2 y2 b2x2 k k  1  1  1 ，根据双曲线方程：将  1a,b0，变形成y2  b2，所以 MA1 MA2 xx xx x2 x2 a2 b2 a2 1 1 1 b2 k k  ，双曲线上动点到关于原点对称的两个定点的连线的斜率之积等于常数． MA1 MA2 a2 若双曲线与直线l交于AB两点，其中A(x ，y )，B(x ，y )，M(x ，y )，为AB中点， 1 1 2 2 0 0 b2 定理1：k k  （双曲线） AB OM a2 y y B B M M A A O x O x C CMST老唐说题26版一轮 x2 y2 【例1】（2022•甲卷）椭圆C:  1(ab0)的左顶点为A，点P，Q均在C 上，且关于y轴对称．若 a2 b2 1 直线AP，AQ的斜率之积为 ，则C的离心率为( ) 4 3 2 1 1 A． B． C． D． 2 2 2 3 x2 y2 【例2】（2013•新课标Ⅰ）已知椭圆E:  1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆E于 a2 b2 A、B两点．若AB的中点坐标为(1,1)，则E的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A．  1 B．  1 45 36 36 27 x2 y2 x2 y2 C．  1 D．  1 27 18 18 9 x2 y2 【例3】已知点A，B是双曲线  1(a0,b0)上关于原点对称的任意两点，点P在双曲线上（异 a2 b2 5c4a 于A，B两点），若直线PA，PB斜率之积为 ，则双曲线的离心率为( ) 2a 3 5 A． B．2 C． D．3 2 2 x2 y2 1 【例 4】已知椭圆 C:  1(ab0) 的离心率为 ，点 A ， B 是椭圆 C 的长轴顶点，直线 a2 b2 2 xm(ama)与椭圆C 交于P，Q两点，记k ，k 分别为直线AP和直线BQ的斜率，则|k 4k |的 1 2 1 2 最小值为( ) 3 A． B． 3 C．2 3 D．4 2 4 x2 y2 【例5】（2022•新高考Ⅱ）已知直线l与椭圆  1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别 6 3 相交于M ，N两点，且|MA||NB|，|MN|2 3，则l的方程为 ．MST老唐说题26版一轮 【例6】（2025•深圳一模•多选）已知O(0,0)，A(a,0)，B(a,1)，C(0,1)，D(0,1)，其中a0．点M ，N     分别满足AM AB，ON (1)OA，其中01，直线CM 与直线DN 交于点P，则( ) 1 1 A．当 时，直线CM 与直线DN 斜率乘积为 2 a2 B．当a1时，存在点P，使得|DP|2 21 C．当a2时，△PAC 面积最大值为 2 D．若存在，使得|DP|2，则a(, 2)( 2,) 拓展：中点弦存在定理 x2 y2 x 2 y 2 1. 在椭圆  1(a b0)中，只需要AB中点M(x ，y )在椭圆内，即 0  0 1； a2 b2 0 0 a2 b2  b  b 2. 在双曲线 x2  y2 1(a 0，b0)中，一定有①    k OM  a 或 x 0 2  y 0 2 0；②    k OM  a a2 b2  k  b a2 b2 x 0 2  y 0 2 1   AB a  a2 b2 y2 【例6】（2023•乙卷）设A，B为双曲线x2  1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是( ) 9 A．(1,1) B．(1,2) C．(1,3) D．(1,4) x2 y2 【例7】已知双曲线C:  1(a0,b0)的实轴长为4，离心率为 2，直线l与C交于A，B两点， a2 b2 M 是线段AB的中点，O为坐标原点．若点M 的横坐标为1，则|OM |的取值范围为 ．MST老唐说题26版一轮 考向 4 椭圆双曲线的焦点三角形 1．椭圆的焦点三角形问题 周长问题:过椭圆 x2  y2 1  ab0 的左焦点F 的弦AB与右焦点F 围成的三角形△ABF 的周长是4a； a2 b2 1 2 2 x2 y2 角度问题:①已知椭圆  1ab0的左、右两焦点分别为F 、F ，P是椭圆上一动点，在焦点三 a2 b2 1 2 角形PFF 中，若FPF 最大，则点P为椭圆短轴的端点． 1 2 1 2 FPF 证明 S b2 tan 1 2 c y ，故当y 取得最大值b时，当点P位于短轴端点时，FPF 取 △PF 1 F 2 2 P P 1 2 得最大值。 x2 y2 ②已知椭圆  1ab0的左、右两焦点分别为F 、F ，若椭圆上存在一点P，使得FPF ， a2 b2 1 2 1 2    则椭圆离心率e  sin ,1 ．  2  x2 y2 面积问题:椭圆  1(ab0)焦点为F ，F ，P为椭圆上的点，FPF ，如图1， a2 b2 1 2 1 2 sin  则S b2 b2tan （灵动椭圆焦点三角形面积公式） F 1 PF 2 1cos 2 图1MST老唐说题26版一轮 2.双曲线焦点三角形性质 x2 y2 双曲线  1(a0，b0)的焦点为F 、F ，B为双曲线上的点，F BF ，如图，则 a2 b2 1 2 1 2 sin b2 S b2   （灵动双曲线焦点三角形面积公式）． △F 1 BF 2 1cosa  tan 2 x2 y2 【例1】（2021•甲卷）已知F ，F 为椭圆C:  1的两个焦点，P，Q为C 上关于坐标原点对称的两 1 2 16 4 点，且|PQ||FF |，则四边形PFQF 的面积为 ． 1 2 1 2 y2 【例2】（2020•新课标Ⅰ）设F ，F 是双曲线C:x2  1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C 上且 1 2 3 |OP|2，则△PFF 的面积为( ) 1 2 7 5 A． B．3 C． D．2 2 2 x2 y2 【例3】（2024天津卷）双曲线  1(a 0，b0)的左、右焦点分别为F、F .P是双曲线右支上 a2 b2 1 2 一点，且直线PF 的斜率为2．