第二节函数的单调性与奇偶性_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第二章

MST老唐说题26版一轮
第二节 单调性与奇偶性
考向 1 函数的单调性
题型1 单调性的定义及判断
（1）定义域是函数的整体性质，单调性是函数的局部性质.若函数单调区间不止一个时，不能用“”书
1
写，需要用“，”或“和”隔开．例如， f(x) 的单调递减区间为(，0)，(0，)．
x
（2）等价定义：
①x，x D，若(x x )[f(x ) f(x )]0，则 f(x)在区间D上是增函数；
1 2 1 2 1 2
②x，x D，若(x x )[f(x ) f(x )]0，则 f(x)在区间D上是减函数．
1 2 1 2 1 2
f(x ) f(x )
③x，x D，且x  x ，若 1 2 0，则 f(x)在区间D上是增函数；
1 2 1 2 x x
1 2
f(x ) f(x )
④x，x D，且x  x ，若 1 2 0，则 f(x)在区间D上是减函数．
1 2 1 2 x x
1 2
（3）函数单调性的运算：
①增函数增函数增函数，减函数减函数减函数，
增函数减函数增函数，减函数增函数减函数；
②函数f(x)与函数 f(x)的单调性相反；
k
③ k 0时，函数 f(x)与 的单调性相反(f(x)0)；
f(x)
k
k 0时，函数 f(x)与 的单调性相同(f(x)0).
f(x)
【例1】（2023•北京）下列函数中在区间(0,)上单调递增的是( )
1 1
A． f(x)lnx B． f(x) C． f(x) D． f(x)3|x1|
2x x
【例2】（2017•山东）若函数exf(x)(e2.71828是自然对数的底数）在 f(x)的定义域上单调递增，则称
函数 f(x)具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是( )
A． f(x)2x B． f(x)x2 C． f(x)3x D． f(x)cosx
1MST老唐说题26版一轮
2
【例3】已知函数 f(x) 1，则下列说法正确的是( )
x1
A．函数 f(x)的图象关于点(1,0)对称
B．函数 f(x)在(1,)上单调递增
C．函数 f(x)的图象关于直线x1对称
D．函数 f(x)在[2，6]上的最大值为3
题型2 利用单调性求参
【例1】已知 f(x)是定义在[1，1]上的减函数，且 f(2a3) f(a2) ，则实数a的取值范围是( )
A．(1，2] B．(1，3] C．(1，4] D．(1,)
f x  f x 
【例2】设函数 f(x)x|xa|，若对x ，x [3,)，x  x ，不等式 1 2 0恒成立，则实
1 2 1 2 x x
1 2
数a的取值范围是( )
A.(,3] B.[3,0) C.(,3] D.(0,3]
f(x ) f(x )
【例3】已知函数 f(x)的定义域为R，图象恒过(1,1)点，对任意x x ，都有 1 2 1．则不等
1 2 x x
1 2
式 f[log (2x 1)]2log (2x 1)的解集为( )
2 2
A．(0,) B．(,log 3)
2

