第二节函数的单调性与奇偶性_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第二章

MST老唐说题26版一轮 第二节 单调性与奇偶性 考向 1 函数的单调性 题型1 单调性的定义及判断 （1）定义域是函数的整体性质，单调性是函数的局部性质.若函数单调区间不止一个时，不能用“”书 1 写，需要用“，”或“和”隔开．例如， f(x) 的单调递减区间为(，0)，(0，)． x （2）等价定义： ①x，x D，若(x x )[f(x ) f(x )]0，则 f(x)在区间D上是增函数； 1 2 1 2 1 2 ②x，x D，若(x x )[f(x ) f(x )]0，则 f(x)在区间D上是减函数． 1 2 1 2 1 2 f(x ) f(x ) ③x，x D，且x  x ，若 1 2 0，则 f(x)在区间D上是增函数； 1 2 1 2 x x 1 2 f(x ) f(x ) ④x，x D，且x  x ，若 1 2 0，则 f(x)在区间D上是减函数． 1 2 1 2 x x 1 2 （3）函数单调性的运算： ①增函数增函数增函数，减函数减函数减函数， 增函数减函数增函数，减函数增函数减函数； ②函数f(x)与函数 f(x)的单调性相反； k ③ k 0时，函数 f(x)与 的单调性相反(f(x)0)； f(x) k k 0时，函数 f(x)与 的单调性相同(f(x)0). f(x) 【例1】（2023•北京）下列函数中在区间(0,)上单调递增的是( ) 1 1 A． f(x)lnx B． f(x) C． f(x) D． f(x)3|x1| 2x x 【例2】（2017•山东）若函数exf(x)(e2.71828是自然对数的底数）在 f(x)的定义域上单调递增，则称 函数 f(x)具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是( ) A． f(x)2x B． f(x)x2 C． f(x)3x D． f(x)cosx 1MST老唐说题26版一轮 2 【例3】已知函数 f(x) 1，则下列说法正确的是( ) x1 A．函数 f(x)的图象关于点(1,0)对称 B．函数 f(x)在(1,)上单调递增 C．函数 f(x)的图象关于直线x1对称 D．函数 f(x)在[2，6]上的最大值为3 题型2 利用单调性求参 【例1】已知 f(x)是定义在[1，1]上的减函数，且 f(2a3) f(a2) ，则实数a的取值范围是( ) A．(1，2] B．(1，3] C．(1，4] D．(1,) f x  f x  【例2】设函数 f(x)x|xa|，若对x ，x [3,)，x  x ，不等式 1 2 0恒成立，则实 1 2 1 2 x x 1 2 数a的取值范围是( ) A.(,3] B.[3,0) C.(,3] D.(0,3] f(x ) f(x ) 【例3】已知函数 f(x)的定义域为R，图象恒过(1,1)点，对任意x x ，都有 1 2 1．则不等 1 2 x x 1 2 式 f[log (2x 1)]2log (2x 1)的解集为( ) 2 2 A．(0,) B．(,log 3) 2  C．(，0) (0，log 3) D．(0,log 3) 2 2 2MST老唐说题26版一轮 题型3 分段函数的单调性 f (x),xa 函数 f(x) 1 ，在R上单调増递，则需满足三个条件： f (x),xa 2 (1) f (x)在(,a]上单调増递增；(2) f (x)在(a,)上单调増递增；(3) f (a) f (a) ． 1 2 1 2 f (x),xa 函数 f(x) 1 ，在R上单调増递减，则需满足三个条件： f (x),xa 2 (1) f (x)在(,a]上单调増递减；(2) f (x)在(a,)上单调増递减；(3) f (a) f (a) ． 1 2 1 2 (2a3)x1,x1 f(x ) f(x ) 【例1】若函数 f(x) ，且对任意的x  x ，满足条件 1 2 0，则实数a的取值 x2 1,x1 1 2 x x 1 2 范围为( ) 3 3 3 3 A．( ,) B．( ,3] C．( ,4] D．(, ] 2 2 2 2 x2 2axa,x0 【例2】（2024•新高考1卷）已知函数为 f(x) ，在R上单调递增，则a取值的范围是 ex ln(x1),x0 （ ） A. (,0] B. [1,0] C. [1,1] D. [0,) 题型4 复合函数的单调性 讨论复合函数y f[g(x)]的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需 要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性， 再用复合法则，复合法则如下: 若u g(x)，y f(u)在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则y f[g(x)]为增函数; 若u g(x)，y f(u)在所讨论的区间上一增一减，则y f[g(x)]为减函数． 