△PFF 是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ） 2 1 2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A.  1 B.  1 C.  1 D.  1 8 2 8 4 2 8 4 8 x2 y2 【例4】（2019•新课标II）已知F ，F 是椭圆C:  1(ab0)的两个焦点，P为C 上的点，O为 1 2 a2 b2 坐标原点． （1）若△POF 为等边三角形，求C 的离心率； 2 （2）如果存在点P，使得PF PF ，且△FPF 的面积等于16，求b的值和a的取值范围． 1 2 1 2MST老唐说题26版一轮 x2 y2 【例5】已知F 是椭圆C:  1(ab0)的一个焦点，若椭圆上存在关于原点对称的A，B两点满足 a2 b2 AFB90，则椭圆C离心率的取值范围是( ) 3 2 2 3 A．[ ,1) B．(0, ] C．[ ,1) D．(0, ] 2 2 2 2 x2 y2 【例6】F 、F 是双曲线E:  1(a,b0)的左、右焦点，点M 为双曲线E右支上一点，点N在x轴 1 2 a2 b2    上，满足FMN F MN 60，若3MF 5MF MN(R) ，则双曲线E的离心率为( ) 1 2 1 2 8 6 5 7 A． B． C． D． 7 5 3 2 3.椭圆双曲线共焦点问题 图17 x2 y2 x2 y2 椭圆双曲线共焦点三角形的问题：如图17，椭圆  1和双曲线  1共焦点，由于两个式子a,b a2 b2 a2 b2 x2 y2 x2 y2 不同，将椭圆写成  1(m0,n0)，双曲线写成  1(p0,q0)可以知道 m n p q sin sin n q n q S n =q  = cos  ， PF  PF m pnq △F1PF2 1cos 1cos 1cos 1cos n q 1 2 2c FF 2c FF ①当PF PF 时，椭圆和双曲线的离心率e   1 2 ;e   1 2 ； 1 2 椭 2a PF  PF 双 2a PF  PF 1 2 1 2 1  1   PF 1 +PF 2 2   PF 1 PF 2 2  2  PF 1 2 PF 2 2 2 e 椭 2 e 双 2 F 1 F 2 2 F 1 F 2 2 F 1 F 2 2MST老唐说题26版一轮   sin2 cos2 ②当FPF 时，一定有 1-cos  1cos 2 2  2 1． 1 2 e2 e2 e2 e2 椭 双 椭 双 a2 c2 c2 a2 e 1 2 1 1 e 1 2 sin2  cos2  证明： 椭  双  椭  双  2  2  1． 1cos 1cos   e2 e2 2cos2 2sin2 椭 双 2 2 【例6】（2014•湖北卷）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 、F ，P是它们的一个交点，且FPF 60，记 1 2 1 2 1 1 椭圆和双曲线的离心率分别为e ，e ，则  的最大值为 ． 1 2 e e 1 2 x2 y2 x2 y2 【例7】（多选）P是椭圆C :  1(ab0)与双曲线C :  1(m0,n0)在第一象限的交点， 1 a2 b2 2 m2 n2 且C ，C 共焦点F ，F ，FPF ，C ，C 的离心率分别为e ，e ，则下列结论正确的是( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 A．|PF |am，|PF |am B．若60，则  4 1 2 e2 e2 1 2  n C．若90，则e2 e2的最小值为2 D．tan  1 2 2 b 4.有关|PF1|·|PF2|的结论 x2 y2 （1）.设F 、F 是椭圆  1ab0的两个焦点，O是椭圆的中心，P是椭圆上任意一点，FPF ， 1 2 a2 b2 1 2 2b2 则 PF  PF a2 b2  OP 2  ． 1 2 1cos x2 y2 （2）.设F 、F 是双曲线  1a0,b0的两个焦点，O是双曲线的中心，P是双曲线上任意一点， 1 2 a2 b2 2b2 FPF ，则 PF  PF b2 a2+OP 2  ． 1 2 1 2 1cos （3）.等轴双曲线满足： PO 2  PF  PF ； 1 2 c2 b2 证明：（1）. PF  PF (aex )(aex )a2  x 2 a2 (1 )x 2 a2 b2  OP 2，利用等面积法， 1 2 0 0 a2 0 a2 0 1 sin 2b2 S  PF PF sinb2 ，故 PF  PF  ；也可以利用中线定理， PF 1 F 2 2 1 2 1cos 1 2 1cos 2OP 2 2c2  PF 2  PF 2 (PF  PF )2 2 PF  PF ，从而 PF  PF a2 b2  OP 2 1 2 1 2 1 2 1 2MST老唐说题26版一轮 b2 （2）. PF  PF e2x 2 a2 x 2  x 2 a2 b2 a2+OP 2，或者利用中线定理， 1 2 0 0 a2 0 2OP 2 2c2  PF 2  PF 2 (PF  PF )2 2 PF  PF ，整理得 PF  PF b2 a2+OP 2，再利用等面 1 2 1 2 1 2 1 2 1 sin 2b2 积法S  PF PF sinb2 ，故 PF  PF  PF 1 F 2 2 1 2 1cos 1 2 1cos （3）.由于等轴双曲线满足ab，所以 PF  PF b2 a2+OP 2  OP 2． 1 2 x2 y2 3 【例8】（2023•甲卷）已知椭圆  1，F ，F 为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cosFPF  ， 9 6 1 2 1 2 5 则|PO|( ) 2 30 3 35 A． B． C． D． 5 2 5 2 y2 3 【例9】（多选）已知双曲线E:x2  1的左、右焦点分别为F 、F ，过点C(1, )的直线l与双曲线E的 3 1 2 2 左、右两支分别交于P、Q两点，下列命题正确的有( ) A．当点C为线段PQ的中点时，直线l的斜率为 3 B．若A(1,0)，则QF A2QAF 2 2 C．|PF ||PF ||PO|2 1 2 2 3 D．若直线l的斜率为 ，且B(0, 3)，则|PF ||QF ||PB||QB| 3 1 1 x2 y2 【例10】已知椭圆C:  1(ab0)的两焦点F ，F ，若椭圆C上存在点P， a2 b2 1 2 a2 使得|PO|2 |OF |2 (O为原点），|PF |2 |PF |24a2 3b2，则椭圆C的离心率的取值范围是 ． 