C．(，0) (0，log 3) D．(0,log 3)
2 2
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题型3 分段函数的单调性
f (x),xa
函数 f(x) 1 ，在R上单调増递，则需满足三个条件：
f (x),xa
2
(1) f (x)在(,a]上单调増递增；(2) f (x)在(a,)上单调増递增；(3) f (a) f (a) ．
1 2 1 2
f (x),xa
函数 f(x) 1 ，在R上单调増递减，则需满足三个条件：
f (x),xa
2
(1) f (x)在(,a]上单调増递减；(2) f (x)在(a,)上单调増递减；(3) f (a) f (a) ．
1 2 1 2
(2a3)x1,x1 f(x ) f(x )
【例1】若函数 f(x) ，且对任意的x  x ，满足条件 1 2 0，则实数a的取值
x2 1,x1 1 2 x x
1 2
范围为( )
3 3 3 3
A．( ,) B．( ,3] C．( ,4] D．(, ]
2 2 2 2
x2 2axa,x0
【例2】（2024•新高考1卷）已知函数为 f(x) ，在R上单调递增，则a取值的范围是
ex ln(x1),x0
（ ）
A. (,0] B. [1,0] C. [1,1] D. [0,)
题型4 复合函数的单调性
讨论复合函数y f[g(x)]的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需
要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，
再用复合法则，复合法则如下:
若u g(x)，y f(u)在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则y f[g(x)]为增函数;
若u g(x)，y f(u)在所讨论的区间上一增一减，则y f[g(x)]为减函数．
【例1】（2023•新高考Ⅰ）设函数 f(x)2x(xa)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是( )
A．(，2] B．[2，0) C．(0，2] D．[2，)
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【例2】（2020•海南）已知函数 f(x)lg(x2 4x5)在(a，)上单调递增，则a的取值范围是( )
A．(2，) B．[2，) C．(5，) D．[5，)
考向 2 函数的奇偶性
题型1 奇偶性定义及判断
函数奇偶性的几个重要结论
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
（2）函数 f(x)，g(x)在它们的公共定义域上有下面的结论：
同名加减不变，异名加减不可；同名乘除得偶，异名乘除得奇．
f(x) g(x) f(x)g(x) f(x)g(x) f(x)g(x) f(g(x))
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
（3）若奇函数的定义域包括0，则 f(0)0．
（4）若函数 f(x)是偶函数，则 f(x) f(x) f(x)．
（5）定义在(，)上的任意函数 f x都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．
（6）若函数y f(x)的定义域关于原点对称，则：
f(x) f(x)为偶函数， f(x) f(x)为奇， f(x) f(x)为偶函数．
【例1】已知f（x），g（x）是定义在R上的函数，则“y＝f（x）+g（x）是R上的偶函数”是“f（x），
g（x）都是R上的偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4MST老唐说题26版一轮
【例2】函数f（x）＝x+sinx在R上是（ ）
A．偶函数、增函数 B．奇函数、减函数
C．偶函数、减函数 D．奇函数、增函数
【例3】已知函数f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）＝x2+x﹣2，则f（2）＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例4】已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x+cosx﹣1，则x＜0时，f（x）＝（ ）
A．x﹣cosx+1 B．﹣x+cosx﹣1 C．x+cosx﹣1 D．﹣x﹣cosx+1
【例5】若f（x）是定义在R上的函数，则下列选项中一定是偶函数的是（ ）
A．|f（x）| B．f（|x|）
C． D．f（x）﹣f（﹣x）
1
(  )
【例6】（2021•乙卷）设函数f（x） ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
1− 
A．f（x﹣1）﹣1 B．f（x﹣1 =）1++1  C．f（x+1）﹣1 D．f（x+1）+1
例7.（2024•天津卷）下列函数是偶函数的是（ ）
exx2 cosxx2 exx sinx4x
A. y B. y C. y D. y
x2 1 x2 1 x1 e|x|
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题型2 常见奇偶的七大模型
奇函数：“两指两对”；偶函数：“一指一对一绝”
（1）奇函数：
ax 1 ax 1
①函数 f(x)m( )(x0)或函数 f(x)m( )．
ax 1 ax 1
②函数 f(x)(axax)．
bxm 2m bxm 2m
③函数 f(x)log log (1 )或函数 f(x)log log (1 )．
abxm a bxm a bxm a bxm
④函数 f(x)log ( b2x2 1bx)．
a
2m 2m
注意：关于①式，可以写成函数 f(x)m (x0)或函数 f(x)m (mR)．
ax 1 ax 1
（2）偶函数：
① 函数 f(x)(axax)．
mx
② 函数 f(x)log (amx 1) ．
a 2
③ 函数 f(|x|)类型的一切函数．
【例1】下列函数中的奇函数是（ ）
A． B．
1−  1− 
(  )=    (  )=  
C．f（x）＝3 ﹣x  +3 x D．  +1
2
3
(  )= 
【例2】（2021•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝x3（a•2 x ﹣2 ﹣x）是偶函数，则a＝ ．
【例3】已知函数 为奇函数，则 （ ）
2
A．  (  )=B   ．(2  + 4  +  ) C．  ( 2)= D．
( 2−1)   ( 2+1) 2   ( 2−1) 2   ( 2+1)
【例4】已知函数f（x）＝xcosx，g（x）＝ln（e2x+1）﹣x﹣1，则（ ）
A．f（x）的图象关于y轴对称，g（x）的图象关于点（0，﹣1）对称
B．f（x）的图象关于y轴对称，g（x）的图象关于y轴对称
C．f（x）的图象关于原点对称．g（x）的图象关于点（0，﹣1）对称
D．f（x）的图象关于原点对称．g（x）的图象关于y轴对称
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【例5】（2024•甲卷）函数 f xx2   ex ex sinx 在区间[2.8,2.8]的大致图像为（ ）
A. B.
C. D.
题型3 利用奇偶性求参
（1）定义法：偶函数则 f(x) f(x)，奇函数则 f(x)f(x)；
（2）特殊值：奇函数定义域可取0时，可利用 f(0)0；
奇函数定义域不可取0时，可利用其他，如 f(1)f(1)；
偶函数可利用 f(1) f(1)；1定义域D ；
（3）利用常见模型处理．
注意避坑：求得参数范围若有两个或以上解，记得验证是否都满足．
【例1】若函数f（x）＝1 是奇函数，则m的值是（ ）

