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高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章综合检测卷（拔尖C卷）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知直线 ： 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，且直线 在 轴上的截距为3，则直
线 的一般式方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正切二倍角公式，斜截式方程求解即可.
【详解】解：∵直线 ： 的倾斜角为 ，斜率为 ，∴ ，
∵直线 的倾斜角为 ，∴斜率为 ，
∴ 的方程为 ，即 .
故选：B．
2．已知直线l过点 ，且分别交两直线 于x轴上方的 两点，O点为坐标原点，则
面积的最小值为（ ）
A．8 B．9 C． D．20
【答案】A
【分析】判断直线斜率存在并设直线l的方程为 ，求出 两点的横坐标，表示出三角形的
面积，并化简，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意知直线l的斜率一定存在，斜率设为k，则直线l的方程为 ，
分别与 联立可得 两点的横坐标： ，故 ， 两点都在x轴的上方，
故 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故 面积的最小值为8，
故选：A．
3．若两定点 ， ，动点M满足 ，则动点M的轨迹围成区域的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件求出动点M的轨迹方程，再确定轨迹即可计算作答.
【详解】设 ，依题意， ，化简整理得： ，
因此，动点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，
所以动点M的轨迹围成区域的面积为 .
故选：D
4．已知点 与点 关于直线 对称，则点 的坐标为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据对称列式求解.【详解】设 ,则 ，选D.
【点睛】本题考查关于直线对称点问题，考查基本分析求解能力，属基础题.
5．点 在圆 ： 上运动，点 ，当直线 的斜率最大时，直线 方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设直线 的方程为 ，利用圆心到直线的距离小于等于1，从而得到不等式，即可得到
的最大值.
【详解】设直线 的方程为 ，即 ，
，即 ，则圆心 ，半径 ，
则由题意得圆心到直线的距离小于等于1，
，解得 ，则 的最大值为 ，
此时直线 的方程为 ，化简得 ，
故选：C.
6．已知直线 ， 互相平行，且 之间的距离为 ，则 （ ）
A． 或3 B． 或4 C． 或5 D． 或2
【答案】A
【解析】先根据两直线平行由系数的关系求出参数 ，然后由平行线间的距离公式求出参数 ，最后由
即可求出答案.
【详解】由 可得 ，解得 ，则直线 的方程为 ，由 ，即，解得 或 ，故 或 ，即 .
故选：A.
【点睛】本题考查了两平行直线间系数的关系，考查了平行直线间距离公式的应用，考查了运算能力，属
于一般难度的题.
7．已知圆 和两点 ， ，若圆C上至少存在一点P，使得
，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意，圆 ： 与圆O： 位置关系为相交，内切或内含，从而求
得实数a的取值范围.
【详解】圆C： 的圆心 ，半径 ，
∵圆C上至少存在一点P，使得 ，
∴圆 ： 与圆O： 位置关系为相交，内切或内含，如图所示，
又圆O： 的圆心 ，半径 ，
则 ，即 ，∴ ．
故选：B．
8．直线 与曲线 恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（ ）A． B．
C． 或 D．
【答案】B
【分析】 是斜率为 的直线，曲线 是以原点为圆心 为半径的圆的右半圆，利用点到直
线距离公式，结合图形可得答案.
【详解】 是斜率为 的直线，
曲线 是以原点为圆心 为半径的圆的右半圆，
画出它们的图象如图，
当直线与圆相切时， （舍去），
当直线过 时， ,
由图可以看出：
当 时，直线与半圆有两个公共点，
故选：
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．已知点 ,若过点 的直线 与线段 相交，则直线 的倾斜角可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC【分析】设 ，求出直线 、 的倾斜角即得解.
【详解】设 ，由题得 ,所以直线 的倾斜角为 .
由题得 ,所以直线 的倾斜角为 .
由图可知直线 与线段 相交，须满足直线 的倾斜角 .
故选：BC
10．下面说法中错误的是（ ）
A．经过定点 的直线都可以用方程 表示
B．经过定点 的直线都可以用方程 表示
C．不经过原点的直线都可以用方程 表示
D．经过任意两个不同的点 、 的直线都可以用方程 表示
【答案】ABC
【分析】由直线方程的四种特殊形式的适用范围逐一核对即得答案.
【详解】对A，过点 且垂直于 轴的直线不能用方程 表示，故A错误；
对B，经过定点 且垂直于 轴的直线不能用方程 表示，故B错误；
对C，不仅过原点的直线不可以用方程 表示，
而且垂直于两坐标轴的直线也不能用方程 表示，故C错误；对D，当两个不同的点 、 的连线不垂直于坐标轴时，
直线方程为 ，即 ，
当直线 斜率为0或者斜率不存在时，也适合方程 ，
所以经过任意两个不同的点 、 的直线都可以用方程 表
示，故D正确.
故选：ABC.