1 6 1 2MST老唐说题26版一轮 考向 5 椭圆双曲线的焦点弦问题 1. 椭圆焦长公式： A是椭圆 x2  y2 1  ab0 上一点，F 、F 是左、右焦点，AF F 为 a2 b2 1 2 1 2  ，AB过F ，c是椭圆半 1 b2 b2 2ab2 2ab2 焦距，则（1） AF  ；（2） BF  ；（3） AB   ． 1 accos 1 accos a2 c2cos2 b2 c2sin2 2．双曲线的焦长公式 x2 y2 周长问题：双曲线 - =1（a0，b0）的两个焦点为F 、F ，弦AB过左焦点F （A、B都在左 a2 b2 1 2 1 支上）， AB l，则△ABF 的周长为4a2l（如下图） 2 2ab2 1 焦长公式：（1）当AB交双曲线于一支时，| AB|= ，a2 -c2cos2a>0Þ1 （图右） c2cos2a-a2 cosa 双曲线焦比定理和椭圆的焦比定理一致： b2 lb2 l-1 (l+1)b2 令 AF =lFB ，即 = Þecosa= (l>1)，代入弦长公式可得 AF = ． 1 1 a-ccosa a+ccosa l+1 1 2a b2 lb2 l+1 (l-1)b2 若交于两支时， = Þecosa= (l>1)，代入弦长公式可得 AF = ． ccosa-a a+ccosa l-1 1 2aMST老唐说题26版一轮 y2 x2 【例1】设椭圆C:  1的焦点分别为F ，F ，过F 的直线与椭圆相交于A，B两点，则ABF 的 16 12 1 2 2 1 周长为( ) A．6 B．8 C．10 D．16 x2 y2 【例2】（2024新课标Ⅰ）设双曲线C:  1(a0,b0)的左右焦点分别为F、F ，过F 作平行于y a2 b2 1 2 2 轴的直线交C于A，B两点，若|FA|13,| AB|10，则C的离心率为___________． 1 x2 y2 1 1 【例3】过椭圆 + =1(a>b>0)的一个焦点F作弦AB，若|AF|=d ，|BF|=d ，则  的数值为 a2 b2 1 2 d d 1 2 （ ） 2b 2a a+b A． B． C． D．与a、b斜率有关 a2 b2 a2 x2 y2 【例4】已知椭圆C:  1(ab0)的左右焦点为F ，F ，过F 的直线交椭圆C 于P，Q两点，若 a2 b2 1 2 1  4   PF  FQ，且|PF ||FF |，则椭圆C的离心率为 ． 1 3 1 2 1 2 【例5】（2019•新课标Ⅰ）已知椭圆C的焦点为F(1,0)，F (1,0)，过点F 的直线与椭圆C交于A，B两 1 2 2 点．若|AF |2|F B|，|AB||BF |，则C的方程为( ) 2 2 1 x2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A．  y2 1 B．  1 C．  1 D．  1 2 3 2 4 3 5 4MST老唐说题26版一轮 x2 y2 【例6】（2022•新高考1）已知椭圆C:  1(ab0)，C的上顶点为A，两个焦点为F ， F ，离心 a2 b2 1 2 1 率为 ，过F 且垂直于AF 的直线与C交于点D，E两点， DE 6，则△ADE的周长是 ． 1 2 2 x2 y2 【例7】（多选）已知椭圆E:  1，过椭圆E的左焦点F 的直线l 交E于A，B两点（点A在x轴 4 3 1 1 的上方），过椭圆E的右焦点F 的直线l 交E于C，D两点，则( ) 2 2   6 27 A．若AF 2FB，则l 的斜率k  B．|AF |4|BF |的最小值为 1 1 1 2 1 1 4 288 C．以AF 为直径的圆与圆x2  y2 4相切 D．若l l ，则四边形ADBC 面积的最小值为 1 1 2 49 3.双曲线渐近线与焦点弦相关 x2 y2 双曲线  1a0,b0的焦点到渐近线的距离为定值b，如左图所示，由于渐近线OP的斜 a2 b2 b 率为 ，又 OF c，a2 b2 c2，显然PF 的长度是定值b． a 2 2 x2 y2 如右图所示，过双曲线  1a0,b0的左焦点F(c,0) (c0)作圆x2  y2 a2的切线，切 a2 b2 1 b a2  a2 ab 点为P，那么，点P在渐近线y x上，也在左准线x 上，即点P , ． a c  c c  y P F O F x 1 2 a2 x cMST老唐说题26版一轮 x2 y2 【例8】（2018•新课标Ⅲ）设F ，F 是双曲线C:  1(a0，b0)的左，右焦点，O是坐标原点．过 1 2 a2 b2 F 作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF |= 6|OP|，则C的离心率为（ ） 2 1 A． 5 B．2 C． 3 D． 2 x2 y2 【例9】（2023•天津）双曲线  1(a0,b0)的左、右焦点分别为F ，F ．过F 作其中一条渐近线 a2 b2 1 2 2 2 的垂线，垂足为P．已知|PF |2，直线PF 的斜率为 ，则双曲线的方程为( ) 2 1 4 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A．  1 B．  1 C．  1 D．  1 8 4 4 8 4 2 2 4 【例10】（2022•乙卷）双曲线C 的两个焦点为F ，F ，以C的实轴为直径的圆记为D，过F 作D的切线 1 2 1 3 与C交于M ，N两点，且cosFNF  ，则C的离心率为( ) 1 2 5 x2 y2 A、B是双曲线  1左支上两点，F 是左焦点，AFO为 a2 b2 1 1  ，AB过F ，c是双曲线半焦距， 1 如左图， b b2 b2 b2 b2 由于cos ，如右图所示， AF   ， BF   ; c 2 accos ab 2 accos ab x2 y2 A是双曲线  1左支上一点，B是双曲线右支上一点，F 是左焦点，AFO为 a2 b2 1 1  ，AB过F ， 1 b b2 a c是双曲线半焦距，如图，由于交两支时，有 k  ，平方得：tan2 ，即cos ，故accos0 a a2 cMST老唐说题26版一轮 b b2 b2 b2 b2 由于cos ，如右图所示， AF   ， BF   ; c 2 accos ab 2 ccosa ba x2 y2 【例11】已知双曲线E:  1(a0，b0)的左、右焦点分别为F ，F ，过F 作E的一条渐近线的垂 a2 b2 1 2 2 线，垂足为T，交E的左支于点P．