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高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章综合检测卷（培优B卷）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知点 是直线 上一点，则直线的倾斜角 为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
【分析】利用 ，再根据倾斜角的定义，可得直线的倾斜角
【详解】因为 ，设直线的倾斜角为 ，又因为 ，且 ，故 的倾斜角
.
故选：B.
2．已知 的顶点 ，AC边上的高所在直线方程为 ，则AC所在直线的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由AC边与其上的高垂直的关系求得AC边的斜率，再结合A点坐标，即可由点斜式写出AC所在
直线的方程.
【详解】设AC边上的高所在直线的斜率为 ，则
设AC边所在直线的斜率为 ，
因为AC边上的高与AC边垂直，
所以 ，所以 ，又所以AC所在直线的方程为 ，
整理为一般式得 .
故选：D.
3．圆 上的点到直线 的距离的最大值为（ ）．
A．3 B．5 C． D．
【答案】B
【分析】求出圆心到直线的距离加上圆的半径即可得答案
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，则
圆心 到直线 的距离为
，
所以圆 上的点到直线 的距离的最大值为 ，
故选：B
4．已知直线 ： 过定点 ，则点 到直线 ： 距离的最大值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题首先求出 ，然后发现直线 ： 恒过定点 ，由图可得点 到直线 ：
距离的最大值可转化为点 与点 的距离.
【详解】由题意知，直线 ： 恒过定点 ，
直线 ： 恒过定点 ，如图所示，过 作 的垂线段 ，垂足为 ，
那么必有 ，当且仅当 与 重合时取等号，
从而 的最大值为 ，
即点 到直线 ： 距离的最大值是 .
故选：D.
5．已知直线 与 平行，则 之间的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】由两直线平行，可知其斜率相等，即可求出 ，然后再根据平行直线间的距离公式即可求解.
【详解】由题意知， ， ，因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以
故答案为：
6．已知直线 与圆 相切，则满足条件的直线l的条
数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据点到直线的距离公式和两圆位置关系即可求解.【详解】由已知直线 ，
则原点到直线l的距离为 ，
由直线l与圆 相切，
则满足条件的直线l即为圆 和圆 的公切线，
因为圆 和圆 外切，
所以这两个圆有两条外公切线和一条内公切线，
所以满足条件的直线l有3条．
故选: B．
7．已知直线 和圆 相交于 两点．若 ，则实数a的值为（ ）
A．-2 B．-4 C．-6 D．-8
【答案】B
【分析】先求出圆心和半径，再计算圆心到直线 的距离 ，由勾股定理可得弦长
即可求解.
【详解】由 可得： ，
所以圆心 ， ，
圆心 到直线 的距离为 ，
由 ，即
所以 ，解得： ，
故选:B
【点睛】方法点睛：圆的弦长的求法：（1）几何法，设圆的半径为 ，弦心距为 ，弦长为 ，则 ；
（2）代数法，设直线与圆相交于 ， ，联立直线与圆的方程 ，消去
得到一个关于 的一元二次方程，从而可求出 ， ，根据弦长公式
，即可得出结果.
8．已知直线 和圆 ，则“ ”是“直线 与圆 相切”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件和必要条件的判断方法，结合直线与圆的位置关系即可求解.
【详解】圆 的方程可化为 ，
其圆心坐标为 ，半径为 ，
当 时，直线 ，圆心到直线的距离 ，此时直线 与圆 相切，故充分性成立；
当直线 与圆 相切时，圆心到直线的距离 ，所以 ，故必要性成立，
所以“ ”是“直线 与圆 相切”的充要条件.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．下列结论中正确的有（ ）
A．两条相交直线所成的角的范围是
B．若两条相交直线所成的角为 ，其法向量的夹角为 ，则 或C．若两条直线相互垂直，则其斜率之积为
D．若直线 与直线 的夹角为 ，则
【答案】ABD
【分析】根据两直线相交时其夹角，其斜率间的关系，逐一判断可得选项.
【详解】解：对于A：两条相交直线时，其所成的角的范围是 ，故A正确；
对于B：若两条相交直线所成的角为 ，其法向量的夹角为 ，则 或 ，故B正确；
对于C：若两条直线相互垂直，则这两直线中可能其中一条直线的斜率不存在，故C不正确；
对于D：设直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，
则 ，所以 ，故D正确，
故答案为：ABD.
10．下列说法中正确的是（ ）
A．若直线斜率为 ，则它的倾斜角为
B．若 ， ，则直线 的倾斜角为
C．若直线过点 ，且它的倾斜角为 ，则这条直线必过点
D．若直线的斜率为 ，则这条直线必过 与 两点
【答案】ABC
【分析】根据斜率与倾斜角关系以及两点间斜率公式，结合直线的点斜式方程可判断ABC；举反例可排除
D.