11．下列结论正确的有（ ）
A．过点 ， 的直线的倾斜角为
B．若直线 与直线 垂直，则
C．已知 ， 及x轴上的动点P，则 的最小值为5
D．直线 与直线 之间的距离为
【答案】ABD
【分析】求出直线斜率判断A；利用垂直关系求出a判断B；利用对称方法求出两点的距离判断C；求出平
行间距离判断D作答.
【详解】对于A，直线 的斜率 ，则直线 的倾斜角为 ，A正确；
对于B，直线 与直线 垂直，则 ，解得 ，B正确；
对于C， 关于x轴对称点 ，连接 交x轴于点 ，在x轴上任取点 ，连接 ，
如图，，当且仅当点 与 重合时取等号，
因此 ，C错误；
对于D，直线 与直线 平行，直线 化为 ，
管两条直线间距离为 ，D正确.
故选：ABD
12．已知圆 ，点 在圆 上，则下列说法正确的是（ ）
A．圆 的圆心是 ，半径是
B．圆 的圆心是 ，半径是
C．直线 平分 成面积相等两部分
D．过点 与圆 相切的直线方程是
【答案】ACD
【分析】将圆 的方程配成标准方程，可判断AB选项，利用 过点 可判断C选
项，将点 坐标代入直线方程可得点在线上，再根据圆心到直线的距离可判断直线与圆相切，判断D.
【详解】将圆 配方成标准方程为： ，
则圆心是 ，半径是 ，故选项A正确，选项B错误；
将 代入直线 成立，即该直线过圆心平分 成面积相等两部分，C正确；点 在圆 上，即 ，
将 代入 中，即 ，
即 经过点P，
圆心 到直线 的距离为 ，
由于过圆上一点的圆的切线是唯一的，故过点 与圆 相切的直线方程是 ，故选
项D正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在 中, ,则 边上的中线所在的直线的一般方程为 .
【答案】
【分析】 边上的中线过 的中点及 点,根据 两点坐标,求出中点坐标,再结合 点坐标,用两点式即
可求出方程.
【详解】解:由题知, ,
故 的中点坐标为: ,
因为 ,
所以 边上的中线所在的直线为:
,
即: .
故答案为:14．直线 和直线 分别过定点 和 ，则 | ．
【答案】
【分析】求出直线 、 所过定点的坐标，再利用平面内两点间的距离公式可求得 的值.
【详解】将直线 的方程变形为 ，由 ，可得 ，即点 ，
将直线 的方程变形为 ，
由 ，可得 ，即点 ，
所以， .
故答案为： .
15．若半径为3的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为 .
【答案】7
【分析】确定半径为3且经过点 的圆的圆心的轨迹是以 为圆心，以3为半径的圆，即可求得答
案
【详解】设圆心坐标为 ，则 ，即 ，
即圆心轨迹是以 为圆心，以3为半径的圆，
到原点距离为 ，
故圆 上的点到原点距离的最小值为 ，
即半径为3的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为7，
故答案为：716．已知常数 ，若关于x的方程 有且仅有一个实数解，则m的取值范围是
.
【答案】 ,
【分析】将问题转化为直线 与曲线 只有一个交点，作出图象，结合图象求解即可．
【详解】由 ，可得 ，
由题意可得 ，
即直线 与曲线 只有一个交点，
又因为曲线 表求以原点为圆心，2为半径且位于 轴上及上方的半圆，
如图所示：
当直线 过 时， ，此时直线 与半圆只有一个交点，
当直线过点 时， ，此时直线 与半圆有两个交点，
结合图象，当直线与半圆相切时， ，
综上所述， 的取值范围是 , ．
故答案为： , ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知坐标平面内三点 .
(1)求直线 的斜率和倾斜角；
(2)若 可以构成平行四边形，且点 在第一象限，求点 的坐标；
(3)若 是线段 上一动点，求 的取值范围.
【答案】(1)斜率为1，倾斜角为 ；(2) ；(3) .
【分析】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角；
(2) 设 ，根据 求解即可；
(3) 因为 表示直线 的斜率,求出 与点 重合时，直线 的斜率； 与点 重合时，直线 的斜
率即可得答案.
【详解】（1）解：因为直线 的斜率为 .
所以直线 的倾斜角为 ；
（2）解：如图，当点 在第一象限时， .
设 ，则 ，解得 ，
故点 的坐标为 ；（3）解：由题意得 为直线 的斜率.
当点 与点 重合时，直线 的斜率最小， ；
当点 与点 重合时，直线 的斜率最大， .
故直线 的斜率的取值范围为 ，
即 的取值范围为 .