若T恰好为线段PF 的中点，则E的离心率为（ ） 2 A． 2 B． 3 C．2 D． 5 x2 y2 【例12】已知双曲线  1 (a0，b0)的左、右焦点分别为F ，F ，以OF 为直径的圆与双曲线的 a2 b2 1 2 1 一条渐近线交于点M （异于坐标原点O），若线段MF 交双曲线于点P，且MF∥OP，则该双曲线的离心 1 2 率为（ ） 6 A． 2 B． 3 C． D． 6 2MST老唐说题26版一轮 4.焦点弦与直角三角形相关 1 如左图所示，椭圆若AF  AB，且AF FB，AFF ，我们可以借助公式ecos 可得 2 1 1 1 2 1 c 1 b2 1 1     来求出a和b的关系，由于1，从而求出离心率． a 2 a 2c 1 如右图所示，若BF  AC ， AB 过原点，且 AF FC(01)，通过补全矩形，可得AFAC， 2 2 2 1 1 b2 1 c 1 b2 1 1 AF   ，借助公式ecos 可得     来求出a和b的关系，从而求出离心 2 2 a 1 a 2 a 2c 1 率． 1b2 注意：若直线AB交双曲线两支于A、B两点， AF FB(1)，则 AF  ，AFF'时， 2 a 1 ecos ，本节前面已经论述. 1 x2 y2 【例 13】已知椭圆C:  1(ab0) 的右焦点为F ，点P ，Q在椭圆C 上，O为坐标原点，且 a2 b2   PF 4FQ，|OP||OF|，则椭圆的离心率是 ． x2 y2 【例14】双曲线C:  1(a0,b0)的左、右焦点分别为F ，F ，直线l过F 与双曲线C的左支和 a2 b2 1 2 1   右支分别交于 A ， B 两点， BF BF ．若 x 轴上存在点Q 满足 BQ3AF ，则双曲线C 的离心率 1 2 2 为 ．MST老唐说题26版一轮 x2 y2 【例15】已知点F 为双曲线  1(a0,b0)的左焦点，过原点O的直线与双曲线交于A、B两点（点 a2 b2 B在双曲线左支上），连接BF 并延长交双曲线于点C，且|BC|3|BF|，AF BC ，则该双曲线的离心率 为( ) 10 17 10 10 A． B． C． D． 2 3 3 5 5.焦点弦与双曲线等腰三角形相关 第一类：等腰三角形的2a隐藏 x2 y2 【例16】已知F ，F 分别为双曲线C:  1(a0,b0)的左，右焦点，过点F 且斜率为1的直线l与 1 2 a2 b2 2 双曲线C的右支交于P，Q两点，若△FPQ是等腰三角形，则双曲线C的离心率为 ． 1 第二类：等腰三角形的4a隐藏 如图，若 F A  F B m与 AB 4a互为充要条件． 2 2 证明：（充分性） AF m2a， BF m2a，故 AB  AF  BF 4a． 1 1 1 1 （必要性） BF 2a BF ， AF  AF 2a AB  BF 2a2a BF ，故 F A  F B 2 1 2 1 1 1 2 2 2ab2 1k2 核心技能： AB 4a e2(cos2sin2)1e2  c2cos2a2 1k2 x2 y2 2 【例17】已知F1 ，F2 是双曲线C： a2 - b2 =1(a，b>0)的左，右焦点，过点F 1 作斜率为 2 的直线l与双 曲线的左，右两支分别交于M ，N两点，以F 为圆心的圆过M ，N，则双曲线C的离心率为（ ） 2 A． 2 B． 3 C．2 D． 5MST老唐说题26版一轮 y2 【例18】（2016•上海）双曲线x2  1(b0)的左、右焦点分别为F ，F ，直线l过F 且与双曲线交于A， b2 1 2 2 B两点．  （1）直线l的倾斜角为 ，△FAB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； 2 1    （2）设b 3，若l的斜率存在，且(FAFB)AB0，求l的斜率． 1 1 x2 y2 【例19】设双曲线E:  1(a0,b0)的左、右焦点分别为F ，F ，B为双曲线E上在第一象限内 a2 b2 1 2 的点，线段FB与双曲线E相交于另一点A，AB的中点为M ，且F M  AB，若AFF 30，则双曲线 1 2 1 2 E的离心率为( ) A． 5 B．2 C． 3 D． 2 考向 6 抛物线的定义及结论 1．抛物线定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l（l不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫 做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线标准方程几何性质的对比 图形 标准方程 y22px(p0) y2 2px(p0) x2 2py(p0) x2 2py(p0) 顶点 O(0，0) 范围 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR 对称轴 x轴 y轴 p p p p 焦点 F( ，0) F( ，0) F(0， ) F(0， ) 2 2 2 2 离心率 e1 p p p p 准线方程 x x y y 2 2 2 2 p p p p 焦半径 AFx  AFx  AFy  AFy  1 2 1 2 1 2 1 2MST老唐说题26版一轮 注意 抛物线标准方程中参数 p的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离（简称焦准距），所以 p的值永 远大于0．另外，焦半径使用定义即可证明． 3．抛物线的通径 p 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．对于抛物线 y2 2px(p0) ，由 A( ，p)， 2 p B( ， p)，可得|AB|2p，抛物线的通径长为2p． 2 p 4．弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：y  0 k 证明（点差法） 设A(x ，y )，B(x ，y )为抛物线y2 2px(p0)上两点，则y2 2px ，y 2 2px 作差 1 1 2 2 1 1 2 2 y y 2p p 得 2 1   ,其中M(x ，y )是AB中点．或者说，若设AB的斜率为k，则AB中点纵坐标 x x y  y y 0 0 2 1 1 2 0 p y  ． 0 k [焦点在y轴上的抛物线，同理] 5．