+ 
A．﹣1 B．  ﹣+21 C．1 D．2
【例2】（2023•乙卷）已知f（x） 是偶函数，则a＝（ ）


A．﹣2 B．﹣1 =    −1 C．1 D．2
【例3】若函数 为定义在R上的奇函数，则实数b＝（ ）
1
(  )=  + 
A． 2 + B  ． C．1 D．﹣1
1 1
−
2 2
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题型4 “M + N”中值模型
若函数 f(x)奇函数a，则我们把它称为准奇函数；求准奇函数最大值+最小值之和（M N ），我们把它
叫做中值模型．
（1）若 f(x)为奇函数，则其最大值与最小值和为0，即 f(x)  f(x) 0；
max min
M N 0
（2）若 f(x)为奇函数，则 ；
f(x ) f(x )0
0 0
M N 2a
（3）常见考向 f(x)奇函数a ；
f(x ) f(x )2a
0 0
M N 2a

妙解答案：f(x)  f(x) 2a
max min

f(x ) f(x )2a
0 0
【例1】（2018•全国3卷）已知函数 f(x)ln( 1x2 x)1， f （a）4，则 f(a) ．
(x1)2 sinx
【例2】（2012•新课标）设函数 f(x) 的最大值为M ，最小值为m，则M m ．
x2 1
ax
【例3】已知函数 f(x) bln(x x2 1)c其中a0且a1，bR，cZ ，则 f （1）和 f(1)的
1ax
值一定不会是( )
3 2 1 2
A．2 3和3 3 B．3和4 C．3和1 D． 或
4 4
8MST老唐说题26版一轮
考向3 单调性与奇偶性的综合应用
解决此类题目要注意以下几点：
（1）若给出的是复杂函数，我们要先研究函数的奇偶性和单调性
（2）若为奇函数则判断函数是否连续，不连续则需通过数形结合解不等式，图象关于原点对称，若连续直
接利用单调性即可
（3）若为偶函数则利用 f x  f  x  f  x  ，转化为 f  x  的形式，考虑在  0,上的单调性即可
题型1 奇函数与单调性结合
【例1】已知定义在R上的奇函数 f  x  ，且为减函数，又知 f  1a  f  1a2  0，则a的取值范围为
A.
2,1 
B.

0,2

C.

0,1

D.
,2  1,
【例2】已知函数 f x x5x2，则不等式 f  x23   f 2x4的解集是（ ）．
A．1,3 B．3,1
C．,13, D．,31,
【例3】已知 f  x 是定义在R上的奇函数，且对任意x ,x R，若x  x 都有 f  x  f  x  x x 成
1 2 1 2 1 2 1 2
立，则关于x的不等式 f  1x2   f  13x  x2 3x2的解为_________．
题型2 偶函数与单调性结合
【例1】已知函数 f(x)关于直线x0对称，且当x x0时，[f(x ) f(x )](x x )0恒成立，则满足
1 2 2 1 2 1
1
f(3x1) f( )的x的取值范围是( )
3
4 2 4
A．( ,) B．(, )( ,)
9 9 9
2 4 2
C．( , ) D．(, )
9 9 9
【例2】已知函数 f(x)是定义在[12m，m1]上的偶函数，x ，x [0，m1]，当x  x 时，
1 2 1 2
[f(x ) f(x )](x x )0，则不等式 f(1x)f(x)的解集是( )
1 2 1 2
1 1 1
A．[3， ] B．[2，3] C．[2， ] D．(， ]
2 2 2
9MST老唐说题26版一轮
【例3】已知定义在[12，12]的函数 f(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：①xR，y f(x6)
x x
的对称轴是x6；②x ，x [12，0)，当x  x 时， 2 1 0；③ f(10)0．则下列选项
1 2 1 2 f(x ) f(x )
2 1
成立的是( )
A． f(3) f （4）
f(x1) 
B．不等式 0的解集为：(9，0) (11，13]
x
C．若 f(2m1) f （3），则m2或m1
D．x[12，12]，MR，使得 f(x)M
10