18．已知圆 的圆心在直线 上，且圆 过点 ， ．
(1)求圆 的标准方程；
(2)若圆 与圆 关于直线 对称，求圆 的标准方程．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）设圆的一般方程 ，结合已知列方程求解 的值，再转化为圆的标
准方程即可；
（2）由于圆 与圆 关于直线 对称，根据点关于直线对称坐标特点求得 的坐标，则得圆
心 ，由对称可知半径不变，故可得圆 的标准方程．【详解】（1）解：设圆C的方程为 ，
已知圆 的圆心在直线 上，且圆 过点 ， ，
则 ，解得 ，
即圆C的方程为 ，
∴圆C的标准方程为 ．
（2）解：由（1）得圆C的圆心 ，半径 ，
设圆 的圆心坐标为 ，∵圆 与圆C关于直线 对称，
则有 ，解得 ，即 ．
∴圆 的标准方程为 ．
19．已知直线 与直线 ．
(1)若 ，求m的值；
(2)若点 在直线 上，直线 过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线 的方程．
【答案】(1) ；(2) 或
【分析】（1）由题意可知 ，所以可得 ，从而可求出m的值；
（2）将点 的坐标代入直线 的方程中，求出m的值，从而可得点 的坐标，然后设出直线 方程，
利用两坐标轴上的截距之和为0，列方程可求出直线方程【详解】（1）因为 ，所以 ，且 ，
由 ，得 ，解得 或 （舍去）
所以 .
（2）因为点 在直线 上，
所以 ，得 ，所以点 的坐标为 ，
所以设直线 的方程为 （ ），
令 ，则 ，令 ，则 ，
因为直线 在两坐标轴上的截距之和为0，
所以 ，解得 或 ，
所以直线 的方程为 或 .
20．已知直线 ．
(1)若直线 不经过第一象限，求k的取值范围；
(2)若直线 交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B， 的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此
时直线 的方程．
【答案】(1) ；(2) 的最小值为 ，此时直线 的方程为
【分析】(1)验证 时，直线 是否符合要求，当 时，将直线方程化为斜截式，结合条件列不等式求
k的取值范围；(2)先求直线在 轴和 轴上的截距，表示 的面积，利用基本不等式求其最小值.
【详解】（1）当 时，方程 可化为 ，不经过第一象限；
当 时，方程 可化为 ，
要使直线不经过第一象限，则解得 ．
综上，k的取值范围为 ．
（2）由题意可得 ，
由 取 得 ，
取 得 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 时取等号，
综上，此时 ，直线 的方程为 ．
21．已知直线 和圆 .
(1)求证：对任意实数 ，直线 和圆 总有两个不同的交点；
(2)设直线 和圆 交于 ， 两点.
①若 ，求 的倾斜角；
②求弦 的中点 的轨迹方程.
【答案】(1)证明见解析
(2)① 或 ；② ，其中
【分析】（1）解法1，联立消元，根据 ，即可得证；
解法2：求出圆心到直线的距离，即可证明；
解法3：求出直线过定点坐标，判断点与圆的位置关系，即可证明；
（2）①求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式得到方程，解得即可；
②联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，即可求出中点坐标，消去参数 ，即可得解；
【详解】（1）解法1：将 代入 ，
得 ，因为 ，
故直线 和圆C总有两个不同的交点.解法2：圆心 到直线 的距离 ，
于是直线 和圆C总有两个不同的交点.
解法3：由已知，直线 ，令 ，解得 ，
所以直线 恒过定点 ，
因为 ，所以点P在圆C内，
于是直线 和圆C总有两个不同的交点.
（2）①圆心 到直线 的距离 ，
由弦长公式 ，即 ，解得 ，
即直线 的斜率为 ，于是 的倾斜角为 或 .
②将 代入 ，
得 ，设 ， ，显然 ，
所以 ，则 ，
则 ， ，
所以 ，
消去 得 ，
即 ，其中 .22．已知直线 过点 ，且__________.
在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答.
①与圆 相切；②倾斜角的余弦值为 ；③直线 的一个方向向量为 .
(1)求直线 的一般式方程；
(2)若直线 与曲线 相交于 两点，求弦长 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）选①，先得到点 在圆 上，从而根据垂直关系求出直线 的斜率，得到直线
的一般式方程；选②，求出 ，从而得到直线 的一般式方程；选③，根据直线 的一个方向向量求
出 的斜率，求出直线 的一般式方程；
（2）求出圆心 到直线 的距离，利用垂径定理求出弦长.
【详解】（1）若选①：因为 ，故点 在圆 上，
且圆心 与 连线的斜率为 ，
因为直线 与圆 相切，所以直线 的斜率为2；
所以直线 的一般式方程为 ；
若选②：设直线 的倾斜角为 ，由 得 ；
故直线 的斜率 ；
所以直线 的一般式方程为 ；
若选③：因为直线 的一个方向向量为 ，所以 的斜率 ；
所以直线 的一般式方程为
（2）曲线 ，即 ；故 为圆，圆心为 ，半径为 ；
则圆心 到直线 的距离为 ；
所以弦长 .