焦点弦的常考性质 已知AB是过抛物线y2 2px(p0)焦点F 的弦，M 是AB的中点，l是抛物线的准线，MN l ，N为 垂足．令A(x，y )，B(x ，y )． 1 1 2 2 （1）以AB为直径的圆必与准线l相切，以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切; （2）FN  AB，FC FD p2 （3）xx  ; y y p2 1 2 4 1 2 （4）设BDl，D为垂足， 则A、O、D三点在一条直线上． 证明 （1）过A作AC 垂直L，C为垂足，|FA||AC|，|FB||BD|在梯形ABCD中， 1 1 1 |MN| (|AC||BD|) (|AF||BF|) |AB|，ANB90，故以AB为直径的圆与准线l相切． 2 2 2 p p x x 设E是AF 的中点，则E的坐标为（2 1 ， y 1），则点E到y轴的距离为d＝2 1  1 AF ，故以AF 为 2 2 2 2 直径的圆与y轴相切，同理以BF 为直径的圆与y轴相切. （2）在△ACN与△AFN 中|AN||AN||；在Rt△ABN 中，NAM ANM ，CAN ANM ，   ACN AFN ，则NFA NCA90，则FN  AB，因为DF＝(p，y )，CF＝(p，y )， 2 1   所以DFCF  p2+y y =0，所以FC FD． 1 2MST老唐说题26版一轮 p p （3）设直线AB的方程为xty 与抛物线y2 2px联立得y2 2p(ty )，即y22ptyp2 0， 2 2 y2 y 2 p2 故y y p2，xx  1 2  ． 1 2 1 2 2p 2p 4 y y 2p y 2y 2py 2py 2p （4）k  1  1  ，k  2  2  2  2  ，则A、O、D三点共线，同理B、O、 OA x y2 y OD p p p2 y y y 1 1 1  1 2 1 2p 2 C三点共线．上述证明方式并非唯一，多种方法均可证明，不再赘述． 图1-3-1 图1-3-2 重要结论 p p 2p 1．|AF| ；|BF| ． 2．|AB|=x +x + p= ． 1cos 1cos 1 2 sin2a p2 |AF| 1 1 3．S  ． 4．设 ，则cos ;| AF| p． △AOB 2sin |BF| 1 2 |AF| |BF| 5．设AB交准线于点P，则 cos； cos． |PA| |PB| |AC||AF| p p 证明1． |AF| ，同理|BF| ． p|FD||AC||AF|cos 1cos 1cos p p 2p 2．|AB|=|AF|+|BF|= + = ． 1-cosa 1+cosa sin2a p 1 1 2p p p2 3．设O到AB的距离为d，则 d  sin，故S = |AB|d = sina= ． 2 △AOB 2 2sin2a2 2sina |AF| 1cos 1 p 1 4．   cos ，|AF|  p ． |BF| 1cos 1 1cos 2 p p |AF| |BF| 5．|AF|x  ，|BF|x  ， cos， cos． A 2 B 2 |PA| |PB| 关于抛物线x2 =2py的焦长公式及定理（A为直线与抛物线右交点，B为左交点，90 为AB倾斜角） p p 2p 1．|AF| ；|BF| ． 2．|AB|= y +y +p= ． 1sin 1sin 1 2 cos2a p2 |AF| 1 1 3．S = ． 4．设 ，则sin ；|AF| p． △AOB 2cosa |BF| 1 2 |AF| |BF| 5．设AB交准线于点P， sin; sin． |PA| |PB| p 1 1 [总结：抛物线焦点在x轴的时候，焦长为 ，cos ，焦长为 p，记忆方法参考椭圆模 1±cosa 1 2MST老唐说题26版一轮 块；当焦点在y轴上的时候cos换成sin] 题型1 抛物线的焦半径公式 【例1】（2024天津卷）(x1)2  y2 25的圆心与抛物线 y2 2px(p 0)的焦点F 重合，A为两曲线 的交点，则原点到直线 AF 的距离为______． 【例2】（2020•山东）斜率为 3的直线过抛物线C:y2 4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB| ． 【例3】（2025•武汉二调）已知O为坐标原点，过抛物线y2 2px(p0)焦点的直线与该抛物线交于A，B 两点，若|AB|12，若△OAB面积为4 6，则 p( ) A．4 B．3 C．2 6 D．3 2 【例4】已知抛物线C:y2 2px(p0)的焦点为F ，准线l与x轴的交点为P，过点F 的直线l与C 交于M ， S 2 49 N两点，若 OMF  ，且|MN| ，则S ( ) S 5 5 PMN ONF 28 10 28 10 28 5 56 5 A． B． C． D． 5 10 5 5 【例5】（2025•T8•多选）已知F(2,0)是抛物线C:y2 2px的焦点，M 是C上的点，O为坐标原点．则( ) A． p4 B．|MF||OF| C．以M 为圆心且过F 的圆与C 的准线相切 D．当OFM 120时，△OFM 的面积为2 3MST老唐说题26版一轮 题型2 抛物线的联立数据 y2 4x ⊙A:x2 (y4)2 1 【例1】（2024新课标II） 抛物线C： 的准线为l，P为C上的动点，过P作 的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ） A.l与A相切 B. 当P，A，B三点共线时，|PQ| 15 C. 当|PB|2时，PA AB D. 满足|PA||PB|的点P有且仅有2个 【例2】(2022•新高考I)（多选）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C:x2 2py(p0)上，过点B(0，1) 的直线交C于P,Q两点，则（ ） A．C的准线为y1 B．直线AB与C相切 C．|OP||OQ||OA|2 D．|BP||BQ||BA|2 【例3】(2022•新高考II)（多选）已知O为坐标原点，过抛物线C:y2 2px(p0)焦点F 的直线与C交 于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p，0).若|AF||AM |，则（ ） A．直线AB的斜率为2 6 B．|OB||OF| C．