【详解】对于A，设直线的倾斜角为 ，则由题意得 ，所以 ，故A正确；
对于B，因为 ， ，所以直线 与 轴垂直，则其斜率不存在，故其倾斜角为 ，故B正确；对于C，因为直线过定点 ，且斜率为 ，所以直线的方程为 ，即 ，
易知 ，故直线必过 ，故C正确；
对于D，不妨取 ，满足直线的斜率为 ，但显然该直线 不过 与 两点，故D错误．
故选：ABC.
11．对于直线 .以下说法正确的有（ ）
A． 的充要条件是
B．当 时，
C．直线 一定经过点
D．点 到直线 的距离的最大值为5
【答案】BD
【分析】求出 的充要条件即可判断A;验证 时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线 经
过的定点即可判断C;判断何种情况下点 到直线 的距离最大，并求出最大值，可判断D.
【详解】当 时， 解得 或 ，
当 时，两直线为 ，符合题意；
当 时，两直线为 ，符合题意，故A错误；
当 时，两直线为 ， ，
所以 ，故B正确；
直线 即直线 ，故直线过定点 ，C错误；
因为直线 过定点 ，当直线 与点 和 的连线垂直时，到直线 的距离最大，最大值为 ，
故D正确，
故选：BD.
12．点P在圆 上，点Q在圆 上，则（ ）
A． 的最小值为2
B． 的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为
D．两个圆相交弦所在直线的方程为
【答案】BC
【分析】分别找出两圆的圆心 和 的坐标，以及半径 和 ，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距
离 ，根据 大于两半径之和，得到两圆的位置关系是外离，又 为圆 上的点， 为圆 上的点，
便可求出其最值，用斜率公式求出 .
【详解】由已知 ，半径为 ，圆 的标准方程为 ，
故 ，半径 ，∴圆心距 ，
又 在圆 上， 在圆 上，
则 的最小值为 ，最大值为 ，
故A错误、B正确；
两圆圆心所在的直线斜率为 ，C正确；
圆心距 大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D错误.
故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线 ： ， ： ，则“ ”是“ ”的 条件
【答案】充分不必要
【分析】解出 所需条件，再结合充分不必要条件的定义判断即可．
【详解】直线 的一个法向量是 ，直线 的一个法向量是 ，
，则有 ，得 ，解得 或 ．
当 时， 成立；当 时，不能得到 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要
14．一条光线沿直线 入射到 轴后反射，则反射光线所在的直线方程为 .
【答案】
【分析】根据题意分析出反射光线过直线 与 轴的交点，且倾斜角与直线 的倾
斜角互补，故而可求反射光线所在的直线方程.
【详解】解：由题可知，直线 与 轴有交点，
令 得 ，所以直线 与 轴的交点为 ，又直线 的斜率为 ，所以反射光线所在直线的斜率为 ，
所以反射光线所在的直线方程为 ，即 .
故答案为： .
15．圆心在直线 上，且在第一象限，并且经过点 ，且被 轴截得的弦长为 的圆的方程为
．
【答案】
【分析】设圆心的坐标为 ，则 ，求出圆的半径的表达式，可得出关于 的等式，解出正数 的
值，可得出圆心坐标与圆的半径，即可写出所求圆的标准方程.
【详解】设圆心的坐标为 ，则 ，则该圆的半径为 ，
由勾股定理可知，该圆的半径为 ，
由题意可得 ，解得 ，
，解得 ，所以，该圆的半径为 ，
因此，所求圆的标准方程为 .
故答案为： .
16．已知 的圆心在曲线 上，且 与直线 相切，则 的面积的最小值为
.
【答案】
【分析】由题设 ，进而根据题意得 到直线 的距离即为半径，再利用公式
结合基本不等式求解即可得半径的最小值，进而得答案.【详解】因为 的圆心在曲线 上，故设 ,
因为 与直线 相切,
所以 到直线 的距离即为半径，
即 ，当且仅当 时等号成立，
所以 的面积的最小值为 .
故答案为: .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知点 .
(1)求直线 的倾斜角
(2)过点 的直线 与过 两点的线段有公共点，求直线 斜率的取值范围.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）利用两点式得到直线斜率，从而可得直线 的倾斜角；
（2）求出直线 与直线 的斜率，从而可得结果.
【详解】（1）由已知得：直线 的斜率
又
（2）直线 的斜率直线 的斜率
过点直线 与过 两点的线段有公共点，
直线 斜率的取值范围为
18．已知 ，直线 .求：
（1）直线 关于点 的对称直线 的方程；
（2）直线 关于直线 的对称直线 的方程.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）设 上任一点的坐标为 ，可求得 关于点 的对称点，再将对称点带入 即可
求得直线 关于点 的对称直线 的方程；
（2）设 上任一点坐标为 ，可求得点 关于直线 的对称点的坐标，再将坐标代入直线
，即可求得对称直线 的方程.