【例1】（2023•新高考Ⅰ）设函数 f(x)2x(xa)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是( ) A．(，2] B．[2，0) C．(0，2] D．[2，) 3MST老唐说题26版一轮 【例2】（2020•海南）已知函数 f(x)lg(x2 4x5)在(a，)上单调递增，则a的取值范围是( ) A．(2，) B．[2，) C．(5，) D．[5，) 考向 2 函数的奇偶性 题型1 奇偶性定义及判断 函数奇偶性的几个重要结论 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2）函数 f(x)，g(x)在它们的公共定义域上有下面的结论： 同名加减不变，异名加减不可；同名乘除得偶，异名乘除得奇． f(x) g(x) f(x)g(x) f(x)g(x) f(x)g(x) f(g(x)) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （3）若奇函数的定义域包括0，则 f(0)0． （4）若函数 f(x)是偶函数，则 f(x) f(x) f(x)． （5）定义在(，)上的任意函数 f x都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和． （6）若函数y f(x)的定义域关于原点对称，则： f(x) f(x)为偶函数， f(x) f(x)为奇， f(x) f(x)为偶函数． 【例1】已知f（x），g（x）是定义在R上的函数，则“y＝f（x）+g（x）是R上的偶函数”是“f（x）， g（x）都是R上的偶函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4MST老唐说题26版一轮 【例2】函数f（x）＝x+sinx在R上是（ ） A．偶函数、增函数 B．奇函数、减函数 C．偶函数、减函数 D．奇函数、增函数 【例3】已知函数f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）＝x2+x﹣2，则f（2）＝（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例4】已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x+cosx﹣1，则x＜0时，f（x）＝（ ） A．x﹣cosx+1 B．﹣x+cosx﹣1 C．x+cosx﹣1 D．﹣x﹣cosx+1 【例5】若f（x）是定义在R上的函数，则下列选项中一定是偶函数的是（ ） A．|f（x）| B．f（|x|） C． D．f（x）﹣f（﹣x） 1 ( ) 【例6】（2021•乙卷）设函数f（x） ，则下列函数中为奇函数的是（ ） 1− A．f（x﹣1）﹣1 B．f（x﹣1 =）1++1 C．f（x+1）﹣1 D．f（x+1）+1 例7.（2024•天津卷）下列函数是偶函数的是（ ） exx2 cosxx2 exx sinx4x A. y B. y C. y D. y x2 1 x2 1 x1 e|x| 5MST老唐说题26版一轮 题型2 常见奇偶的七大模型 奇函数：“两指两对”；偶函数：“一指一对一绝” （1）奇函数： ax 1 ax 1 ①函数 f(x)m( )(x0)或函数 f(x)m( )． ax 1 ax 1 ②函数 f(x)(axax)． bxm 2m bxm 2m ③函数 f(x)log log (1 )或函数 f(x)log log (1 )． abxm a bxm a bxm a bxm ④函数 f(x)log ( b2x2 1bx)． a 2m 2m 注意：关于①式，可以写成函数 f(x)m (x0)或函数 f(x)m (mR)． ax 1 ax 1 （2）偶函数： ① 函数 f(x)(axax)． mx ② 函数 f(x)log (amx 1) ． a 2 ③ 函数 f(|x|)类型的一切函数． 【例1】下列函数中的奇函数是（ ） A． B． 1− 1− ( )= ( )= C．f（x）＝3 ﹣x +3 x D． +1 2 3 ( )= 【例2】（2021•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝x3（a•2 x ﹣2 ﹣x）是偶函数，则a＝ ． 【例3】已知函数 为奇函数，则 （ ） 2 A． ( )=B ．(2 + 4 + ) C． ( 2)= D． ( 2−1) ( 2+1) 2 ( 2−1) 2 ( 2+1) 【例4】已知函数f（x）＝xcosx，g（x）＝ln（e2x+1）﹣x﹣1，则（ ） A．f（x）的图象关于y轴对称，g（x）的图象关于点（0，﹣1）对称 B．