|AB|4|OF| D．OAM OBM 180MST老唐说题26版一轮 题型三 抛物线最值问题： 根据两点之间线段最短定理，可以知道P为抛物线上一点：   （1）当Q x ,y 为抛物线内任意一点，则存在 PF  PQ 的最小值,当P、Q两点的纵坐标相等时，即 Q Q p PF  PQ  EQ  x  （参考下图，内部连准线） min Q 2 （2）当Q（x ,y ）为抛物线外任意一点，存在d  PQ 最小值，当Q、P、F三点共线时， Q Q 2  d  PQ   FQ    x  p    y 2 （参考下图，外部连焦点） min  Q 2 Q 由此类比抛物线x2 2py的最值问题，把握内连准线，外找焦点． x2 y2 【例6】若抛物线的顶点为坐标原点，焦点F 为椭圆  1的右焦点，P为抛物线上的动点，Q(5,3)， 4 3 则PF PQ的最小值为( ) A．4 B．5 C．6 D．217MST老唐说题26版一轮 考向 7 离心率问题 离心率问题一直是高考每年必考，对圆锥曲线概念和几何性质的考查为主，一般不会出太难，二轮复 习我们需要掌握一些基本的性质和常规的处理方法，本专题从挖掘椭圆双曲线的几何性质下手。 构成圆锥曲线离心率计算的主要要素就是坐标语言和长度角度语言，要高效解答离心率问题，就需要 对两种语言进行区分，就要看那种方法处理起来简单，本专题站在这个角度来阐述，力争简化离心率计算。 类型一：数形结合转化长度角度 x2 y2 【例1】（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线C:  1(a0,b0)的左、右焦点分别为F ，F ．点A在C上， a2 b2 1 2    2 点B在y轴上，FAFB，F A F B，则C的离心率为 ． 1 1 2 3 2 x2 y2 【例2】已知椭圆C:  1(ab0)的左、右焦点分别为F ，F ．椭圆C在第一象限存在点M ，使 a2 b2 1 2 得|MF ||FF |，直线FM 与y轴交于点A，且F A是MF F 的角平分线，则椭圆C的离心率为( ) 1 1 2 1 2 2 1 61 51 1 31 A． B． C． D． 2 2 2 2 类型二：双曲线渐近线相似三角形比值与离心率 ①如左图所示，当离心率e= 2时，过焦点作渐近线垂线，则不会形成直角三角形； ②如右图所示，当离心率e> 2时，过焦点F 作渐近线l 垂线MN(k <0)，会交l 于第二象限点N，令 2 1 MN 2   1 NM MF ，则双曲线离心率为e 2 ； 2 MST老唐说题26版一轮 证明： ③如图所示，当离心率e< 2 时，过焦点F 作渐近线l 垂线MN(k <0)，会交l 于第四象限点N，令 2 1 MN 2    NF F M ，则双曲线离心率为e 2 ； 2 2 1 证明： x2 【例3】（2018•新课标Ⅰ）已知双曲线C: y2 1，O为坐标原点，F 为C的右焦点，过F 的直线与C的 3 两条渐近线的交点分别为M ，N．若△OMN 为直角三角形，则|MN|=（ ） 3 A． B．3 C．2 3 D．4 2 x2 y2 【例4】（2024•湖北月考）已知双曲线C:  1(a0,b0)的右焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条 a2 b2    渐近线的垂线l，垂足为M ．若直线l与双曲线C的另一条渐近线交于点N，且满足ON 4OM 5OF(O为 坐标原点），则双曲线C 的离心率为( ) 2 10 6 2 3 2 5 A． B． C． D． 5 2 3 3 x2 y2 【例5】（2024•江西期末）过双曲线  1(a0,b0)右焦点F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A， a2 b2 1 与另一条渐近线交于点B，若|AF| |FB|，则双曲线C的离心率为( ) 2 2 3 2 3 A． 或 3 B．2或 3 C． 3或2 3 D．2或 3 3MST老唐说题26版一轮 类型三： 化斜为直的坐标语言选取 1.通径坐标与斜率问题化斜为直 b2 PF 为椭圆双曲线半通径，则得出点P(c， )，其它几何性质相对体现较少. a x2 y2 【例6】（2020•新课标Ⅰ）已知F 为双曲线C:  1(a0,b0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C a2 b2 上的点，且BF 垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C 的离心率为 ． x2 y2 b 【例7】（2022•浙江）已知双曲线  1(a0,b0)的左焦点为F ，过F 且斜率为 的直线交双曲线 a2 b2 4a 于点 A(x ， y )，交双曲线的渐近线于点B(x ， y )且 x 0x ．若|FB|3|FA|，则双曲线的离心率 1 1 2 2 1 2 是 ． 2.渐近线体系中的坐标特征三角形 这里通常是双曲线的坐标特征三角形，需要借助辅助圆. x2 y2 如图，以 FF 为直径的圆与双曲线  1a0,b0 的渐近线在第一象限内的交点坐标为 1 2 a2 b2 P(a,b)．不过，很多时候，题目会以“点P在渐近线上，且PF PF ”的形式给出条件． 1 2 y P F O F x 1 2 证明MST老唐说题26版一轮 x2 y2 【例8】已知F ，F 为双曲线C:  1(a0,b0)的两个焦点，以FF 为直径的圆与C及C的渐近线 1 2 a2 b2 1 2 在第一象限的交点分别为点A和点B，若A，B两点横坐标之比为4:3，则C 的离心率为( ) 2 3 3 2 A． 5 B．2 C． D． 3 2 x2 y2 【例9】已知双曲线C:  1(a0，b0)的右焦点为F(c，0)，点A在C的一条渐近线上，且A在 a2 b2 第一象限，|OA|=c，若AF 的中点在C上，则C的离心率为（ ） A． 5-1 B． 5+1 C． 6-1 D． 6+1MST老唐说题26版一轮 考向 8 必备二级结论 一．圆锥曲线与光学性质 椭圆的光学性质：从一个焦点发出的照射到椭圆上其反射光线会经过另一个焦点。 双曲线有一个光学性质：从一个焦点发出的照射到双曲线上其反射光线的反向延长线会经过另一个焦点。 抛物线有一个光学性质：从焦点发出的照射到抛物线上其反射光线平行于抛物线开口方向。 定理：点P为椭圆上任一点，F 、F 为椭圆的两焦点，则椭圆在P点处的切线与FPF 的平分线垂直. 