【详解】（1）设 上任一点的坐标为 ，
则 关于点 的对称点的坐标为 ，
而点 在 上，所以 ，化简可得对称直线 的方程为 .
（2）设 上任一点坐标为 ，
则点 关于直线 的对称点的坐标为 ，
它在直线 上，
所以 ，
即 .
【点睛】本题考查了直线关于点、直线关于直线的对称方程求法，属于基础题.
19．已知圆 与直线 相切.
（1）求圆 的方程；
（2）求直线 截圆 所得弦 的长；
（3）过点 作两条直线与圆 相切，切点分别为 ，求直线 的方程.
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】分析：（1）设出圆的方程，由直线和圆相切的条件，求得半径，即可得到圆的方程；
（2）求出圆心到直线的距离，运用直线和圆相交的弦长公式，即可得到；
（3）判断出C，M，N，G四点共圆，求出圆的方程，再与圆C方程相减，即可得到相交弦方程．
详解：(1)由题意知，
所以圆 的方程为
（2）由题意，圆心到 的距离 ,
（3）由题意知，其方程为
又 在圆 ，两式相减得
即直线 的方程为 .
点晴：本题主要考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，这块内容在解析几何中属于核心内容，学
生们需要关注几何方法和代数方法，几何方法需要转化，计算量相对较小，代数方法计算量较大．
20．设 ， 为两定点，动点 到 点的距离与到 点的距离的比为定值2.
(1)求 点的轨迹 方程；
(2)求 面积的最大值.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）设 ，根据已知条件列方程，化简求得轨迹 的方程.
（2）根据圆的几何性质求得 面积的最大值.
【详解】（1）设 ，依题意 ，
，
，
即轨迹 的方程为： .
（2）由于轨迹 的方程为： ，
所以轨迹 是以 为圆心，半径为 的圆，
所以三角形 面积的最大值为 .
21．已知过点 且斜率为 的直线 与圆 交于 两点.(1)求 的取值范围；
(2)若 ，求直线 的方程.
【答案】(1) ；(2) 或
【分析】(1)方法一：根据直线和圆相交时，圆心到直线的距离小于半径即可求解；方法二：联立直线和圆
的方程，消去“y”得到关于“x”的方程，根据方程 即可求解；
(2)根据 可知CM⊥CN，再结合几何关系求出圆心到直线l的距离，根据点到直线距离公式即可
求出l方程．
【详解】（1）方法一：
圆 ，圆心 ，半径 ，
设直线 的方程为 ，即 ，
∵直线 与圆 相交于 两点， ，
解得： 的取值范围是 ．
方法二：
联立 ，整理得 ，
∵直线 与圆 相交于 两点， ，
解得： 的取值范围是 ．
（2） ，
，∴点 到直线 距离为 ，
即 ，整理得 ，解得 或 ，
的方程为 或 ．
22．已知直线 与 轴相交于点 ，点 坐标为 ，过点 作直线 的垂线，交直线 于点 ．
记过 、 、 三点的圆为圆 ．
（1）求圆 的方程；
（2）求过点 与圆 相交所得弦长为 的直线方程．
【答案】（1） ；（2） 或 .
【分析】（1）根据题意，由直线 的方程求出 的坐标，分析可得圆 是以 为直径的圆，求出圆心与
半径，结合圆的标准方程分析可得答案；
（2）根据题意，设要求直线为 ，计算出圆心 到直线 的距离为 ，分两种情况讨论：①直线
的斜率存在，可得出直线 的方程为 ，验证即可；②当直线 的斜率存在时，设直线 的方
程为 ，利用圆心到直线 的距离求出 的值.综合可得出所求直线的方程.
【详解】（1）根据题意，直线 与 轴相交于点 ，则 ，
又由 ，则 ，
则圆 是以 为直径的圆，其圆心 ，半径 ，
因此，圆 的方程为 ；
（2）直线 的方程为 ，联立 ，解得 ，即点 .
设要求直线为 ，且与圆 的交点为 、 ，
圆心到直线 的距离 ，
分两种情况讨论：
①当直线 的斜率不存在，则 的方程为 ，
易得圆心 到直线 的距离为 ，符合题意；②当直线 的斜率不存在，设直线 的方程为 ，即 ，
若圆心 到直线 的距离为 ，则有 ，解得 ，
则此时直线 的方程为 .
综上所述，所求直线的方程为 或 .
【点睛】本题考查圆的方程的求解，同时也考查了利用直线截圆所得的弦长求直线的方程，考查分类讨论
思想与运算求解能力，属于中等题.