f（x）的图象关于y轴对称，g（x）的图象关于y轴对称 C．f（x）的图象关于原点对称．g（x）的图象关于点（0，﹣1）对称 D．f（x）的图象关于原点对称．g（x）的图象关于y轴对称 6MST老唐说题26版一轮 【例5】（2024•甲卷）函数 f xx2   ex ex sinx 在区间[2.8,2.8]的大致图像为（ ） A. B. C. D. 题型3 利用奇偶性求参 （1）定义法：偶函数则 f(x) f(x)，奇函数则 f(x)f(x)； （2）特殊值：奇函数定义域可取0时，可利用 f(0)0； 奇函数定义域不可取0时，可利用其他，如 f(1)f(1)； 偶函数可利用 f(1) f(1)；1定义域D ； （3）利用常见模型处理． 注意避坑：求得参数范围若有两个或以上解，记得验证是否都满足． 【例1】若函数f（x）＝1 是奇函数，则m的值是（ ） + A．﹣1 B． ﹣+21 C．1 D．2 【例2】（2023•乙卷）已知f（x） 是偶函数，则a＝（ ） A．﹣2 B．﹣1 = −1 C．1 D．2 【例3】若函数 为定义在R上的奇函数，则实数b＝（ ） 1 ( )= + A． 2 + B ． C．1 D．﹣1 1 1 − 2 2 7MST老唐说题26版一轮 题型4 “M + N”中值模型 若函数 f(x)奇函数a，则我们把它称为准奇函数；求准奇函数最大值+最小值之和（M N ），我们把它 叫做中值模型． （1）若 f(x)为奇函数，则其最大值与最小值和为0，即 f(x)  f(x) 0； max min M N 0 （2）若 f(x)为奇函数，则 ； f(x ) f(x )0 0 0 M N 2a （3）常见考向 f(x)奇函数a ； f(x ) f(x )2a 0 0 M N 2a  妙解答案：f(x)  f(x) 2a max min  f(x ) f(x )2a 0 0 【例1】（2018•全国3卷）已知函数 f(x)ln( 1x2 x)1， f （a）4，则 f(a) ． (x1)2 sinx 【例2】（2012•新课标）设函数 f(x) 的最大值为M ，最小值为m，则M m ． x2 1 ax 【例3】已知函数 f(x) bln(x x2 1)c其中a0且a1，bR，cZ ，则 f （1）和 f(1)的 1ax 值一定不会是( ) 3 2 1 2 A．2 3和3 3 B．3和4 C．3和1 D． 或 4 4 8MST老唐说题26版一轮 考向3 单调性与奇偶性的综合应用 解决此类题目要注意以下几点： （1）若给出的是复杂函数，我们要先研究函数的奇偶性和单调性 （2）若为奇函数则判断函数是否连续，不连续则需通过数形结合解不等式，图象关于原点对称，若连续直 接利用单调性即可 （3）若为偶函数则利用 f x  f  x  f  x  ，转化为 f  x  的形式，考虑在  0,上的单调性即可 题型1 奇函数与单调性结合 【例1】已知定义在R上的奇函数 f  x  ，且为减函数，又知 f  1a  f  1a2  0，则a的取值范围为 A. 2,1  B.  0,2  C.  0,1  D. ,2  1, 【例2】已知函数 f x x5x2，则不等式 f  x23   f 2x4的解集是（ ）． A．1,3 B．3,1 C．,13, D．,31, 【例3】已知 f  x 是定义在R上的奇函数，且对任意x ,x R，若x  x 都有 f  x  f  x  x x 成 1 2 1 2 1 2 1 2 立，则关于x的不等式 f  1x2   f  13x  x2 3x2的解为_________． 题型2 偶函数与单调性结合 【例1】已知函数 f(x)关于直线x0对称，且当x x0时，[f(x ) f(x )](x x )0恒成立，则满足 1 2 2 1 2 1 1 f(3x1) f( )的x的取值范围是( ) 3 4 2 4 A．( ,) B．(, )( ,) 9 9 9 2 4 2 C．( , ) D．(, ) 9 9 9 【例2】已知函数 f(x)是定义在[12m，m1]上的偶函数，x ，x [0，m1]，当x  x 时， 1 2 1 2 [f(x ) f(x )](x x )0，则不等式 f(1x)f(x)的解集是( ) 1 2 1 2 1 1 1 A．[3， ] B．[2，3] C．[2， ] D．(， ] 2 2 2 9MST老唐说题26版一轮 【例3】已知定义在[12，12]的函数 f(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：①xR，y f(x6) x x 的对称轴是x6；②x ，x [12，0)，当x  x 时， 2 1 0；③ f(10)0．则下列选项 1 2 1 2 f(x ) f(x ) 2 1 成立的是( ) A． f(3) f （4） f(x1)  B．不等式 0的解集为：(9，0) (11，13] x C．若 f(2m1) f （3），则m2或m1 D．x[12，12]，MR，使得 f(x)M 10