1 2 1 2 根据物理学的反射原理，反射光线等于入射光线，即把椭圆上的点P处切线看成镜面，那么法线就是 FPF 的平分线，所以它们垂直就自然而然了，同理也能推导双曲线. 1 2 x2 y2 推论： 设椭圆  1（a0，b0）的两焦点为F ，F ，P(x , y )（x ，y 0）为椭圆上一点， a2 b2 1 2 0 0 0 0 则FPF 的角平分线所在直线l的方程为a2y xb2x y(a2b2)x y 0. 1 2 0 0 0 0 xx yy 根据光学性质可知P(x , y )处切线方程为 0  0 1 由于P点处的切线与FPF 的平分线垂直，故 0 0 a2 b2 ， 1 2 a2y FPF 的角平分线所在直线l的方程为yy  0 (xx )，即a2y xb2x y(a2 b2)x y  0. 1 2 0 b2x 0 0 0 0 0 0MST老唐说题26版一轮 【例1】（2024•多选•湖南期末）双曲线的光学性质如下：如图，从双曲线右焦点F 发出的光线经双曲线镜 2 面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线 1 x2 y2 的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图，其方程为  1,F，F 分别为其 a2 b2 1 2 左、右焦点，若从右焦点F 发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后(F ，A，B在同一直线上），满足 2 2 3 AB AD,ABC  ，则( ) 4 |AF | |AF | A． 2  21 B． 2  21 |BF | |BF | 2 2 C．该双曲线的离心率的平方为52 2 D．该双曲线的离心率的平方为52 2 x2 y2 【例2】（2011年高考全国卷II理15）已知F 、F 分别为双曲线C：  1的左、右焦点，点AC， 1 2 9 27 点M 的坐标为(2, 0)，AM 为FAF 的平分线.则|AF |________. 1 2 2 【例3】如图，从椭圆的一个焦点F 发出的光线射到椭圆上的点P，反射后光线经过椭圆的另一个焦点F ， 1 2 xx yy x2 y2 事实上，点P(x ，y )处的切线 0  0 1垂直于FPF 的角平分线．已知椭圆C:  1的两个焦 0 0 a2 b2 1 2 4 3 点是F ，F ，点P是椭圆上除长轴端点外的任意一点，FPF 的角平分线PT 交椭圆C的长轴于点T(t,0)， 1 2 1 2 则t的取值范围是 ．MST老唐说题26版一轮 【例4】抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射 出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线C:y2 x，O 为坐标原点．一束平行于x轴的光线l 从点P(m，1)(m1)射入，经过C上的点A(x ，y )反射后，再经C 1 1 1 上另一点B(x ，y )反射后，沿直线l 射出，经过点Q，则( ) 2 2 2 1 A．y y 1 B．延长AO交直线x 于点D，则D，B，Q三点共线 1 2 4 25 41 C．|AB| D．若PB平分ABQ，则m 16 16 1 【例5】（2025•T8模拟）已知椭圆C的离心率为 ，左、右焦点分别为F(1,0)，F (1,0)． 2 1 2 （1）求C 的方程； （2）已知点M (1,4)，证明：线段FM 的垂直平分线与C恰有一个公共点； 0 1 0 （3）设M 是坐标平面上的动点，且线段FM 的垂直平分线与C 恰有一个公共点，证明M 的轨迹为圆，并 1 求该圆的方程．MST老唐说题26版一轮 大圆小圆问题 二． 以圆锥曲线焦半径为直径的圆的性质 (1)以椭圆的焦半径为直径的圆必与大圆（以长轴为直径的圆）相内切． (2)以双曲线的焦半径为直径的圆必与小圆（以实轴为直径的圆）相切． (3)以抛物线y2 2px的焦半径为直径的圆必与y轴相切． x2 y2 证明 (1)如左图，以椭圆  1ab0为例，F 、F 分别为左、右焦点，以焦半径 PF 为直径的 a2 b2 1 2 1 1 1 圆 M，连结 OM 并延长交圆 M 于 N、连接 PF ，易知 OM  PF ， MN  PF ，所以 2 2 2 2 1 1 ON  (PF  PF )a，所以以椭圆的焦半径为直径的圆必与大圆（以长轴为直径的圆）内切． 1 2 2 x2 y2 （2）如中图，以双曲线  1a0,b0为例，F 、F 分别为左、右焦点，以焦半径 PF 为直径 a2 b2 1 2 2 1 1 的圆M，连结OM并与圆M 交于N、连接 PF ，易知 OM  PF ， MF  PF ，所以 1 2 1 2 2 2 1 ON  (PF  PF )a，因此，以双曲线的短焦半径为直径的圆必与小圆（以实轴为直径的圆）外切． 1 2 2 1 如右图，以焦半径 PF 为直径的圆M，连结OM并与反向延长交圆M 于N、连接 PF ，易知 OM  PF ， 1 2 2 2 1 1 MF  PF ，所以 ON  (PF  PF )a，因此，以双曲线的长焦半径为直径的圆必与小圆（以实轴 1 1 1 2 2 2 为直径的圆）内切． (3)如图，以抛物线y2 2px(p0)为例，F为焦点，以焦半径 PF 为直径的圆M ，作MN  y轴于N， p x  PF  x  p ， MN x  0 2  PF ，故以 PF 为直径的圆M 和y轴相切． 0 2 M 2 2MST老唐说题26版一轮 【例5】已知抛物线C:y2 2px(p0)的焦点为F ，点P是C上一点，且|PF|5，以PF 为直径的圆截x 轴所得的弦长为1，则 p( ) A．2 B．2或4 C．4 D．4或6 【例6】（2024•多选•下城区期末）已知抛物线C:y2 2px(p0)的焦点为F ，P(x ，y )是C 上位于第一 0 0 象限内的一点，若C在点P处的切线与x轴交于N点，且FPN 30，则下列说法正确的是( ) p A．|PF|x  B．以PF 为直径的圆与y轴相切 0 2 2 2 3 C．|PF| p D．直线OP的斜率为 (O为原点） 3 3 x2 y2 【例7】（2024•湖北期末）如图，已知F 是椭圆  1的左焦点，A为椭圆的下顶点，点P是椭圆上 4 3 任意一点，以PF 为直径作圆N，射线ON 与圆N交于点Q，则|AQ|的取值范围为 ．MST老唐说题26版一轮 圆锥曲线与立体几何问题 三． 一．截口曲线形成的圆锥曲线 圆锥曲线就可以看作圆锥被一个平面所截得到的截口曲线.  如图，设圆锥的轴截面顶角为2，圆锥的轴与截面所成的角为，其中，(0, ). 2 当时，截口曲线为椭圆,平面两侧的圆锥内切球与平面的切点为两焦点.；当时，截口曲线 为抛物线,平面一侧的圆锥内切球与平面的切点为焦点；当时，截口曲线为双曲线,平面两侧的圆锥内 切球与平面的切点为两焦点. 【例1】（2022•多选•广东期末）用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截而与圆锥侧面的交 线）是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角不同时，可以得到不同的截 口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线．因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．记 圆锥轴截面半顶角为，截口曲线形状与，有如下关系：当时，截口曲线为椭圆；当时，  截口曲线为抛物线：当时，截口曲线为双曲线．其中，(0, )，现有一定线段AB，其与平面 2 所成角（如图），B为斜足，上一动点P满足BAP，设P点在的运动轨迹是，则( )     A．当 , 时，是椭圆 B．当 , 时，是双曲线 4 6 3 6     C．当 , 时，是抛物线 D．当 , 时，是圆 4 4 3 4MST老唐说题26版一轮 【例2】如图AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得△ABP的面积为定值，则动 点P的轨迹是（ ）. A.圆 B.椭圆 C.一条直线 D.两条平行直线 【例3】已知斜线段AB与平面所成的角为60，B为斜足，平面上的动点P满足PAB30，则点P 的轨迹是（ ）. A.直线 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线的一支 【例4】（2024•多选•广东期末）已知正方体ABCDABCD 的边长为2，E为正方体内（包括边界）上的 1 1 1 1 5 一点，且满足sinEDD  ，则下列说正确的有( ) 1 5  A．若E为面ABC D 内一点，则E点的轨迹长度为 1 1 1 1 2 B．过AB作面使得DE ，若E，则E的轨迹为椭圆的一部分 C．若F ，G分别为AD ，BC 的中点，DE与面FGAB，则E的轨迹为双曲线的一部分 1 1 1 1 10 3 10 D．若F ，G分别为AD ，BC 的中点，DE与面FGAB所成角为，则sin的范围为[ , ] 1 1 1 1 10 10MST老唐说题26版一轮 二．丹德林双球模型与离心率 丹德林(GDandelin)利用双球模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，双球与平面切点E，F 为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球． 如图（1），在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两 球都相切的平面截圆锥的侧面得到截口曲线是椭圆．理由如下：如图（2），若两个球分别与截面相切于点E， F ，在得到的截口曲线上任取一点A，过点A作圆锥母线，分别与两球相切于点C，B，由球与圆的几何 性质，得|AE||AC|，|AF||AB|，所以|AE||AF||AC||AB||BC|2a ，且2a|EF|，由椭圆定义 知截口曲线是椭圆，切点E，F 为焦点，具体离心率计算我们参考例题． 这个结论在圆柱中也适用，如图（3），在一个高为h，底面半径为r的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面 均相切．若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱所得的截口曲线也为一个椭圆，则2ah2r，br. 【例5】（2024•广东期末）圆锥曲线与空间几何体具有深刻而广泛的联系．如图所示，底面半径为1，高为 3的圆柱内放有一个半径为1的球，球与圆柱下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面与球相切于点F ， 若平面与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线，是以F 为一个焦点的椭圆，则的离心率的取值范围 是( ) 3 3 4 4 A．[ ,1) B．(0, ] C．(0, ] D．[ ,1) 5 5 5 5MST老唐说题26版一轮 【例6】（2024•诸暨市期末）参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球 的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不 太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习， 他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点．他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面 上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P（当成质点），灯泡与桌面的距 离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A，影子椭圆的右顶点到A点的距离为3个单位长度，则 这个影子椭圆的离心率e ． 【例7】（2023•广州一模）如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭 圆的模型．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球O ，球 1 O 的半径分别为4和2，球心距离|OO |2 10 ，截面分别与球O ，球O 相切于点E，F(E ，F 是截口 2 1 2 1 2 椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于 ．